Materi Matematika (Wajib) Kelas XI Bab Program Linier yang membahas mengenai cara menentukan model matematika dan cara menyelesaikan masalah program linier.

1. I Nengah Agus Suryanatha, S.Pd.Gr., M.Pd.
MASALAH
PROGRAM LINIER

2. Pengertian Masalah Program Linier
Masalah Program Linier : suatu permasalahan untuk menentukan nilai masing-
masing variabel guna mengoptimumkan (memaksimumkan/meminimumkan)
fungsi objektif dengan mempertimbangkan kendala-kendala yang ada, yang dapat
dinyatakan dalam suatu persamaan ataupun pertidaksamaan.
Masalah Program Linier

3. Masalah Memaksimumkan Fungsi Objektif
Fungsi objektif maksimum :
𝑧 = 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦
Fungsi kendala :
𝑎𝑖 𝑥 + 𝑏𝑖 𝑦 ≤ 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Dicari : 𝑥 dan 𝑦
Masalah Program Linier
Keterangan :
 𝑥 dan 𝑦 menyatakan banyak barang
yang akan diproduksi
 𝑝 dan 𝑞 menyatakan harga barang
per satuan
 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑖 menyatakan banyak bahan
mentah ke-𝑖 yang digunakan
 𝑐𝑖 menyatakan jumlah bahan mentah
ke-𝑖 yang tersedia

4. Masalah Meminimumkan Fungsi Objektif
Fungsi objektif maksimum :
𝑧 = 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦
Fungsi kendala :
𝑎𝑖 𝑥 + 𝑏𝑖 𝑦 ≥ 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Dicari : 𝑥 dan 𝑦
Masalah Program Linier
Keterangan :
 𝑥 dan 𝑦 menyatakan banyak barang
yang akan diproduksi
 𝑝 dan 𝑞 menyatakan harga barang
per satuan
 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑖 menyatakan banyak bahan
mentah ke-𝑖 yang digunakan
 𝑐𝑖 menyatakan jumlah bahan mentah
ke-𝑖 yang tersedia

5. Contoh 1
Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 meter kain
sifon, 11 meter kain brokat, dan 15 meter kain katun yang akan
digunakan untuk membuat dua model pakaian. Model I
memerlukan 2 meter kain sifon, 1 meter kain brokat dan 1 meter
kain katun, sedangkan Model II memerlukan 1 meter kain sifon, 2
meter kain brokat dan 3 meter kain katun. Apabila pakaian
tersebut berhasil dijual, penjahit tersebut akan memperoleh
keuntungan sebesar Rp30.000,00 untuk pakaian Model I dan
Rp50.000,00 untuk pakaian Model II. Tentukan banyaknya masing-
masing pakaian yang harus dibuat oleh penjahit tersebut agar
diperoleh keuntungan maksimum.

6. Contoh 1
Penyelesaian :
Misalkan : 𝑥 = banyak pakaian Model I
𝑦 = banyak pakaian Model II
Masalah tersebut dapat disederhanakan ke dalam tabel berikut.
Bahan Model I (𝑥) Model II (𝑦) Ketersediaan
Kain Sifon 2 1 16
Kain Brokat 1 2 11
Kain Katun 1 3 15
Keuntungan 30.000 50.000

7. Contoh 1
Penyelesaian :
Model Matematika :
2𝑥 + 𝑦 ≤ 16
𝑥 + 2𝑦 ≤ 11
𝑥 + 3𝑦 ≤ 15
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Fungsi objektif : (maksimum) 𝑧 = 30.000𝑥 + 50.000𝑦
Bahan Model I (𝑥) Model II (𝑦) Ketersediaan
Kain Sifon 2 1 16
Kain Brokat 1 2 11
Kain Katun 1 3 15
Keuntungan 30.000 50.000

8. Contoh 1
Penyelesaian :
Tentukan daerah
penyelesaian dari
SPtLDV, kemudian
tentukan titik-titik
batasnya.
Koordinat titik C dan
D diperoleh dengan
eliminasi antar
persamaan garis.

9. Contoh 1
Penyelesaian :
Titik C diperoleh dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 :
2𝑥 + 𝑦 = 16 × 2 4𝑥 + 2𝑦 = 32
𝑥 + 2𝑦 = 11 × 1 𝑥 + 2𝑦 = 11
3𝑥 = 21
𝑥 =
21
3
= 7
Substitusi nilai 𝑥 = 7 ke salah satu persamaan 1 atau 2 :
2𝑥 + 𝑦 = 16 ⇔ 2.7 + 𝑦 = 16
𝑦 = 16 − 14
𝑦 = 2
Jadi koordinat titik C adalah : 7,2 .
−

10. Contoh 1
Penyelesaian :
Titik D diperoleh dengan mengeliminasi persamaan 2 dan 3 :
𝑥 + 2𝑦 = 11
𝑥 + 3𝑦 = 15
−𝑦 = −4
𝑦 = 4
Substitusi nilai 𝑦 = 4 ke salah satu persamaan 2 atau 3 :
𝑥 + 2𝑦 = 11 ⇔ 𝑥 + 2.4 = 11
𝑥 = 11 − 8
𝑥 = 3
Jadi koordinat titik D adalah : 3,4 .
−

11. Contoh 1
Penyelesaian :
Selanjutnya tentukan
nilai optimumnya
dengan metode garis
selidik atau uji titik
batas. Misalnya
digunakan metode
garis selidik.
Garis selidik yang
teratas melalui titik
𝐶 7,2 . Jadi nilai
maksimum diperoleh
untuk 𝑥 = 7 dan 𝑦 = 2.

12. Contoh 1
Penyelesaian :
𝑓 𝑥, 𝑦 = 30.000𝑥 + 50.000𝑦
𝑓 7,2 = 30.000 7 + 50.000 2
= 210.000 + 100.000
= 310.000
Jadi keuntungan maksimum yang diperoleh penjahit tersebut
adalah Rp310.000,00 dengan menjual 7 unit pakaian Model I dan
2 unit pakaian Model II.

13. Contoh 2
Seorang pasien diberi resep oleh dokternya agar mengkonsumsi
kalsium sedikitnya 60 gram dan zat besi sekurang-kurangnya 30
gram. Dokter menawarkan satu kapsul yang mengandung 5 gram
kalsium dan 2 gram zat besi atau satu tablet yang mengandung 2
gram kalsium dan 2 gram zat besi. Apabila harga kapsul dan tablet
di apotek berturut-turut adalah Rp1.000,00 dan Rp1.200,00,
tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan agar kebutuhan
kalsium dan zat besi pasien tersebut terpenuhi!

14. Contoh 2
Penyelesaian :
Misalkan : 𝑥 = banyak kapsul
𝑦 = banyak tablet
Masalah tersebut dapat disederhanakan ke dalam tabel berikut.
Kandungan Kapsul (𝑥) Tablet (𝑦) Kebutuhan
Kalsium 5 2 60
Zat Besi 2 2 30
Biaya 1.000 1.200

15. Contoh 2
Penyelesaian :
Model Matematika :
5𝑥 + 2𝑦 ≥ 60
2𝑥 + 2𝑦 ≥ 30 ⇔ 𝑥 + 𝑦 ≥ 15
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Fungsi objektif : (minimum) 𝑧 = 1.000𝑥 + 1.200𝑦
Kandungan Kapsul (𝑥) Tablet (𝑦) Kebutuhan
Kalsium 5 2 60
Zat Besi 2 2 30
Biaya 1.000 1.200

16. Contoh 2
Penyelesaian :
Tentukan daerah
penyelesaian dari
SPtLDV, kemudian
tentukan titik-titik
batasnya.
Koordinat titik C
diperoleh dengan
eliminasi kedua
persamaan garis.

17. Contoh 2
Penyelesaian :
Titik C diperoleh dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 :
5𝑥 + 2𝑦 = 60 × 1 5𝑥 + 2𝑦 = 60
𝑥 + 𝑦 = 15 × 2 2𝑥 + 2𝑦 = 30
3𝑥 = 30
𝑥 =
30
3
= 10
Substitusi nilai 𝑥 = 10 ke salah satu persamaan 1 atau 2 :
𝑥 + 𝑦 = 15 ⇔ 10 + 𝑦 = 15
𝑦 = 15 − 10
𝑦 = 5
Jadi koordinat titik C adalah : 10,5 .
−

18. Contoh 2
Penyelesaian :
Selanjutnya tentukan nilai optimumnya dengan metode garis
selidik atau uji titik batas. Misalnya digunakan uji titik batas.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 1.000𝑥 + 1.200𝑦
𝑓 0,30 = 1.000 0 + 1.200 30 = 0 + 36.000 = 36.000
𝑓 15,0 = 1.000 15 + 1.200 0 = 15.000 + 0 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎
𝑓 10,5 = 1.000 10 + 1.200 5 = 10.000 + 6.000
= 16.000
Jadi biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh pasien untuk
memenuhi kebutuhan kalsium dan zat besinya adalah Rp15.000,00.