Program Linear WIthree

Created By Witriana
1 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l
BAB
II
1.1 Mendeskripsikan pertidaksamaan linear dua
variable dan menerapkannya dalam
pemecahan masalah program linear.
1.2 Menerapkan prosedur yang sesuai untuk
menyelesaikan masalah program linear terkait
masalah dan menganalisis kebenaran langkah-
langkahnya.
1.3 Merancang dan mengajukan masalah nyata
berupa masalah program linear dan
menerapkann berbagai konsep dan aturan
penyelesaian SPL dan menentukan nilai
optimum dengan menggunakan fungsi selidik
yang ditetapkan.
Kompotensi Dasar
Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat menyatakan masalah sehari-hari ke dalam bentuk SPLDV
2. Siswa dapat menentukan daerah penyelesaian SPLDV
3. Siswa dapat memahami komponen SPLDV
4. Siswa dapat merumuskan model matematika dari aplikatif program linear
5. Siswa dapat menentukan nilai optimum dari fungsi obkjektif dengan menggunakan titik
pojok dan garis selidik
6. Siswa dapat menafsirkan solusi dari program linear

Created By Witriana
Dalam kehidupan sehari-hari sebagian besar
manusia menginginkan sebuah laba. Jika kita pergi ke
pasar, kita akan menjumpai para pedagang yang
menjual dagangannya. Para pedagang tersebut
menjual barang dagangannya dengan mengambil
keuntungan.
Lalu bagaimana cara pedagang mengetahui
berapa pendapatan maksimum dan ongkos minimum
yang harus dikeluarkan? Nah, cara untuk memecahkan
permasalahan tersebut yaitu dengan konsep Program
Linear. Kapankah suatu masalah itu merupakan
masalah program linear? Sebelum kita melangkah ke
8program linear mari kita mengingat kembali SPLDV
dan SPtLDV.
Mengingat kembali SPLDVdan SPtLDVA.
PerhatikanIlustrasi diBawah Ini
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Kata Kunci
Persamaan Linear Dua
Variabel
Pertidaksamaan Linear Dua
Variabel
Daerah Penyelesaian
MemahamiKonsep
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
adalah gabungan dari dua bentuk persamaan
linear dua variabel (PLDV) yang variabel-
variabelnya sama. Misalnya diketahui PLDV a1x +
b1y = c1 dan a2x + b2y = c1, maka bentuk SPLDV
dari kedua persamaan tersebut ditulis sebagai
berikut
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real. Dengan a1 dan b2 keduanya tidak nol serta
a1, b2 keduanya tidak nol.
Pada SPLDV, Pasangan nilai x = x0 dan y = y0 yang memenuhi a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2
merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

Created By Witriana
Santi membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus
membayar Rp15.000,00, sedangkan mariati membeli 1 kg
mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00.
Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel? Dengan
persamaan 2x + y = 15.000 dan x + 2y = 18.000.
penyelesaian :
Langkah 1
Selesaikan dengan metode eliminasi.
2x + y = 15000 x1 2x + y = 15000 gambarmanggaapel.com
x + 2y = 18000 x2 2x +4 y = 36000
-3y = -21000
y = 7000
Langkah 2
untuk nilai x substitusi salah satu persamaan, kita ambil x + 2y = 18.000 . maka ,
x + 2y = 18.000
x + 2(7000) = 18000
x = 18000 – 14000
x = 4000
jadi harga 1 kg mangga adalah Rp4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah Rp7.000,00. Dan harga 5 kg
mangga dan 3 kg apel adalah 5x + 3y = 5(4000) + 3 (7000) = 41000
Contoh
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah Suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih
pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mempunyai dua variable.
 Cara Menentukan Daerah Penyelesaian
a. Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear,
kemudian gambarkan persamaan linear tersebut pada bidang koordinat.
b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap
pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap
daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda.
c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang
merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel
pada langkah b.

Created By Witriana
Sebelum menggambar daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear dua variabel, sebaiknya kita tahu
terlebih dahulu mengenal himpunan
penyelesaian. Himpunan penyelesaian merupakan
himpunan pengganti nilai variabel sedemikian sehingga
menyebabkan sistem pertidaksamaan menjadi pernyataan
yang benar. Daerah penyelesaian yang akan kita gambar
merupakan daerah dari himpunan penyelesaian tersebut.
Daerah ini berisi himpunan pasangan berurutan (x, y) yang
menjadi anggota dari himpunan penyelesaian.
Kanntong plastikibu wahda dan ibu ani hanya bisa
menampung 6 kg buah. Ibu wahda membeli 2 kg
rambutan dan 3 kg jeruk sedangkan ibu ani membeli 3 kg
rambutan dan 2 kg jeruk. Dengan persamaan sebagai
berikut.
2x + 3y  6,
3x + 2y ≤ 6,
x ≥ 0, y ≥ 0 Gambarkantongan.com
Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan Linear tersebut!
Penyelesaian:
 Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear,
2x + 3y = 6,
3x + 2y = 6
 Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan
linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi
pertidaksamaan yang berbeda. Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua
variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
Catatan :
TahukahAnda?
Simbol > dan < untuk"lebihbesar
dari" dan "lebih kecil dari" telah ada
sejakkarya Thomas Harriot yang
berjudul Artist Analyticae Praxis
dipublikasikan padatahun 1631.
Simbol yang diperkenalkan Harriot
merupakan simbol yangpaling
umum digunakan. Namun, pada
abad ke–18, Oughtered juga
mengembangkan beberapa variasi
symbol pertidaksamaan.
Sumber: www.Drmath.com.
Math Info
Contoh

Created By Witriana
 Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 diapit titik (x,0)
Untuk y = 0 maka, Untuk y = 0 maka,
2x + 3y = 6 → 2x + 3(0) = 6 3x +2y = 6 → 3x +2(0) = 6
2x = 6 3x = 6
x = 3 x = 2
(3 , 0) (2 , 0)
 Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0 diapit titik (0,y)
2x + 3y = 6 → 2(0) + 3y = 6 3x +2y = 6 → 3(0) +2y = 6
3y = 6 2y = 6
y = 2 y = 3
(0 , 2) (0 , 3)
Gabungkanlah semua gambar tersebut, untuk melihat daerah penyelesaiaannya.

Created By Witriana
Lambang “≥” berarti
lebih dari sama dengan,
daerahnya adalah positif
(+).
Lambang “≤” berarti
kurang dari sama
dengan, daerahnya
adalah negatif (−).
Ingatlah !
Check Your Understanding
Seorang pedagang menjual 2 jenis
buah, yaitu semangka dan melon.
Tempatnya hanya mampu
menampung buah sebanyak 60 kg.
Pedagang itu mempunyai modal
Rp140.000,00. Harga beli
semangka Rp2.500,00/kg dan
harga beli melon Rp2.000/kg.
Adapun bentuk pertidaksamaan dari
soal berikut yaitu :
x + y ≤ 60
2500x + 2000y ≤ 140000
Maka Gambarlah daerah
penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear di atas !
Kolom Pertanyaan
Dalam pembahasan sebelumnya, adakah materi yang kalian belum pahami?
Tulislah Pertanyaanmu di sini!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Created By Witriana
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
1. Cokelat A yang harganya Rp 600,00. Cokelat B harganya Rp 1.000,00 per bungkus. Modal yang
dimiliki pedagang adalah Rp 300.000,00 dan kotak tempat menjual cokelat mampu memuat 350
bungkus. Dengan pertidaksamaan sebagai berikut
x + y ≤ 350
600x + 1.000y ≤ 300.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Gambarlah himpunan dari sistem pertidaksamaan di atas.
2. Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan grafi k himpunan penyelesaian dari suatu sistem
pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan yang dimaksud
.
3. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pena
adalah Rp 14.000,00, sedangkan harga 6
buah buku dan 5 buah pena adalah Rp
11.200,00. Tentukan berapa harga sebuah
buku dan sebuah pena!

Created By Witriana
Id.aliexpress.com
Pada topik sebelumnya, kita telah membahas
tentang penyelesaian sisstem pertidaksamaan linear dua
variabel. Kali ini, kita akan belajar membuat model
matematika dari permasalahan program linear.
Sebelum kita membahas lebih lanjut, apakah
kalian masih ingat dengan sistem pertidaksamaan linear
dua variabel pada pembahasan sebelumnya? Bagaimana
bentuknya? Ya, pertidaksamaan linear dua variabel
merupakan suatu kalimat matematika yang memuat
tanda ketidaksamaan (<, ≤ , >, ≥) dan terdiri dari dua
buah variabel, sedangkan sistem pertidaksamaan
GambarIndustri.kontan.co.id linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiri
dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.
Jika pada topik sebelumnya pertidaksamaan
linear langsung diberikan pada soal, kali ini kita akan
belajar memodelkan sendiri pertidaksamaan yang ada
dalam sistem pertidaksamaan linear tersebut. Kalimat
matematika berupa pertidaksamaan linear dua variabel
akan dimodelkan berdasarkan permasalahan program
linear dalam kehidupan sehari-hari. Lalu, bagaimanakah
mengubah permasalahan ke dalam kalimat matematika?
Oleh karena itu, perhatikanlah materi ini dengan baik.
Merancang Model MatematikaB.
Catatan :
Kata Kunci
Model Matematika
Fungsi Kendala

Created By Witriana
Sebagaimana yang telah kita ketahui, penyelesaian masalah yang berkaitan dengan
program linear biasanya mengandung variabel. Oleh karena itu, langkah pertama dalam
menyelesaikan masalah program linear adalah dengan menerjemahkan permasalahan
tersebut ke dalam bahasa/model matematika yang membentuk suatu sistem
pertidaksamaan. Apa itu model matematika?
Pabrik A memproduksi dua jenis kursi, yaitu kursi
rotan dan kursi jati. Biaya produksi untuk dua set
kursi rotan dan tiga set kursi jati adalah
Rp18.000.000,00. Pabrik B yang merupakan cabang
dari pabrik A memproduksi tiga set kursi rotan dan
dua set kursi jati dengan biaya produksi
Rp20.000.000,00. Buatlah model matematika untuk
persoalan tersebut.
Sumber : bangbangrattan.com
penyelesaian :
Jika biaya produksi satuan untuk kursi rotan
adalah x dan biaya produksi satuan untuk kursi jati
adalah y maka.
Biaya produksi di pabrik A adalah 2x + 3y =
18.000.000
MemahamiKonsep
Gunakan pemisalan
variabel dalam setiap
pembuatan model
matematika
Ingatlah !
Contoh

Created By Witriana
Biaya produksi di pabrik B adalah 3x + 2y =
20.000.000
Biaya produksi pembuatan kursi tidak mungkin bernilai negatif maka x ≥ 0 dan y ≥ 0. Oleh karena
itu, model matematika untuk persoalan
tersebut adalah
2x + 3y = 18.000.000
3x + 2y = 20.000.000
x ≥ 0 ; y ≥ 0
Suatu tempat parkir luasnya 200 𝑚2. Untuk memarkir sebuah mobil rata-rata diperlukan tempat
seluas 10 𝑚2 dan untuk bus rata-rata 20𝑚2. Tempat parkir itu tidak dapat menampung lebih dari 12
mobil dan bus. Bila di tempat parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, buatlah model
matematikanya!
awab:
Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut ini:
Misalkan x = Mobil
Y = Bus
Sumber : gambarbus.com
Penulisan model matematika:
10𝑥 + 20𝑦 ≤ 200 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 − 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 → 10 𝑥 + 2𝑦 ≤ 20
𝑥 + 𝑦 ≤ 12 ;
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Lahan Mobil
( 𝒙)
Bus
( 𝒚)
Tersedia
Luas 10 20 200
Daya
tampung
1 1 12
Contoh

Created By Witriana
Amatilah permasalahan sehari-hari di
sekitar Anda. Pilihlah satu masalah
yang berhubungan dengan program
linear yang ada pada gambar di
bawah ini
Kabarelektronika.co Kawulala.blogspot.com
Buatlah masalah tersebut menjadi
soal program linear. Kemudian,
buatlah model matematikanya.
Kolom Pertanyaan
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TahukahAnda?
George B. Dantzig
Sumber: upload.wikimedia.org
George B. Dantzig secara independen
juga mengembangkan pemecahan
masalah tersebut, di mana hasil
karyanya pada masalah tersebut
pertama kali dipublikasikan pada
tahun 1947. Selanjutnya, sebuah
teknik yang lebih cepat, tetapi lebih
rumit, yang cocokuntukmemecahkan
masalah program linear dengan
ratusan atau bahkan ribuan variabel,
dikembangkan oleh matematikawan
Bell Laboratories, Naranda
Karmarkar pada tahun 1983.
MathInfo

Created By Witriana
1. Bagas membeli 5 kg pisang dan 7 kg
rambutan. Bagas harus membayar
Rp41.000,00. Sementara itu, Ayu
membeli 3 kg buah pisang dan 6 kg buah
rambutan. Ayu harus membayar
Rp33.000,00. Jika harga 1 kg buah
pisang adalah x dan 1 kg rambutan
adalah y rupiah, buatlah model
matematika untuk masalah tersebut. Salamisimon.com
2. Seorang pengusaha topi akan membuat 2 jenis
topi yang terdiri atas dua warna kain, yaitu
warna kuning dan biru. Persediaan kain warna
kuning 100 m dan kain warna biru 140 m.
Topi jenis I memerlukan kain warna kuning 25
cm dan warna biru 15 cm. Topi jenis II
memerlukan kain warna kuning 15 cm dan
warna biru 30 cm. Keuntungan dari topi jenis I
adalah Rp3.000,00 dan topi jenis II adalah Rp
5.000,00. Buatlah model matematika dari
Gambartopi.com permasalahan tersebut agar diperoleh
keuntungan yang sebesarbesarnya.
3. Vani dan teman-temannya menjual es buah dan
es teh pada acara festival kuliner di sekolahnya.
Mereka menjual es buah dengan harga
Rp6.500,00 dan es teh seharga Rp5.000,00.
Buatlah model matematika dari kondisi di atas,
jika:

Created By Witriana
a. mereka berhasil menjual sekurang kurangnya
35 gelas minuman; dan estehbuah.blogspot.com
b. pendapatan mereka tidak kurang dari Rp250.000,00
Perlu Anda ketahui, inti persoalan dalam
program linear adalah menentukan nilai optimum
(maksimum atau minimum) dari suatu fungsi. Dalam
kehidupan sehari-hari, permasalahan nilai optimum
salah satunya adalah masalah penentuan jumlah
kursi penumpang terbanyak agar keuntungan yang
diperoleh sebesar-besarnya, tentu saja dengan batas-
batas tertentu. Fungsi yang ditentukan nilai
optimumnya disebut fungsi objektif, fungsi sasaran,
atau fungsi tujuan. Nilai fungsi objektif ditentukan
dengan mengganti variabel (biasanya x dan y) dalam
fungsi tersebut dengan koordinat titik-titik pada
Gambarbaju.com himpunan penyelesaian.
Dalam menentukan nilai optimum
(memaksimumkan/meminimumkan) masalah
program linear, kita harus menentukan titik
pojok/titik ekstrim dari daerah himpunan
penyelesaian (daerah feasible) sistem
pertidaksamaan yang ada (kendala/syarat fungsi
tujuan).
Penentuan Nilai Optimum (memaksimumkan / meminimumkan) dari
Masalah Program Linear
C.
Catatan :
Kata Kunci
Nilai Optimum
Titik Pojok
Titik Ekstrim
Garis Selidik

Created By Witriana
Sebuah titik pojok dari daerah himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah sebuah
titik pada atau di dalam daerah penyelesaian yang
merupakan perpotongan dua garis pembatas. Titik
pojok sering disebut titik ekstrim.
Mita, Ani dan Silvia pergi ketoko buku untuk membeli
penggaris dan buku untuk belanja, mereka mengambil
keranjang yang berbeda-beda besarnya. Keranjang
Mita hanya dapat menampung 22 barang, Ani 13
barang sedangkan silvia 50 barang. Mita membeli 2
buah penggaris dan sebuah buku, Ani membeli sebuah
penggaris dan sebuah buku sedangkan Silvia membeli
2 buah penggaris dan 5 buah buku. Dengan
pertidaksamaan sebagai berikut :
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 50; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 22 ; 𝑥 + 𝑦 ≤ 13 ; ; 𝑥 ≥ 0;
𝑦 ≥ 0
Selesaikanlah sistem pertidaksamaan linear berikut ini secara grafik dan carilah titik-titik
ekstrimnya!
Penyelesaian :
Pertidaksamaan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 menunjukkan bahwa daerah penyelesaian berada di kuadran
pertama.
Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua
sumbu. terlihat pada tabel berikut ini.
MemahamiKonsep
1. Titik Pojok/Titik EkstrimTahukah Anda?
Sumber: upload.wikimedia.org
Program linear (Linear
Programming)
merupakanmmatematika terapan
yang baru berkembang pada awal
abad ke- 20. Program linear
dikembangkan oleh seorang ekonom
bernama W. W. Leontief. Program
linear dapat digunakan untuk
mengkaji berbagai permasalahan
dalam kehidupan sehari-hari.
Misalnya masalah industri, masalah
transportasi, atau masalah diet bagi
penderita penyakit tertentu agar
memperoleh kombinasi makanan
sehingga diperoleh gizi terbaik.
Sumber: Kalkulus dan Geometri
Analisis, Purcell, 2002
MathInfo
Contoh

Created By Witriana
Lukiskan ketiga garis pembatas itu dalam koordinat Cartesius dengan ukuran yang tepat!
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟓𝟎
𝒙 0 25
𝒚 10 0
Titik (0,10) (25,0)
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟐
𝒙 0 11
𝒚 22 0
Titik (0,22) (11,0)
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟑
𝒙 0 13
𝒚 13 0
Titik (0,13) (13,0)

Created By Witriana
Gabungkanlah gambar grafik tersebut!
 Penentuan daerah himpunan penyelesaian:
 2𝑥 + 𝑦 ≤ 22 → sebelah bawah garis 2𝑥 + 𝑦 = 22
 𝑥 + 𝑦 ≤ 13 → sebelah bawah garis 𝑥 + 𝑦 = 13
 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 50 → sebelah bawah garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50
 𝑥 ≥ 0 → sebelah kanan sumbu Y
 𝑦 ≥ 0 → sebelah atas sumbu X
 Penentuan titik-titik ekstrim
i. A(0,10), perpotongan garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50 dengan sumbu Y
ii. B(5,8) perpotongan garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50 dengan garis 𝑥 + 𝑦 = 13
Cara mendapatkan titik B Subtitusi garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50 dengan garis 𝑥 + 𝑦 = 13
2x + 5y = 50 x1 2x + 5y = 50
x + y = 13 x2 2x + 2y = 26
3y = 24
y = 8
untuk nilai x substitusi nilai y = 8 pada persamaan x + y = 13
x + y = 13
8 + y = 13  y = 5
iii. C(9,4), perpotongan garis 𝑥 + 𝑦 = 13 dengan garis 2𝑥 + 𝑦 = 22
Cara mendapatkan titik C Subtitusi garis 𝑥 + 𝑦 = 13 dengan garis 2𝑥 + 𝑦 = 22
2x + y = 22
x + y = 13
x = 9

Created By Witriana
untuk nilai x substitusi nilai y = 8 pada persamaan x + y = 13
x + y = 13
9 + y = 13
y = 4
iv. D(11,0), perpotongan garis 2𝑥 + 𝑦 =
22 dengan sumbu X
v. E(0,0), perpotongan sumbu X dan
sumbu Y
 Lukisan daerah penyelesaian dan titik-titik
ekstrimnya. Seperti pada gambar disamping.
Selesaikan daerah sistem pertidaksamaan linear berikut ini secara grafik
dan carilah titik-titik ekstrimnya!
𝑥 + 3𝑦 ≥ 18
𝑥 + 𝑦 ≥ 12
5𝑥 + 𝑦 ≥ 20
𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0
Penyelesaian :
Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua sumbu.
terlihat pada tabel berikut ini.
Lukiskan ketiga garis pembatas itu dalam koordinat Cartesius dengan ukuran yang tepat!
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟖
X 0 18
Y 6 0
Titik (0,6) (18,0)
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐
X 0 12
Y 12 0
Titik (0,12) (12,0)
𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟎
x 0 4
y 20 0
Titik (0,20) (4,0)
Contoh

Created By Witriana

Created By Witriana
 Penentuan titik ekstrim awal
 Perhatikan semua garis pembatas saat memotong sumbu Y yaitu (0,0), (0,20). (0,12), (0,6).
Karena semua syarat ketidaksamaan adalah ≥, pilih nilai y yang paling besar, yaitu (0,20)
sebagai titik ekstrim awal.
 Perhatikan semua garis pembatas saat memotong sumbu X, yaitu (0,0), (4,0), (12,0), (18,0).
Karena semua syarat ketidaksamaan adalah ≥, pilih nilai x yang paling besar, yaitu (18,0)
sebagai titik ekstrim awal.
 Penentuan daerah himpunan penyelesaian
i. 𝑥 ≥ 0 → sebelah kanan sumbu Y
ii. 𝑦 ≥ 0 → sebelah atas sumbu X
iii. 5𝑥 + 𝑦 ≥ 20 → sebelah atas garis 5𝑥 + 𝑦 = 20
iv. 𝑥 + 𝑦 ≥ 12 → sebelah atas garis 𝑥 + 𝑦 = 12
v. 𝑥 + 3𝑦 ≥ 18 → sebelah atas garis 𝑥 + 3𝑦 = 18
 Penentuan titik ekstrim
i. A(0,20), perpotongan garis 5𝑥 + 𝑦 = 20 dengan
sumbu Y
ii. B(2,10), perpotongan garis 5𝑥 + 𝑦 = 20 dengan 𝑥 +
𝑦 = 12
5x + y = 20
x + y = 12
4x = 8
x = 2
untuk nilai y substitusi nilai x = 2 pada persamaan x + y = 12
x + y = 12
2 + y = 12
y = 10
iii. C(9,3), perpotongan garis 𝑥 + 𝑦 = 12dengan 𝑥 + 3𝑦 = 18
x + 3y = 18
x + y = 12
2y = 6
Tentukanlah titik
ekstrim dari
model matematika
yang Anda buat
pada tugas
mandiri
sebelumnya
Kemudian,
kumpulkan tugas
tersebut pada
guru Anda.

Created By Witriana
y= 3
untuk nilai x substitusi niali y = 3 pada pesamaan x + y = 12
x + y = 12
x + 3 = 12
x = 12 – 3
x = 9
iv. D(18,0), perpotongan garis 𝑥 + 3𝑦 = 18 dengan sumbu X
Metode Uji Titik Pojok
Untuk menentukan nilai optimum fungsi
objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok,
lakukanlah langkah-langkah berikut.
a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-
kendala dalam masalah program linear tersebut.
b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah
penyelesaian itu.
c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke
dalam fungsi objektif.
d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut.
Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai
maksimum dari fungsi f (x, y), sedangkan nilai
terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari
fungsi f (x, y).
2. Nilai OptimumSuatuFungsi Objektif
TahukahAnda
Untuk mendapatkan solusi optimum
dari permasalahan program linear,
dapat menggunakan metode simpleks.
Metode ini dikembangkan oleh G. B.
Dantzig. Metode simpleks diaplikasikan
dan disempurnakan oleh Angkatan
Udara Amerika Serikat untuk
memecahkan persoalan transportasi
udara. Sekarang, program linear dapat
diselesaikan menggunakan program
komputer yang terdapat pada software
Lindo, Mathcad, atau Eureka the Solver.
Sumber: Kalkulus dan Geometri
Analitis, 1994
MathInfo

Created By Witriana
Adapun Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam mengubah persoalan sehari-
hari ke dalam bentuk masalah program linear adalah sebagai berikut:
1. Tetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisah variabel x dan y.
2. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada kedalam sebuah tabel dan tuliskan model
matematikanya.
3. Selesaikanlah model matematika itu dengan metode uji titik pojok atau garis selidik
untuk memperoleh nilai optimum fungsi objektif.
Dengan uji titik pojok, tentukanlah nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 100x + 80y pada
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.
2x + y ≤ 8 ;
2x + 3y ≤ 12 ;
x ≥ 0 ; dan y ≥ 0.
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut.
1. Tentukan grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≤ 8 ; 2x + 3y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; dan
y ≥ 0. Grafik himpunan penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut.
Daerah OABC adalah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
2. Tentukan koordinat titik-titikpojok dari daerah himpunan penyelesaian.
Contoh

Created By Witriana
Dari keempat titik-titik O, A, B, dan C, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat
titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y = 12. Anda dapat
menggunakan cara eliminasi.
2x + y = 8
2x + 3y = 13
-2y = -4
y = 2
substitusikan y = 2 ke salah satu persamaan, misalkan 2x + y = 8
2x + y = 8
2x + 2 = 8
2x = 8 – 2
2x = 6
x = 3
Dari perhitungan, diperoleh titik potongnya, yaitu titik B dengan koordinat (3,2). Jadi, semua
koordinat titik pojoknya adalah O(0, 0), A (4, 0), B (3, 2), dan C (0, 4).
3. Tentukan nilai maksimum f (x, y) = 100x + 80y pada titik pojok daerah penyelesaian.
Substitusikanlah semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif. Diperoleh hasil pada
tabel berikut.
Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi diperoleh pada titik B (3, 2), yaitu sebesar 460. Jadi,
nilai maksimumnya adalah 460 pada titik B (3,2).
Pengusaha kue bolu membuat dua jenis adonan kue bolu, yaitu kue bolu A dan kue bolu B. Kue bolu
A memerlukan 300 gram terigu dan 40 gram mentega. Kue bolu B memerlukan 200 gram terigu dan
Contoh

Created By Witriana
60 gram mentega. Jika tersedia 12 kilogram terigu dan 3 kilogram mentega, berapa banyak adonan
kue bolu A dan kue bolu B yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?
Penyelesaian :
Langkah-langkah pengerjaannya sebagai berikut.
1. Buatlah model matematika.
Anda dapat membuat tabel seperti berikut untuk
memudahkan penerjemahan soal cerita ke dalam
model matematika.
Sumber: blog.fatfreevegan.com
Misalkan, x adalah banyaknyaadonan kue bolu A dan y adalah banyaknya adonan kue bolu B.
Dari tabel tersebut, dapat Anda buat model matematikanya sebagai berikut.
300x + 200y ≤ 12.000  3x + 2y ≤ 120
40x + 60y ≤ 3.000  2x + 3y ≤ 150
Banyaknya adonan kue tidak mungkin bernilai negatif
maka nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0. Dari soal cerita, Anda diminta
menentukan banyak adonan kue bolu A dan kue bolu B
agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya. Artinya,
Anda diminta mencari nilai maksimum dari fungsi objektif.
Fungsi objektif permasalahan ini adalah f(x, y) = x + y
(jumlah kue bolu A dan kue bolu B yang dapat diperoleh).
2. Buatlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan dari model matematika yang telah dibuat
dengan fungsi kendala berikut.
3x + 2y ≤ 120
2x + 3y ≤ 150
x ≥ 0
y ≥ 0
Grafik penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut.
Nilai optimum
suatu fungsi dapat
dicari dengan
menggunakan dua
metode yairu
 Metode uji titik
pojok
 Metode garis
selidik
Ingatlah !

Created By Witriana
Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan.
3. Menentukan koordinat titik pojok dari daerah penyelesaian. Dari gambar daerah penyelesaian
tersebut, terdapat 4 titik pojok, yaitu titik O, A, B, dan C. Dari keempat titik tersebut, koordinat
titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong
garis 3x + 2y = 120 dan garis 2x + 3y = 150 sehingga eliminasilah kedua persamaan garis
tersebut untuk memperoleh koordinat titik B.
3x + 2y = 120 x3 9x + 6y = 360
2x + 3y = 150 x2 4x + 6y = 300
5x = 60
x = 12
Substitusikan x = 12 ke dalam salah satu persamaan, misalnya 3x + 2y =120
3x + 2y =120
3(12) + 2y =120
36 + 2y =120
2y =120 – 36
2y = 84
y = 42
Jadi, koordinat titik B adalah (12, 42). Dengan demikian, semua koordinat titik pojoknya adalahO
(0, 0), A (40, 0), B (12, 42), dan C (0, 50).
4. Menentukan nilai fungsi objektif f(x, y) = x + y pada titik pojok daerah penyelesaian.
Substitusikan semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif f(x, y) = x + y sehingga
diperoleh hasil seperti pada tabel berikut.
Dari tabel tersebut nilai maksimum fungsi objektif adalah 54 untuk nilai x = 12 dan nilai y = 42.

Created By Witriana
Jadi, agar diperoleh jumlah kue bolu sebanyak-banyaknya, harus dibuat adonan kue bolu A
sebanyak 12 dan adonan kue bolu B sebanyak 42.
Metode Uji Garis Selidik
Selain dengan menggunakan uji titik pojok, nilai optimum juga dapat ditentukan dengan
menggunakan garis selidik. Persamaan garis selidik dibentuk dari fungsi objektif. Jika fungsi objektif
suatu program linear f(x, y) = ax + by maka persamaan garis selidik yang digunakan adalah ax + by =
ab, dengan ab O ⋲ R.
Untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi objektif f(x, y) = ax + by menggunakan
garis selidik, ikutilah langkah-langkah berikut.
a. Setelah diperoleh daerah himpunan penyelesaian pada grafik Cartesius, bentuklah persamaan
garis ax + by = ab yang memotong sumbu-x di titik (b, 0) dan memotong sumbu-y di titik (0, a).
b. Buatlah garis-garis yang sejajar dengan ax + by = ab. Temukan garis sejajar yang melalui suatu
titik pojok daerah himpunan penyelesaian dan terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Misalnya,
garis sejajar tersebut adalah ax + by = k, melalui titik pojok (p, q) yang terletak paling jauh dari
titik O(0, 0). Titik (p, q) tersebutlah yang merupakan titik maksimum. Nilai maksimum fungsi
objektif tersebut adalah f(p, q) = ap + bq.
Suatu program linear dapat diterjemahkan ke dalam model matematika berikut.
x + 3y ≤ 9
2x + y ≤ 8
x ≥ 0
y ≥ 0
Tentukan titik maksimum fungsi objektif f = x + 2y. Kemudian, tentukan nilai maksimumnya.
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaian
1. Gambar grafik himpunan penyelesaian dari model matematika.
Contoh

Created By Witriana
Daerah OABC adalah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
2. Tentukan koordinat titik-titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian.
Dari keempat titik-titik O, A, B, dan C, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat
titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong garis 2x + y = 8 dan x + 3y = 9. Anda dapat
menggunakan cara eliminasi.
x + 3y = 9 x1 x + 3y = 9
2x + y = 8 x3 6x + 3y = 24
-5x = -15
x = 3
Substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan,
misalnya x + 3y = 9.
x + 3y = 9
3 + 3y = 9
3y = 9 – 3
3y = 6
y = 2
Dari perhitungan, diperoleh titik potongnya, yaitu titik B
dengan koordinat (3,2).
 Nilai yang
terbesar
merupakan nilai
maksimum dari
fungsi objektif
 Nilai yang
terkecil
merupakan nilai
minimum dari
fungsi objektif
Ingatlah !

Created By Witriana
3. Gambar garis x + 2y = 2 sebagai garis selidik. Kemudian, gambarlah garis-garis yang sejajar
dengan garis x + 2y = 2 sampai diperoleh garis yang melalui titik pojok terjauh dari titik O(0, 0).
Dari gambar tersebut, titik B(3, 2) adalah titik terjauh yang dilalui oleh garis yang sejajar dengan
garis selidik x + 2y = 2. Oleh karena itu, titik B(3, 2) adalah titik maksimum. Nilai maksimumnya
diperoleh dengan menyubstitusikan titik B(3, 2) ke fungsi objektif.
f(x, y)= x + 2y
f(3, 2) = 3 + 2(2) = 7.
Dengan demikian, diperoleh nilai maksimum fungsi objektif
f(x, y) = x + 2y adalah 7.
Seorang pedagang roti memiliki modal Rp60.000,00.
Ia merencanakan menjual roti A dan roti B. Roti A
dibeli dari agen Rp600,00 per bungkus, sedangkan
roti B dibeli dari agen Rp300,00 per bungkus.
Keuntungan yang diperoleh pedagang itu adalah
Rp150,00 untuk setiap penjualan sebungkus roti A
dan Rp100,00 untuk setiap penjualan sebungkus roti
B. Oleh karena keterbatasan tempat, pedagang roti
itu hanya akan menyediakan 150 bungkus roti.
Tentukan keuntungan maksimum yang dapat
diperoleh oleh pedagang. Berapa bungkus roti A
dan roti B yang harus disediakan? Selesaikanlah Sumber : farm.static.flickr.com
Contoh

Created By Witriana
masalah tersebut dengan menggunakan metode garis selidik.
Penyelesaian :
Misalkan, pedagang menyediakan x bungkus roti A dan y bungkus roti B maka model matematika
yang diperoleh adalah
600x + 300y ≤ 60.000  masing-masing dibagi 300  2x + y ≤ 200
x + y ≤ 150
x ≥0
y ≥ 0
f(x, y)= 150x + 100y
Daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut.
Buatlah garis selidik 150x + 100y = 15.000 dan buatlah garis-garis yang sejajar dengan garis 150x
+ 100y = 15.000 tersebut.
Garis sejajar yang terletak paling jauh dari O(0, 0) melalui titik B(50,100). Titik maksimum fungsi
diperoleh untuk titik B(50, 100). Nilai maksimum fungsi = f(50, 100) = 150(50) + 100(100) =
17.500.
Jadi, pedagang tersebut akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp17.500 dengan
menjual roti A sebanyak 50 bungkus dan roti B sebanyak 100 bungkus.
Kolom Pertanyaan

Created By Witriana
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
Mari Berdiskusi!
Diskusikan bersama teman sekelompok Anda untuk
memperoleh solusi dari persoalan berikut. Bagilah
anggota kelompok menjadi dua bagian. Satu bagian
mengerjakan soal dengan metode uji titik pojok
dan yang lainnya menggunakan metode garis
selidik. Bandingkan dan apa yang dapat Anda
simpulkan? Pabrik x memproduksi dua model arloji,
yaitu arloji bermerek terkenal dan arloji bermerek

Created By Witriana
1. Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + 3y pada sistem pertidaksamaan
berikut.
x + y ≥ 3
x + 4y ≤ 6
4x + y ≥ 6

Created By Witriana
x ≥ 0
y ≥ 0
2. Seorang pengusaha menerima pesanan 100 stel
pakaian seragam SD dan 120 stel pakaian
seragam SMP. Pengusaha tersebut memiliki dua
kelompok pekerja, yaitu kelompok A dan
kelompok B. Kelompok A setiap hari dapat
menyelesaikan 10 stel pakaian seragam SD dan
4 stel pakaian seragam SMP dengan ongkos
Rp100.000,00 per hari. Adapun kelompok B
setiap hari dapat menyelesaikan 5 stel pakaian
seragam SD dan 12 stel pakaian seragam SMP,
dengan ongkos Rp80.000,00 per hari. Jika
kelompok A bekerja x hari dan kelompok B
bekerja y hari, tentukan:
a. model matematika;
b. grafik himpunan penyelesaian;
c. fungsi objektif;
d. biaya yang seminimal mungkin.
Gunakan garis selidik untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan berikut
1. Tentukan nilai minimum dari f(x, y) = 4x +3y untuk kendala sebagai berikut.
a. 4x + 2y ≥ 8 b. 2x + 3y ≥ 12
2x + 6y ≥ 8 2x + 2y ≥ 10
x ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0 y ≥ 0
2. Pembuatan suatu jenis roti memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Roti
jenis lain memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia 4 kg tepung dan

Created By Witriana
1,2 kg mentega. Jika satu buah roti jenis pertama memberikan keuntungan Rp2.000,00
dan satu buah roti jenis kedua memberikan keuntungan Rp2.500,00, tentukan
keuntungan maksimum yang diperoleh jika roti itu habis terjual?
 Suatu masalah dikatakan masalah program linier jika :
1. Terdapat tujuan yang dicapai, dan dalam model matematika fungsi tujuan ini dalam
bentuk linier.
2. Terdapat sumber daya atau masukan (input) yang berada dalam keadaan terbatas,
dapat dirumuskan dalam hubungan yang linear yaitu pertidaksamaan linear.
3. Pola umum masalah yang dapat dimodelkan dengan program linier harus
memenuhi:
a. adanya pilihan kombinasi beberapa faktor kegiatan,
b. adanya sumber penunjang beserta batasnya,
c. adanya fungsi obyektif/sasaran/tujuan yang harus dioptimumkan
d. bahwa relasi yang timbul antara faktor-faktor semuanya linier.
 Pertidaksamaan Linear Dua Variabel adalah Kalimat terbuka matematik yang memuat
dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan
tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah >, <, ≥, atau ≤.
Sedangkan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel adalah Suatu sistem yang terdiri
atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mempunyai dua
variable.
 Model matematika merupakan bahasa matematika yang menerjemahkan bahasa sehari-
hari dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, maupun fungsi.
 Ada beberaca Cara dalam menentukan Daerah Penyelesaian yaitu sebagai berikut :
a. Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear,
Rangkuman

Created By Witriana
b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap
pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap
daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda.
c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang
merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel
pada langkah b.
 Langkah – langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan
metode uji titik pojok yaitu sebagai berikut :
a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear
tersebut.
b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai
maksimum dari fungsi f (x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai
minimum dari fungsi f (x, y).
 Selain dengan menggunakan uji titik pojok, nilai optimum juga dapat ditentukan dengan
menggunakan garis selidik. Persamaan garis selidik dibentuk dari fungsi objektif. Jika
fungsi objektif suatu program linear f(x, y) = ax + by maka persamaan garis selidik yang
digunakan adalah ax + by = ab, dengan ab O E R.
 Langkah – langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan
metode garis selidik yaitu sebagai berikut :
a. Setelah diperoleh daerah himpunan penyelesaian pada grafik Cartesius, bentuklah
persamaan garis ax + by = ab yang memotong sumbu-x di titik (b, 0) dan memotong
sumbu-y di titik (0, a).
b. Buatlah garis-garis yang sejajar dengan ax + by = ab. Temukan garis sejajar yang
melalui suatu titik pojok daerah himpunan penyelesaian dan terletak paling jauh dari
titik O(0, 0). Misalnya, garis sejajar tersebut adalah ax + by = k, melalui titik pojok (p,
q) yang terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Titik (p, q) tersebutlah yang merupakan
titik maksimum. Nilai maksimum fungsi objektif tersebut adalah f(p, q) = ap + bq.

Created By Witriana

Program Linear WIthree

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Program Linear WIthree

Similar to Program Linear WIthree (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Program Linear WIthree