-Suma, Resta y Valor Numérico de Expresiones Algebraicas -Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas -Productos Notables de Expresiones Algebraicas -Factorización por Productos Notables

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto-Edo. Lara
Expresiones Algebraicas
Alumna: Agny Gabriela Espinoza Castañeda
Sección: AD0104
PNF en Administración

2. Expresiones Algebraicas
 Llamamos expresiones algebraicas aquellas expresiones donde encontramos variables
denotados generalmente por letras, esto es, la parte literal, como también coeficientes
(números, aunque también pueden representarse por letras) y una serie de operaciones
matemáticas combinadas como la suma, resta, multiplicación división, potenciación y
radicación donde se incluyen también signos de agrupación.
Dentro de las expresiones algebraicas podemos encontrar a los monomios los cuales son aquellas
expresiones matemáticas donde solo existe como únicos operadores a la potenciación,
multiplicación entre variables (parte literal) y coeficientes, tal que los exponentes de las
variables sean números naturales, es decir, aquellos números que sirven para contar.
Ejemplo:
 2xy
 3𝑥3 y
 6𝑥4
𝑧
 𝑘𝑥4𝑦5𝑧6 donde k es una constante (no varia)

3. Suma de Expresiones Algebraicas
 Adición es la reunión de varias cantidades algebraicas, tomando su valor numérico en el
sentido que indica el signo que a cada expresión lleva, por lo tanto, la suma algebraica no
supone aumento, y su valor puede ser menor que el de cualquier sumando.
Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos términos
semejantes se pueden reducir a un solo termino, si tales términos son diferentes ante una suma,
simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos de los términos.
Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se suele
usar signos agrupación y es cierto que el operador suma + acompañada de los signos de
agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará que es una pérdida de
tiempo mencionar este tipo de obviedades, pero la cosa cambia cuando tratemos con el operador
diferencia –, pero esto lo veremos en la siguiente sección, lo anteriormente explicado solo sirve
para aclarar esta diferencia.
cuando realizamos sumas entre polinomios, donde encontramos signos de agrupación y el
operador suma +, los signos de agrupación se pueden ignorar sin afectar los signos operacionales
de cada término del polinomio encerrado entre los signos de agrupación, veamos el siguiente
apartado un ejemplo generalizado:

4.  Sea la expresión: a+(b-c+d) = a+b-c+d si en este caso eliminamos el valor de a, los signos de
cada término quedan inalterables al retirar los paréntesis, esto es:
+(b-c+d) = +b-c+d
 Realicemos esta operación para un caso más particular, si queremos sumar los términos 2a y -
5b, se expresaría así:
(2a)+(-5b) = 2a-5b
 Esto es, la suma de 2a y −5b es 2a−5b, significa que el signo suma + no afecta el signo menos
de −5b, naturalmente la suma entre 2a y 5b es:
2a+5b
 Si en una suma algebraica encontramos términos semejantes, lo único que se suma son los
coeficientes, dando como resultado una expresión algebraica con el mismo término
semejante y el nuevo coeficiente que resulta de la suma de los términos semejantes
iniciales.

5. Ejercicios:
a. X+2x+3x+4x+5x
=(1+2+3+4+5)x
=15x
b. 2𝑥2𝑦 + 3𝑥2𝑦 + −𝑥2𝑦
= −2𝑥2𝑦 + 3𝑥2𝑦 − 𝑥2𝑦
= −2 + 3 − 1 −𝑥2 𝑦
= 0𝑥2𝑦
= 0
c.
3
4
𝑥𝑦2
𝑧3
+ −
1
4
𝑥𝑦2
𝑧3
+ −
5
4
𝑥𝑦2
𝑧3
=
3
4
𝑥𝑦2𝑧3 −
1
4
𝑥𝑦2𝑧3 −
5
4
𝑥𝑦2𝑧3
=
3
4
−
1
4
−
5
4
𝑥𝑦2𝑧3
=
3 − 1 − 5
4
𝑥𝑦2𝑧3 = −
3
4
𝑥𝑦2𝑧3

6. Resta de Expresiones Algebraicas
 La sustracción tiene por objeto dada la suma de dos cantidades algebraicas y una de ellas
hallar la otra, sustracción de cantidades algebraicas. Para restar una expresión algebraica de
otra se escribe el minuendo y a continuación el sustraendo con todos sus signos cambiados,
luego se reducen los términos semejantes.
De la misma manera con la suma algebraica, con la resta o diferencia algebraica, debemos
tener en cuenta que restar dos términos semejantes resulta un único termino semejante, para
dos términos no semejantes, el resultado se deja tal cual es.
Si bien, la suma algebraica no afecta a los sinos operacionales de los términos entre paréntesis,
la resta si afecta a cada termino, esto es, cambia los signos operacionales de cada termino
luego de eliminar los paréntesis, veamos un ejemplo generalizado.
Para la expresión: a-(b-c+d) = a-b+c-d
Este resultado es independiente de la variable a, podríamos escribirlo de la misma manera y el
resultado sería el mismo así: -(b-c+d) = -b+c-d

7. Ejercicios:
a. 3x+4y+11w restar 2x+3y+8w
=3x+4y+11w-(2x+3y+8w)
=3x+4y+11w-2x-3y-8w
=x+y+3w
b. 5𝑥𝑦2 + 6𝑦 + 8𝑤 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 − 5𝑥𝑦2 − 3𝑦
− 5𝑥𝑦2 + 3𝑦 = −5𝑥𝑦2 − 3𝑦
5𝑥𝑦2 + 6𝑦 + 8𝑤
−(5𝑥𝑦2+3𝑦)
0 + 3𝑦 + 8𝑤
c. 3𝑥𝑦2 − 5𝑥2𝑦 − 8𝑥3 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 5𝑥2𝑦 + 8𝑥3 − 3𝑥𝑦2
− 5𝑥2𝑦 + 8𝑥3 − 3𝑦2 = 5𝑥2𝑦 − 8𝑥3 + 3𝑥𝑦2
−5𝑥2𝑦 − 8𝑥3 + 3𝑥𝑦2
−(5𝑥2𝑦 + 8𝑥3 − 3𝑥𝑦2)
−10𝑥2𝑦 − 16𝑥3 + 6𝑥𝑦2

8. Valor Numérico de Expresiones Algebraicas
 Calcular el valor numérico de una expresión algebraica es obtener la cifra que resultaría
después de realizar todas las operaciones indicadas en la expresión cuando damos un valor a la
variable o variables. Cuando queremos realizar el cálculo del valor numérico de una expresión
algebraica debemos realizar las operaciones en un orden específico pues de no ser así, incluso
con el uso de una calculadora, podríamos obtener resultados erróneos.
En el caso de un monomio, se resuelve primero el exponente, después el producto entre la
potencia obtenida y el coeficiente. Se trata de una simple sustitución de números por letras para
después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado.
Ejemplo: Dada la expresión 2𝑎2𝑏3𝑐 − 7𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖
𝑎 = 2
𝑏 = 3
𝑐 = 5
= 2 × 23
× 33
× 5 − 7 × 2
= 8 × 27 × 5 − 14
= 40 × 27 − 14
= 1080 − 14
=1066

9. Ejercicios:
a. −2𝑥2 + 4𝑥 − 2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = −2
= −2 −2 2
+ 4 −2 − 2
= −2 +4 + 4 −2 − 2
= −8 − 8 − 2
= −18
b. 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦 − 8
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖
𝑥 = −1
𝑦 = 2
= −1 2 +2 − −1 +2 − 8
= +1 +2 − −1 +2 − 8
= +2 − −2 − 8
= +2 + +2 − 8
= −4
𝑐. 3𝑎𝑏2 − 2𝑎2𝑏 − 𝑎2𝑏2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖
𝑎 = −3
𝑏 = −2
= 3(−3)(−2)2
− 2 −3 2
−2 − −3 2
− (−2)2
= 3 −3 +4 − 2 +9 −2 − +9 +4
= −36 + 36 − 36
= −36

10. Multiplicación de Expresiones Algebraicas
 La multiplicación algebraica de monomios y polinomios consiste en realizar una operación
entre los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término
llamado producto.
Para analizar una multiplicación algebraica es recomendable tener un buen conocimiento en la
multiplicación de potencias que tengan la misma base. Por ejemplo:
(a3)(a2)(a5) = a3+2+5 = a10
A continuación se muestra diferentes ejemplos para comprender de mejor manera la
multiplicación de monomios.
 Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican los coeficientes (+3)(+6) = +18 y a continuación se hace
la multiplicación de las letras (a2)(a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el resultado será:
(3a2)(6a4) = 18a6
 • Multiplicar 3ab por 3b2c. Se multiplican los coeficientes (+3)(+3) = +9 y a continuación,
se hace la multiplicación de las letras (ab)(b2c) = ab(1 + 2)c= ab3c, por lo tanto, el resultado
será:
(3ab)(3b2c) = 9ab3c

11. Ejercicios:
a. Multiplicar 3𝑥2 y 4𝑥4
(3𝑥2)(4𝑥4)= 3.4 𝑥2. 𝑥4
= (12)(𝑥2+5)
= 12𝑥6
b. Multiplicar −2𝑦3 y 4𝑥4
(−2𝑦2) 3𝑦4 = −2.3 𝑦3. 𝑦4
= −6 𝑦3+4
= −6𝑦7
c. 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 −3𝑎𝟐
𝒚 𝑎2
(−3𝑎2)(𝑎2) = −3.1 𝑎2. 𝑎2
= −3 𝑎2+2
= −3𝑎4

12. División de Expresiones Algebraicas
 La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la división aritmética,
así que si hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y q (y) siendo el divisor, de modo
que el grado de p(x) sea mayor o igual a 0 siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas
dividiéndose. División que podemos representar.
Para la división es necesario considerar también la ley de los signos y una ley de los exponentes.
La ley de los signos nos dice que:
 1.- +/+ = +
 2.- +/- = -
 3.- -/+ = -
 4.- -/- = +
Y la ley de los exponentes nos dice que si tenemos las mismas bases tanto en el dividendo como
en el divisor sus exponentes se restan.
División de monomios.- Se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus
exponentes.

13. Ejemplo:
Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario seguir los siguientes pasos.
 1.- Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabético.
 2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
 3.- Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido
se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.
 4.- Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor exponente que
el dividendo.
Ejemplo:
15x2+22xy-8y2 / -3x+2y
= 5x-4y

14. Ejercicios:
a. 14𝑥20 + 21𝑥16 + 28𝑥10 ÷ 7𝑥8
14𝑥20 + 21𝑥16 + 28𝑥10
7𝑥8
=
14𝑥20
7𝑥8
+
21𝑥16
7𝑥8
+
28𝑥10
7𝑥8
= 2𝑥12 + 3𝑥8 + 4𝑥2
b. 36𝑥8 + 24𝑥6 − 12𝑥4 ÷ 6𝑥2
36𝑥8 + 24𝑥6 − 12𝑥4
6𝑥2
=
36𝑥8
6𝑥2
+
24𝑥6
6𝑥2
−
12𝑥4
6𝑥2
= 6𝑥6 + 4𝑥4 − 2𝑥2
c. −35𝑥5𝑦10 − 56𝑥8𝑦12 ÷ 7𝑥2𝑦4
−35𝑥5𝑦10 − 56𝑥8𝑦12
−7𝑥2𝑦4
= −
35𝑥5𝑦10
−7𝑥2𝑦4
−
56𝑥8𝑦12
−7𝑥2𝑦4
= 5𝑥3𝑦6 + 8𝑥6𝑦8

15. Productos Notables de Expresiones Algebraicas
 En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se obtiene al realizar una
multiplicación.
Sabemos que algo es notable cuando nos llama la atención o destaca entre un grupo de cosas.
Entonces, los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones
algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las
características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que
el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o
realizar la multiplicación paso a paso.
Los productos notables están íntimamente relacionados con fórmulas de factorización, por lo que
su aprendizaje facilita y sistematiza la solución de diversas multiplicaciones, permitiendo
simplificar expresiones algebraicas complejas.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente
y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por
paso, se les conoce también como productos especiales precisamente porque son muy utilizados
en los ejercicios.

16. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se
muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
 Binomio al cuadrado:
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el
doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a^2+2ab+b^2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla
como (a + b)^2.
Demostración
 Expresando (a+b)^2 como un producto:
(a+b)^2=(a+b)(a+b)
 Por ley distributiva

17.  Por ley conmutativa:
(〖a+b)〗^2=a^2+ab+ab+b^2
 Cuadrado de la Diferencias de dos Cantidades:
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos
el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a^2-2ab+b^2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a –
b)^2.
 Producto de dos Binomios Conjugados:
(a + b) (a – b) = a^2 〖-b〗^2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el cuadrado de la segunda.
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como
a^2-b^2.

18. Ejercicios:
a. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 (𝑚 − 3)2
(𝑚 − 3)2
= 𝑚2
− 2 𝑚 3 + 32
= 𝑚2
− 6𝑚 + 9
b. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 (𝑚 + 2)2
(𝑚 + 2)2= 𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 22
= 𝑚2
+ 2𝑚𝑛 + 4
c. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 (2𝑥 + 3𝑦)2
(2𝑥 + 3𝑦)2= (2𝑥)2+2 2𝑥 3𝑦 + (3𝑦)2
= 4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2

19. Factorización por Productos Notables
 La factorización es descomponer una expresión algebraica en factores cuyo producto es igual
a la expresión propuesta, se considera la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito de esta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la
factorización se buscan los factores de un producto dado.
 Trinomio Cuadrado Perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma a^2+2ab+b^2, para
determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:
1. Identificar si el primer y tercer término son cuadrados perfectos, obteniendo la raíz
cuadrada de cada uno de los términos.
2. 2. El segundo término debe ser bel doble producto de la raíz cuadrada de los términos
anteriores.
Ejemplo:
Si se tiene el trinomio x^2+20x+100 se identifican los dos términos probables a ser cuadrados
perfectos y se les saca la raíz cuadrada.

20. x^2=x
100 = 10
Verificar si el segundo término corresponde al doble producto de las raíces de los términos
anteriores.
20x
Por lo tanto x^2+20x+100 es un trinomio cuadrado perfecto.
 Diferencia de Cuadrados
Se denomina diferencia de cuadrados, a la diferencia de dos expresiones que tienes raíz
cuadrada exacta.
De los productos notables se sabe que:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
Por lo tanto:
a^2+b^2=(a+b)(a-b)
Toda diferencia de cuadrados se descompone en dos factores uno es la suma de las raíces
cuadradas y el otro es la diferencia de dichas raíces cuadradas.

21. Ejemplo:
Factorizar m^8-25
Extraemos la raíz de cada término:
m^8-25=〖(m〗^4+5)(m^4-5)
La expresión factorizada será la suma por la diferencia de dichas raíces.
 Suma o Diferencia de Cubos
Se denomina suma de cubos a la suma de dos cantidades donde ambas tienen raíz cubica
exacta. De los productos notables se sabe que:
(a+b)(a^2-ab+b^2 )=a^3+b^3
Por lo tanto:
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
Toda suma de cubos se descompone en dos factores, uno es la suma de las raíces cúbicas y el
otro es igual a la raíz cúbica elevada al cuadrado menos el producto de las raíces.

22. Ejercicios:
a. 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑚3 − 2𝑚2 + 𝑚
𝑚(𝑚2 − 2𝑚 + 1) = 𝑚 𝑚 − 1 2
𝑚3 − 2𝑚2 + 𝑚 = 𝑚(𝑚 − 1)2
b. 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑎6
𝑏8
− 36
𝑎6𝑏8 − 36 = (𝑎3𝑏4 + 6)(𝑎3𝑏4 − 6)
c. 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑧6
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
− 𝑧6
𝑥 + 𝑦 2 − (𝑧3)2
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧3)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧3)

23. Bibliografía
 www.cienciasbasicas.com
 www.algemetria.com
 www.cidecame.vaeh.edu.mx
 www.ejemplode.com
 www.matematicaylisto.com
 www.webcindario.com
 www.khanacademy.org
 www.aulafacil.com
 www.soydeciencias.com
 www.matematica18.com