Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas. Multiplicación y División de Expresiones algebraicas. Productos Notables de Expresiones algebraicas. Factorización por Productos Notables.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO
LARA ANDRÉS ELOY BLANCO
QUIBOR; ESTADO LARA
Estudiantes:
Yerelis Liscano
Gelen Aguilar
Profesora: Franleidys
Carrera: Administración
Sección:0403

2. Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una
combinación de letras, números y signos de
operaciones. Las letras suelen representar
cantidades desconocidas y se denominan
variables o incógnitas.
Tipo de expresiones algebraicas
Monomio Binomio Trinomio:
Es toda constante o bien,
toda expresión algebraica, en la
cual los exponentes de las
variables son enteros positivos
y están relacionados
únicamente por multiplicación y
además no contiene variable en
el denominador.
Se llama
binomio a la
expresión
algebraica que
tiene dos
términos.
Es la expresión
algebraica que tiene
tres términos.
6𝑥7
−𝑥4
2𝑥2
+6𝑥3
𝑥 − 2
6𝑥4 + 5𝑥3 − 𝑥2
𝑥5
− 𝑥4
− 15𝑥2

3. Polinomio
Son las expresiones
algebraicas que contienen más de
tres términos. Es toda expresión
algebraica que es monomios o una
suma de monomios.
Un polinomio de variable x es
una expresión algebraica que tiene
la siguiente forma.
Donde n es un entero no negativo y los
coeficientes 𝑐0, 𝑐1, … , 𝐶𝑛 son números reales, con
𝐶𝑁 ≠ 0.

4. “Los tres puntos significan que los términos intermedios están incluidos en la suma”.
Donde 𝐶𝑛 es el coeficiente principal y 𝐶0 es el coeficiente constante

5. Suma de expresiones algebraicas
Para sumar dos o más expresiones
algebraicas con uno o más términos, se deben
reunir todos los términos semejantes que existan,
en uno sólo.
Ejercicio N° 1:
Calcular K(x) + L(x) =(𝟓𝒙𝟒
+ 𝟐𝒙𝟑
+ 𝟏𝟎𝒙𝟐
− 𝟔) + ( 𝟕𝒙𝟒
+ 𝟓𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟒)
K(x) + L(x) = 𝟓 + 𝟕 𝒙𝟒
+ 𝟐𝒙𝟑
+ 𝟏𝟎 + 𝟓 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − (𝟔 − 𝟒)
K(x) + L(x) =𝟏𝟐𝒙𝟒
+ 𝟐𝒙𝟑
+ 𝟏𝟓𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎
Ejercicio N° 2:
Calcular F(x) + G(x) = 𝟖𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔 + ( 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐)
F(x) + G(x) = 𝟖 + 𝟑)𝒙 − (𝟒 + 𝟐)𝒚 + (𝟔 − 𝟐
F(x) + G(x) =𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒

6. Resta de expresiones algebraicas
Para la restar de dos polinomios P y Q es una operación que
se efectúa ordenando la diferencia de los términos semejantes
donde P, que se llama minuendo, el opuesto del polinomio Q,
llamado sustraendo y se toma en cuenta que dado P(x) y Q(x)
siempre se debe cumplir:
P(x) – Q(x) = P(x)+ [ - Q(x)]
Ejercicio N°1:
Calcular E(x) - F(x)= 8𝑥3
+ 4𝑥 − 6 − (5𝑥3
− 3𝑥2
+ 7𝑥)
E(x) - F(x)= 8𝑥3
+ 4𝑥 − 6 + (−5𝑥3
+ 3𝑥2
− 7𝑥)
E(x) - F(x)= 8𝑥3
− 5𝑥3
+ 3𝑥2
4𝑥 − 7𝑥 − 6
E(x) - F(x)= 8 − 5 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4 − 7 𝑥 − 6
E(x) - F(x)= 3𝑥3
+ 3𝑥2
− 3𝑥 − 6
Ejercicio N° 2:
Calcular A(x) – B(x)= 3𝑥3
+ 2𝑥2
− 2𝑥 + 5 − (2𝑥3
+ 5𝑥 − 8𝑥2
)
A(x) – B(x)= 3𝑥3
+ 2𝑥2
− 2𝑥 + 5 + (−2𝑥3
− 5𝑥 + 8𝑥2
)
A(x) – B(x)= 3𝑥3
− 2𝑥3
+ 2𝑥2
+ 8𝑥2
+ −2𝑥 − 5𝑥 + 5
A(x) – B(x)= 3 − 2 𝑥3
+ 2 + 8 𝑥2
+ −2 − 5 𝑥 + 5
A(x) – B(x)= 𝑥3
+ 10𝑥2
− 7𝑥 + 5

7. Valor Numérico
Se llama valor numérico de una expresión algebraica al
número que se obtiene al sustituir cada una de sus variables
por el valor que se les asigne, y de efectuar las operaciones
indicadas.
Ejercicio N° 1:
El valor numérico de −𝑥2
+ 4𝑥 − 6 para x= -2
=− −2 2
+ 4 −2 − 6
=−4 − 8 − 6
=-18
Ejercicio N°2:
El valor numérico de 7x^3+5x^2-15x+4 para x= 4
= 7〖(4)〗^3+5〖(4)〗^2-15(4)+4
=7(64)+5(16)- 15(4)+4
=448+80-60+4
=472

8. Multiplicación de expresiones algebraicas
Para multiplicar dos polinomios se multiplica
termino a término cada monomio de uno por cada
monomio de otro y, posteriormente, se simplifican los
monomios semejantes.
Ejercicio N°2:
Calcular S(x). T(x)= (2𝑥5
− 3𝑥3
+ 2𝑥)(3𝑥4
− 4𝑥7
+ 8)
S(x). T(x)= (2𝑥5
− 3𝑥3
+ 2𝑥)(−4𝑥7
+ 3𝑥4
+ 8)
S(x).T(x)=2𝑋5
−4𝑥7
+ 3𝑥4
+ 8 + −3𝑥3
−4𝑥7
+ 3𝑥4
+ 8 + 2𝑥 −4𝑥7
+ 3𝑥4
+ 8
S(x).T(x)=−8𝑥12
+ 6𝑥9
+ 16𝑥5
+ 12𝑥10
− 9𝑥7
− 24𝑥3
− 8𝑥8
+ 6𝑥5
+ 16𝑥
S(x).T(x)=−8𝑥12
+ 12𝑥10
+ 6𝑥9
− 8𝑥8
− 9𝑥7
+ 16𝑥5
+ 6𝑥5
− 24𝑥3
+ 16𝑥
S(x).T(x)=−8𝑥12
+ 12𝑥10
+ 6𝑥9
− 8𝑥8
− 9𝑥7
+ 22𝑥5
− 24𝑥3
+ 16𝑥
Ejercicio N°1:
Calcular M(x) .N(x)=
2
3
𝑥10
+
4
2
𝑥5
−
5
4
𝑥2
−
5
3
𝑥2
+
3
2
𝑥5
M(x). N(x)= −
5
3
𝑥2 2
3
𝑥10
+
4
2
𝑥5
−
5
4
𝑥2
+
3
2
𝑥5 2
3
𝑥10
+
4
2
𝑥5
−
5
4
𝑥2
M(x). N(x)=−
10
9
𝑥12
−
10
3
𝑥7
+
25
12
𝑥4
+
6
6
𝑥15
+
12
4
𝑥10
−
15
8
𝑥7
M(x). N(x)=
6
6
𝑥15
−
10
9
𝑥12
+
12
4
𝑥10
−
10
3
𝑥7
−
15
8
𝑥7
+
25
12
𝑥4
M(x). N(x)= 𝑥15
−
10
9
𝑥12
+ 3𝑥10
−
125
24
𝑥7
+
25
12
𝑥4

9. División de expresiones algebraicas
Cuando deseamos dividir entre monomios de tipo: ax+ b, lo podemos resolver de la siguiente manera:
Ejemplo: calcular P(x) ÷ Q(x): −9𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥4 − 𝑥 − 1 ÷ (1 + 2𝑥)
 Se ordenan los polinomios en forma decreciente, y el dividendo se completa, en este caso ya estaba completo.
 Se divide el primer término del polinomio dividiendo ente el primer término del polinomio divisor, así 2𝑥4 ÷ 2𝑥 = 𝑥3. El resultado es el
primer término del cociente.
 Se multiplica el resultado obteniendo (𝑥3) por el divisor (2x + 1) y el opuesto del producto obtenido se adiciona al dividendo.
 Como el grado del polinomio suma es 3 (que es mayor que el grado del divisor) se repite el procedimiento hasta que el residuo sea cero o
su grado sea menor que el grado del divisor. Es decir, se divide el primer término, −10𝑥3 entre el primer término del divisor; el resultado
se coloca en el cociente. Luego este término se multiplica por el divisor y el opuesto del resultado se adiciona dividiendo.
Ejercicio N° 2:
Ejercicio N° 1:

10. Producto notable de una expresión algebraica
Usualmente se tienen algunos algoritmos algebraicos que
simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones
habituales, estas reciben el nombre de Producto Notable, y
son fórmulas matemáticas que permiten simplificar y
sistematizar la resolución de algunos polinomios sin tener que
realizar la operación completa.
Propiedad distributiva
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
Cuadrado de una suma
𝑥 + 𝑧 2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
Cuadrado de una diferencia
(𝑥 − 𝑎)2
= 𝑥2
− 2𝑎𝑥 + 𝑎2
Binomios conjugados
𝒙 + 𝒂 𝒙 − 𝒂 = 𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
Cubo de una suma
(𝒙 + 𝒂)𝟑
= 𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝒂𝟐
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒙 + 𝒂𝟑
Cubo de una diferencia
𝒙 − 𝒂 𝟑
= 𝒙𝟑
− 𝟑𝒂𝒙𝟐
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒙 − 𝒂𝟑
Ejercicio N° 1
Resolver el siguiente producto 2𝑡 − 3 5𝑡2
+ 3𝑡 − 1
= 2𝑡 − 3 5𝑡2
+ 2𝑡 − 3 3𝑡 − 2𝑡 − 3 1
= 10𝑡3
− 15𝑡2
+ 6𝑡 − 9𝑡 − 2𝑡 + 3
=10𝑡3
− 9𝑡2
− 11𝑡 + 3
Ejercicio N° 2
Resolver el siguiente producto 3𝑥 − 3𝑦 3
= 3𝑥 3
− 3. 3𝑥 2
. 3𝑦 + 3 . 3𝑥. 3𝑦 2
− 3𝑦 3
=27𝑥3
− 3 . 9𝑥2
. 3𝑦 + 3 . 3𝑥 . 9𝑦2
− 27𝑦3
=27𝑥3
− 81𝑥2
𝑦 + 81𝑥𝑦2
− 27𝑦3

11. Factorización por Producto Notable
Los productos notable tienen gran importancia en el trabajo algebraico y a la intima relación de estos
con la factorización de expresiones algebraicas.
Definición: La factorización de una expresión algebraica es su descomposición como el producto de
otras dos expresiones, que llamaremos factores , que, al multiplicarlos resulta la expresión original.
Por ejemplo:, 𝑎2
− 𝑏2
se factoriza en el binomio conjugado
𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏
Ahora bien, para la factorización por producto notable tenemos:
Casos para trinomios cuadrado perfecto:
Recordemos que:
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Estas expresiones son los desarrollos de los productos
notables cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia
respectivamente; por lo tanto la factorización de estos trinomios
viene dada por las siguientes entidades:
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2 o
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2= 𝑎 − 𝑏 2 donde a y b son las bases de
los términos cuadráticos 𝑎2 𝑦 𝑏2
A través de esta entidad se puede factorizar trinomios
que sean cuadrados perfectos.
Casos para trinomios que no es cuadrado perfecto:
Para ellos usamos otro procedimiento para factorizar.
Si un trinomio tiene la forma 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏 ,
entonces se puedes escribir como una multiplicación en la
que sus factores son 𝑥 + 𝑎 𝑦 𝑥 + 𝑏 .
Es decir, 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 + 𝑎 𝑦 𝑥 + 𝑏 .
Cuando el termino ab tiene signo positivo, significa que
a y b tienen igual signo. Si el termino ab es negativo significa
que uno de los dos números (a o b) es negativo.
Para encontrar los valores de a y b y factorizar el
trinomio, se verifica que el primer término del trinomio
(ordenado en forma decreciente) sea un cuadrado perfecto,
luego se buscan dos números que multiplicados des como
resultado el tercer término y cuya suma sea el coeficiente del
termino central.

12. Trinomio que no es cuadrado perfecto
Ejercicio N°2
Factorizar 𝒙𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑𝟎
x es la base
Si multiplicamos 6. 5 obtenemos como resultado el tercer termino 30
Y si lo sumamos el resultado es 11 por lo tanto :
a= 6 y b = 5
=𝒙𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑𝟎= (𝒙 + 𝟔)(𝒙 + 𝟓)
Trinomio cuadrado perefecto
Ejercicio N° 1
Factorizar: 𝟐𝟓𝒙𝟒
+ 𝟑𝟎𝒙𝟐
+ 𝟗
=𝟐𝟓𝒙𝟒
= 𝟓𝒙𝟐 𝟐
y
= 9 = 𝟑𝟐
a= 𝟓𝒙𝟐
y b= 3
2ab= 𝟐 . 𝟓𝒙 𝟐
. 𝟑 = 𝟑𝟎𝒙𝟐
Por lo tanto tenemos que 𝟐𝟓𝒙𝟒
+ 𝟑𝟎𝒙𝟐
+ 𝟗= 𝟓𝒙𝟐
+ 𝟑
𝟐
Factorización
por Producto
Notable

13. Referencia Bibliográfica
Vivas C. Miguel J.; Ereú Juraney; Bracamonte Mireya.
(2013).Matematica: Trayecto Inicial. 1era Edicion. Barquisimeto- Edo.
Lara
Santillana, S.A. (2012).Matematica de 2° año de Educación
Media. Editorial Santillana S.A. Caracas.