En la siguiente presentación se explica suma,resta,multiplicación y divicion de expresiones algebraicas

1. EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Nombre y Apellido:
Anthony Escobar
C.I. 30485784
Sección: 0102

2. Valor numérico de
Expresiones
Algebraicas
Las Expresiones
Algebraicas definen
como el valor numérico
o resultado final que se
obtiene al sustituir los
valores de todas las
incógnitas que aparecen
en la expresión que nos
interesa evaluar y de
realizar todas las
operaciones indicadas
respetando el orden
indicado por los signos
de agrupación.
Por ejemplo,
si el valor
numérico de x
es 5,entonces,
el valor de 2x
es de 10, esto
es:
2𝑥 = 2 × 5 = 10

3. Ejemplos:
Calcular el
valor
numérico
para x+15
cuando
x=2
Sustituimos los
valores:
x+ 15= 2+15=
17
Calcular el
valor
numérico
para x-8
cuando x=10
El valor
numérico de la
expresión es 17.
Sustituimos
en la
expresión:
x-8= 10-8= 2
El valor
numérico de la
expresión es 2
Calcular el
valor
numérico para
𝑥2
− 𝑥 − 10
cuando x=5
Sustituimos la expresión:
𝑥2 − 𝑥 − 10 = 52 − 10
= 25 − 5 − 10 = 10
El valor
numérico de la
expresión es 10

4. Sumas de
expresiones
algebraicas
En algebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la mas básica, sirve
paras sumar monomios y para sumar el valor de dos o mas expresiones
algebraicas.
Como se trata de expresiones que están compuestas
por términos numéricos y literales, y con
exponentes, debemos estar atentos a las siguientes
reglas:

5. Suma de monomios
La suma de dos monomios puede dar como
resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x+4x, el
resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el
mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos
solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que
multiplicar por x, seria así:
2𝑥 + 4𝑥 = 2 + 4 𝑥 = 6𝑥

6. Cuando las expresiones algebraicas tienen signos diferentes, se respeta el signo. Y si es
necesario se coloca la expresión entre paréntesis:
−2𝑥 + 4𝑥 o también: 4𝑥 + (−2𝑥)
Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o
negativo:
4𝑥 + −2𝑥 = 4𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥

7. En el caso de que los monomios literales diferentes, o en caso de tener la misma
literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la suma
algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la suma de
su resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
4𝑥 + 3𝑦 = 4𝑥 + 3𝑦
𝑎 + 2𝑎2 + 3𝑏 = 𝑎 + 2𝑎2 + 3𝑏
3𝑚 + −6𝑛 = 3𝑚 − 6𝑛
Cuando en la suma hay dos o mas términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se suman entre si, y se escribe la suma con los demás
términos de esta manera:
2𝑎 + −6𝑏2
+ −3𝑎2
+ −4𝑏2
+ 7𝑎 + 9𝑎2
= 2𝑎 + 7𝑎 + −3𝑎2 + 9𝑎2 + −6𝑏2 + −4𝑏2
= 9𝑎 + 6𝑎2
−10𝑏2
= 9𝑎 + 6𝑎2
− 10𝑏2

8. Suma de Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que esta formada por sumas y restas de
los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios,
podemos seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3𝑎2 + 4𝑎 + 6𝑏 − 5𝑐 − 8𝑏2
Con 𝑐 + 6𝑏2 − 3𝑎 + 5𝑏
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el
signo de cada termino:
4𝑎 + 3𝑎2 + 6𝑏 − 8𝑏2
−3𝑎 + 5𝑏 + 6𝑏2 + 𝑐

9. 2. Agrupamos las sumas de los términos comunes:
4𝑎 − 3𝑎 + 3𝑎2 + 6𝑏 + 5𝑏 + 6𝑏2 + 𝑐
3. Efectuamos las sumas de los terminos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser suma cada termino del polinomio conserva su
signo en el resultado:
4𝑎 − 3𝑎 + 3𝑎2 + 6𝑏 + 5𝑏 + −8𝑏2 + 6𝑏2 + 𝑐 = 𝑎 + 3𝑎2 + 11𝑏 − 2𝑏2 + 𝑐

10. Algunos ejemplos de sumas de
expresiones algebraicas son:
En esta parte explicare algunos ejercicios lo mas fácil que
pueda, para que se pueda entender.
Primer ejemplo: 5𝑥2 + 3𝑥 − 2 + (4𝑥2 − 3𝑥 + 1)
En este caso tenemos 2 expresiones algebraicas que se están sumando, lo que
tenemos que hacer, técnicamente es quitar los parénesis para después agrupar
términos semejantes.
¿Cómo lo haremos?, bueno, para quitar el paréntesis de la primera expresión
hacemos lo siguiente: vemos que en medio de las dos expresiones hay un signo
+, lo que nos indica que la segunda expresión es positiva, pero en la primera no
hay ninguno, al no tener signo damos a entender que es positivo y podríamos
escribirlo así:
+ 5𝑥2 + 3𝑥 − 2 + (4𝑥2 − 3𝑥 + 1)
Aunque no es necesario.

11. Este signo + va a multiplicar a cada uno de los términos que están dentro del
paréntesis y con eso se quitaríamos los paréntesis; para hacerlo mas fácil, digamos
que el signo + esta acompañado por un 1, y quedaría así:
+1 5𝑥2
+ 3𝑥 − 2 + (4𝑥2
− 3𝑥 + 1)
Entonces ese +1 multiplicara a todos los términos que hay dentro del paréntesis, es
decir, +1 multiplicara al 5𝑥2
, después al 3𝑥, y después al -2; y lo mismo hacemos
con la segunda expresión algebraica.
Después de multiplicar, quedara así:
5𝑥2
+ 3𝑥 − 2 + 4𝑥2
− 3𝑥 + 1
Podemos notar que cada termino conservo su signo, y eso pasa siempre que
operamos para quitar los paréntesis en la suma de expresiones algebraicas.
Ahora, vamos a ubicar los términos semejantes, ¿como hacemos eso? Bueno, es
muy sencillo, hacemos lo siguiente:

12. 5𝑥2 + 3𝑥 − 2 + 4𝑥2 − 3𝑥 + 1
Por ejemplo, tenemos el termino 5𝑥2, lo que tenemos que hacer es buscar otro
termino que, como el primero tenga 𝑥2, que en este caso es 4𝑥2, como los dos
tienen la misma base con el mismo exponente que son 𝑥2 podemos hacer la
suma con sus coeficientes y quedaría así:
5𝑥2 + 4𝑥2 = 9𝑥2
Ahora ubicamos los términos que tengan como literal 𝑥 con exponente 1 (𝑥1);
en este caso son 3𝑥 y −3𝑥, y realizamos la operación:
3𝑥 − 3𝑥 = 0𝑥
El resultado, no es necesario colocarlo porque 0 por x da 0, aunque es cuestión
de quien realice la operación, y bien podríamos dejarlo o no dejarlo, pero, en
este caso lo dejaremos por el momento, y se vera así:
9𝑥2 + 0𝑥

13. Ahora vamos con el ultimo termino que es el termino independiente, que es el -2 y
como no tiene ninguna literal (x) buscamos otro semejante que en este caso es el +1,
y hacemos la operación:
−2 + 1 = −1
Dando como resultado:
9𝑥2 + 0𝑥 − 1
O también podríamos dejarlo así:
9𝑥2-1
Ya que dijimos que no era necesario poner el 0𝑥, y lo correcto es dejarlo así, aunque
no importa dejarle el 0𝑥 ya que también es una respuesta valida.
Bastante fácil ¿no?, ahora vamos con otro ejemplo un poco mas complicado.

14. Segundo ejemplo: 2𝑥3 −
2
5
𝑥2 + 6 + (−
1
2
𝑥3 +
1
4
𝑥2 − 𝑥)
Recordemos que la idea es quitar los paréntesis para luego agrupar términos
semejantes, sabiendo esto proseguimos como lo hicimos anteriormente con el otro
ejercicio:
2𝑥3
−
2
5
𝑥2
+ 6 −
1
2
𝑥3
+
1
4
𝑥2
− 𝑥
Ya que quitamos los paréntesis, agrupamos los términos semejantes, y comenzamos
por los que tengan el exponente mas grande de x que serian el 2𝑥3 y el −
1
2
𝑥3.
2𝑥3
−
1
2
𝑥3
Vamos a sumar únicamente el 2 con el −
1
2
, ¿Cómo lo haremos? Bueno,
convertimos el dos que es un numero entero, en una fracción colocando un 1
sabiendo que no se altera porque 2 entre 1 es 2 y por eso no se altera, entonces
hacemos la operación:

15. Esta operación se realiza multiplicando el 1 por el 2 y luego se multiplica cruzado,
es decir, el 2 por el 2 y luego el 1 por el 1 quedando así:
2
1
−
1
2
= 4 −
1
2
Luego se coloca el 2 como denominador y se resta 4-1, que da como resultado:
3
2
Entonces el resultado de 2𝑥3 −
1
2
𝑥3 es
3
2
𝑥3
Luego agrupamos los términos que tengan exponente 2 (𝑥2
), que son:
−
2
5
𝑥2 + 1/4𝑥2
Luego hacemos la operación solamente con los coeficientes:
−
2
5
+
1
4

16. Como quedo primero el negativo lo que voy a hacer es cambiar las operaciones:
−
2
5
+
1
4

1
4
−
2
5
¿Por que hago esto? Lo hago porque la primera operación es un poco mas confusa y
la segunda ya es un poco mas común, y como dije anteriormente, lo voy a explicar
de la forma mas fácil de entender; ahora realizamos la operación:
1
4
−
2
5
= 5 −
8
20
= −
3
20
Y quedaría −
3
20
𝑥2
Ahora buscamos los términos que tenga x con
exponente 1.

17. Como no hay términos de x con exponente 1 que se repitan, colocamos solo la x, ya
que el ultimo termino que quedo fue el 6 que es el termino independiente, lo
colocamos de ultimo quedando así:
3
2
𝑥3 −
3
20
𝑥2 − 𝑥 + 6
Esta es la respuesta para el ejercicio.

18. Restas de expresiones algebraicas
La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del
algebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica
sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que
están compuestas por términos numéricos, literales y exponentes debemos estar
atentos a las siguientes reglas

19. Resta de monomios
La resta de monomios puede dar como resultado un
monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2𝑥 − 4𝑥, el
resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el
mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente).
Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo
mismo que multiplicar por x:
2𝑥 − 4𝑥 = 2 − 4 𝑥 = −2𝑥

20. Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos
cambiara, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo
negativo, cambiara a positivo, y si tiene positivo, cambiara a negativo. Para no
tener confusión, escribimos los números con signo negativo ,o incluso todas las
expresiones entre paréntesis: (4x)-(-2x).:
4𝑥 − −2𝑥 = 4𝑥 + 2𝑥 = 6𝑥
Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe tener en
cuenta:
4𝑥 − −2𝑥 = 4𝑥 − 2𝑥 = 6𝑥
−2𝑥 − 4𝑥 = −2𝑥 − 4𝑥 = −6𝑥
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la
resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo.

21. Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre
paréntesis:
4𝑥 − 3𝑦 = 4𝑥 − 3𝑦
𝑎 − 2𝑎2 − 3𝑏 = 𝑎 − 2𝑎2 − 3𝑏
3𝑚 − −6𝑛 = 3𝑚 + 6𝑛
Cuando en la resta hay dos o mas términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se restan entre si, y se escribe la resta con los demás
términos:
2𝑎 − −6𝑏2
− −3𝑎2
− −4𝑏2
− 7𝑎 − 9a2
=
2𝑎 − 7𝑎 − −3𝑎2
− 9𝑎2
− −6𝑏2
− −4𝑏2
= −5𝑎 − −12𝑎2
− −2𝑏2
= −5𝑎 + 12𝑎2
+ 2𝑏2

22. Resta de polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que esta formada por sumas y restas de
los términos literales y exponentes que conforman un polinomio. Para restar dos
polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Restaremos 𝑐 + 6𝑏2
− 3𝑎 + 5𝑏 de 3𝑎2
+ 4𝑎 + 6𝑏 − 5𝑐 − 8𝑏2
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el
signo de cada termino:
4𝑎 + 3𝑎2 + 6𝑏 − 8𝑏2 − 3𝑎 + 5𝑏 + 6𝑏2 + 𝑐
2. Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo-
sustraendo:
[ 4𝑎 − (−3𝑎)]+3𝑎2+[ 6𝑏2 − (5𝑏)]+[ −8𝑏2 − (6𝑏2)]−𝑐

23. 3. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de
signo:
4𝑎 + 3𝑎 + 3𝑎2 + 6𝑏 − 5𝑏 + −8𝑏2 − 6𝑏2 − c = 7a + 3a2 + b − 14b2 − c

24. Resta de monomios y
polinomios
Como podemos deducir de lo ya explicado, para restar un monomio de un
polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el
monomio se restará al término; si no hay términos comunes, el monomio se agrega
al polinomio como la resta de un término más:
Si tenemos 2𝑥 + 3𝑥2 − 4𝑦 − (−4𝑥2) alineamos los términos comunes y
realizamos la resta:
2𝑥 +3𝑥2
−4𝑦
4𝑥2
2𝑥 +7𝑥2 −4𝑦
(Recordemos que restar un número negativo equivale a sumarlo, es decir, se invierte
su signo)

25. Si tenemos 𝑚 − 2𝑛2
+ 3𝑝 − 4𝑛 , realizamos la resta alineando los términos:
𝑚 −2𝑛2
+3𝑝
−4𝑛
𝑚 −4𝑛 −2𝑛2 +3𝑝
Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su
identificación y los cálculos de cada operación.

26. Algunos ejemplos de restas de
expresiones algebraicas:
En esta parte explicare unos ejercicios de resta de expresiones algebraicas lo
mas fácil que pueda para que se entienda lo mejor posible:
Primer ejemplo: 6𝑥2 + 𝑥 − 5 − (2𝑥2 − 3𝑥 − 4)
Al igual que en suma de expresiones algebraicas, lo que tenemos que hacer
aquí es quitar los paréntesis para luego agrupar los términos semejantes.
Vamos a hacer la multiplicación igual que lo hicimos con las sumas,
tomamos los signos fuera del paréntesis y los multiplicamos con los términos
que están dentro, de esta manera:

27. 6𝑥2
+ 𝑥 − 5 − (2𝑥2
− 3𝑥 − 4) =
6𝑥2
+ 𝑥 − 5 − 2𝑥2
+ 3𝑥 + 4
Podemos notar que, al multiplicar el signo negativo con todos los términos de la
expresión, los signos de ellos cambian, entonces, con esto podemos deducir que,
cuando el signo que multiplica es positivo todos los términos conservan su signo
y cuando el signo es negativo todos los términos que están dentro del paréntesis
cambian su signo.
Ahora, agrupamos términos semejantes, y comenzamos con la literal con
exponente mas grande, que en este caso es el 6𝑥2
, con el −2𝑥2
, y operamos:
6𝑥2 − 2𝑥2 = 4𝑥2

28. Luego agrupamos los términos de x que tengan exponente 1(𝑥1
), en este caso seria
𝑥 con 3𝑥, y hacemos la operación:
𝑥 + 3𝑥 = 4𝑥
Ahora agrupamos los demás números, que son los términos independientes, que en
este caso son −5 y +4, y operamos:
−5 + 4 = −1
Después de agrupar términos semejantes nos da como resultado del ejercicio:
4𝑥2 + 4𝑥 − 1
Echo esto, hemos terminado con nuestro primer ejercicio de resta de expresiones
algebraicas, ahora voy a explicar otro ejercicio un poco mas complicado.

29. Segundo ejemplo: 2𝑥3 + 3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 6 − (5𝑥2 +
3
2
𝑥)
En este ejemplo tenemos a una expresión algebraica de dos términos, que esta
restando a otra expresión algebraica de tres términos , que a su vez esta restando a
otra expresión algebraica de dos términos.
Esto no es nada del otro mundo, solo debemos proceder como lo hicimos
anteriormente con el otro ejercicio, multiplicando los signos con los términos
dentro del paréntesis y luego agrupando los términos semejantes:
2𝑥3
+ 3 − 8𝑥2
− 𝑥 + 6 − (5𝑥2
+
3
2
𝑥) =
2𝑥3 + 3 − 8𝑥2 + 𝑥 − 6 − 5𝑥2 −
3
2
𝑥

30. Ahora, agrupamos los términos semejantes, primero los que tengan el exponente
mas grande en su literal, en este caso es 2𝑥3, ya que no hay otro termino semejante
se coloca solo:
2𝑥3 + 3 − 8𝑥2 + 𝑥 − 6 − 5𝑥2 −
3
2
𝑥
2𝑥3
Luego colocamos el termino de la segunda literal con exponente mas grande, que
es −8𝑥2 con su termino semejante que es −5𝑥2, y hacemos la operación:
−8𝑥2 − 5𝑥2 = −13𝑥2
Y queda: 2𝑥3 − 13𝑥2

31. Ahora buscamos los términos de x que tengan exponente 1 (𝑥1), en
este caso son 𝑥 y −
3
2
𝑥 , y queda así:
𝑥 −
3
2
𝑥
La x tiene coeficiente 1, lo que quiere decir que podemos realizar la
operación de la siguiente forma:
𝑥 −
3
2
= 1 −
3
2
Y convertimos ese 1 que es un numero entero, en una de fracción
colocando un 1 como denominador, sabiendo que no alterara al
numero de ninguna manera ya que 1x1=1

32. Ahora realizamos la operación multiplicando denominador por denominador (1x2)
y luego se multiplica cruzado, es decir, numerador por denominador (1x2), después
se multiplica denominador por numerador (1x3), después se hace la resta o la
operación de lo que quede:
1
1
−
3
2
=
3
2
− 1 =
−1
2
Lo que nos da a entender que el resultado de:
𝑥 −
1
2
𝑥 = −
1
2
𝑥
Y queda: 2𝑥3 − 13𝑥2 −
1
2
𝑥
Luego agrupamos los términos independientes, que en este caso son el
3 y el -6 y operamos:

33. +3 − 6 = −3
Quedando: 2𝑥3 − 13𝑥2 −
1
2
𝑥 − 3
Y ese seria el resultado de esta resta de expresiones algebraicas.

34. Multiplicación de
expresiones algebraicas
En esta nuevo sección de operaciones algebraicas, desarrollaremos la
multiplicación algebraica donde multiplicaremos factores algebraicos
obteniéndose como resultado otra expresión llamado producto.
La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia
de términos semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con
la suma y resta algebraica.
Aquellas proposiciones que ya hemos demostrado previamente serán
usadas en esta sección. Estas leyes son la ley de los signos, las leyes de
la potenciación de la teoría de exponentes como las leyes distributivas
de multiplicación con respecto a la suma y resta.
Esta sección nos ayudará a desarrollar y demostrar las identidades de
productos notables que veremos en la próxima. Sin mas, comencemos.

35. ¿Qué es la multiplicación
en algebra?
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica,
en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un
resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos
llamada multiplicando y multiplicador.
Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que
para la multiplicación aritmética, las cuales son:

36. Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores
negativos es impar, de lo contrario es positivo:
+ + = +
− − = +
+ − = −
− + = −
Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la
misma base es igual a la base elevada a la suma de las
potencias:
𝑥𝑚 𝑥𝑛 = 𝑥𝑚 + 𝑛

37. Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto:
𝑥 𝑧 𝑦 = 𝑦 𝑧 𝑥 = 𝑧 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑦𝑧
Aunque en el álgebra se obedece también la ley de los coeficientes.
Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones
algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores:
4𝑥 5𝑦 = 4 ∙ 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 20𝑥𝑦
Sabiendo cuales son las leyes para la multiplicación aritmética,
podremos proseguir con el tema

38. Multiplicación de
monomios:
Las reglas que hay que tener en cuenta para la multiplicación de monomios son:
1. Se multiplica él termino del multiplicando por él termino del
multiplicador.
2. Se suman los exponentes de las literales iguales.
3. Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado.
4. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas
anteriormente.
Cuando existen multiplicaciones de mas de dos monomios resulta
sencillo multiplicar uno a uno los factores para obtener el resultado.

39. Ejemplos:
5 𝑥 = 5𝑥 Se multiplica 5 por x quedando indicado el
producto
5𝑦 6𝑥 = 30𝑥𝑦 Se multiplican los números y las letras para
formar un todo5 ∙ 6 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 30𝑥𝑦
3𝑥 6𝑥2
= 3 ∙ 6 ∙ 𝑥1+2
= 18𝑥3
Se multiplican los números y
se suman los exponentes iguales
2𝑥 −𝑦 𝑥 = −2𝑥1+1𝑦 = −2𝑥2𝑦 Se usa criterio de signos
(+)(-)(+)= -, se suman exponentes de bases iguales y se indican
multiplicaciones de bases diferentes.

40. Multiplicación de monomios
con polinomios
Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo
factor se encuentra multiplicando a un polinomio
Para multiplicar monomios con polinomios se necesita seguir
unas reglas:
1. Se multiplica el término del monomio por cada
término del polinomio, sumando los exponentes de
las literales iguales.
2. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los
signos vistas anteriormente.
3. Se encuentra la suma algebraica de los productos
parciales.

41. Ejemplos:
5 𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 5𝑦 Se multiplica 5 por x para obtener 5x y luego 5 por y para
obtener 5y.
−7 𝑥 + 𝑦 = −7𝑥 − 7𝑦 Se multiplica -7por x para obtener -7x y luego se
multiplica -7 por y para obtener -7y.
2𝑥 7𝑥 + 6𝑧 − 9 = 14𝑥2 + 12𝑥𝑧 − 18𝑥 Se multiplica 2x por cada factor en
el paréntesis multiplicando cada numero por cada numero y agregando la x
donde sea necesario.

42. Multiplicación de
polinomios
La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones
algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su
resultado puede ser un polinomio, un número o cero.
Para multiplicar polinomios se necesita seguir ciertas reglas:
1. Se multiplica cada término del polinomio por cada término del
polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.
2. Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las
reglas de los signos vistas anteriormente
3. Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

43. Ejemplos:
𝑥 + 5𝑥 − 𝑦 = 5𝑥2 − 𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦 − 𝑦2 = 5𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦2 Se multiplica x por
cada factor del paréntesis a la derecha, luego se multiplica y por cada factor
del paréntesis de la derecha y se suman los términos semejantes.
5𝑥 + 12𝑦 − 3𝑥𝑦 12𝑥 − 9𝑦 + 𝑥𝑦
= 5𝑥 12𝑥 − 9𝑦 + 𝑥𝑦 + 12y 12𝑥 − 9𝑦 + 𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 12𝑥 − 9𝑦 + 𝑥𝑦
= 60𝑥2 − 45𝑥𝑦 + 5𝑥2𝑦 + 144𝑥𝑦 − 108𝑦236𝑥2𝑦 + 27𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦2
Como puede verse en el segundo ejemplo una manera fácil y
ordenada de realizar las multiplicaciones es planteándolo como
diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando
términos semejantes.

44. Ahora voy a explicar algunos ejercicios de multiplicación de expresiones
algebraicas lo mas fácil que pueda para que se pueda entender:
Primer ejercicio: (a-b)(x+y-z)
Vamos a comenzar con uno de los ejercicios mas fáciles que vamos a encontrar,
ahora, ¿Cómo se hace la multiplicación? Bueno, vamos a multiplicar todos los
términos del primer polinomio con todos los términos del segundo polinomio,
¿Qué quiere decir esto? Vamos a multiplicar el primer termino que es a con
todos los términos del segundo polinomio, es decir, con x , luego con y, y
después con z; y luego hacemos lo mismo con el segundo termino b.

45. Después de multiplicar los términos queda así:
(𝑎 − 𝑏)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)
Queda así:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 − 𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑏𝑧
Luego de hacer la multiplicación, se agrupan los términos semejantes, pero
al ser este el primer ejercicio y se supone que el mas fácil no quise que
hubieran términos semejantes para hacer mas fácil la explicación y para
explicar el proceso que se hace para hacer la multiplicación.
Ahora explicare otro ejercicio, esta ves, mas difícil que el anterior:

46. Segundo ejercicio: (3𝑥 + 2𝑦)(5𝑥 − 4𝑦)
Antes de comenzar la explicación debemos tener en cuenta que primero se
multiplican los signos, luego los números y después las letras; sabiendo esto,
proseguimos, primero multiplicamos 3x por todos los términos del segundo
binomio, y luego multiplicamos 2y por los términos del segundo binomio al
igual que hicimos con 3x.
3𝑥 + 2𝑦 5𝑥 − 4𝑦
= 15𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 − 8𝑦2
Echa la multiplicación, continuamos ubicando los términos
semejantes que en este caso seria el −12𝑥𝑦 con el 10𝑥𝑦 y
realizamos la operación:

47. −12𝑥𝑦 + 10xy = −2xy
Como no hay mas términos semejantes colocamos los términos igual que
como estaban y queda como resultado de la multiplicación:
15𝑥2
− 2𝑥𝑦 − 8𝑦2
Ahora haremos otro ejercicio para dejar mas en claro la multiplicación de
expresiones algebraicas.

48. Tercer ejercicio: (−2𝑚2𝑛 + 3𝑚)(−5𝑚 + 4𝑚2𝑛 − 6)
Procedemos de la misma manera que en el ejercicio anterior, multiplicando
el primer termino de la primera expresión con todos los términos de las
segunda, y luego el segundo:
−2𝑚2
𝑛 + 3𝑚 −5𝑚 + 4𝑚2
𝑛 − 6
= 10𝑚3
𝑛 − 8𝑚4
𝑛2
+ 12𝑚2
𝑛 − 15𝑚2
+ 12𝑚3
𝑛 − 18𝑚
Luego de multiplicar, ubicamos los términos semejantes tomando
la literal con el exponente mas grande, que en este caso es 10𝑚3
𝑛
con el 12𝑚3𝑛 operamos y queda:
10𝑚3𝑛 + 12𝑚3𝑛 = 22𝑚3𝑛

49. Luego ubicamos la literal con el segundo exponente mas grande, que es
8𝑚4𝑛2, pero como no hay ninguna semejante se coloca como esta y queda
así:
22𝑚3𝑛 + 8𝑚4𝑛2
Luego ubicamos la literal con el tercer exponente mas grande, que en este
caso es 12𝑚2𝑛 y al no tener termino semejante se coloca tal y como esta y
queda así:
22𝑚3𝑛 + 8𝑚4𝑛2 + 12𝑚2
Después ubicamos la cuarta literal con el exponente mas grande, que
seria −15𝑚2 y al no tener termino semejante lo colocamos como esta,
quedando así:
22𝑚3𝑛 + 8𝑚4𝑛2 + 12𝑚2 − 15𝑚2

50. Luego ubicamos el ultimo termino que es -18m, y al ser el único que queda se
coloca igual que como estaba, dándonos el resultado de la multiplicación que
es:
22𝑚3
𝑛 + 8𝑚4
𝑛2
+ 12𝑚2
− 15𝑚2
− 18𝑚

51. División de expresiones
algebraicas
La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la
división aritmética, así que si hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y
q(y) siendo el divisor , de modo que el grado de p(x) sea mayor o iguala 0
siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas dividiéndose.
Para dividir también hay que tomar en cuenta la ley de los signos y una ley de los
exponentes.
Por ejemplo, la ley de signos nos dice que:
+ . + = + positivo por positivo igual a positivo
− . −= + negativo por negativo igual a positivo
+ . − = − positivo por negativo igual a negativo
− . + = − negativo por positivo igual a negativo

52. Y la ley de los exponentes nos dice que si tenemos las mismas bases tanto
en el dividendo como en el divisor sus exponentes se restan.
Nota.- Si el exponente del término es 0 se escribe la unidad.
Hay distintos tipos de división algebraica, entre ellos
podremos encontrar:

53. División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética. Las reglas
que debemos tomar para realizar una división entre fracciones son:
1. Se aplica ley de signos.
2. Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo
para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el
dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama
división cruzada).
3. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
4. Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren
como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

54. Ejemplos:
32𝑚𝑥2
4𝑛
÷
12𝑚𝑥
3𝑛2
=
32𝑚𝑥2
4𝑛
12𝑚𝑥
3𝑛2
=
96𝑚𝑛2𝑥2
48𝑚𝑛𝑥
= 2𝑛𝑥
22𝑥𝑦2
5𝑧
÷
12𝑥2𝑦3
5
=
22𝑥𝑦2
5𝑧
12𝑥2𝑦3
5
=
110𝑥𝑦2
60𝑥2𝑦3𝑧
=
11
6𝑥𝑦𝑧

55. División de polinomios
entre monomios
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio
sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones. Para hacer
esto se tienen que seguir los siguientes pasos:
1. Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
2. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y
cada uno dividido por el monomio.
3. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo
en el capitulo anterior.
4. Se realizan las sumas y restas necesarias.

56. Ejemplos:
32𝑥2 + 20𝑥 − 12𝑥3 ÷ 4𝑥 =
32𝑥2 + 20𝑥 − 12𝑥3
4𝑥
=
32𝑥2
4𝑥
+
20𝑥
4𝑥
−
12𝑥3
4𝑥
= 8𝑥 + 5 − 3𝑥2
25𝑥2
𝑦 − 40𝑥𝑧2
÷ −5𝑥 =
25𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑧2
−5𝑥
=
25𝑥2𝑦
−5𝑥
−
40𝑥𝑧2
5
= −5𝑥𝑦 + 8𝑧2

57. División entre polinomios
En este tipo de división se procede de manera similar a la división
aritmética, los pasos que debemos seguir son los siguientes:
1. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido
(en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan
los espacios de los términos que faltan.
2. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del
dividendo entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
3. El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del
dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del
divisor.

58. 4. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del
divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del
dividendo parcial.
5.Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial
cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
En pocas palabras, la intención con este método de división es que con cada resta
se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o
dividendo parcial.

59. Ejemplos:
Dividir 𝑥4
+ 3 + 𝑥 − 9𝑥2
entre 𝑥 + 3
𝑥4 + 3 + 9𝑥2 𝑥 + 3
𝑥4 + 3 𝑥3 − 3𝑥2 + 1
−3𝑥3 − 9𝑥2 + 𝑥 + 3
−3x3 − 9x2
+𝑥 + 3
+𝑥 + 3
+0 + 0

60. Dividir 8𝑎3 − 9𝑏3 − 6𝑎2𝑏 + 5𝑎𝑏2 entre 2𝑎 − 3𝑏
8𝑎3
− 6𝑎2
𝑏 − 5𝑎𝑏2
+ 9𝑏3
2𝑎 − 3𝑏
8𝑎3
− 12𝑎2
𝑏
6𝑎2𝑏 + 5𝑎𝑏2 − 9𝑏3
6𝑎2
𝑏 − 9𝑎𝑏2
14𝑎𝑏2
− 9𝑏3
14𝑎𝑏2 − 21𝑏3
12𝑏3
4𝑎2
+ 3𝑎𝑏 + 7𝑏2

61. Ahora voy a explicar algunos ejercicios de división de expresiones algebraicas
lo mas fácil que pueda para que se pueda entender.
Primer ejercicio: 3𝑥2
+ 2𝑥 − 8 ÷ x + 2
Vamos a empezar con un ejercicio fácil y sencillo, para ir
calentando nuestras mentes y que de esta manera senos haga mas
fácil resolver estos ejercicios.
Hay que tener en cuenta que, la división se puede escribir de distintas
maneras, por ejemplo:

62. 3𝑥2 + 2𝑥 − 8 ÷ x + 2
3𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 2
3𝑥2
+ 2𝑥 − 8 𝑥 + 2
3𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑥 + 2
No importa como este escrita la división, esta se va a realizar de
la misma manera; sabiendo esto comencemos a realizar la
división.
Para hacer esta división ¿Qué tenemos que hacer primero? Lo primero que
debemos hacer es ordenar los términos comenzando con las letras que tengan
el exponente mas grande, en este caso el ejercicio ya esta ordenado, así que
no hay necesidad de hacer nada, y lo colocamos como esta:
3𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑥 + 2

63. Ya ordenado el ejercicio, seguiremos con el segundo paso que es el de buscar la
expresión para multiplicar ¿Qué tenemos que hacer? Bueno, tenemos que
buscar que el termino x sea igual al termino 3𝑥2, es decir, tenemos que buscar
un termino que multiplique x para que sea igual que 3𝑥2
3𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑥 + 2
Ahora necesitamos un numero que multiplicado por x nos de 3𝑥2, y ese
numero seria el 3, el cual nos acercaría un poco mas a el termino, y le
colocamos la x ya que 3 por x es 3𝑥2
3𝑥2
+ 2𝑥 − 8 𝑥 + 2
3𝑥
Ya echo el segundo paso que fue buscar la expresión para
multiplicar, seguimos con el tercer paso que es multiplicar.

64. ¿Qué multiplicamos? Pues, vamos a multiplicar el termino 3x que en este caso es
el cociente, por los dos términos que están arriba, ósea el cociente por el divisor.
3𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑥 + 2
3𝑥
Luego de hacer la multiplicación, le cambiamos el signo al resultado que nos de
dicha multiplicación y lo colocamos debajo del primer termino del dividendo, que
seria el 3𝑥2
, para luego proseguir con el cuarto paso que seria el de restar.
3𝑥2
+ 2𝑥 − 8 𝑥 + 2
3𝑥
−3𝑥2
− 6𝑥

65. Empezamos a restar los términos y nos quedaría 3𝑥2
− 3𝑥2
el cual
automáticamente se cancela por ser términos semejantes, luego queda el
2𝑥 − 6𝑥 = −4𝑥, es decir, se restan los números pero, las letras quedan.
3𝑥2
+ 2𝑥 − 8 𝑥 + 2
3𝑥
−3𝑥2
− 6𝑥
−4𝑥
Después de hacer la resta, bajamos el siguiente termino que es el −8
y volvemos a buscar la expresión a multiplicar, ósea buscamos un
numero que multiplicado por x nos de el primer termino que es -4x.
Primero que todo, como la x esta positiva y termino −4𝑥 es
negativo, para que sea negativo, debemos multiplicar la x por −,
ahora para que la x nos de -4𝑥 debemos multiplicar x por 4 ¿Por
qué? Porque x por 4 da -4𝑥.

66. Ahora volvemos a multiplicar, pero en este caso vamos a multiplicar el −4𝑥
por los dos términos de arriba recordando que después de multiplicar le
cambiamos el signo, es decir, que si queda negativo lo cambiamos a positivo y
viceversa.
3𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑥 + 2
−3𝑥2 − 6𝑥 3𝑥 − 4
−4𝑥 − 8
4𝑥 + 8
Después de restar los términos se cancelan el uno con el otro, y al no tener otro
termino para bajar damos por terminada la división

67. Segundo ejercicio: 2𝑥2 − 15𝑥 + 25 ÷ 𝑥 − 5
Bueno, en este ejercicio vamos a proseguir igual que en el anterior, primero
ordenamos los términos comenzando desde la letra con mayor exponente,
podemos ver que el ejercicio ya esta ordenado y proseguimos a realizarlo.
2𝑥2
− 15𝑥 + 25 𝑥 − 5
Primero buscamos un numero que multiplicado por x nos de 2𝑥2
, en
este caso seria el 2, ya que 2 por x da como resultado 2𝑥2
, y después
multiplicamos 2x por los términos de arriba, y el resultado lo
pondremos debajo del primer termino del dividendo, recordando
siempre que después de la multiplicación los signos cambian.
2𝑥2
− 15𝑥 + 25 𝑥 − 5
2𝑥
−2𝑥2
+ 10𝑥

68. Luego continuamos con la resta:
2𝑥2 − 15𝑥 + 25 𝑥 − 5
−2𝑥2 + 10𝑥 2𝑥
−5𝑥
Luego bajamos el siguiente termino, y buscamos un numero que, multiplicado
por x nos de −5𝑥, en este caso primero multiplicamos x por −, ya que el
termino que queremos alcanzar es negativo, y colocamos el −, luego
multiplicamos 5 por x que nos da −5𝑥.
2𝑥2 − 15𝑥 + 25 𝑥 − 5
−2𝑥2 + 10𝑥
− 5𝑥 + 25
2𝑥 − 5𝑥
5𝑥 − 25𝑥

69. Luego realizamos la resta:
2𝑥2
− 15𝑥 + 25 𝑥 − 5
−2𝑥2 + 10𝑥 2𝑥 − 5𝑥
− 5𝑥 + 25
5𝑥 − 25𝑥
La resta entre los factores nos dio como resultado que se cancelaron el uno con el
otro, dándonos el resultado completo de la división.
Sin embargo, debo aclarar que, no en todas las divisiones se cancelan los términos
entre si, existen casos en que quedan, por así decirlo, residuos de la resta, que
darían el resultado de la división en si, a ese residuo se le llama resto.

70. Bibliografía
Citado APA: (A. 2017,08. Ejemplo de Suma algebraica. Revista Ejemplode.com.
Obtenido 08, 2017, de https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4670-
ejemplo_de_suma_algebraica.html)
Citado APA: (A. 2017,08. Ejemplo de Resta algebraica. Revista Ejemplode.com.
Obtenido 08, 2017, de https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4671-
ejemplo_de_resta_algebraica.html)
2021 AulaFacil. Todos los derechos
reservados.https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/division-
algebraica-polinomios-l10938