Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to 1.3-MONOTONIA-AKROTATA
Similar to 1.3-MONOTONIA-AKROTATA (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
1.3-MONOTONIA-AKROTATA
- 2. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ● Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 Δ με xϵ 1 < x2 ισχύει :f(x1) < f(x2)
- 3. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ● Μια συνάρτηση f λέγεται αύξουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 Δ με xϵ 1 < x2 ισχύει :f(x1) f(x2)≤
- 4. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ● Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 Δ με xϵ 1 < x2 ισχύει :f(x1) > f(x2)
- 5. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ● Μια συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 Δ με xϵ 1 < x2 ισχύει :f(x1) f(x2)≥
- 6. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ f γνησίως αύξουσα ή f γνησίως φθίνουσα σε διάστημα Δ f γνησίως μονότονη στο Δ
- 7. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΧΗ! • Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα Δ1 και Δ2 , δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο Δ1ÈΔ2 • Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα Δ1 και Δ2 , δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο Δ1ÈΔ2
- 8. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Παράδειγμα: η συνάρτηση ( ) 1 f x x = γν. φθίνουσα στο (-¥ , 0) γν. φθίνουσα στο (0, +¥) Αλλά όχι γν. φθίνουσα στο (-¥ , 0)È (0, +¥) x1<x2 αλλά f(x1)<f(x2)
- 13. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ • Αν για μια συνάρτηση f: RR ισχύει ότι f(x)+ef(x) =2-x για κάθε xÎR να αποδειχτεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα
- 14. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ • Έστω f: AR μια γνησίως μονότονη συνάρτηση • Αν f γνησίως αύξουσα ,τότε : α<βf(α)<f(β) • Αν f γνησίως φθίνουσα ,τότε : α<βf(α)>f(β)
- 15. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 • Έστω f: RR μια γνησίως μονότονη συνάρτηση με f(3)>f(1) • Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f. • Να λυθεί η ανίσωση f(5-3x)<f(x2 +x)
- 16. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Σημείωση 1 • Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση f έχει το πολύ ένα σημείο τομής με τον xx΄ • Δηλαδή η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα.
- 17. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Μέθοδος • Η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ρίζα • Η f είναι γνησίως μονότονη • Η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα
- 18. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 2 • Να λυθεί η εξίσωση ex +x=1 • Να λυθεί η ανίσωση ex-1 +x<2 • Να γίνει ο πίνακας προσήμων της f(x)=ex +x- 1
- 19. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 3 • Να λυθεί η εξίσωση x+lnx=1 • Να λυθεί η ανίσωση ln(x2 +x+1)+x2 +x³0
- 20. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 4 • Μια συνάρτηση f: RR έχει την ιδιότητα: f(3-x)+f(x+5)=0 για κάθε xÎR και είναι γνησίως φθίνουσα. • Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0 • Να λυθεί η ανίσωση f(x2 +2x-4)<0
- 21. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 5 • Δίνεται η συνάρτηση • Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα • Να λυθεί η εξίσωση 3x + 4x = 5x • Να λυθεί η ανίσωση 3x + 4x > 5x ( ) 3 4 1 5 5 x x f x = + − ÷ ÷
- 22. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Μονοτονία και πρόσημο συνάρτησης
- 23. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Μονοτονία και πρόσημο συνάρτησης Να αποδειχθεί ότι g(x)<0 , για κάθε x¹0
- 25. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι : ● Παρουσιάζει στο x0 A (ολικό)ϵ μέγιστο, το f(x0), όταν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x Aϵ
- 26. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ ● Παρουσιάζει στο x0 A (ολικό)ϵ ελάχιστο, το f(x0), όταν f(x) ≥ f(x0) για κάθε x Aϵ
- 27. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Η συνάρτηση f(x) = − x2 + 1 παρουσιάζει μέγιστο στο x0 = 0, το f(0) = 1 , αφού f(x) ≤ f(0) για κάθε x ϵ R.
- 28. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Η συνάρτηση f(x) = | x−1 | παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 = 1, το f(1) = 0, αφού f(x) ≥ f(1) για κάθε x ϵ R.
- 29. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Η συνάρτηση f(x) = x3 δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα.
- 30. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Για να αποδείξουμε ότι η f έχει μέγιστο: • Προσπαθούμε να βρούμε x0 ÎΑ τέτοιο ώστε: f(x)£ f(x0) για κάθε x Î A
- 31. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Για να αποδείξουμε ότι η f έχει ελάχιστο: • Προσπαθούμε να βρούμε x0 ÎΑ τέτοιο ώστε: f(x)³ f(x0) για κάθε x Î A
- 32. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Αν f(x) £ M για κάθε x Î A ,τότε το Μ είναι μέγιστο. ΛΑΘΟΣ!
- 33. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Αν υπάρχει όμως x0 A ώστε Μ=f(x0) , τότε το Μ είναι μέγιστο της f
- 38. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ H f παρουσιάζει ακρότατο;
- 39. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ H f παρουσιάζει ακρότατο;
- 40. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= -(x-1)4 +3 Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο και να βρείτε την τιμή του.
- 41. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 2 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x4 -2x2 +3 Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο και να βρείτε την τιμή του.
- 42. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 3 Υπόθεση: • Η f έχει μέγιστο • Η g είναι γνησίως αύξουσα Ζητούμενο: • Η g°f έχει μέγιστο
- 43. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 4 Υπόθεση: • f συνάρτηση με π.ο το R • Ισχύει 2f(x)£f(1)+f(2) για κάθε xÎR Ζητούμενο: • Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο.
- 44. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 5 Υπόθεση: • f,g συναρτήσεις ορισμένες στο R. • f(x)= 2+(g(x)+1)2 για κάθε xÎR. • Η γραφ. παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α(1,-1). Ζητούμενο: • Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.
- 45. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 6 Υπόθεση: • f,g συναρτήσεις ορισμένες στο R • Η γραφ. παράσταση της f τέμνει την ευθεία y=1 σε ένα τουλάχιστον σημείο. • Ισχύει: g(x)=f2 (x)-2f(x)+3 για κάθε xÎR. Ζητούμενο: • Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.
- 46. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 7 Υπόθεση: • f,g συναρτήσεις ορισμένες στο R • Ισχύει: f(x)=g(x)-x2 -3 για κάθε xÎR. Ζητούμενο: • Βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των γραφ. παραστάσεων των f,g.
- 47. ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ Άσκηση 8 Υπόθεση: • g(x)=x3 +ex +1 • f συνάρτηση ορισμένη στο R. • Ισχύει: f3 (x)+ef(x) +1-x2 =0 για κάθε xÎR. Ζητούμενο: • Μονοτονία της g. • H f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0=0.
Editor's Notes
- Μαυρίδης
- Μπάρλας σελ. 144
- Μπάρλας σελ. 144