Ένα διαγώνισμα που καλύπτει ύλη από τα κεφάλαι των συναρτήσεων (ολόκληρο) και του διαφορικού λογισμού (όλο εκτός από τον ρυθμό μεταβολή και τη χάραξη γραφικής παράστασης συνάρτησης). Καλή επιτυχία! :)

1. Επαναληπτικό Διαγώνισμα
11 Φεβρουαρίου 2017
Θέμα 1
1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Ενδιαμέσω Τιμών (Θ.Ε.Τ.).
2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορι-
σμού της παρουσιάζει σημείο καμπής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού
της;
3. Να δώσετε τον ορισμό της σύνθεσης f ◦g δύο συναρτήσεων f : A −→ R
και g : B −→ R.
4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμέ-
νες:
(αʹ) Κάθε αντιστρέψιμη συνάρτηση είναι συνεχής.
(βʹ) Ισχύει ότι lim
x→+∞
ηµx
ln x
= lim
x→+∞
(ηµx)
(ln x)
.
(γʹ) Αν f(x) < g(x) κοντά στο x0 τότε limx→x0 f(x) < limx→x0 g(x).
(δʹ) Αν μία δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι κοίλη τότε ισχύει
ότι f (x) < 0 για κάθε x στο πεδίο ορισμού της.
(εʹ) Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι συνεχής.
Θέμα 2
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
ηµ1
x x = 0
α x = 0
, α ∈ R.
1. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής για κάθε x = 0 και ότι για κάθε α ∈ R
η f είναι ασυνεχής στο x0 = 0.
2. Να εξετάσετε την f ως προς την παραγωγισιμότητα.
3. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο
1
π
, f
1
π
.
4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες (αν υπάρχουν) της f.
1

2. Θέμα 3
Δίνεται μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R −→ R η οποία είναι γνησίως μονό-
τονη με f(0) = 0 και f(1) = 1.
1. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
2. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να υπολογίσετε τα f−1(0) και
f−1(1).
3. Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της f σε σημείο (ξ, f(ξ)) με ξ ∈
(0, 1) η οποία να είναι παράλληλη στον άξονα συμμετρίας των γραφικών
παραστάσεων των συναρτήσεων f και f−1.
4. Αν F : R −→ R είναι μία συνάρτηση τέτοια ώστε F (x) = f(x) για κάθε
x ∈ R με F(1) = 1 τότε να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της F
στο σημείο (1, F(1)).
5. Να δείξετε ότι F(x) ≥ x για κάθε x ∈ R.
Θέμα 4
Δίνεται μία συνάρτηση f : (1, +∞) −→ R με f(1) = e2 και για την οποία
ισχύει η σχέση:
f (x) −
f(x)
√
x
=
1
√
x
1. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) = e2
√
x.
2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
3. Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα.
4. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = ex+1 έχει μοναδική ρίζα στο (0, +∞).
5. Να μελετήσετε τη συνάρτηση φ(x) =



f(x) x > 0
0 x = 0
f(−x) x < 0
ως προς την
παραγωγισιμότητα.
2