More Related Content
Similar to Basic m5-2-chapter2
Similar to Basic m5-2-chapter2 (20)
More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (18)
Basic m5-2-chapter2
- 1. บทที่ 2
การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน
( 20 ชั่วโมง )
สถิติเปนวิชาที่มีบทบาทในชีวิตประจําวัน และเปนวิชาที่มีบทบาทในแทบทุก
วงการ การใหผูเรียนไดมีความรูพื้นฐานทางสถิติอยางเพียงพอ และสามารถวิเคราะห
ขอมูลอยางงายไดจึงเปนสิ่งที่จําเปนตอการเรียนรูของผูเรียน
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. เลือกใชคากลางที่เหมาะสมกับขอมูลที่กําหนดใหและวัตถุประสงคที่ตองการ
2. วิเคราะหขอมูลเบื้องตนโดยใชคากลาง (คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม) การ
วัดการกระจายโดยใชสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และการหาตําแหนงที่ของขอมูลโดยใช
เปอรเซ็นไทลได
3. ใชขอมูลขาวสารและคาสถิติชวยในการตัดสินใจบางอยางได
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้น
ทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรู
ทางดานทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน และสอดแทรกกิจกรรม ปญหา
หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียน
ทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมี
ความเชื่อมั่นในตนเอง
ขอเสนอแนะ
1. สถิติเปนวิชาที่วาดวยการวิเคราะหขอมูลเพื่อหาขอสรุปจากขอมูลเพื่ออธิบาย
หรือตอบปญหาที่สนใจ การวิเคราะหขอมูลที่ผูเรียนจะตองศึกษาในชั้นนี้เปนศาสตรที่
กลาวถึงการสรุปสาระสําคัญที่มีอยูในขอมูลและนําเสนอขอมูลดวยคาสถิติ เชน คากลาง
- 2. 10
คาการวัดการกระจาย แผนภาพ ฯลฯ เพื่ออธิบายลักษณะของขอมูลชุดนั้น ซึ่งในปจจุบัน
ไดมีการพัฒนาโปรแกรมสําเร็จรูป เครื่องคํานวณ เชน เครื่องคิดเลขที่สามารถหาคาสถิติได
ทําใหสามารถหาคาที่ตองการไดอยางรวดเร็ว ในปจจุบันการเรียนการสอนวิชาสถิติ จึงไม
จําเปนตองมุงฝกทักษะการหาคาสถิติตาง ๆ ใหถูกตองแมนยํา เนื่องจากในชีวิตจริงของ
ผูเรียนจะตองใชเครื่องคํานวณมาชวยในการหาคาสถิติที่ตองการอยูแลว สิ่งที่ผูสอนควร
คํานึงคือการสอนใหผูเรียนมีความรูพื้นฐาน มีความเขาใจ และสามารถนําความรู ความ
เขาใจในวิชาสถิติไปใชในการแกปญหาและชวยในการตัดสินใจบางอยางได
2. เนื่องจากในชวงชั้นที่ 3 (ม.1 – ม.3) ผูเรียนมีพื้นฐานในเรื่องการหาคากลาง
มาแลว ดังนั้น การกลาวถึงการหาคากลางในชวงชั้นนี้จึงกลาวถึงในลักษณะของการ
ทบทวน และในสวนที่เพิ่มเติมจากวิธีการที่กลาวไวตอจากชวงชั้นที่ 3 เชน การหาคากลาง
ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น
สําหรับวิธีการหาคากลางโดยการทอนคาของขอมูลใหนอยลง ดังวิธีการใน
ตัวอยางที่ 12 หัวขอการหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลที่แจกแจงความถี่แลว มีไวเพื่อให
ผูเรียนไดเขาใจวิธีการหาคากลางแบบตาง ๆ และอาจหาคากลางของขอมูลที่มีจํานวนไมมาก
นักโดยใชวิธีการขางตนไดเมื่อไมมีเครื่องคํานวณชวย แตไมมีวัตถุประสงคใหผูเรียนฝก
ทักษะในสวนนี้แตอยางใด
3. การสรางตารางแจกแจงความถี่นั้นเปนการจัดระบบขอมูลเบื้องตน แตมีขอเสีย
คือ ทําใหเราไมทราบคาที่แทจริงของขอมูล ทราบแตเพียงคราว ๆ วา คาของขอมูลอยู
ในชวงที่กลาวถึง ดังนั้นยิ่งอันตรภาคชั้นมีความกวางมากขึ้นก็ยิ่งทําใหเราทราบลักษณะของ
ขอมูลนอยลง รวมทั้งการนําตารางที่ไดไปหาคากลางของขอมูล เมื่อแตละตารางที่สราง
ขึ้นมีอันตรภาคชั้นไมเทากันจะทําใหไดคากลางที่แตกตางกันดวย ในปจจุบันนี้การหา
คาสถิติของขอมูลที่มีจํานวนมากมักจะใชเครื่องคิดเลขหรือโปรแกรมคอมพิวเตอรทางสถิติ
มาชวยในการคํานวณซึ่งจะทําใหตัดปญหาเรื่องการแบงอันตรภาคชั้นออกไป ดังนั้น
ผูสอนจึงควรชี้แจงใหผูเรียนมีความเขาใจในเรื่องนี้ดวย
4. การแจกแจงความถี่โดยใชแผนภาพตน-ใบ เปนวิธีการจัดระบบขอมูลที่เรา
สามารถทราบคาที่แทจริงของขอมูลได และสามารถวิเคราะหขอมูลอยางคราว ๆ จาก
แผนภาพดังกลาวได การใชแผนภาพตน-ใบ เปนวิธีการสรุปขอมูลโดยแผนภาพและจัด
- 3. 11
กลุมหรือจัดเรียงขอมูลไวดวยกัน นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมคอมพิวเตอรที่สามารถสราง
แผนภาพดังกลาวไดดวย การนําวิธีการแจกแจงความถี่โดยใชแผนภาพตน-ใบ ซึ่งเปน
วิธีการที่ไดมีการพัฒนาขึ้นเมื่อไมนานมากนัก ทําใหผูเรียนไดเรียนรูวิธีการใชแผนภาพและ
สามารถนําแผนภาพตน -ใบ ไปใชในการวิเคราะหขอมูลเบื้องตนได เชน ดูลักษณะการ
กระจายของขอมูล ในกรณีที่มีขอมูลเบื้องตนไมมากนัก
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1
จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนไดเห็นวา การเลือกตัวอยางโดยการสุมจะทําใหไดตัวอยาง
ซึ่งเปนตัวแทนของประชากรที่มีคาสถิติ เชน คากลาง คาที่ใชวัดการ
กระจาย มีคาใกลเคียงกับคาที่ไดจากประชากร
ผูสอนยกตัวอยางขอมูลที่เปนคะแนน ซึ่งมีจํานวนขอมูลทั้งหมด 500 รายการ
และถือวาขอมูลชุดนี้คือขอมูลที่ไดจากประชากร (ขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิต (µ) 50
และมีสวนเบี่ยงมาตรฐาน (σ) 10 ทั้งนี้ผูสอนไมตองบอกรายละเอียดสวนนี้ใหผูเรียน
ทราบ)
ขอมูลทั้งหมดของประชากรนํามาแจกแจงความถี่ไดดังนี้
คะแนน ความถี่ คะแนน ความถี่
20
21
22
23
24
25
26
27
1
0
0
1
1
1
1
1
28
29
30
31
32
33
34
35
2
2
3
3
4
5
6
6
- 4. 12
คะแนน ความถี่ คะแนน ความถี่
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
7
9
10
11
12
13
14
16
17
18
18
19
19
20
20
20
19
19
18
18
17
16
14
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
13
12
11
10
9
7
6
6
5
4
3
3
2
2
1
1
1
1
1
0
0
1
ผูสอนใหผูเรียนสุมตัวอยางโดยมีขั้นตอนดังนี้
- 5. 13
1. ใหผูเรียนชวยกันเขียนสลากของขอมูลที่เปนคะแนนทั้งหมด 500 รายการใส
กลองไว (นั่นคือ เขียนคะแนนบนสลาก ใหจํานวนสลากของแตละคะแนนเทากับความถี่
ของคะแนนนั้น เชน เขียนคะแนน 20 จํานวน 1 ใบ ไมตองเขียนคะแนน 21 เพราะมี
ความถี่เปน 0 และเขียนคะแนน 50 จํานวน 20 ใบ)
2. ผูสอนแบงผูเรียนในชั้นเปนกลุม กลุมละ 3 ถึง 4 คน ใหผูเรียนในแตละกลุม
ชวยกันหยิบสลากขอมูลกลุมละ 20 ชิ้น โดยกลุมแรกหยิบสลาก 20 ชิ้น จดขอมูลที่ไดไว
แลวคืนสลากที่หยิบมาไวในกลองอยางเดิม เขยากลองแลวใหกลุมตอไปทําเหมือนกันจน
ครบทุกกลุม
3. เมื่อผูเรียนทํากิจกรรมในขอ 2 แลว ใหเขียนขอมูลที่ไดเรียงจากขอมูลที่มีคา
นอยไปหาคามาก แลวใหหา คาเฉลี่ยเลขคณิต (X ) มัธยฐาน และสวนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน (s)
ตัวอยางขอมูล 10 ชุด ชุดละ 20 ตัวอยาง ที่นักเรียนสุมขึ้นมาอาจเปนดังนี้
ชุดที่ ขอมูล
1. 55 48 55 50 51 64 48 39* 49 48 54 59 66* 42 53 51 44 58 57 45
2. 44 47 43 63 60 69 47 56 46 36 53 52 49 72* 47 34 66 49 26* 63
3. 79 58 72 80* 56 46 64 44* 59 55 60 60 47 44 47 62 50 47 45 58
4. 52 51 38 58 42 53 47 50 43 55 42 59 63* 46 57 53 54 34* 48 50
5. 53 53 64 51 52 48 42 58 40 58 51 42 60 57 47 40* 68* 51 55 46
6. 33* 49 50 37 40 51 38 55 62 58 46 68* 43 35 63 41 42 36 45 48
7. 45 55 54 46 49 62 47 49 50 48 48 53 25* 52 44 48 39 63* 57 51
8. 59 47 36 43 53 37 66* 52 48 39 56 63 65 35* 58 37 62 55 58 52
9. 61* 20* 46 53 30 39 44 57 61 48 59 34 59 43 55 41 35 26 48 31
10. 54 52 41* 60* 53 51 53 49 47 50 48 52 45 42 55 49 58 43 57 50
* คาที่มากที่สุดหรือนอยที่สุดของขอมูลแตละชุด
- 6. 14
หมายเหตุ ในทางปฏิบัติ ผูสอนใหผูเรียนเปนผูสุมขอมูลแตละชุดดวยตนเองตามวิธีการที่ได
กลาวมาขางตน ตัวอยางที่ใหไวนี้ มีไวเพื่อใชยกตัวอยางในการอภิปรายในตอน
ตอไปเทานั้น
จากขอมูลที่ได ผูสอนใหผูเรียนแตละกลุมสรางแผนภาพตน -ใบ แลวหาคาเฉลี่ย
เลขคณิต สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพิสัยของขอมูลที่ได โดยอาจดําเนินการดังนี้
1. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาแผนภาพตน -ใบ ที่เขียนไว แลวประมาณคาเฉลี่ย
เลขคณิตวาควรมีคาเทาใด เชน
ขอมูลจากชุดที่ 1
3 9
4 2 4 5 8 8 8 9
5 0 1 1 3 4 5 5 7 8 9
6 4 6
จากขอมูลในแผนภาพตน -ใบ ของชุดที่ 1 ผูเรียนควรประมาณวา คา X ควร
มีคาใกลเคียงกับ 50 โดยอาจมีคามากกวา 50 เล็กนอย เนื่องจากขอมูลสวนใหญอยูในชวง
50 – 59 และขอมูลที่มีคามากกวา 50 มี 11 จํานวน ซึ่งมากกวาขอมูลที่มีคานอยกวา 50
ที่มี 8 จํานวน จากนั้นผูสอนใหผูเรียนหาคา X , มัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ
พิสัยจากคาจริง ซึ่งจะได
X = 51.8 มัธยฐาน เทากับ 51
s = 6.95 และ พิสัย เทากับ 66 – 39 = 27
ผูสอนใหผูเรียนกลุมอื่นประมาณคา X โดยใชวิธีการเชนเดียวกับที่กลาว
มาแลว เชน จากขอมูลของชุดที่ 3
- 7. 15
ขอมูลจากชุดที่ 3
4 4 4 5 6 7 7 7
5 0 5 6 8 8 9
6 0 0 2 4
7 2 9
8 0
จะเห็นวา ขอมูลที่มีคานอยกวา 60 มีทั้งหมด 13 คา ซึ่งนาจะมีคาประมาณ
50 × 13 หรือ 650 และคาที่มากกวาหรือเทากับ 60 คะแนน มี 7 คา ซึ่งนาจะมี
คาประมาณ 65 × 7 หรือ 455 และเมื่อนําผลรวมจากคาประมาณซึ่งเทากับ 650 + 455
หรือ 1105 มาหาคาเฉลี่ย จะไดคา X ซึ่งเปนคาประมาณเทากับ 1105 ÷ 20 หรือ
55.25
เมื่อหาคา X , มัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพิสัยโดยการคํานวณ
จากคาจริง จะได
X = 56.65 มัธยฐาน เทากับ 56 58
2
+
= 57
s = 10.98 และ พิสัย เทากับ 80 – 44 หรือ 36
ผูสอนใหผูเรียนกลุมอื่น ๆ ทํากิจกรรมเชนเดียวกันจนครบทุกกลุม เพื่อให
ผูเรียนฝกวิธีการประมาณคา X โดยพิจารณาจากแผนภาพตน -ใบ และใชทักษะ
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่เหมาะสม กิจกรรมที่กลาวมานี้ไมไดเนนความถูกตอง
เรื่องการประมาณคาแตตองการใหผูเรียนมองภาพความสัมพันธของขอมูลโดยใชแผนภาพ
ตน -ใบ และฝกทักษะการวิเคราะหขอมูลเบื้องตน
2. เมื่อผูเรียนหาคา X ของขอมูลไดแลว ใหผูเรียนแตละกลุมพิจารณาวา ขอมูล
แตละตัวในขอมูลตัวอยางของกลุมตางจากคา X มากหรือนอยเพียงใด จากนั้นจึงให
สองกลุมใด ๆ จับคูกันแลวพิจารณาโดยใชการประมาณคาและอธิบายเหตุผลวา ขอมูล
ของกลุมใดควรจะมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกวากัน เมื่อไดขอสรุปแลวใหผูเรียนหา
- 8. 16
สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยการคํานวณจากสูตรเพื่อพิจารณาวาขอสรุปที่ไดจากการ
ประมาณใกลความจริงมากหรือนอยเพียงใด
3. ในกรณีที่มีเครื่องคิดเลขที่สามารถหาคาสถิติเบื้องตนได ผูสอนใหผูเรียน
หาคา µ และ σ ของประชากรที่กําหนดให (ในกรณีที่ไมมีเครื่องคิดเลขใหผูสอนบอก
คาดังกลาวแกผูเรียน) แลวใหผูเรียนชวยกันพิจารณาวา ขอมูลของผูเรียนแตละกลุมมี
คาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานแตกตางจากคาดังกลาวของประชากรมาก
นอยเพียงใด
การสุมตัวอยางที่กลาวมา ผูสอนอาจจะใหผูเรียนทํากิจกรรมซ้ํา โดยใหสุมตัวอยาง
เพิ่มเติมจาก 20 ตัวอยาง เปน 50 หรือ 100 ตัวอยาง เพื่อใหไดจํานวนตัวอยางเพิ่มมากขึ้น
แลวพิจารณาใหมวา ขอสรุปจากจํานวนตัวอยางที่มากขึ้นจะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิต และ
สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ไดจากตัวอยางใกลเคียงกับคาที่ไดจากประชากรมากขึ้นหรือไม
แมวาขอสรุปที่ไดจากการทํากิจกรรมที่กลาวมาในตัวอยาง จะไมไดใชวิธีการสถิติ
ขั้นสูงและไมสามารถใหขอสรุปในกรณีทั่วไปไดก็ตาม แตการใชกิจกรรมนี้มีจุดประสงค
ที่จะแสดงใหผูเรียนไดมองเห็นความสัมพันธระหวางคาสถิติของขอมูลตัวอยางที่เลือก
ขึ้นมาโดยการสุม กับคาสถิติของประชากร โดยผูสอนควรบอกใหผูเรียนไดทราบวา
ในทางปฏิบัติ การที่จะเลือกตัวอยางขึ้นมาจากประชากรใดนั้นจะตองอาศัยความรูทางดาน
คณิตศาสตร และสถิติอีกมากซึ่งผูเรียนจะไดเรียนเมื่อเลือกเรียนวิชาสถิติใน
ระดับอุดมศึกษา
กิจกรรมที่ 2
จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนเขาใจความหมายของคากลางและการกระจายของขอมูล
ขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม
1. ผูสอนตั้งคําถามใหผูเรียนดังนี้
ถามีขอมูลสองชุดที่มีคาเฉลี่ยเทากันแลว จะบอกไดหรือไมวาขอมูลที่มีคาเฉลี่ย
เลขคณิตเทากันจะตองมีขอมูลที่มีการกระจายใกลเคียงกัน โดยใหผูเรียนตอบโดย
ยกตัวอยางเพื่อแสดงเหตุผลประกอบ
- 9. 17
ในกรณีที่ผูเรียนไมสามารถยกตัวอยางเพื่อแสดงเหตุผลประกอบคําตอบได ให
ผูสอนยกตัวอยางขอมูลที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากันหลาย ๆ ตัวอยางเพื่อใหผูเรียนสรุป
คําตอบ เชน ผูสอนยกตัวอยางขอมูล 4 ชุด ซึ่งแตละชุดประกอบดวยขอมูล 5 จํานวน
และมี X เทากับ 5 ดังนี้
ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3 ชุดที่ 4
1 1 1
4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6
9 9 9
2. ผูสอนแนะนําใหผูเรียนหาพิสัยของขอมูลแตละชุด เพื่อแสดงวาคาดังกลาว
สามารถบอกลักษณะของขอมูลไดอยางคราว ๆ วามีการกระจายมากนอยเพียงใด
จากนั้นผูสอนจึงสรุปใหผูเรียนทราบวา การใชคากลางซึ่งในที่นี้ใชคาเฉลี่ยเลข
คณิต ไมสามารถบอกลักษณะการกระจายของขอมูลที่กําหนดใหได แตเราอาจใชพิสัย
เพื่อบอกลักษณะการกระจายของขอมูลอยางคราว ๆ ได
3. ผูสอนตั้งคําถามกับผูเรียนตอวา ถามีขอมูลสองชุดที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและพิสัย
เทากันแลว ขอมูลทั้งสองชุดจะตองเหมือนกันหรือมีลักษณะใกลเคียงกันหรือไม โดยให
ผูเรียนยกตัวอยางประกอบเหตุผลในการตอบ
ในกรณีที่ผูเรียนไมสามารถยกตัวอยางได ผูสอนอาจแสดงตัวอยางตอไปนี้
เพื่อใหผูเรียนเขาใจวา พิสัยสามารถบอกลักษณะการกระจายของขอมูลไดอยางคราว ๆ
เทานั้น
ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3
1 1 1 1
4 2
5 5 5
6 8
9 9 9 9
- 10. 18
4. ผูสอนแนะนําวิธีการวัดการกระจายของขอมูล โดยใชการเฉลี่ยความแตกตาง
ของขอมูลแตละคาจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งวิธีที่นิยมใชกันทั่วไปคือการใชสวนเบี่ยงเบน
มาตรฐานตามวิธีการในหนังสือเรียน
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียน 100 คน ตอไปนี้
1) จงสรางตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมนี้
2) จากตารางแจกแจงความถี่สะสมในขอ 1) จงหาวามัธยฐานของขอมูลชุดนี้อยู
ในชวงคะแนนใด
3) จงหารอยละของจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 51 คะแนน
คะแนน จํานวนนักเรียน
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
2
3
5
11
15
23
26
15
รวม 100
2. ขอมูลในลักษณะใดตอไปนี้ที่ไมควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตในการหาคากลาง
1) ความเร็วของรถยนต (กิโลเมตร / ชั่วโมง)
2) เพศ (ชาย หญิง)
3) อายุ (ป)
4) ระดับคะแนน (1, 2, 3, 4, 5)
5) น้ําหนัก (ต่ํากวามาตรฐาน อยูในเกณฑมาตรฐาน
เกินมาตรฐาน)
- 11. 19
3. จากขอมูลที่กําหนดให
3 15 21 30 9
11 4 18 21 30
30 14 5 11 22
23 13 12 5 13
12 21 4 13 8
1) จงสรางแผนภาพตน-ใบ
2) จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของขอมูลชุดนี้
4. ขอมูลที่เปนเวลาที่คนไขใชในการรอพบแพทยในโรงพยาบาลแหงหนึ่งเปนดังนี้
เวลา (นาที)
0
1
2
3
3 9 4 5 5 4 8
5 1 8 4 1 3 2 3 2 3
1 1 2 3 1
0 0 0
1) จงหา เวลาที่นานที่สุดที่คนไขตองรอพบแพทย
2) เวลาที่คนไขตองรอพบแพทยต่ํากวา 10 นาที มีกี่เปอรเซ็นตของขอมูลทั้งหมด
3) จงหามัธยฐานของขอมูลชุดนี้
5. จากตารางแผนภาพตน-ใบ ที่แสดงอายุของนักทองเที่ยวที่เดินทางมาเที่ยวเกาะชาง
ตอไปนี้
อายุ (ป)
0 6 7
3 9 3 4 6 6
4 0 0 1 2 2 2 4 7
5 3 5 8 1 3 2 1
6 1 1 2
- 12. 20
จงหา
1) จํานวนนักทองเที่ยวกลุมนี้
2) อายุที่นอยที่สุด และอายุที่มากที่สุดของนักทองเที่ยวกลุมนี้
3) คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของอายุของนักทองเที่ยวกลุมนี้
6. จากผลการสอบวิชาคณิตศาสตร นัทไดคะแนนเทากับเปอรเซ็นไทลที่ 65 ขอความใด
ตอไปนี้ถูกตอง
1) นัทสอบไดคะแนน 65%
2) 35% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนเทากับหรือนอยกวาคะแนนที่นัทได
3) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนมากกวาคะแนนของนัท
4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท
7. ในการสอบครั้งหนึ่งมีผูเขาสอบทั้งหมด 280 คน ถาเปอรเซ็นไทลที่ 75 ของคะแนน
สอบครั้งนี้คือ 84 จงหาวา มีนักเรียนกี่คนที่สอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ
84 คะแนน
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. 1)
คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
2
3
5
11
15
23
26
15
2
5
10
21
36
59
85
100
- 13. 21
2) มัธยฐานอยูในชวงคะแนน 71 – 80
3) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 51 คะแนน มี 10
100
100
× = 10%
2. ขอมูลที่ไมควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตในการหาคากลาง ไดแก
2) เพศ (ชาย, หญิง)
5) น้ําหนัก (ต่ํากวามาตรฐาน, อยูในเกณฑมาตรฐาน, เกินมาตรฐาน)
3. 1) 0 3 4 4 5 5 8 9
1 1 1 2 2 3 3 3 4 5 8
2 1 1 1 2 3
3 0 0 0
2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 14.72
มัธยฐาน คือ 13
ฐานนิยม สําหรับขอมูลชุดนี้อาจกลาวไดวาไมมีฐานนิยมเพราะมีคาที่มีความถี่
เทากันมากกวาสองคา ไดแก 13, 21 และ 30
4. 1) 30 นาที
2) 28%
3) 13 นาที
5. 1) 25 คน
2) อายุนอยที่สุด คือ 6 ป
อายุมากที่สุด คือ 62 ป
3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 43.44
มัธยฐาน คือ 42
ฐานนิยม คือ 42
- 14. 22
6. ขอ 4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท
7. คะแนน 84 คะแนนคือคะแนนในตําแหนง P75
นั่นคือ ถามีนักเรียน 100 คน จะมี 75 คนที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 84
ดังนั้น เมื่อมีนักเรียน 280 คน จะมีนักเรียน 75
280
100
× = 210 คนที่ไดคะแนน
นอยกวาหรือเทากับ 84 คะแนน
เฉลยแบบฝกหัด
เฉลยแบบฝกหัด 2.1
1. 1)
ยอดเงินที่จาย (บาท) จํานวนลูกคา
ต่ํากวา 100
100 – 199
200 – 299
300 – 399
400 – 499
500 – 599
600 – 699
2
4
11
13
14
5
1
2) 400 – 499 บาท
3) มากกวา 1 คน
4) ประมาณจํานวนเงินในชวงต่ํากวา 100 ใหเทากับ 50 บาท หาคากึ่งกลางของ
แตละอันตรภาคชั้นและประมาณจํานวนเงินที่ลูกคาจายโดยใชจุดกึ่งกลาง
- 15. 23
จุดกึ่งกลาง จํานวนลูกคา จํานวนเงิน
50
149.5
249.5
349.5
449.5
549.5
649.5
2
4
11
13
14
5
1
50 × 2
149.5 × 4
249.5 × 11
349.5 × 13
449.5 × 14
549.5 × 5
649.5 × 1
รวม 17,676
ลูกคาทั้ง 50 คนใชเงินในการซื้อสินคาประมาณ 17,676 บาท
2. จากตารางแจกแจงความถี่สะสมที่กําหนดให จะไดตารางแจกแจงความถี่ดังนี้
อายุ (ป) ความถี่ (คน)
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
2
15
10
5
0
3
รวม 35
1) จากตารางแจกแจงความถี่ที่ได คนที่มีอายุอยูในชวง 10 - 19 ป มี 2 คน ชวง
20 – 29 ป มี 15 คน ชวง 30 – 39 ป มี 10 คน ชวง 40 – 49 ป มี 5 คน ไมมีคน
ที่มีอายุอยูในชวง 50 – 59 ป และคนที่มีอายุอยูในชวง 60 – 69 ป มี 3 คน
2) 20 – 29 ป
- 16. 24
3. 1) 80 – 89 คะแนน มี 8 คน
60 – 89 คะแนน มี 49 คน
2) 3 คน
3) 70 – 79 คะแนน
4) 31 คน
4. 1) เนื่องจากคาต่ําสุดของขอมูลคือ 345 คน และสูงสุดคือ 730 คน
สรางตารางแจกแจงความถี่ใหมี 10 อันตรภาคชั้นไดดังนี้
จํานวนประชากร รอยขีด จํานวนหมูบาน
341 – 380
381 – 420
421 – 460
461 – 500
501 – 540
541 – 580
581 – 620
621 – 660
661 – 700
701 – 740
//
//// //
////
//// //// ////
//// //// /
//// //// /
//// //// /
///
/
/
2
7
5
14
11
11
11
3
1
1
- 17. 25
2)
อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม
341 – 380
381 – 420
421 – 460
461 – 500
501 – 540
541 – 580
581 – 620
621 – 660
661 – 700
701 – 740
2
7
5
14
11
11
11
3
1
1
2
9
14
28
39
50
61
64
65
66
(1) 28 หมูบาน
(2) 48 หมูบาน
(3) จํานวนหมูบานที่มีประชากรอาศัยอยูเกิน 660 คน เทากับ 66 – 64 หรือ
2 หมูบาน ซึ่งคิดเปนรอยละ 2
100
66
× หรือประมาณรอยละ 3
5. 1)
เวลา (t นาที) รอยขีด ความถี่
0 < t ≤ 5
5 < t ≤ 10
10 < t ≤ 15
15 < t ≤ 20
20 < t ≤ 25
25 < t ≤ 30
/
////
//// ////
//// ////
//// /
/
1
5
9
10
6
1
รวม 32
- 18. 26
2) จากตารางนักเรียนจํานวนมากที่สุดใชเวลาเดินทางมากกวา 15 นาที แตไมเกิน 20
นาที
3 ) จากขอมูลขางตนนาจะสรุปไดวา ที่พักของนักเรียนเหลานี้ไมไกลจากโรงเรียน
มากนัก (ครูกับผูเรียนอาจอภิปรายเพิ่มเติมจากขอมูลก็ได โดยคําตอบและ
คําอธิบายที่ใหควรสมเหตุสมผล และอาจเปนประเด็นใหทําการสํารวจขอมูล
ตอไป)
6. 1)
จํานวนเด็ก (คน) รอยขีด ความถี่
(ครอบครัว)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
////
//// /
//// //// //// ////
//// //
//// //
//
///
/
5
6
19
7
7
2
3
0
1
รวม 50
2) (1) 19 ครอบครัว (2) 25 ครอบครัว (6 + 19)
(3) 11 ครอบครัว (5 + 6) (4) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5)
(5) 20 ครอบครัว (50 – 30) (6) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5)
3) (1) 20
100
50
× หรือ รอยละ 40 (2) 30
100
50
× หรือ รอยละ 60
(3) 20
100
50
× หรือ รอยละ 40 (4) 13
100
50
× หรือ รอยละ 26
- 19. 27
7. 1)
คะแนน ความถี่ ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสม
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
2
0
6
6
10
13
8
4.44
0
13.33
13.33
22.22
28.89
17.78
2
2
8
14
24
37
45
2) ชวงคะแนน 80 – 89 คะแนน
3) 13.3%
4) 37 คน
5) 17.8%
8. 1) (1) 2,467,839 คน (2) 38,074 คน
(3) 4,954,109 คน (4) 3,794,796 คน
2) (1) 16.53% (2) 1.73%
(3) 24.32% (4) 33.24%
(5) 31.75%
9. 1) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 80 ถึง 89 คะแนน มี 8 คน
นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 60 ถึง 89 คะแนน มี 58 – 9 = 49 คน
2) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรต่ํากวา 50 คะแนน มี 3 คน
3) ชวงคะแนนที่มีจํานวนนักเรียนไดมากที่สุด คือ ชวง 70 – 79 คะแนน
4) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 70 คะแนนขึ้นไป มี 60 – 29 = 31 คน
- 20. 28
10. 1)
ระดับคะแนน จํานวนนักเรียน
4
3
2
1
ไมผาน
8
13
10
12
2
รวม 45
2) ระดับคะแนน 3
11. 1)
คะแนนสอบ ความถี่ ความถี่สะสม
701 – 800
601 – 700
501 – 600
401 – 500
301 – 400
201 – 300
4
10
15
18
11
2
60
56
46
31
13
2
2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 700 คะแนน มี 4 คน
จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 301 คะแนน มี 2 คน
จํานวนนักเรียนทั้งสองกลุมเทากับ 6 คน คิดเปนรอยละ 6
100
60
× หรือ 10%
ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด
- 22. 30
2. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนักนักเรียน 50 คน
น้ําหนัก รอยขีด ความถี่
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
///
//// ////
//// //// //// //// /
//// //// ///
////
3
9
21
13
4
2) ฮิสโทแกรมแสดงน้ําหนักนักเรียน
3. 1) นักเรียนที่สูงที่สุด สูง 175 เซนติเมตร นักเรียนที่เตี้ยที่สุด สูง 151 เซนติเมตร
ทั้งสองคนมีความสูงแตกตางกัน 24 เซนติเมตร
2) ตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียน
ความสูง รอยขีด จํานวนนักเรียน
150 – 156
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
175 – 179
//// //
//// //// //// ///
//// ////
//// /
//// ///
/
7
18
10
6
8
1
3
0
9
6
15
12
น้ําหนัก (กิโลกรัม)
จํานวนนักเรียน (คน)
21
18
42 47 52 57 62
- 23. 31
3) ฮิสโทแกรมแสดงความสูงของนักเรียน
4. 1) 50 ผล
2) 36 ผล คิดเปน 72% ของจํานวนผลสมทั้งหมด
3)
3
0
9
6
15
12
152
ความสูง (ซม.)
จํานวนนักเรียน (คน)
157 162 167 172
21
18
177
2
0
6
4
10
8
64.5 น้ําหนัก (กรัม) / ผล
จํานวนผลสม (ผล)
74.5 84.5 94.5 104.5
12
114.5 124.5 134.5
- 24. 32
เฉลยแบบฝกหัด 2.2.2
1. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหนํามาจัดเรียงใหมไดดังนี้
19
24 24 24 23
31 35 36 38 34 38 33 36
44 43 47 44 42 49 48
จากขอมูลที่จัดเรียงขางตนนํามาเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้
1 9
2 3 4 4 4
3 1 3 4 5 6 6 8 8
4 2 3 4 4 7 8 9
2) จากแผนภาพตน-ใบ พบวา ในชวง 30 – 39 คะแนนมีจํานวนนักเรียนมากที่สุด
2. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้
0 7 8 9
1 1 2 3 4 6 7 8 8 9
2 2 2 4 5
3 0 2 2 3 4 5
4 1 3 5 6
5 1 6 6
6 1
2) อายุต่ําสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 7 ป
อายุสูงสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 61 ป
3) ผูเขาชมนิทรรศการมีอายุอยูในชวง 10 – 19 ป มากที่สุด
- 25. 33
3. 1) 12 3 9 9
13 1 2 5 7
14 4 8
15 0 1 1 3 4 4 8 9
16 0 0 1 6
17 0 5 6
18 0 3 5 9
19 8
20 6
2) คนไขมีความดันโลหิตในชวง 150 – 159 มากที่สุด
4. 1) 9 20 20 60 80 90
10 00 40
11 20 40 50 70
12 40 40 60 60 70
13 00 30 50 60 60
14 00 30 60 80
15 20 50 60 70
16 10 80
17 20
18
19 40
20 00 90
9 20 แทน 920
10 00 แทน 1000
- 26. 34
2) พนักงานไดรับเงินสมทบในชวง 900 – 990 บาท 1200 – 1290 บาท และ
1300 – 1390 บาท ชวงละ 5 คนเทากัน จึงอาจกลาวไดวาไมมีชวงจํานวนเงินใดที่
มีพนักงานจํานวนมากที่สุดไดรับเงินในชวงนั้น
3) พนักงานที่ไดรับเงินสมทบในชวงต่ําสุด มี 5 คน ซึ่งมากกวาพนักงานที่ไดรับเงิน
สมทบในชวงสูงสุด 3 คน
5. 1) 25 คน
2) เวลาที่นอยที่สุด 41 นาที
เวลาที่มากที่สุด 90 นาที
6. มี 11 คน หรือคิดเปน 11
100
25
× หรือ 44%
7. 1) 0 5 5
1 0 0 5 5
2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5
3 0 0 0 0 5
4 0 5 5
2) 20 – 29 นาที
8. 1) 9 0 5 8
10 4 4 5 6
11 1 2 3 7
12 2 2 3 4 5 8 8
13 1 2 3 4 5 9 9
2) มี 14
100
25
× หรือ 56%
- 27. 35
9. 1) คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงมากที่สุด คือ 6.6 เมตร
คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงนอยที่สุด คือ 2.4 เมตร
2) จํานวนนักเรียนที่ประมาณความสูงของตนไมต่ํากวา 4 เมตร มี 12
100
30
× = 40%
เฉลยแบบฝกหัด 2.3
1. เนื่องจากมีนักเรียน 9 คน ที่ไดคะแนนสอบนอยกวาหรือเทากับ 25 คะแนน
และ คะแนน 25 คะแนนเปนคะแนนในตําแนง P25
ดังนั้น นักเรียน 9 คน คิดเปนรอยละ 25 ของจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด
ถาใหจํานวนนักเรียนทั้งหมด คือ N คน จะได 25
N
100
× = 9 ซึ่งได N = 36
นั่นคือ มีนักเรียนเขาสอบครั้งนี้ทั้งหมด 36 คน
หมายเหตุ อาจมีนักเรียนบางคนคิดวา P25 คือคะแนนของนักเรียนในตําแหนงที่ 9 แลว ใชสูตร
เขียนสมการ 25(N+1) = 9
100
จะไดวา N = 35 และตอบวามีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด
35 คน การตอบเชนนี้ก็ถือวาเปนคําตอบที่ถูกตองเชนกัน เพราะคะแนน 25 ซึ่งเปน
คะแนนของตําแหนง P25 อาจเปนคะแนนของนักเรียนคนที่ 9 หรืออยูระหวาง
คะแนนของคนที่ 9 และคนที่ 10 ก็ได และถาคะแนน 25 เปนคะแนนของคนที่ 9 ก็
จะไดวามีนักเรียนเขาสอบ 35 คน แตถาคะแนนนั้นเปนคะแนนระหวางคนที่ 9 และ
คนที่ 10 ก็จะไดวามีนักเรียนเขาสอบ 36 คน ดังนั้นเมื่อนักเรียนตอบ 35 หรือ 36 คน
ก็ถือวาตอบถูกตองทั้งคู ขึ้นอยูวานักเรียนมีกระบวนการคิดเชนไร
2. คะแนนในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 40 เทากับ 78 คะแนน และมีนักเรียน 8 คนที่
ไดคะแนนเทากับหรือนอยกวา 78 คะแนน
จาก 40
N 8
100
× = จะได N = 20
ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 78 คะแนน อยู 20 – 8 หรือ 12 คน
3. เนื่องจาก 20
100
25
× = 80%
ดังนั้น คะแนน 92 คะแนนอยูในเปอรเซ็นไทลที่ 80
- 28. 36
4. 80% ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนเตาไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนน
ที่เตาได
5. 6 คน
6. เนื่องจากรอยละ 68 ของนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด 25 คน เทากับ 68
25
100
× หรือ 17
คน ดังนั้น คะแนนที่อยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 68 คือ 88 คะแนน
7. จากขอมูลที่กําหนดให สรางแผนภาพตน-ใบไดดังนี้
3 0 4 9
4 0 7 9
5 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 7 8 8 9
6 0 1 3 4 4 9 9 9
7 0 1
จากแผนภาพตน-ใบ
1) นักเรียนตองสอบได 52 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณรอยละ 30 หรือประมาณ 10 คน จาก 32 คน
นักเรียนตองสอบได 56 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณรอยละ 55 หรือประมาณ 18 คน จาก 32 คน
2) นักเรียนตองสอบได 54 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณ 4 ใน 10 หรือประมาณ 13 คน จาก 32 คน
นักเรียนตองสอบได 69 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้
ประมาณ 9 ใน 10 หรือประมาณ 29 คน จาก 32 คน
3) นักเรียนตองสอบได 63 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาอยู 3 ใน 4
หรือประมาณ 24 คน จาก 32 คน
- 29. 37
เฉลยแบบฝกหัด 2.4
1. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8
มัธยฐาน คือ 8
ฐานนิยม คือ 8
ขอความที่เปนจริงสําหรับขอมูลชุดนี้คือ ขอความ 2) และขอความ 4)
2. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 40
มัธยฐาน คือ 40
ดังนั้น ขอความ 2) ถูกตอง
3. ขอมูลทั้งหมด 7 จํานวน มีคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 81
จะได ผลรวมของขอมูลทั้ง 7 จํานวน คือ 81 × 7 = 567
ตัดขอมูลออกไป 1 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 78
จะไดผลรวมของขอมูล 6 จํานวน คือ 78 × 6 = 468
นั่นคือ ขอมูลที่ถูกตัดออกไปมีคา 567 – 468 = 99
4. 1) X = 3 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 3
2) X = 3 มัธยฐาน = 2 ฐานนิยม = 1
3) X = 2 มัธยฐาน = 1 ฐานนิยม = 1
4) X = 4 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 1
จะได ขอมูลชุด 1) ที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเทากัน
5. คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรัม
จะไดผลรวมของน้ําหนักของนักเรียนสามคน เทากับ 38 × 3 = 114 กิโลกรัม
มีนักเรียนหนึ่งคนในกลุมนี้หนัก 46 กิโลกรัม
ดังนั้น อีกสองคนที่เหลือมีน้ําหนักรวมกัน 114 – 46 = 68 กิโลกรัม
แตสองคนที่เหลือมีน้ําหนักเทากัน
จะไดวา แตละคนมีน้ําหนัก 68
2
= 34 กิโลกรัม
- 30. 38
6. ตองการคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 ครั้งเปน 85 คะแนน
จะไดผลรวมของคะแนนสอบ 4 ครั้ง เทากับ 85 × 4 = 340 คะแนน
สอบ 3 ครั้ง เจี๊ยบไดคะแนน 78, 89 และ 82 คะแนน
ดังนั้น สอบครั้งที่ 4 เจี๊ยบตองไดคะแนน 340 – (78 + 89 + 82) = 91 คะแนน
7. มัธยฐาน คือ 87 ซึ่งตองอยูเปนอันดับที่ 3 ของขอมูลที่เรียงคะแนนจากนอยไปมาก
ฐานนิยมคือ 80 ซึ่งนอยกวามัธยฐาน ดังนั้นขอมูลมี 80 อยู 2 จํานวน
คาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 86 จะไดผลรวมของขอมูลทั้ง 5 จํานวนเปน 86 × 5 = 430 คะแนน
นั่นคือ ขอมูลอีก 2 จํานวน ตองมีผลรวมเปน 430 – (87 + 80 + 80) = 183 คะแนน
ขอมูลที่อยูถัดจากมัธยฐานไปจะมีคานอยที่สุดที่เปนไปไดคือ 88 คะแนน
ดังนั้น คะแนนสอบสูงสุดที่เปนไปไดคือ 183 – 88 = 95 คะแนน
8. คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน คือ 360
จะได ผลรวมของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน เทากับ 360 × 5 = 1800
สองจํานวนสุดทาย คือ 102 และ 99
นั่นคือ ผลรวมของจํานวนเต็มบวกอีกสามจํานวน ที่เหลือจะเปน
1800 – (102 + 99) = 1599
และมีการเรียงลําดับจํานวนจากมากไปนอย นั่นคือ สองจํานวนกอนหนา คะแนนสูงสุด
จะมีคานอยสุดที่เปนไปไดคือ 102 กับ 102
ดังนั้น จํานวนมากที่สุดที่เปนไปไดคือ 1599 – (102 + 102) = 1395
9. คาเฉลี่ยเลขคณิตของหาวิชา ตองได 90 เปนอยางนอย
จะไดผลรวมของคะแนนหาวิชา อยางนอยตองเทากับ 90 × 5 = 450 คะแนน
ผลการสอบ 4 ครั้ง เกงสอบได 85, 89, 87 และ 96 คะแนน
ดังนั้น ครั้งที่ 5 เกงตองไดคะแนนอยางนอย 450 – (85 + 89 + 87 + 96) = 93 คะแนน
10. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8
จะได ตัวเลขที่สุมไดที่มากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 10 กับ 13
ดังนั้น ความนาจะเปน เทากับ 2
6
= 1
3
- 31. 39
2) มัธยฐานเทากับ 7 8
2
+
= 7.5
จะไมมีตัวเลขที่สุมไดที่มีคาเทากับมัธยฐาน
ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะสุมไดตัวเลขที่เทากับ มัธยฐานจึงเปน 0
11. คาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 17 14 11 6 x
5
+ + + +
= 48 x
5
+
แยกกรณีพิจารณาคา x
กรณีที่ 1 ถา x ≤ 11
มัธยฐานคือ 11
จะได 48 x
5
+
= 11
x = 55 – 48 = 7
กรณีที่ 2 ถา 11 < x < 14
มัธยฐานคือ x
จะได 48 x
5
+
= x
48 + x = 5x
x = 12
กรณีที่ 3 ถา x ≥ 14
มัธยฐานคือ 14
จะได 48 x
5
+
= 14
x = 70 – 48 = 22
นั่นคือ x มีคาเทากับ 7, 12 และ 22 จะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของ
ขอมูลมีคาเทากัน
12. 1) ควรใชมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เพราะจากแผนภาพขอมูลสวนใหญ
อยูในชวง 3 – 29 และขอมูลมีการกระจายมาก
2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 28
มัธยฐาน คือ 22
- 32. 40
13. 1) แผนภาพตน-ใบ
12 3 9 9
13 1 2 5 7
14 4 8
15 0 1 1 3 4 4 8 9
16 0 0 1 6
17 0 5 6
18 0 3 5 9
19 8
20 6
2) จากแผนภาพควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคากลางแทนขอมูลชุดนี้ เพราะขอมูล
ไมกระจายมาก
3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 158.23
มัธยฐาน คือ 154 158
2
+
= 156
ขอสังเกต ขอมูลชุดนี้ไมกระจายมาก ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน
จึงไมแตกตางกันมาก
14. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดควรจะสูงกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของ
คะแนนจริง เนื่องจากคะแนนสวนใหญ (16 จาก 21 จํานวน) มีคาอยูระหวาง
30 – 48 คะแนน ในขณะนี้คะแนนจริงที่มีคาระหวาง 30 – 50 คะแนน
มี 13 จํานวน จาก 21 จํานวน
2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะได คือ 36.43 คะแนน
คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่นักเรียนไดจริง คือ 33.05 คะแนน
ซึ่งคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดมีคาสูงกวาคะแนนที่นักเรียนไดจริง
- 33. 41
15. 1) จํานวนนักเรียนทั้งหมดที่ทําแบบทดสอบ มี 25 คน
2) เวลาที่มากที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 90 นาที
เวลานอยที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 41 นาที
3) มัธยฐาน คือ 65 นาที
ฐานนิยม คือ 71 นาที
16. 1) นักเรียนที่สูงที่สุดสูง 172 เซนติเมตร
2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูง คือ 157.6 เซนติเมตร
มัธยฐาน คือ 159 เซนติเมตร
3) นักเรียนที่สูงมากกวา 169 เซนติเมตร มี 20% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด
17. X = 25.04 กิโลกรัม
มัธยฐาน = 22 กิโลกรัม
ฐานนิยม = 22 กิโลกรัม
เฉลยแบบฝกหักหัด 2.5
1. 1) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย
จะได s ≈ =
7 2
4
−
= 1.25
X = 20
5
= 4
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
จะได s = 4 1 1 9 1
4
+ + + +
= 4 = 2
พิสัย
4
- 34. 42
2) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย
จะได s ≈ =
37 20
4
−
= 4.25
X = 150
5
= 30
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
s = 100 25 9 1 49
4
+ + + +
= 46
≈ 6.78
3) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
6 1
4
−
= 1.25
X = 33
11
= 3
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 0 1 4 1 9 1 4 1 0 1
10
+ + + + + + + + + +
≈ 2.60 ≈ 1.61
4) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
12 2
4
−
= 2.5
X = 60
12
= 5
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 49 0 1 4 9 1 0 1 0 0 1
11
+ + + + + + + + + + +
≈ 6.3636 ≈ 2.52
พิสัย
4
- 35. 43
5) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
15 5
4
−
= 2.5
X = 60
6
= 10
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 25 9 1 1 9 25
5
+ + + + +
≈ 14 ≈ 3.74
6) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
95 74
4
−
= 5.25
X = 588
7
= 84
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 16 25 121 4 16 64 100
6
+ + + + + +
≈ 57.67 ≈ 7.59
7) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
75 42
4
−
= 8.25
X = 580
10
= 58
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร
s = 256 169 100 100 16 4 36 144 256 289
9
+ + + + + + + + +
= 152.22 ≈ 12.34
8) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
21 3
4
−
= 4.5
X = 110
10
= 11
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร
s = 9 100 4 16 25 16 64 9 36 1
9
+ + + + + + + + +
= 31.11 ≈ 5.58
- 36. 44
9) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
116 99
4
−
= 4.25
X = 763
7
= 109
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 64 36 25 100 9 9 49
6
+ + + + + +
≈ 48.67 ≈ 6.98
10) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈
2.5 1.6
4
−
= 0.225
X = 14.7
7
= 2.1
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร
s = 0 0.01 0.04 0.25 0.16 0.01 0.09
6
+ + + + + +
= 0.0933 ≈ 0.306
2. 1) a
2) c
3) d
4) g
5) b
6) e
7) f
3. พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้
1) ขอมูล 0, 10, 20, 30, 40 มี X = 20
5
i
i 1
X X
=
−∑ = 20 + 10 + 0 + 10 + 20
= 60
0 10 20 30 40
× × × × ×
- 37. 45
2) ขอมูล 0, 0, 20, 40, 40 มี X = 20
5
i
i 1
X X
=
−∑ = 20 + 20 + 0 + 20 + 20
= 80
3) ขอมูล 0, 19, 20, 21, 40 มี X = 20
5
i
i 1
X X
=
−∑ = 20 + 1 + 0 + 1 + 20
= 42
พิจารณาจากคา
5
i
i 1
X X
=
−∑ ของขอมูลแตละชุด พบวา ขอมูลในขอ 2) ควรมี
การกระจายมากที่สุด และขอมูลในขอ 3) ควรมีการกระจายนอยที่สุด
และเมื่อหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตรพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ขอมูลในแตละขอมีดังนี้
1) s = 15.81 2) s = 20 3) s = 14.16
4. 1) ขอมูล 5, 5, 5, 5, 5, 5 มี X = 5
จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวไมแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้จะเทากับ 0
2) ขอมูล 10, 10, 10, 20, 20, 20 มี X = 15
จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 5 และ iX X− = 5
พิจารณาคา
6
i
i 1
X X
6
=
−∑
ของขอมูลชุดนี้ซึ่งเทากับ 6 5
6
×
หรือ 5
แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5
จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47
0 10 20 30 40
×
×
× ×
×
0 10 20 30 40
×× ×× ×
- 38. 46
3) ขอมูล 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 มี X = 14
พิจารณาคา
9
i
i 1
X X
9
=
−∑
ของขอมูลชุดนี้ ซึ่งเทากับ
8 6 4 2 0 2 4 6 8
9
+ + + + + + + +
≈ 4.4
แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5
จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47
4) ขอมูล 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 มี X = 25
พิจารณาคา
9
i
i 1
X X
9
=
−∑
ของขอมูลชุดนี้ ซึ่งเทากับ
20 15 10 5 0 5 10 15 20
9
+ + + + + + + +
= 100
9
≈ 11.11
แสดงวา ขอมูลชุดนี้ไมควรมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานใกลเคียงกับ 5
จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 13.69
5. ขอมูลชุดแรก 16, 23, 34, 56, 78, 92, 93 มี X = 56
ขอมูลชุดที่สอง 20, 27, 38, 60, 82, 96, 97 มี X = 60
พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้
ชุดแรก
X 60=
ชุดที่สอง
15 25 35 45 55 65 75 85 95 105
X 56=
19 29 39 49 59 69 79 89 99 109
× × × × × ××
× × × × × ××
- 39. 47
จากแผนภาพจะเห็นวา ขอมูลทั้ง 2 ชุด มีการกระจายจากคาเฉลี่ยเลขคณิต (X )
ในลักษณะที่ใกลเคียงกัน ดังนั้น ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดแรกมีคา 30
(โดยประมาณ) สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดที่สองควรจะมีคา 30 (โดยประมาณ)
ดวย หาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลทั้งสองชุด โดยใชสูตรไดดังนี้
ขอมูลชุดแรก s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
s = 1600 1089 484 0 484 1296 1369
6
+ + + + + +
= 6322
6
≈ 32.46
ขอมูลชุดที่สอง s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
s = 1600 1089 484 0 484 1296 1369
6
+ + + + + +
= 6322
6
≈ 32.46
จากการคํานวณคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ขอมูลทั้งสองชุดนี้เทากัน
6. 1) X = 201
10
= 20.1
2) s =
n
2
i
i 1
(X X)
n 1
=
−
−
∑
= 0.01 0.01 1.21 0.81 0.81 4.41 0.01 3.61 8.41 9.61
9
+ + + + + + + + +
= 28.9
9
≈ 1.79
- 40. 48
3) ถาขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน ขอมูลชุดนี้ควรจะมีการ
กระจายแบบสมมาตร
7. 1) X = 51 และ s = 2.26
2) เนื่องจากการสุมชั่งน้ําหนักมันสําปะหลัง 15 กระสอบ พบวา
คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม
ดังนั้น ถาใหน้ําหนักของมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม
รถบรรทุกซึ่งบรรทุกน้ําหนักไดไมเกิน 5 ตัน (5,000 กิโลกรัม) จึงควรบรรทุก
มันสําปะหลังไดไมเกินคันละ 5000
51
หรือ 98 กระสอบ
เฉลยคําถามเพิ่มเติม
1. 1) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/1
คาต่ําสุด คือ 60 คาสูงสุดคือ 100
และ Q1 = 67, Q2 = 75 และ Q3 = 88
ดังนั้น 25% ของนักเรียนหอง 5/1 ที่ไดคะแนนอยูในกลุมต่ําสุด อยูในชวง
คะแนน 60 – 67 โดยมีคะแนนต่ําสุด 60 และคะแนนสูงสุด 67 คะแนน
2) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/2
60
67 75 88
100
64
77 85 91
98
- 41. 49
คาต่ําสุดคือ 64 คาสูงสุดคือ 98
และ Q1 = 77, Q2 = 85 และ Q3 = 91
ดังนั้น นักเรียนหอง ม. 5/2 ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 91 คะแนน
มีประมาณ 25%
3) มีนักเรียนหอง ม. 5/1 อยู 50% ที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 75 คะแนน
4) มีนักเรียนหอง ม. 5/2 อยู 75% ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 77 คะแนน
5) ถาผูสอนใหระดับคะแนน 4 แกผูสอบที่ไดคะแนนตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป
จากแผนภาพกลองพบวา นักเรียนหอง ม.5/2 มีผูที่สอบไดคะแนน 80 คะแนน
ซึ่งไดระดับคะแนน 4 เกิน 50% ในขณะที่หอง ม.5/1 มีนักเรียนที่ไดคะแนน
ตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป ไมถึง 50% (เนื่องจาก Q2 เทากับ 75 คะแนน)
ดังนั้น หอง ม.5/2 ควรจะมีผูที่ไดระดับคะแนน 4 มากกวาหอง ม.5/1
2. เปนไปไมไดที่แผนภาพที่สามจะแทนคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้งของ
นักเรียนแตละคนในกลุมนี้ เพราะคะแนนสูงสุดของแผนภาพที่สาม ไมใชคะแนน
เฉลี่ยสูงสุดของนักเรียนกลุมนี้ ถึงแมวานักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดจากการสอบทั้งสอง
ครั้งเปนคนเดียวกันก็ตาม
หมายเหตุ ผูสอนอาจใหผูเรียนอภิปรายรวมกันวาถาคะแนนเต็มของการสอบแตละ
ครั้งไมเทากัน เหตุผลขางตนยังเปนไปไดหรือไม