1. Modul ini membahas konsep vektor dan operasi-operasi matematika pada vektor seperti penjumlahan dan perkalian vektor. 2. Terdapat berbagai metode untuk menjumlahkan vektor seperti metode jajar genjang dan metode polygon. 3. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara analitis menggunakan rumus penjumlahan vektor atau menggunakan komponen-komponen vektor.

1. UNIT 2
VEKTOR
PENDAHULUAN
Dengan mempelajari modul ini, diharapkan siswa mampu menguasai standar
kompetensi , yakni menerapkan konsep besaran fisika dan pengukurannya. Dalam modul
ini disajikan, yaitu :
1.1. Pengenalan vektor
1.2. Menggambar vector dengan metode jajarangenjang dan polygon
1.3. Penjumlahan vector secara analisis
1.4. Penjumlahan vector dengan komponen vector
1.5. Perkalian vector
Setelah mempelajari modul ini , diharapkan siswa memiliki kompetensi dasar,
yakni : melakukan penjumlahan vector dengan indikator sebagai berikut :
1.1. Menggunakan metode jajarangenjang dan polygon dalam menjumlahkan
vector
1.2. Membandingkan penjumlahan vector melalui komponen vector dan analisis
vector.
1.1.
Pengenalan vector
Scalar
besaran yang hanya mempunyai nilai saja
Vector
besaran yang memiliki besar dan arah
Besaran
Vektor dapat dikenal melalui gambar, dan cara penulisannya. Vektor
digambarkan dengan anak panah ( lihat gambar ! )

2. B
Besaran vector F dinyatakan dengan anak panah
yaitu 30 m.
Sedangkan arah vector A dan B, yaitu ѳ derajat
30 m
F ke utara
A
ѳ
Timur
1.2. Menggambar vector dengan metode jajarangenjang dan
polygon
1.2.1. Metode jajarangenjang
Aturan – aturan penjumlahan dengan metode jajaran genjang :
1. Vektor yang akan digunakan dilukis pada titik asal yang sama
2. Lukis sebuah jajarangenjang dengan kedua vector sebagai sisi –
sisinya
3. Vektor resultan ( R ) adalah diagonal jajarangenjang yang titik
asalnya sama dengan titik asala vector – vector yang dijumlahkan.
Contoh :
Penjumlahan 2 vektor
Jawab
U
U
V
Penjumlahan 3 vektor
U
R=U+V
V

3. V
W
Jawab
V’
U
U’
W’
R=U+V
R = ( U + V)+W
V
W
R’
Pengurangan 2 vektor
U
R=U-V
U

4. V
V
Pengurangan 3 vektor
U
Jawab
V
W
R=(U+V)-W
R’
W’
V’
U
U’

5. R=U+V
W
V
1.2.2. Metode Poligon
Digunakan
apabila penjumlahan melibatkan lebih dari dua vector.
Aturan dalam menggambar vector dengan metode polygon :
1. Melukis vector pertama A yang akan dijumlahkan
2. Melukis vector kedua B dengan titik asalnya di ujung vector pertama A,
kemudian lukis vector ketiga C dengan titik asal pada ujung vector
kedua B dan seterusnya sehingga semua vector yang akan dijumlahkan
dilukis. Pastikan semua vector dilukis sesuai dengan besar dan arah yang
benar.
3. Hubungkan pangkal vector pertama A ke ujung vector terakhir E, dan
diperoleh vector resultan R
Contoh :
D
C
E
A
B
C

6. B
A
R=A+B+C+D+E
D
E
1.3. Penjumlahan vector secara analisis
* penjumlahan dan pengurangan vector segaris
Contoh :
Vektor U dan V mempunyai panjang 5 dan 3 satuan. Lukislah vector
resultannya bila :
a. kedua vector segaris dan searah
b. kedua vector segaris dan berlawanan arah
Jawab :
a. R = U + V
U diperoleh :
R
V
Arah vector resultan R searah dengan vector yang dijumlahkan dan
besarnya 8 satuan
b. R = U – V
U diperoleh :
R
V
Arah vector resultan R searah dengan vector yang terbesar U, yaitu
2 satuan
* Penjumlahan vector secara analisis
A
R
R = √A2 + B2 + 2AB cos ѳ

7. ѳ
B
*Pengurangan vector secara analisis
A
R = √A2 + B2 - 2AB cos ѳ
ѳ
R
B
Contoh :
Dua vector A dan B panjang masing – masing 4 dan 5 satuan. Titik asal kedua
vector berimpit pada titik O. Hitung besar vector resultan vector resultan dengan
a. Membentuk sudut apit 600
b. Searah
c. Segaris berlawanan
Jawab :
a. R = √ A2 + B2 + 2.AB cos 600
= √ 42 + 52 + 2.4.5 ( 0,5 )
=√ 16 + 25 + 20
= √61 satuan
A
600
B
b. R
c
2
2
= √ A + B + 2.AB cos 0
= √ 42 + 52 + 2.4.5 ( 1 )
=√ 16 + 25 + 40
= √81 satuan
0
R = √ A2 + B2 + 2.AB cos 1800
= √ 42 + 52 + 2.4.5 ( -1 )
=√ 16 + 25 – 40
= √1 satuan
* Penjumlahan melalui komponen vector
Contoh :
Dari gambar , resultan ketiga gaya adalah…..
F1 = 130N
F2 = 30√2 N
A
B
A
B

8. F3 = 30√2 N
Jawab :
Vector
gaya
F1
F2
F3
∑
Komponen gaya sumbu X
( Fx)
-65√2
30√2
0
-35√2
Komponen gaya sumbu Y
( Fy)
65√2
0
- 30√2
35√2
Fr
=
√ ∑Fx2 + ∑Fy2
=
=
=
Maka resultan vector
√ ( -35√2)2 + ( 35√2)2
√4900
70 N
1.4. Perkalian vector
Perkalian titik vector ( dot product)
A.B
= AB cos ѳ
Perkalian vektor
Perkalian Silang ( cross product )
A x B = AB sin ѳ
Contoh :
1. Jika vector A mengapit vector B dengan sudut ѳ. Berapakah besar sudut ѳ ,agar
nilai A.B maksimum ?
2. Jika vector A mengapit vector B dengan sudut ѳ. Berapakah besar sudut ѳ agar
A x B minimal ?
Jawab :
1. A.B
= AB cos ѳ, agar diperoleh harga A.B maksimal, maka besar sudut ѳ = 00
2. A x B = AB sin ѳ, agar diperoleh harga AxB minimal, maka besar sudut ѳ = 00
LATIHAN SOAL
Pilihlah jawaban yang tepat !

9. 1.
Besar vector A yang komponen – komponennya A x = 8 cm dan Ay = -6cm yang
membentuk sudut ѳ =
A. – 10
B. – 6
C. 6
2.
adalah….
D. 8
E. 10
Jika vector M adalah
A.
, vector -2M ditunjukan oleh gambar….
D.
M
B.
E.
C.
3.
Sebuah vector perpindahan A sejauh 20 m membentuk sudut
dengan bidang
mendatar ( sumbu X positif ). Besar komponen A x yaitu….meter
A. 5√2
C. 15√2
E. 40√2
B. 10√2
D. 20√2
4.
Gambar resultan dari a + c + d dengan metode polygon yang benar adalah….
c
A.
D.
d
c
a
R
R
a
d
B.
E.
R
a
R
d
a
c
b
C.
R
c
d
a
c

10. 5.
Dua buah vector tegak lurus masing – masing besarnya 6 N dan 8 N. Besar kosinus
sudut yang dibentuk resultan dengan vector 8 N adalah….
A.
D.
B.
E.
C.
Essay…
1. Dua buah gaya yang besarnya 8 N dan 6 N, membentuk sudut
. Tentukan besar
resultan yang bekerja pada dua gaya tetrsebut !
2.
Jika vector A = 2 satuan, mengapit vector B. Jika ( A – B ) = 2C, dan C= 2 satuan,
sedangkan sudut yang mengapit vector
. Tentukan besar vector B adalah…
3. Tiga gaya digambarkan seperti gambar dibawah ini
F3
F2
F1
Tentukan jumlah vector F yang bekerja pada sumbu X !
4. Dua vector besarnya 4 N dan 7 N. Tentukan
a. Besar resultan paling besar yang mungkin
b. Besar resultan paling kecil yang mungkin
c. Batas resultan !
5. Komponen – komponen keecepatan sebuah partikel pada ketiga arah yang saling
tegak lurus adalah 3 km/jam, 4 km/jam dan 12 km/jam. Besar kecepatan partikel itu
sebenarnya adalah….km/jam
KUNCI JAWABAN
1. E
2. B
3. B
4. A
5. B

11. Essay
1. R = 10 N
2. B = 2√3 satuan
3. Fx = ( 4 – 2,5√3 ) N
4. a. R terbesar = 11 N
b. R terkecil = 3 N
c. 3N < R < 11N
5. VR = 19 km/jam
RANGKUMAN
1. Besaran vector adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
2. Vektor digambarkan dalam bentuk anak panah yang terdiri atas pangkal dan
ujung.Arah anak panah menyatakan arah vector sedangkan panjang anak panah
menyatakan besar vektor .
3. Penjumlahan vector secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajarangenjang dan
polygon
4. Penjumlahan dua vector dapat dilakukan dengan cosines
R = √A2 + B2 + 2AB cos ѳ
5. Setiap vector yang terletak pada bidang XY dapat diuraikan menjadi dua vector
komponen yang saling tegak lurus, yaitu vector Fx dan Fy di mana Fx = F cos ѳ dan
Fy = F sin ѳ.
Daftar pustaka
1. Efrizon Umar ( 2007) ,Fisika dan kecakapan kelas X, penerbit Ganeca Exact
2. Nugroho,A.2003. Awal Milenium Informasi, Bandung; PT. Telkom
3. Oxford,1995. Kamus Lengkap Fisika. Terjemahan J. Darusantoso. Jakarta :
Penerbit Erlangga