Operation “Blue Star” is the only event in the history of Independent India where the state went into war with its own people. Even after about 40 years it is not clear if it was culmination of states anger over people of the region, a political game of power or start of dictatorial chapter in the democratic setup.
The people of Punjab felt alienated from main stream due to denial of their just demands during a long democratic struggle since independence. As it happen all over the word, it led to militant struggle with great loss of lives of military, police and civilian personnel. Killing of Indira Gandhi and massacre of innocent Sikhs in Delhi and other India cities was also associated with this movement.
Safalta Digital marketing institute in Noida, provide complete applications that encompass a huge range of virtual advertising and marketing additives, which includes search engine optimization, virtual communication advertising, pay-per-click on marketing, content material advertising, internet analytics, and greater. These university courses are designed for students who possess a comprehensive understanding of virtual marketing strategies and attributes.Safalta Digital Marketing Institute in Noida is a first choice for young individuals or students who are looking to start their careers in the field of digital advertising. The institute gives specialized courses designed and certification.
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Exploiting Artificial Intelligence for Empowering Researchers and Faculty, In...Dr. Vinod Kumar Kanvaria
Exploiting Artificial Intelligence for Empowering Researchers and Faculty,
International FDP on Fundamentals of Research in Social Sciences
at Integral University, Lucknow, 06.06.2024
By Dr. Vinod Kumar Kanvaria
Unit 8 - Information and Communication Technology (Paper I).pdfThiyagu K
This slides describes the basic concepts of ICT, basics of Email, Emerging Technology and Digital Initiatives in Education. This presentations aligns with the UGC Paper I syllabus.
June 3, 2024 Anti-Semitism Letter Sent to MIT President Kornbluth and MIT Cor...Levi Shapiro
Letter from the Congress of the United States regarding Anti-Semitism sent June 3rd to MIT President Sally Kornbluth, MIT Corp Chair, Mark Gorenberg
Dear Dr. Kornbluth and Mr. Gorenberg,
The US House of Representatives is deeply concerned by ongoing and pervasive acts of antisemitic
harassment and intimidation at the Massachusetts Institute of Technology (MIT). Failing to act decisively to ensure a safe learning environment for all students would be a grave dereliction of your responsibilities as President of MIT and Chair of the MIT Corporation.
This Congress will not stand idly by and allow an environment hostile to Jewish students to persist. The House believes that your institution is in violation of Title VI of the Civil Rights Act, and the inability or
unwillingness to rectify this violation through action requires accountability.
Postsecondary education is a unique opportunity for students to learn and have their ideas and beliefs challenged. However, universities receiving hundreds of millions of federal funds annually have denied
students that opportunity and have been hijacked to become venues for the promotion of terrorism, antisemitic harassment and intimidation, unlawful encampments, and in some cases, assaults and riots.
The House of Representatives will not countenance the use of federal funds to indoctrinate students into hateful, antisemitic, anti-American supporters of terrorism. Investigations into campus antisemitism by the Committee on Education and the Workforce and the Committee on Ways and Means have been expanded into a Congress-wide probe across all relevant jurisdictions to address this national crisis. The undersigned Committees will conduct oversight into the use of federal funds at MIT and its learning environment under authorities granted to each Committee.
• The Committee on Education and the Workforce has been investigating your institution since December 7, 2023. The Committee has broad jurisdiction over postsecondary education, including its compliance with Title VI of the Civil Rights Act, campus safety concerns over disruptions to the learning environment, and the awarding of federal student aid under the Higher Education Act.
• The Committee on Oversight and Accountability is investigating the sources of funding and other support flowing to groups espousing pro-Hamas propaganda and engaged in antisemitic harassment and intimidation of students. The Committee on Oversight and Accountability is the principal oversight committee of the US House of Representatives and has broad authority to investigate “any matter” at “any time” under House Rule X.
• The Committee on Ways and Means has been investigating several universities since November 15, 2023, when the Committee held a hearing entitled From Ivory Towers to Dark Corners: Investigating the Nexus Between Antisemitism, Tax-Exempt Universities, and Terror Financing. The Committee followed the hearing with letters to those institutions on January 10, 202
3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑪𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒂
𝑪𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍
𝑹𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓
𝒍𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆
𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráfica de funciones
C U R S O D E Á L G E B R A
Los gráficos nos permiten
comprender fácilmente nuestro
entorno, el electroencefalograma
detecta y registra los patrones de
las ondas cerebrales.
Es por ello que es importante
estudiar las gráficas de funciones.
Iniciamos la sesión entendiendo su
definición y conociendo algunas
gráficas notables, la función
constante, lineal y cuadrática.
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráfica de una función
C U R S O D E Á L G E B R A
Definición
La gráfica de una función 𝑓 es la representación de
todos sus pares ordenados 𝑥, 𝑦 en el plano
cartesiano.
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = Τ
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
𝑥 ∈ Dom𝑓 ∧ 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓 = 2; 3 ; 4; −1 ; −1; 2 ; −3; 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique la función
1 2
−2 −1 3 4
−3 0
−1
𝑋
𝑌
1
2
3 𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
Una gráfica corresponde a una función, si al trazarle rectas
verticales, estas la intersecan a lo más en un solo punto.
Propiedad
La gráfica de 𝑓 sí corresponde
a una función.
𝒇
𝒈
La gráfica de 𝑔 no corresponde
a una función.
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Todo punto que pertenece a la gráfica de una función,
𝒇
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Verifica lo siguiente.
𝑎; 𝑏
𝑋
𝑌
𝑎
𝑏
𝑏 = 𝑓 𝑎
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Se muestra la gráfica de la función 𝑓.
Calcule el valor de 𝑓 −2 . 𝑓 5 + 𝑓 4 . 𝑓 0
𝑿
𝒀
4
7
5
−2
Observe que
• 𝑓 −2 = 0
• 𝑓 4 = 7
• 𝑓 0 = 5
∴ 𝑓 −2 . 𝑓 5 + 𝑓 4 . 𝑓 0
0 . 𝑓 5 = 35
Resolución
+ 7 5
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Para encontrar los cortes de la gráfica con los ejes:
Corte con el eje X: y=0
Corte con el eje Y: x=0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
La gráfica de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 5𝑥 + 6
𝑋
𝑌
A
B C
𝒇
Encontramos los cortes con los ejes:
Corte con el eje Y: x =0
→ = 𝑓 0 = (0)2
−5(0) + 6
𝑦 → 𝑦 = 6
→ A = (0; 6)
Corte con el eje X: y=0
→ 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0
𝑥
𝑥
−3
−2
→ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
Las coordenadas son:
→ B = (2; 0) ; C = (3; 0)
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Para encontrar los puntos de intersección de dos gráficas,
𝒇
𝒈
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
se deben igualar las reglas de correspondencias.
𝑥1; 𝑦1
𝑥2; 𝑦2
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Halle los puntos de intersección puntos en común 𝐴 y 𝐵
entre las gráficas de 𝑓 y 𝑔
𝑋
𝑌
𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 1 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3
−3
1
3
Resolución:
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 → 𝑥2
+ 1= 𝑥 + 3 → 𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
𝑥
𝑥
+1
−2
→ 𝑥1 = −1 ∨ 𝑥2 = 2
𝑥1 𝑥2
Luego
𝑦1 = 𝑓 −1 = 𝑔 −1
𝑦2 = 𝑓 2 = 𝑔 2
𝐴 𝑥1; 𝑦1
𝐵 𝑥2; 𝑦2
൝
∴ Los puntos de intersección son 𝐴 −1;2 y 𝐵 2; 5
= 2
= 5
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráficas notables
1. Función constante
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
𝑓 𝑥 = 𝑘 ; 𝑘 ∈ ℝ
Grafique 𝑓 𝑥 = 3
𝑥 𝑦
−2 3
−1 3
0 3
1 3
2 3
✓ La gráfica es una recta horizontal
✓ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = 3
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
3
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 𝟐:
𝑋
𝑌
• 𝑔 𝑥 = 2
𝑋
𝑌
• ℎ 𝑥 = −3
0
0
2
−3
𝒇 𝒈
𝒉
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
2. Función signo
𝑓 𝑥 = sgn(𝑥)
C U R S O D E Á L G E B R A
= ൞
1 ; 𝑥 > 0
0 ; 𝑥 = 0
−1 ; 𝑥 < 0
su gráfica es:
𝑋
𝑌
−1
0
1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑓 𝑥 = sgn(𝑥 − 2) = ൞
1 ; 𝑥 − 2 > 0
0 ; 𝑥 − 2 = 0
−1 ; 𝑥 − 2 < 0
su gráfica es:
𝑋
𝑌
−1
0
1
2
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
3. Función identidad
𝐼 𝑥 = 𝑥
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
Su gráfica es:
𝑥 𝑦
−2 −2
−1 −1
0 0
1 1
2 2
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
3
−3
−2
−1
𝑰
𝟒𝟓°
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
La función:
𝑓 𝑥 = −𝑥
Su gráfica es:
𝑥 𝑦
−2 2
−1 1
0 0
1 −1
2 −2
1 2
−2 −1
3
−3 0 𝑋
𝑌
−1
−2
−3
3
2
1
𝒇
𝟏𝟑𝟓°
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
4. Función lineal
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
−
𝑏
𝑎
⟵ T.I.
Raíz
Función creciente
𝑋
𝑌
𝑏
−
𝑏
𝑎
T.I. ⟶
𝑋
𝑌
𝑏
Función decreciente
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• Grafique 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6
𝑋
𝑌
• Grafique 𝑔 𝑥 = −3𝑥
𝑋
𝑌
↑
Raíz
↑
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
Su gráfica es:
✓ Solo se necesitan dos puntos para su gráfica
✓ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ
= T.I.
Raíz =
−6
3
𝑥 𝑦
0
0 −6
3
= T.I.
Raíz = 0
1
𝑥 𝑦
0
−3
1
−3
Tabulando
Tabulando
𝒇
𝒈
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Pendiente de la recta
Se define como la tangente del ángulo formado por la
recta inclinada y el eje 𝑥, en posición normal.
𝜽
𝐍𝐨𝐭𝐚:
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝜽
0° < 𝜃 < 90° 90° < 𝜃 < 180°
𝑓 𝑥 = 𝒂𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0
Sea
pendiente = tan 𝜃 = 𝒂
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
La gráfica de la función lineal 𝑓 𝑥 = 𝒂𝑥 + 𝑏 es
𝑋
𝑌
𝟑𝟎°
𝟐
Calcule 𝑎𝑏
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Del gráfico tenemos: 𝑏 = 2 (Por término independiente)
Por pendiente 𝑎 = 𝑡𝑎𝑛30° → 𝑎 =
1
3
×
3
3
=
3
3
→ 𝑎𝑏 =
2 3
3
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐍𝐨𝐭𝐚: Ecuación simétrica de una recta
Si conocemos los puntos de corte de la recta con los
ejes X e Y, entonces conocemos su ecuación.
𝑋
𝑌
𝒂
𝒃
Su ecuación simétrica es:
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
Encontrar las coordenadas del punto P
𝑋
𝑌
−𝟔
−𝟑
−𝟒
𝟐
𝑷
𝒇
𝒈
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Utilizando la ecuación simétrica de la recta, tenemos:
En 𝑓: 𝑥
−6
+
𝑦
−3
= 1 → 𝑥 + 2𝑦 = −6
En 𝑔: 𝑥
−4
+
𝑦
2
= 1 → 𝑥 − 2𝑦 = −4
൞
𝑥 = −5
𝑦 = −
1
2
→ 𝑷 = (−5; −
1
2
)
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
5. Función cuadrática
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑥 𝑦
−2 4
−1 1
0 0
1 1
2 4
1 2
−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
3
4
Tabulando
En general, la función cuadrática tiene la siguiente regla de
correspondencia:
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑘
vértice
Observación:
✓ 𝑓 𝑥 = −𝑥2
es una parábola abierta hacia abajo.
𝑋
𝑌
Su gráfica es:
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
Completando cuadrados se tiene:
✓ La gráfica obtenida se llama parábola.
T.I. ⟶ 𝑐
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
T.I. ⟶ 𝑐
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráficas notables
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
1 2 3
0 𝑋
𝑌
1
2
3
−1
Resolución:
→ 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2
− 1
Se tiene 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
→ 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
+ 𝟒 − 𝟒
Coordenadas del vértice: 2; −1
• Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
= 𝟎2
− 4. 𝟎 + 3 + 3
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
𝑥 − 2 2
− 1
𝟎 =
→ 𝑦 = 3
→ 𝑥 − 2 2
= 1
→ 𝑥 − 2 = 1 ∨ 𝑥 − 2 = −1
→ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 1
𝑉 2; −1
2. La ordenada del punto de corte con el eje 𝑌 es
el T.I.
1. Las abscisas del punto de corte con el eje
𝑋 son las raíces reales (considerando que las
raíces reales).
17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
Observación:
El vértice 𝑉 ℎ; 𝑘 es el punto más alto o más bajo, según sea la
gráfica de la función 𝑓.
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
𝑓mín =
𝑓máx =
ℎ = −
𝑏
2𝑎
; 𝑘 = 𝑓 −
𝑏
2𝑎
y Dom𝑓 = ℝ
Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo
Punto mínimo
Punto máximo
donde
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
Se lanza una piedra al aire tal que su altura queda
determinada por la función 𝑓 𝑡 = −5𝑡2
+ 50𝑡, donde 𝑡
es el tiempo en segundos y 𝑓 𝑡 es la altura en metros.
Halle el tiempo en el que la piedra alcanza su máxima
altura y cuál es dicha altura.
Resolución:
𝑓 𝑡 = −5𝑡2
+ 50𝑡
Se tiene
= −
50
2 −5
= 𝟓
ℎ
La altura máxima se encuentra en el vértice de la parábola
tiempo
altura
𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝑉 5; 125
𝒇𝒎á𝒙 =
𝑓 𝟓 = −5 𝟓 2
+ 50. 𝟓
𝑘 = = 𝟏𝟐𝟓
∴ Para 𝑡 = 5 s se alcanza la altura máxima de 125 m.
൞
18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Raíces reales y diferentes Raíces reales e iguales Raíces no reales
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
∆ > 𝟎 ∆ = 𝟎 ∆ < 𝟎
𝑎 > 0
𝑎 < 0
𝑥1
𝑥1 = 𝑥2
𝑥2
𝑥1 𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
C U R S O D E Á L G E B R A
Propiedades: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
19. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟏
Si la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 𝑛 − 3 𝑥 + 1 no
interseca al eje 𝑋, halle el mayor valor entero de 𝑛.
Resolución:
Como la parábola no interseca al eje 𝑋, las raíces de 𝑓 son
no reales. Luego:
∆ < 0
→ 𝑛 − 3 2
− 4 1 1 < 0
→ 𝑛 − 3 2
< 4
→ −2 𝑛 − 3
< < 2
→ 1 < 𝑛 < 5
∴ máximo entero 𝑛 = 4
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐
A continuación se muestra la gráfica de la función
cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑛 − 3 𝑥 − 6𝑛. Halle 𝑛.
Resolución:
Como la parábola es tangente al eje 𝑋, las raíces de 𝑓 son
reales e iguales. Luego:
∆ = 0
→ 2𝑛 − 3 2
− 4 1 −6𝑛 = 0
→ 4𝑛2
− 12𝑛 + 9
→ 4𝑛2
+ 12𝑛 + 9
∴ 𝑛 = −
3
2
𝑋
𝑌
+ 24𝑛 = 0
= 0
2𝑛 + 3 2
20. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e