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1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
SEMESTRE 2021-I
PRÁCTICA 6
LUNES, 14 DE JUNIO DE 2021
Problema 1 (6.0 puntos) De 7:00am a 7:25am resolver, hasta 7:30 am para entregar
Se tiene un tubo de drenado cuya sección transversal se muestra en la figura.
La parte inferior es un cilindro de 3𝑚 de largo y 1𝑚 de diámetro.
La parte superior es un volumen igual al generado cuando la curva (𝑥 − 2)2
+ 𝑦2
= 1.52
gira alrededor
del eje 𝑦
Si el tubo de drenado está lleno con agua hasta un nivel de 4𝑚 y se quiere bombear por un punto ubicado
a 1𝑚 por encima de la parte superior del mismo, ¿qué trabajo es necesario realizar?
Puede resolver las integrales con calculadora.
En la parte cilíndrica, las arandelas son circulares y tienen volumen
𝑣 = 𝜋𝑟2
∆𝑦 = 𝜋 0.52
∆𝑦
Luego, la fuerza es igual a:
𝑓 = 𝜌 𝑔 𝑣 = 1000(9.81)0.25𝜋∆𝑦
La distancia que recorre una arandela es (5.5 − 𝑦), por tanto, el trabajo es igual a:
∫ 1000(9.81)0.25𝜋(5.5 − 𝑦)d𝑦
3
0
𝑊 = 2452.5𝜋 ∫ (5.5 − 𝑦)𝑑𝑦 = 2452.5𝜋(12) = 92454.8 𝐽
3
0
En la parte superior, el volumen de la arandela circular es igual a:
Comentado [JLUP1]: Si tiene bien planteada la integral
+2p, si llegó a calcular el resultado +1p. Si tiene bien el
resultado pero no tiene la integral planteada tiene 0p.

2. 𝑣 = 𝜋𝑟2
∆𝑦 = 𝜋 𝑥2
∆𝑦 = 𝜋 𝑥2
∆𝑦 = 𝜋 (√1.52
− 𝑦
2
+ 2)
2
∆𝑦
Luego, la fuerza es igual a:
𝑓 = 𝜌 𝑔 𝑣 = 1000(9.81)𝜋 (√1.52
− 𝑦
2
+ 2)
2
∆𝑦
La distancia que recorre una arandela es (2.5 − 𝑦), por tanto, el trabajo es igual a:
𝑊 = 9810𝜋 ∫ (−√1.52
− 𝑦
2
+ 2)
2
(2.5 − 𝑦)𝑑𝑦 = 9810𝜋(0.75) = 23114.27 𝐽
1
0
El trabajo total es igual a:
𝑊 = 92454.8 + 23114.27 = 115569.07 𝐽
Problema 1 (6.0 puntos) De 7:00am a 7:25am resolver, hasta 7:30 am para entregar
Se tiene un tubo de drenado cuya sección transversal se muestra en la figura.
La parte inferior es un cilindro de 4𝑚 de largo y 2𝑚 de diámetro.
La parte superior es un volumen igual al generado cuando la curva (𝑥 − 2)2
+ 𝑦2
= 12
gira alrededor del
eje 𝑦
Comentado [JLUP2]: Si tiene bien planteada la integral
+2p, si llegó a calcular el resultado +1p. Si tiene bien el
resultado pero no tiene la integral planteada tiene 0p
Si trabajan con tres decimales el resultado de la integral la
respuesta varía un poco (también es válido), lo importante
es que la integral esté bien planteada.

3. Si el tubo de drenado está lleno con agua hasta un nivel de 4.5𝑚 y se quiere bombear por un punto ubicado
a 1𝑚 por encima de la parte superior del mismo, ¿qué trabajo es necesario realizar?
Puede resolver las integrales con calculadora.
En la parte cilíndrica, las arandelas son circulares y tienen volumen
𝑣 = 𝜋𝑟2
∆𝑦 = 𝜋 12
∆𝑦
Luego, la fuerza es igual a:
𝑓 = 𝜌 𝑔 𝑣 = 1000(9.81)𝜋∆𝑦
La distancia que recorre una arandela es (6 − 𝑦), por tanto, el trabajo es igual a:
∫ 1000(9.81)𝜋(6 − 𝑦)d𝑦
4
0
𝑊 = 9810𝜋 ∫ (6 − 𝑦)𝑑𝑦 = 9810𝜋(16) = 156960𝜋 = 493104.38 𝐽
4
0
En la parte superior, el volumen de la arandela circular es igual a:
𝑣 = 𝜋𝑟2
∆𝑦 = 𝜋 𝑥2
∆𝑦 = 𝜋 𝑥2
∆𝑦 = 𝜋 (√12
− 𝑦
2
+ 2)
2
∆𝑦
Luego, la fuerza es igual a:
𝑓 = 𝜌 𝑔 𝑣 = 1000(9.81)𝜋 (√12
− 𝑦
2
+ 2)
2
∆𝑦
Comentado [JLUP3]: Si tiene bien planteada la integral
+2p, si llegó a calcular el resultado +1p. Si tiene bien el
resultado pero no tiene la integral planteada tiene 0p.

4. La distancia que recorre una arandela es (2 − 𝑦), por tanto, el trabajo es igual a:
𝑊 = 9810𝜋 ∫ (−√12
− 𝑦
2
+ 2)
2
(2 − 𝑦)𝑑𝑦 = 9810𝜋(0.95) = 29278.07 𝐽
0.5
0
El trabajo total es igual a:
𝑊 = 493104.38 + 29278.07 = 522382.45 𝐽
Problema 2 (5.0 puntos) De 7:35am a 7:50am resolver, hasta 7:55 am para entregar
Se tiene una piscina con las dimensiones indicadas en la figura que tiene agua con un nivel de 1.25𝑚. En
su pared frontal tiene una placa de drenado con forma de triángulo equilátero, de lado 0.80𝑚. ¿Qué fuerza
soporta la placa de drenaje? Indique los pasos para resolver la integral.
Un diferencial de la placa es representado como:
Por Tales:
𝑥
𝑦
=
0.40
0.80
√3
2
→ 𝑥 =
𝑦
√3
La fuerza hidrostática sobre el diferencial es:
𝑓 = 𝜌𝑔𝐴ℎ = 𝜌𝑔 2𝑥∆𝑦 (1.25 − 𝑦) =
2
√3
𝜌𝑔 𝑦 (1.25 − 𝑦)∆𝑦
La fuerza hidrostática total es:
𝐹ℎ =
2
√3
𝜌𝑔 ∫ 𝑦(1.25 − 𝑦)
0.4√3
0
𝑑𝑦 =
2
√3
𝜌𝑔 [0.625𝑦2
−
𝑦3
3
]
0
0.4√3
=
2
√3
𝜌𝑔(0.3 − 0.11)
𝐹ℎ = 2142.6 𝑁
Comentado [JLUP4]: Si trabajan con tres decimales la
respuesta es 236258.64 (también es válida), lo importante es
que la integral esté bien planteada.
Comentado [JLUP5]: Si tiene bien planteada la integral
+2p, si llegó a calcular el resultado +1p. Si tiene bien el
resultado pero no tiene la integral planteada tiene 0p
Comentado [JLUP6]: Si la integral está bien planteada
+3p, si colocó el procedimiento +1p, si está bien la respuesta
+1p. (Si no planteó correctamente la integral y tiene bien la
respuesta es 0 por copia)
Comentado [JLUP7]: La respuesta final puede variar si
esta parte se redondea a 2 o 3 decimales (se corregirán
como correctas)

5. Problema 2 (5.0 puntos) De 7:35am a 7:50am resolver, hasta 7:55 am para entregar
Se tiene una piscina con las dimensiones indicadas en la figura que tiene agua con un nivel de 1.45𝑚. En
su pared frontal tiene una placa de drenado con forma de triángulo equilátero, de lado 0.90𝑚. ¿Qué fuerza
soporta la placa de drenaje? Indique los pasos para resolver la integral.
Un diferencial de la placa es representado como:
Por Tales:
𝑥
𝑦
=
0.45
0.90
√3
2
→ 𝑥 =
𝑦
√3
La fuerza hidrostática sobre el diferencial es:
𝑓 = 𝜌𝑔𝐴ℎ = 𝜌𝑔 2𝑥∆𝑦 (1.45 − 𝑦) =
2
√3
𝜌𝑔 𝑦 (1.45 − 𝑦)∆𝑦
La fuerza hidrostática total es:
𝐹ℎ =
2
√3
𝜌𝑔 ∫ 𝑦(1.45 − 𝑦)
0.45√3
0
𝑑𝑦 =
2
√3
𝜌𝑔 [0.725𝑦2
−
𝑦3
3
]
0
0.45√3
=
2
√3
𝜌𝑔(0.440 − 0.158)
𝐹ℎ = 3201.23 𝑁
Nota: La respuesta si hubiesen tomado 2 decimales en la integral hubiese sido 4870.87𝑁, que también
sería válido.
Comentado [JLUP8]: Si la integral está bien planteada
+3p, si colocó el procedimiento +1p, si está bien la respuesta
+1p. (Si no planteó correctamente la integral y tiene bien la
respuesta es 0 por copia)
Comentado [JLUP9]: La respuesta final puede variar si
esta parte se redondea a 2 o 3 decimales (se corregirán
como correctas)

6. Problema 3 (6 puntos) De 7:55am a 8:15am resolver, hasta 8:20 am para entregar
a) Encuentre el área definida por la curva 𝑦 =
1
𝑥[ln(𝑥)]2 , el eje 𝑋 , en el intervalo 𝑥 ∈ [2, ∞). Indique
todos los pasos necesarios. (3 puntos)
b) Encuentre el área definida por la curva 𝑦 =
1
𝑥[ln(𝑥)]2 , el eje 𝑋 , en el intervalo 𝑥 ∈ [1, ∞). Indique
todos los pasos necesarios. (3 puntos)
a) La integral es igual a:
∫
𝑑𝑥
𝑥 [𝑙𝑛(𝑥)]2
⏟
𝑢=ln(𝑥)
𝑑𝑢=𝑑𝑥/𝑥
= ∫
𝑑𝑢
𝑢2
= −
1
𝑢
+ 𝐶 = −
1
ln(𝑥)
+ 𝐶
Por tanto:
𝐴 = lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2 𝑑𝑥
∞
2
= lim
𝑡→∞
[−
1
ln(𝑥)
]
2
𝑡
= lim
𝑡→∞
[−
1
ln(𝑡)
+
1
ln(2)
] = [0 + 1.44] = 1.44 𝑢2
b) El área es igual a:
𝐴 = lim
𝑡→1+
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2 𝑑𝑥
2
𝑡
+ lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2 𝑑𝑥
∞
2
𝐴 = lim
𝑡→1+
[−
1
ln(𝑥)
]
1+
2
+ 1.44 = lim
𝑡→1+
[−
1
ln(2)
+
1
ln(𝑡)
] + 1.44 = ∞ + 1.44 = ∞
Problema 3 (6 puntos) De 7:55am a 8:15am resolver, hasta 8:20 am para entregar
a) Encuentre el área definida por la curva 𝑦 =
1
𝑥[ln(𝑥)]2 , el eje 𝑋 , en el intervalo 𝑥 ∈ [3, ∞). Indique
todos los pasos necesarios. (3 puntos)
b) Encuentre el área definida por la curva 𝑦 =
1
𝑥[ln(𝑥)]2 , el eje 𝑋 , en el intervalo 𝑥 ∈ [1, ∞). Indique
todos los pasos necesarios. (3 puntos)
a) La integral es igual a:
∫
𝑑𝑥
𝑥 [𝑙𝑛(𝑥)]2
⏟
𝑢=ln(𝑥)
𝑑𝑢=𝑑𝑥/𝑥
= ∫
𝑑𝑢
𝑢2
= −
1
𝑢
+ 𝐶 = −
1
ln(𝑥)
+ 𝐶
Por tanto:
𝐴 = lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2 𝑑𝑥
∞
3
= lim
𝑡→∞
[−
1
ln(𝑥)
]
3
𝑡
= lim
𝑡→∞
[−
1
ln(𝑡)
+
1
ln(3)
] = [0 + 0.91] = 0.91 𝑢2
b) El área es igual a:
Comentado [JLUP10]: Si plantea bien la integral
lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2
𝑑𝑥
∞
2
tendrá +1.5, si coloca los pasos de su
solución +1p, si tiene bien la respuesta +0.5p
Comentado [JLUP11]: Si plantea bien la integral
lim
𝑡→1+
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2
𝑑𝑥
3
𝑡
+ lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2
𝑑𝑥
∞
2
Tendrá +1.5p
si coloca los pasos de su solución +1p, si tiene bien la
respuesta +0.5p
Comentado [JLUP12]: Si plantea bien la integral
lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2
𝑑𝑥
∞
3
tendrá +1.5, si coloca los pasos de su
solución +1p, si tiene bien la respuesta +0.5p

7. 𝐴 = lim
𝑡→1+
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2 𝑑𝑥
3
𝑡
+ lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2 𝑑𝑥
∞
3
𝐴 = lim
𝑡→1+
[−
1
ln(𝑥)
]
1+
3
+ 0.91 = lim
𝑡→1+
[−
1
ln(3)
+
1
ln(𝑡)
] + 0.91 = ∞ + 0.91 = ∞
Problema 4 (5 puntos) De 8:20am a 8:35am
a) Encuentre la abscisa del centro de masa de una lámina con densidad uniforme 𝜌, cuya superficie está
acotada por las funciones 𝑦 = (𝑥 − 4)2
+ 6 y 𝑦 = −𝑥2
+ 30. (Trabajar las intersecciones
redondeando al primer decimal) (3 puntos)
(𝑥 − 4)2
+ 6 = −𝑥2
+ 30
𝑥 = −0.8 𝑥 = 4.8
𝐴 = ∫ (−𝑥2
+ 30 − (𝑥 − 4)2
− 6)
4.8
−0.8
𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥2
+ 24 − (𝑥 − 4)2)
4.8
−0.8
𝑑𝑥 = 60.33 𝑢2
La abscisa del centro de masa es igual a:
𝑥̅ =
𝑀𝑦
𝜌𝐴
=
𝜌 ∫ 𝑥(−𝑥2
+ 24 − (𝑥 − 4)2)
4.8
−0.8
𝑑𝑥
134.4𝜌
=
120.66
60.33
= 2
b) La ordenada del centro de masa de una lámina con densidad uniforme 𝜌, cuya superficie está
acotada por las funciones 𝑦 = (𝑥 − 4)2
+ 6 y 𝑦 = −𝑥2
+ 30 puede ser calculada como: (2
puntos)
i) 𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {𝑥4−60𝑥2+900−[(𝑥−4)2+6]2}
4.8
0 𝑑𝑥
𝜌𝐴
Comentado [JLUP13]: Si plantea bien la integral
𝐴 = lim
𝑡→1+
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2
𝑑𝑥
3
𝑡
+ lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥[ln(𝑥)]2
𝑑𝑥
∞
3
Tendrá +1.5p
si coloca los pasos de su solución +1p, si tiene bien la
respuesta +0.5p

8. ii) 𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {𝑥4−60𝑥2+900−[(𝑥−4)2+6]2}
4.8
−0.8 𝑑𝑥
𝜌𝐴
iii) 𝑦
̅ = 𝜌 ∫ {𝑥4
− 60𝑥2
+ 900 − [(𝑥 − 4)2
+ 6]2}
4.8
−0.8
𝑑𝑥
iV) Ninguna de las respuestas es correcta.
𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {(−𝑥2
+ 30)2
− [(𝑥 − 4)2
+ 6]2}
4.8
−0.8
𝑑𝑥
𝜌𝐴
𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {𝑥4
− 60𝑥2
+ 900 − [(𝑥 − 4)2
+ 6]2}
4.8
−0.8
𝑑𝑥
𝜌𝐴
Problema 4 (5 puntos) De 8:20am a 8:35am
c) Encuentre la abscisa del centro de masa de una lámina con densidad uniforme 𝜌, cuya superficie está
acotada por las funciones 𝑦 = (𝑥 − 2)2
+ 6 y 𝑦 = −𝑥2
+ 20. (Trabajar las intersecciones
redondeando al primer decimal) (3 puntos)
(𝑥 − 2)2
+ 6 = −𝑥2
+ 20
𝑥 = −1.4 𝑥 = 3.4
𝐴 = ∫ (−𝑥2
+ 20 − (𝑥 − 2)2
− 6)
3.4
−1.4
𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥2
+ 14 − (𝑥 − 2)2)
3.4
−1.4
𝑑𝑥 = 39.168 𝑢2
La abscisa del centro de masa es igual a:
𝑥̅ =
𝑀𝑦
𝜌𝐴
=
𝜌 ∫ 𝑥(−𝑥2
+ 14 − (𝑥 − 2)2)
3.4
−1.4
𝑑𝑥
39.168𝜌
=
39.168
39,168
= 1

9. d) La ordenada del centro de masa de una lámina con densidad uniforme 𝜌, cuya superficie está
acotada por las funciones 𝑦 = (𝑥 − 2)2
+ 6 y 𝑦 = −𝑥2
+ 20 puede ser calculada como: (2
puntos)
iii) 𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {𝑥4−40𝑥2+900−[(𝑥−2)2+6]2}
3.4
0 𝑑𝑥
𝜌𝐴
iv) 𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {𝑥4−40𝑥2+400−[(𝑥−2)2+6]2}
3.4
−1.4 𝑑𝑥
𝜌𝐴
iii) 𝑦
̅ = 𝜌 ∫ {𝑥4
− 40𝑥2
+ 400 − [(𝑥 − 2)2
+ 6]2}
3.4
−1.4
𝑑𝑥
iV) Ninguna de las respuestas es correcta.
𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {(−𝑥2
+ 20)2
− [(𝑥 − 2)2
+ 6]2}
3.4
−1.4
𝑑𝑥
𝜌𝐴
𝑦
̅ =
𝜌 ∫ {𝑥4
− 40𝑥2
+ 400 − [(𝑥 − 2)2
+ 6]2}
3.4
−1.4
𝑑𝑥
𝜌𝐴