1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
ANDRÉS ELOY BLANCO
ESTADO LARA
Integrante
Cesar Amaro
Cedula
V-23837078
BARQUISIMETO, FEBRERO 2021
2. Plano Numérico
Un conjunto sumamente importante y que aparecerá con mucha frecuencia más adelante, es el
conjunto ℝ2
formado por todos los pares ordenados (𝑎, 𝑏) de números reales.
Estos es, ℝ2 = {(𝑎, 𝑏)/𝑎,𝑏𝜖ℝ}.
Un par ordenado de números reales es una pareja de números reales, en el
cual se distingue un orden. Es decir en general (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎). Dos pares ordenados
(𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑) son iguales, si y sólo si 𝑎 = 𝑐 y b = 𝑐
Es importante tener una representación geométrica de ℝ2. Para esto tomamos un
Plano cualquiera al cual fijamos. Sobre este plano tomamos dos rectas numéricas
Perpendiculares a la misma escala y cuyos orígenes coinciden.
Estas dos rectas nos permiten establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos P del plano
y los pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reales. A la recta 𝑋 se le llama eje 𝑋, o eje de las abscisas.
La recta 𝑌 es el eje 𝑌 o eje de las ordenadas. El punto de intersección 𝑂 de los ejes es el origen.
Una correspondencia biunívoca del plano con ℝ2 de la forma obtenida anteriormente, se llama un
sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas cartesianas.
3. Distancia
La distancia entre los puntos 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2) es:
𝑑 𝑃1, 𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Demostración
Tomemos el triangulo rectángulo que tiene por hipotenusa el
segmento que une 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2) y por catetos, los
segmentos paralelos a los ejes indicados.
Las longitudes los catetos son 𝑥2 − 𝑥1 y 𝑦2 − 𝑦1 . La distancia
𝑑 𝑃1, 𝑃2 es la longitud de la hipotenusa. Luego, aplicando el
teorema de Pitágoras, tenemos que:
(𝑑 𝑃1, 𝑃2 )2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
de donde obtenemos: 𝑑 𝑃1, 𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
4. Ejercicio: Pruebe que los puntos 𝐴 = −7,2 , 𝐵 = 3, −4 , 𝐶 = (1,4) son los vértices de un
triangulo isósceles.
Solución:
Hallamos las distancias: 𝑑 𝐴, 𝐵 , 𝑑 𝐵, 𝐶 , 𝑑 𝐶, 𝐴
𝑑 𝐴, 𝐵 = (3 + 7)2 + (−4 − 2)2 = (10)2 + (−6)2 = 136
𝑑 𝐵, 𝐶 = (1 − 3)2 + (4 + 2)2 = (−2)2 + (8)2 = 68
𝑑 𝐶, 𝐴 = (−7 − 1)2 + (4 − 2)2 = (−8)2 + (2)2 = 68
∴ Las distancias: 𝑑 𝐵, 𝐶 , 𝑑 𝐶, 𝐴 son iguales, entonces el
triangulo es isósceles y se completa la prueba.
Ejercicio: Prueba que los puntos 𝐴 = −3,2 , 𝐵 = 1, −2 , 𝐶 = (9, −10) son colineales.
Solución:
Graficamos primero para tener una idea de la recta:
5. Calculamos las distancias:
𝑑 𝐴, 𝐵 = (1 + 3)2 + (−2 − 2)2 = (4)2 + (−4)2 = 32 = 4 2
𝑑 𝐵, 𝐶 = (9 − 1)2 + (−10 + 2)2 = (8)2 + (−8)2 = 128 = 8 2
𝑑 𝐶, 𝐴 = (9 + 3)2 + (−10 − 2)2 = (12)2 + (−12)2 = 288 = 12 2
∴ Entonces tenemos que: 𝑑 𝐴, 𝐵 + 𝑑 𝐵, 𝐶 = 𝑑 𝐶, 𝐴 . Luego los tres
puntos son colineales.
Punto Medio
El punto medio del segmento de recta de extremos 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2)
es el punto 𝑀 = (
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)
Demostración: Sea 𝑀 = 𝑥, 𝑦 .
Proyectamos el segmento sobre los ejes. Por ser 𝑀 = 𝑥, 𝑦 el punto
medio, 𝑥 e 𝑦 deben ser los puntos medios de los intervalos
𝑥1, 𝑥2 e 𝑦1, 𝑦2 respectivamente, luego: 𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 e y − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦
⟹ 2𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 e 2y = 𝑦1 + 𝑦2 ⟹ 𝑥 =
𝑥1+ 𝑥2
2
e 𝑦 =
𝑦1+ 𝑦2
2
6. Ejercicio: Encuentre los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices
son 𝐴 = 0,0 , 𝐵 = 0,4 , 𝐶 = 3,5 , 𝐷 = (3,1)
Solución
Calculamos los puntos medios: 𝑀 𝐴, 𝐶 𝑦 𝑀(𝐵, 𝐷):
𝑀 𝐴, 𝐶 : 𝑥 =
0+3
2
=
3
2
, 𝑦 =
0+5
2
=
5
2
𝑀 𝐵, 𝐷 : 𝑥 =
0+3
2
=
3
2
, 𝑦 =
4+1
2
=
5
2
Los puntos medios de las diagonales del
cuadrilátero son: (
3
2
,
5
2
)
La circunferencia
La circunferencia de centro 𝐶 = (ℎ, 𝑘) y de radio 𝑟 tiene por ecuación
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2, en particular, si el centro es el origen,
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
7. Ejercicio: Graficar la siguiente circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 10𝑦 − 7 = 0
Solución
𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 10𝑦 − 7 = 0
⟹ 𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑦2
− 10𝑦 = 7
⟹ 𝑥2
+ 4𝑥 + 22
− 22
+ 𝑦2
− 10𝑦 + 52
− 52
= 7
⟹ (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 5)2
= 7 + 4 + 25 = 36
⟹ (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 5)2
= 62
La Parábola
Llamaremos parábola al grafico de cualquiera de las dos ecuaciones
siguientes, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes con 𝑎 ≠ 0. 𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐,
𝑥 = 𝑎𝑦2
+ 𝑏𝑦 + 𝑐.
La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según 𝑎 > 0 𝑜 𝑎 < 0
Si la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2
intercambiamos la variables, obtenemos las
parábolas: x = 𝑎𝑦2
estas parábolas, de acuerdo al criterio de
inversión, se obtienen a partir de las anteriores reflejando en la
diagonal principal.
8. Ejercicio: Graficar la parábola 4𝑦2 + 4𝑦 + 4𝑥 + 1 = 0
Solución
⟹ 4𝑦2 + 4𝑦 + 4𝑥 + 1 = 0
⟹ 4𝑥 = −4𝑦2 − 4𝑦 − 1
⟹ 4𝑥 = −4 𝑦2 + 𝑦 − 1
⟹ 4𝑥 = −4(𝑦2 + 𝑦 + (
1
2
)2 −
1
4
) − 1 (0, −
1
2
)
⟹ 4𝑥 = −4(𝑦 +
1
2
)2 − 1 + 1
⟹ 𝑥 = −(𝑦 +
1
2
)2
El vértice esta en (0, −
1
2
) y abre hacia la izquierda
La Elipse
Llamaremos elipse en posición normal al grafico de la siguiente ecuación:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 donde 𝑎 𝑦 𝑏 son dos números positivos
Esta ecuación no se altera si cambiamos 𝑥 por −𝑥 ó
𝑦 por −𝑦. Esto significa que la elipse es simétrica respecto
Al eje 𝑋 o al eje 𝑌 y por tanto también al origen.
9. Ejercicio: Graficar la siguiente elipse 9𝑥2
+ 4𝑦2
− 18𝑥 + 16𝑦 − 11 = 0
Solución
⟹ 9𝑥2 + 4𝑦2 − 18𝑥 + 16𝑦 − 11 = 0
⟹ 9𝑥2
− 18𝑥 + 4𝑦2
+ 16𝑦 = 11
⟹ 9 𝑥2
− 2𝑥 + 4 𝑦2
+ 4𝑦 = 11
⟹ 9 𝑥2 − 2𝑥 + 12 − 12 + 4 𝑦2 + 4𝑦 + 22 − 22 = 11
⟹ 9(𝑥 − 1)2 + 4(𝑦 + 2)2 = 11 + 9 + 16 = 36
⟹
9(𝑥−1)2
36
+
4(𝑦+2)2
36
= 1
⟹
(𝑥−1)2
22 +
(𝑦+2)2
32 = 1
La Hipérbola
Llamaremos hipérbola en posición normal al gráfico de cualquiera de las dos ecuaciones
siguientes, donde 𝑎 𝑦 𝑏 son dos constantes positivas. A estas ecuaciones las llamaremos
ecuaciones normales de la hipérbola con centro en el origen,
11. Bibliografía
Jorge Sáenz. (2005). Calculo Diferencial con trascendentes tempranas para ciencias e
ingeniería. Barquisimeto. Editorial Hipotenusa.
Rafael R. González R. Libro texto de Matemática Inicial. Barquisimeto. UPTAEB.
