3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
Reforzar los teoremas de
las desigualdades.
Utilizar la desigualdad de las
medias.
Reforzar las operaciones con
los intervalos.
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Operaciones con Intervalos
Unión 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩 Intersección 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩
Diferencia 𝑨 − 𝑩 = 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∉ 𝑩 Complemento 𝑨𝑪
= 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∉ 𝑨
𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
+∞
−∞ 1 3 7
A
B
𝐴 ∪ 𝐵 = ሾ1; ۧ
9 𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
1 3 7 9 +∞
−∞
𝑨
𝑩
𝐴 ∩ 𝐵 = ۦ3; ሿ
7
𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
+∞
−∞ 1 3 7 9
𝑨
𝑩
𝐴 − 𝐵 = ሾ1; ሿ
3 𝐴 = ሾ1; ۧ
7
Si:
+∞
−∞ 1 7
A
𝑨𝑪 𝑨𝑪
𝐴𝐶 = ۦ−∞; ۧ
1 ∪ ሾ7; ۧ
+∞
9
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas de desigualdades
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟏) 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 ∧ 𝒏 ∈ ℝ
𝟐) 𝒂 < 𝒙 < 𝒃
𝟑) 𝐒𝐢 𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝒂 < 𝒙 < 𝒃
𝟒) 𝐒𝐢: 𝟎 < 𝒂 < 𝒙 < 𝒃
𝟓) 𝐒𝐢: 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 < 𝟎
𝟔) 𝐒𝐢 𝒂 < 𝟎 ∧ 𝒃 > 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝒂 < 𝒙 < 𝒃
2 < 𝑥 < 9 4 < 𝑥2
< 81
𝑜 2
4 < 𝑥 < 7 7 < 𝑥 + 3 < 10
+3
× 3
1 < 𝑥 < 4 3 < 3𝑥 < 12
× (−4)
2 < 𝑥 < 4 −8 > −4𝑥 > −16
2 < 𝑥 < 6
1
2
>
1
𝑥
>
1
6
𝑜 −1
−5 < 𝑥 < −3 25 > 𝑥2
> 9
𝑜 2
−4 ≤ 𝑥 < 7 𝑚á𝑥 −4 2
; 7 2
0 ≤ 𝑥2
<
𝒐 𝟐
49
↔ 𝒂 + 𝒏 < 𝒙 + 𝒏 < 𝒃 + 𝒏
↔ ቐ 𝒐
𝒂. 𝒏 < 𝒙. 𝒏 < 𝒃. 𝒏
𝒂. 𝒏 > 𝒙. 𝒏 > 𝒃. 𝒏
; 𝒏 > 𝟎
; 𝒏 < 𝟎
↔
𝟏
𝒂
>
𝟏
𝒙
>
𝟏
𝒃
→ 𝒂𝟐
< 𝒙𝟐
< 𝒃𝟐
→ 𝒂𝟐
> 𝒙𝟐
> 𝒃𝟐
→ 𝟎 ≤ 𝒙𝟐
< 𝒎á𝒙 𝒂𝟐
; 𝒃𝟐
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teoremas en los números reales
𝟏) Si 𝑎; 𝑏 son números reales, se cumple:
𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2𝑎𝑏
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Sabemos que 𝑥2
≥ 0 ; entonces
𝑎 − 𝑏 2
→ 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
→ 𝑎2
+ 𝑏2
𝟐) Si 𝑎; 𝑏 son números reales, se cumple:
2 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 𝑎 + 𝑏 2
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Sabemos que
𝑎2 + 𝑏2
→
→
+ 𝑎2 + 𝑏2 2 𝑎2 + 𝑏2
2 𝑎2 + 𝑏2
𝑎2
+ 𝑏2
= 2𝑎𝑏
𝑵𝑶𝑻𝑨: 2(𝑎2
+ 𝑏2
)
𝑵𝑶𝑻𝑨:
≥ 0
≥ 0
≥ 2𝑎𝑏
↔ 𝑎 = 𝑏
≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏
≥ 𝑎 + 𝑏 2
≥ 2𝑎𝑏
= 𝑎 + 𝑏 2 ↔ 𝑎 = 𝑏
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas en los números reales
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟑) Si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números reales, se cumple:
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Sabemos que si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números reales:
se cumple:
𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2𝑎𝑏 … 𝐼
𝑏2
+ 𝑐2
≥ 2𝑏𝑐 … 𝐼𝐼
𝑐2
+ 𝑎2
≥ 2𝑎𝑐 … 𝐼𝐼𝐼
Sumando 𝐼 + 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 tenemos
2(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
) ≥ 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)
Dividiendo entre 2, obtenemos:
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
NOTA: Si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números reales, además:
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 ↔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Desigualdad de las medias
C U R S O D E Á L G E B R A
Si 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 son números positivos, se cumple
𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 ≥ 𝑀𝐻
Donde:
𝑀𝐴
𝑀𝐺
𝑀𝐻
=
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
= 𝑛
𝑎1. 𝑎2 … 𝑎𝑛
=
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+ ⋯ +
1
𝑎𝑛
NOTA: Si 𝑀𝐴 = 𝑀𝐺 = 𝑀𝐻 ↔ 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛
Si 𝑎; 𝑏 son números positivos, se cumple
𝑎 + 𝑏
2
≥ 𝑎. 𝑏 ≥
2
1
𝑎
+
1
𝑏
Si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números positivos, se cumple
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
≥
3
𝑎𝑏𝑐 ≥
3
1
𝑎 +
1
𝑏
+
1
𝑐
𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 3
3
𝑎𝑏𝑐
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Si
𝑥 +
1
𝑥
2
→
= 1
𝑥 +
1
𝑥
≥ 2
TEOREMA 𝑥 > 0 →
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Como 𝑥 > 0 →
1
𝑥
> 0
𝑥.
1
𝑥
≥ 𝑥 +
1
𝑥
≥ 2
, luego
Ejemplo:
Si 𝑥 > 2 → 𝑥 − 2 > 0 , luego
𝑥 − 2 +
1
(𝑥 − 2)
≥ 2
Ejercicio:
Si 𝑥 > 3 encuentre el menor valor de:
𝑀 𝑥 = 𝑥 +
1
𝑥 − 3
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Como 𝑥 > 3 → 𝑥 − 3 > 0 , luego
𝑥 − 3 +
1
(𝑥 − 3)
≥ 2
𝑥 +
1
𝑥 − 3
≥ 5
El menor valor es 5
∴
¡Recuerde!
El teorema de las
medias solo se
aplica para
números
positivos
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ቐ
𝑜
𝑜
𝑜
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejercicio:
Si 𝑥 > 0 encuentre el menor valor de:
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+
2
𝑥
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Como 𝑥 > 0 →
1
𝑥
> 0 como
𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺
𝑥2 +
1
𝑥
+
1
𝑥
3
≥
3
𝑥2.
1
𝑥
.
1
𝑥
= 1
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+
2
𝑥
= 𝑥 +
1
𝑥
+
1
𝑥
utilizamos
Nos queda:
𝑥2
+
2
𝑥
3
≥ 1 → 𝑥2
+
2
𝑥
≥ 3
𝑃 𝑥
Entonces:
𝑃 𝑥 ≥ 3
Por tanto:
El menor valor de 𝑃 𝑥 es 3
¡Recuerde!
El menor valor de P(x)
ocurre cuando:
𝑥2
=
1
𝑥
→ 𝑥 = 1
11. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
