3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓
𝒊𝒏𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝒄𝒐𝒏 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓
𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓
𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝒄𝒐𝒏 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓
𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐
𝑪𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂𝒔
𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐
El valor absoluto nos permite encontrar resultados
no negativos, conoceremos su definición,
propiedades y resolver ecuaciones e inecuaciones
con valor absoluto.
Su uso se encuentra en la teoría de errores, en la
calibración de instrumentos (metrología).
Cuando se fabrica una pieza debe tener una
medida exacta, pero por varios motivos
(calibración, por instrumento, por el observador,
desgaste de la pieza, temperatura, etc.) hay error.
Es por ello que toda medida tiene un margen de
error y para controlar dicho error se necesita de
una tolerancia (error máximo)
𝐿 − 𝐿0 ≤ 𝜀
𝐿0
𝐿0 + 𝜀
𝐿0 − 𝜀
𝐿
Donde:
𝐿:
𝐿0:
𝐿0 + 𝜀:
𝐿0 − 𝜀:
Medida exacta
Medida máxima aceptable
Medida mínima aceptable
Medida real
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
VALOR ABSOLUTO
𝟏. 𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊ó𝒏: El valor absoluto de un número real 𝑥 se
denota por 𝑥 y se define por:
𝑥 = ൞
𝑥 , 𝑥 > 0
0 , 𝑥 = 0
−𝑥 , 𝑥 < 0
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
𝑥 En forma práctica, las
barras se eliminan.
positivo
= 𝑥
• 7 = 7 • −7 =
• − 3 = − − 3
= 7
− −7
• 0 = 0
ሼ
𝑥 En forma práctica, le
cambiamos de signo.
negativo
= −𝑥
ሼ
= 3
• 𝑥2
+ 5
• 𝑥2
− 𝑥 + 1
• 2 − 𝜋
൝
siempre positivo
൝
negativo
= 𝑥2
+ 5
= 𝜋 − 2
= 𝑥2
− 𝑥 + 1
𝑥2
≥ 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
𝜋 = 3,14 …
→ 2 − 𝜋 = −1,14 …
Como
→ 𝑥2
+ 5 ≥ 5
Como
• ∆ = −1 2
− 4 1 1
∆ =
siempre positivo
−3 < 0
• Coef. princ. = 1 > 0
Por el Teorema del trinomio
Positivo:
< 0
• 2 − 1
൝
positivo
= 2 − 1 2 = 1,4142 …
→ 2 − 1 = 0,4142 …
Como
> 0
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏:
También se puede definir 𝑥 como:
𝑥 = 𝑚á𝑥 𝑥 ; −𝑥
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
• 3 = 𝑚á𝑥 3 ; −3 = 3
• −3 = 𝑚á𝑥 −3; 3 = 3
¡ 𝑰𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆!
El 𝑥 representa la distancia de 𝑥 al cero
0 5
−5
൝
5 unidades
൝
5 unidades
5 = 5 𝑦 −5 = 5
𝑵𝒐𝒕𝒂
La distancia entre 𝑎 y 𝑏 (números reales)
se calcula por:
𝑑 = 𝑎 − 𝑏
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
• La distancia entre − 7 y 4 es:
4
−7
𝑑 unidades
𝑑 = −7 − 4 = −11 = 11
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
De la definición tenemos:
𝑥 = ൝
𝑥 , 𝑥 ≥ 0
−𝑥 , 𝑥 ≤ 0
Luego:
𝑥 − 2 = ൝
𝑥 − 2 , 𝑥 − 2 ≥ 0
−𝑥 + 2 , 𝑥 − 2 ≤ 0
𝑥 − 2 = ൝
𝑥 − 2 , 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 2 , 𝑥 ≤ 2
𝑎)
𝑏) 𝑥 − 5 = ൝
𝑥 − 5 , 𝑥 ≥ 5
−𝑥 + 5 , 𝑥 ≤ 5
𝑐) 𝑥 − 2 + 𝑥 − 5 = ?
Analizando por zonas:
−∞ 5
2
5 ≤ 𝑥
2 ≤ 𝑥 ≤ 5
+∞
𝑥 ≤ 2
Tenemos:
𝑥 ≤ 2
2 ≤ 𝑥 ≤ 5
5 ≤ 𝑥
𝑥 − 2 𝑥 − 5 𝑥 − 2 + 𝑥 − 5
−𝑥 + 2 −𝑥 + 5 −2𝑥 + 7
𝑥 − 2 −𝑥 + 5 3
𝑥 − 2 𝑥 − 5 2𝑥 − 7
Luego:
𝑥 − 2 + 𝑥 − 5 =
−2𝑥 + 7 ; 𝑥 ≤ 2
3 ; 2 ≤ 𝑥 ≤ 5
2𝑥 − 7 ; 5 ≤ 𝑥
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Propiedades
Si 𝑥; 𝑦 son números reales, entonces:
𝑥 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 2𝑥 + 3
• 5 − 𝑥
𝟏.
≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
−𝑥
• −4
• 7 − 𝑥
𝟐.
= 4
= − 𝑥 − 7 = 𝑥 − 7
= 𝑥
𝐂𝐨𝐧𝐬𝐞𝐜𝐮𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚: 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
• 2 − 𝑥 = 𝑥 − 2
𝑥 2
• 𝑥 − 8 2
• 2𝑥 − 3 2
𝟑. = 𝑥2 = 𝑥2
= 𝑥 − 8 2
= 2𝑥 − 3 2
𝑥2
• −9 2
• 𝑥 + 6 2
𝟒.
2𝑛
𝑥2𝑛 = 𝑥
𝐄𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥:
•
4
𝑥 − 3 4
= 𝑥
= −9 = 9
= 𝑥 + 6
= 𝑥 − 3
𝑥𝑦
𝟓.
• −9𝑥
• 4𝑥 − 12
= 𝑥 . 𝑦
= −9 . 𝑥 = 9 𝑥
= 4 𝑥 − 3 = 4 𝑥 − 3
𝑥
𝑦
𝟔.
−2
𝑥 − 4
•
; 𝑦 ≠ 0
; 𝑥 ≠ 4
=
𝑥
𝑦
=
−2
𝑥 − 4
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
4𝑥 + 1
7𝑥 − 3
• ; 𝑥 ≠
3
7
=
4𝑥 + 1
7𝑥 − 3
=
2
𝑥 − 4
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ecuaciones con valor absoluto
1. Definición
Son aquellas ecuaciones en donde la incógnita se encuentra
• 2𝑥 − 1 = 9
• 2 − 𝑥 + 𝑥 − 1 = 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 𝑥 + 3 = 4
• 7𝑥 − 3 = 4𝑥 + 5
afectada por el valor absoluto.
𝟐. 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐚𝐛𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐨
Tenga en cuenta los siguientes teoremas:
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟏
𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎 ; 𝑎 ≥ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
→ 𝑥 + 3 = 4 ∨ 𝑥 + 3 = −4
→ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −7
∴ CS = 1; −7
• 4𝑥 + 3 = 11
• 2𝑥 − 1 = 5 → 2𝑥 − 1 = 5 ∨ 2𝑥 − 1 = −5
→ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −2
∴ CS = 3; −2
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧
• 𝑥 = −3
• 4𝑥 − 2 = −5
Las siguientes ecuaciones:
son incompatibles y CS = ∅, pues 𝒙 ≥ 𝟎 ; ∀ 𝒙 ∈ ℝ
• 𝑥 = 2 → 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −2
∴ CS = 2; −2
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
• 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 1
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐
𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎
→ 𝑥2
− 𝑥 − 1
→ 𝑥2
− 3𝑥 = 0
∨ 𝑥2
− 𝑥 − 1
∨ 𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0
∨ (𝑥 + 2) 𝑥 − 1 = 0
→ 𝑥 𝑥 − 3 = 0
→ 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 3 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 1
∴ CS = 0; 3; −2; 1
• 2𝑥 − 5 = 3𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
→ 2 𝑥 − 5 = 3𝑥 ∨ 2𝑥 − 5 = −3𝑥
→ 𝑥 = −5 ∨ 𝑥 = 1
∴ CS = −5; 1
= 2𝑥 − 1 = −2𝑥 + 1
2𝑥 − 3 = 3𝑥
Si 𝛼 es la solución de la ecuación
Resolución:
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
➢ 3𝑥 ≥ 0
➢ 2𝑥 − 3 = 3𝑥 ∨ 2𝑥 − 3 = −3𝑥
→ 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 3/5
→ 𝑥 ≥ 0
→ 𝛼2
= 9/25
, halle 𝛼2
Luego, solo cumple 𝛼 = 3/5
𝑥2
− 7 𝑥 + 12 = 0.
Resuelva la ecuación
Resolución:
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
𝑥 2
− 7 𝑥 + 12 = 0
𝑥
𝑥
−4
−3
= 0
→ 𝑥 − 4 𝑥 − 3
→ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 3
→ 𝑥 = −4; 4 ∨ 𝑥 = −3; 3
∴ CS = −4: 4; −3; 3
𝑥 2
𝑥2
=
¡ 𝐑𝐞𝐜𝐮𝐞𝐫𝐝𝐞!
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐌é𝐭𝐨𝐝𝐨 𝐝𝐞 𝐳𝐨𝐧𝐚𝐬:
Resolver 𝑥 + 𝑥 − 3 = 5
Resolución:
Analizando zonas, tenemos
𝑥 ≤ 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 3
3 ≤ 𝑥
𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 𝑥 − 3
−𝑥 −𝑥 + 3 −2𝑥 + 3
𝑥 −𝑥 + 3 3
𝑥 𝑥 − 3 2𝑥 − 3
Luego:
𝑥 + 𝑥 − 3 =
−2𝑥 + 3 ; 𝑥 ≤ 0
3 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
2𝑥 − 3 ; 3 ≤ 𝑥
Luego 𝑥 + 𝑥 − 3 = 5
I) Si 𝑥 ≤ 0 → −2𝑥 + 3 = 5 → 𝑥 = −1
¡Es solución!
II) Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 → 3 = 5
¡Absurdo!
→ 𝑥 ∈ ∅
III) Si 3 ≤ 𝑥 → 2𝑥 − 3 = 5 → 𝑥 = 4
¡Es solución!
Entonces:
𝐶. 𝑆 = −1; 4
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚:
𝑥 = 𝑥 ↔ 𝑥 ≥ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
I) 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 ↔ 𝑥 − 2 ≥ 0
↔ 𝑥 ≥ 2
𝐶. 𝑆 = ሾ2; ۧ
+∞
II) 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3 ↔ 2𝑥 − 3 ≥ 0
↔ 𝑥 ≥
3
2
𝐶. 𝑆 = ቈ
3
2
; ۧ
+∞
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚:
𝑥 = −𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
I) 𝑥 − 5 = 5 − 𝑥 ↔ 𝑥 − 5 ≤ 0
↔ 𝑥 ≤ 5
𝐶. 𝑆 = ۦ−∞; ሿ
5
II) 3𝑥 − 2 = 2 − 3𝑥 ↔ 3𝑥 − 2 ≤ 0
↔ 𝑥 ≤
2
3
𝐶. 𝑆 = ۦ−∞; ൨
2
3
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Inecuaciones con valor absoluto
1. Definición
Son aquellas inecuaciones donde la incógnita se encuentra
• 2𝑥 − 7 < 9 • 3𝑥 + 4 ≥ 2𝑥 − 5
• 7𝑥 − 5 > 1
afectada por el valor absoluto.
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝟐. 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐚𝐛𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐨
Tenga en cuenta los siguientes teoremas:
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟏
• 𝒙 < 4
𝑥 < 𝑎 ⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 ; 𝑎 > 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
→ ∴ CS = −4; 4
• 𝒙 − 𝟐 < 5 →
∴ CS = −3; 7
→ −3 < 𝑥 < 7
4
−4 < 𝒙 <
5
−5 <
𝒙 − 𝟐
<
𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ; 𝑎 ≥ 0
+2
• 𝟐𝒙 − 𝟓 ≤ 9
∴ CS = −2; 7
→ −4 ≤ 2𝑥 ≤ 14
→ 9
−9 ≤
𝟐𝒙 − 𝟓
≤
→ −2 ≤ 𝑥 ≤ 7
+5
÷ 2
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧
• 𝑥 < −2
• 2𝑥 − 5 ≤ −7
Hay inecuaciones sin solución
→ CS = ∅
→ CS = ∅
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝑥 > 𝑎 ⇔ 𝑥 < −𝑎
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
∨ 𝑥 > 𝑎
𝑥 ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎
−∞ +∞
4
−8
• 𝒙 + 𝟐 > 6 → 6
𝒙 + 𝟐 < 𝒙 + 𝟐 >
−6 ∨
→ 𝑥 < −8 ∨ 𝑥 > 4
−2
• 𝟐𝒙 − 𝟕 ≥ 3 → 3
𝟐𝒙 − 𝟕 ≤ 𝟐𝒙 − 𝟕 ≥
−3 ∨
→ 2𝑥 ≤ 4 ∨ 2𝑥 ≥ 10
+7
→ 𝑥 ≤ 2 ∨ 𝑥 ≥ 5 ÷ 2
∴ CS = −∞ ; −8 ∪ 4; +∞
∴ CS = ۦ+∞ ; ሿ
2 ∪ ሾ ۧ
5; +∞
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑥 − 5 < 2𝑥 − 4.
Resuelva
Resolución:
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
➢ 2𝑥 − 4 > 0
➢ −2𝑥 + 4 < 𝑥 − 5 < 2𝑥 − 4
→ 𝑥 > 2
→ −2𝑥 + 4 < 𝑥 − 5 ∧ 𝑥 − 5 < 2𝑥 − 4
3 < 𝑥 ∧ −1 < 𝑥
−∞ +∞
2 3
−1
∴ CS = 3; +∞
Se tiene 𝑥 − 5 < 2𝑥 − 4.
𝟎 ≤
De (1) y (2), se tiene:
… 1
… 2
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teorema 3
𝑥 ≷ 𝑎
→ 𝑥2
≷ 𝑎2
al cuadrado
Resuelva 3𝑥 − 4 < 2𝑥 − 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
3𝑥 − 4 < 2𝑥 − 1
→ 3𝑥 − 4 2
< 2𝑥 − 1 2
al cuadrado
→ 3𝑥 − 4 2
− 2𝑥 − 1 2
< 0
diferencia de cuadrados
3𝑥 − 4 + 2𝑥 − 1 3𝑥 − 4 − 2𝑥 − 1 < 0
5𝑥 − 5 . 𝑥 − 3 < 0
+
+ −
3
1
∴ CS = 1; 3
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧
• 3𝑥 − 1 > −1
• 𝑥 + 3 ≥ 0
Hay inecuaciones que siempre se cumplen
→ CS = ℝ
→ CS = ℝ
El sentido de la desigualdad no cambia.
Puntos críticos: 1 ; 3
𝑥 ≷ 𝑎 ↔ 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 ≷0
En forma práctica, tenemos:
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teorema 4 (Desigualdad triangular)
C U R S O D E Á L G E B R A
Para todo 𝑎; 𝑏 números reales, se cumple:
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 2 𝑥 + 3
+
2𝑥 + 5 ≤ 𝑥 + 2 𝑥 + 3
+ → 𝐶. 𝑆 = ℝ
; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 𝑥 − 3 + 5 − 𝑥 ≤ 𝑥 − 3 5 − 𝑥
+ ; ∀𝑥 ∈ ℝ
2 ≤ 𝑥 − 3 5 − 𝑥
+ ; ∀𝑥 ∈ ℝ
൝
𝑥 − 5
→ 2 ≤ 𝑥 − 3 𝑥 − 5
+ ; ∀𝑥 ∈ ℝ
𝑥 − 3 𝑥 − 5
+ ≥ 2 → 𝐶. 𝑆 = ℝ
𝑪𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
Si: 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑎𝑏 ≥ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑥 + 2 𝑥 + 3
+ = 2𝑥 + 5
Resolver
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
𝑥 + 2 𝑥 + 3
+ = 2𝑥 + 5
൝
𝑎
൝
𝑏
൝
𝑎 + 𝑏
+ = → 𝑎𝑏 ≥ 0
→ 𝑥 + 2 𝑥 + 3 ≥ 0
Puntos críticos: −2 ; −3
+
+ −
−2
−3
𝐶. 𝑆 = ۦ−∞; ሿ
−3 ∪ ሾ−2; ۧ
+∞
17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝑪𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
Si: 𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏 → 𝑎𝑏 < 0
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Resolver 𝑥 − 4 𝑥 + 3
+ < 2𝑥 − 1
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
𝑥 − 4 𝑥 + 3
+ < 2𝑥 − 1
൝
𝑎
൝
𝑏
൝
𝑎 + 𝑏
+ < → 𝑎𝑏 < 0
→ 𝑥 − 4 𝑥 + 3 < 0
Puntos críticos: 4 ; −3
+
+ −
4
−3
𝐶. 𝑆 = −3; 4
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Resolver 𝑥 + 6 𝑥 − 3
+ < 2𝑥 + 3
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
Por desigualdad triangular tenemos:
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏
Si 𝑎 = 𝑥 + 6 ; 𝑏 = 𝑥 − 3
𝑥 + 6 𝑥 − 3
+
2𝑥 + 3 ≤
Tenemos:
𝑥 + 6 𝑥 − 3
+ < 2𝑥 + 3
Por desigualdad triangular
2𝑥 + 3 ≤
→ 𝐶. 𝑆 = ∅
18. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
