3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑪𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒂
𝑪𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍
𝑹𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓
𝒍𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆
𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráfica de funciones
C U R S O D E Á L G E B R A
Los gráficos nos permiten
comprender fácilmente nuestro
entorno, el electroencefalograma
detecta y registra los patrones de
las ondas cerebrales.
Es por ello que es importante
estudiar las gráficas de funciones.
Iniciamos la sesión entendiendo su
definición y conociendo algunas
gráficas notables, la función
constante, lineal y cuadrática.
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráfica de una función
C U R S O D E Á L G E B R A
Definición
La gráfica de una función 𝑓 es la representación de
todos sus pares ordenados 𝑥, 𝑦 en el plano
cartesiano.
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = Τ
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
𝑥 ∈ Dom𝑓 ∧ 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓 = 2; 3 ; 4; −1 ; −1; 2 ; −3; 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique la función
1 2
−2 −1 3 4
−3 0
−1
𝑋
𝑌
1
2
3 𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
Una gráfica corresponde a una función, si al trazarle rectas
verticales, estas la intersecan a lo más en un solo punto.
Propiedad
La gráfica de 𝑓 sí corresponde
a una función.
𝒇
𝒈
La gráfica de 𝑔 no corresponde
a una función.
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Todo punto que pertenece a la gráfica de una función,
𝒇
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Verifica lo siguiente.
𝑎; 𝑏
𝑋
𝑌
𝑎
𝑏
𝑏 = 𝑓 𝑎
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Se muestra la gráfica de la función 𝑓.
Calcule el valor de 𝑓 −2 . 𝑓 5 + 𝑓 4 . 𝑓 0
𝑿
𝒀
4
7
5
−2
Observe que
• 𝑓 −2 = 0
• 𝑓 4 = 7
• 𝑓 0 = 5
∴ 𝑓 −2 . 𝑓 5 + 𝑓 4 . 𝑓 0
0 . 𝑓 5 = 35
Resolución
+ 7 5
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Para encontrar los cortes de la gráfica con los ejes:
Corte con el eje X: y=0
Corte con el eje Y: x=0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
La gráfica de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 5𝑥 + 6
𝑋
𝑌
A
B C
𝒇
Encontramos los cortes con los ejes:
Corte con el eje Y: x =0
→ = 𝑓 0 = (0)2
−5(0) + 6
𝑦 → 𝑦 = 6
→ A = (0; 6)
Corte con el eje X: y=0
→ 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0
𝑥
𝑥
−3
−2
→ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
Las coordenadas son:
→ B = (2; 0) ; C = (3; 0)
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Para encontrar los puntos de intersección de dos gráficas,
𝒇
𝒈
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
se deben igualar las reglas de correspondencias.
𝑥1; 𝑦1
𝑥2; 𝑦2
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Halle los puntos de intersección puntos en común 𝐴 y 𝐵
entre las gráficas de 𝑓 y 𝑔
𝑋
𝑌
𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 1 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3
−3
1
3
Resolución:
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 → 𝑥2
+ 1= 𝑥 + 3 → 𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
𝑥
𝑥
+1
−2
→ 𝑥1 = −1 ∨ 𝑥2 = 2
𝑥1 𝑥2
Luego
𝑦1 = 𝑓 −1 = 𝑔 −1
𝑦2 = 𝑓 2 = 𝑔 2
𝐴 𝑥1; 𝑦1
𝐵 𝑥2; 𝑦2
൝
∴ Los puntos de intersección son 𝐴 −1;2 y 𝐵 2; 5
= 2
= 5
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráficas notables
1. Función constante
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
𝑓 𝑥 = 𝑘 ; 𝑘 ∈ ℝ
Grafique 𝑓 𝑥 = 3
𝑥 𝑦
−2 3
−1 3
0 3
1 3
2 3
✓ La gráfica es una recta horizontal
✓ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = 3
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
3
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 𝟐:
𝑋
𝑌
• 𝑔 𝑥 = 2
𝑋
𝑌
• ℎ 𝑥 = −3
0
0
2
−3
𝒇 𝒈
𝒉
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
2. Función signo
𝑓 𝑥 = sgn(𝑥)
C U R S O D E Á L G E B R A
= ൞
1 ; 𝑥 > 0
0 ; 𝑥 = 0
−1 ; 𝑥 < 0
su gráfica es:
𝑋
𝑌
−1
0
1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑓 𝑥 = sgn(𝑥 − 2) = ൞
1 ; 𝑥 − 2 > 0
0 ; 𝑥 − 2 = 0
−1 ; 𝑥 − 2 < 0
su gráfica es:
𝑋
𝑌
−1
0
1
2
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
3. Función identidad
𝐼 𝑥 = 𝑥
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
Su gráfica es:
𝑥 𝑦
−2 −2
−1 −1
0 0
1 1
2 2
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
3
−3
−2
−1
𝑰
𝟒𝟓°
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
La función:
𝑓 𝑥 = −𝑥
Su gráfica es:
𝑥 𝑦
−2 2
−1 1
0 0
1 −1
2 −2
1 2
−2 −1
3
−3 0 𝑋
𝑌
−1
−2
−3
3
2
1
𝒇
𝟏𝟑𝟓°
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
4. Función lineal
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
−
𝑏
𝑎
⟵ T.I.
Raíz
Función creciente
𝑋
𝑌
𝑏
−
𝑏
𝑎
T.I. ⟶
𝑋
𝑌
𝑏
Función decreciente
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• Grafique 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6
𝑋
𝑌
• Grafique 𝑔 𝑥 = −3𝑥
𝑋
𝑌
↑
Raíz
↑
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
Su gráfica es:
✓ Solo se necesitan dos puntos para su gráfica
✓ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ
= T.I.
Raíz =
−6
3
𝑥 𝑦
0
0 −6
3
= T.I.
Raíz = 0
1
𝑥 𝑦
0
−3
1
−3
Tabulando
Tabulando
𝒇
𝒈
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Pendiente de la recta
Se define como la tangente del ángulo formado por la
recta inclinada y el eje 𝑥, en posición normal.
𝜽
𝐍𝐨𝐭𝐚:
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝜽
0° < 𝜃 < 90° 90° < 𝜃 < 180°
𝑓 𝑥 = 𝒂𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0
Sea
pendiente = tan 𝜃 = 𝒂
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
La gráfica de la función lineal 𝑓 𝑥 = 𝒂𝑥 + 𝑏 es
𝑋
𝑌
𝟑𝟎°
𝟐
Calcule 𝑎𝑏
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Del gráfico tenemos: 𝑏 = 2 (Por término independiente)
Por pendiente 𝑎 = 𝑡𝑎𝑛30° → 𝑎 =
1
3
×
3
3
=
3
3
→ 𝑎𝑏 =
2 3
3
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐍𝐨𝐭𝐚: Ecuación simétrica de una recta
Si conocemos los puntos de corte de la recta con los
ejes X e Y, entonces conocemos su ecuación.
𝑋
𝑌
𝒂
𝒃
Su ecuación simétrica es:
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
Encontrar las coordenadas del punto P
𝑋
𝑌
−𝟔
−𝟑
−𝟒
𝟐
𝑷
𝒇
𝒈
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Utilizando la ecuación simétrica de la recta, tenemos:
En 𝑓: 𝑥
−6
+
𝑦
−3
= 1 → 𝑥 + 2𝑦 = −6
En 𝑔: 𝑥
−4
+
𝑦
2
= 1 → 𝑥 − 2𝑦 = −4
൞
𝑥 = −5
𝑦 = −
1
2
→ 𝑷 = (−5; −
1
2
)
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
5. Función cuadrática
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑥 𝑦
−2 4
−1 1
0 0
1 1
2 4
1 2
−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
3
4
Tabulando
En general, la función cuadrática tiene la siguiente regla de
correspondencia:
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑘
vértice
Observación:
✓ 𝑓 𝑥 = −𝑥2
es una parábola abierta hacia abajo.
𝑋
𝑌
Su gráfica es:
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
Completando cuadrados se tiene:
✓ La gráfica obtenida se llama parábola.
T.I. ⟶ 𝑐
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
T.I. ⟶ 𝑐
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gráficas notables
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
1 2 3
0 𝑋
𝑌
1
2
3
−1
Resolución:
→ 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2
− 1
Se tiene 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
→ 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
+ 𝟒 − 𝟒
Coordenadas del vértice: 2; −1
• Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
= 𝟎2
− 4. 𝟎 + 3 + 3
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
𝑥 − 2 2
− 1
𝟎 =
→ 𝑦 = 3
→ 𝑥 − 2 2
= 1
→ 𝑥 − 2 = 1 ∨ 𝑥 − 2 = −1
→ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 1
𝑉 2; −1
2. La ordenada del punto de corte con el eje 𝑌 es
el T.I.
1. Las abscisas del punto de corte con el eje
𝑋 son las raíces reales (considerando que las
raíces reales).
17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
Observación:
El vértice 𝑉 ℎ; 𝑘 es el punto más alto o más bajo, según sea la
gráfica de la función 𝑓.
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
𝑓mín =
𝑓máx =
ℎ = −
𝑏
2𝑎
; 𝑘 = 𝑓 −
𝑏
2𝑎
y Dom𝑓 = ℝ
Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo
Punto mínimo
Punto máximo
donde
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
Se lanza una piedra al aire tal que su altura queda
determinada por la función 𝑓 𝑡 = −5𝑡2
+ 50𝑡, donde 𝑡
es el tiempo en segundos y 𝑓 𝑡 es la altura en metros.
Halle el tiempo en el que la piedra alcanza su máxima
altura y cuál es dicha altura.
Resolución:
𝑓 𝑡 = −5𝑡2
+ 50𝑡
Se tiene
= −
50
2 −5
= 𝟓
ℎ
La altura máxima se encuentra en el vértice de la parábola
tiempo
altura
𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝑉 5; 125
𝒇𝒎á𝒙 =
𝑓 𝟓 = −5 𝟓 2
+ 50. 𝟓
𝑘 = = 𝟏𝟐𝟓
∴ Para 𝑡 = 5 s se alcanza la altura máxima de 125 m.
൞
18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Raíces reales y diferentes Raíces reales e iguales Raíces no reales
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
∆ > 𝟎 ∆ = 𝟎 ∆ < 𝟎
𝑎 > 0
𝑎 < 0
𝑥1
𝑥1 = 𝑥2
𝑥2
𝑥1 𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
C U R S O D E Á L G E B R A
Propiedades: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
19. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟏
Si la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 𝑛 − 3 𝑥 + 1 no
interseca al eje 𝑋, halle el mayor valor entero de 𝑛.
Resolución:
Como la parábola no interseca al eje 𝑋, las raíces de 𝑓 son
no reales. Luego:
∆ < 0
→ 𝑛 − 3 2
− 4 1 1 < 0
→ 𝑛 − 3 2
< 4
→ −2 𝑛 − 3
< < 2
→ 1 < 𝑛 < 5
∴ máximo entero 𝑛 = 4
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐
A continuación se muestra la gráfica de la función
cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑛 − 3 𝑥 − 6𝑛. Halle 𝑛.
Resolución:
Como la parábola es tangente al eje 𝑋, las raíces de 𝑓 son
reales e iguales. Luego:
∆ = 0
→ 2𝑛 − 3 2
− 4 1 −6𝑛 = 0
→ 4𝑛2
− 12𝑛 + 9
→ 4𝑛2
+ 12𝑛 + 9
∴ 𝑛 = −
3
2
𝑋
𝑌
+ 24𝑛 = 0
= 0
2𝑛 + 3 2
20. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
