This document discusses triple integrals in 3 dimensions. It defines a triple integral as the limit of Riemann sums as the norm of the partition approaches 0. It states that a triple integral of a continuous function over a rectangular parallelepiped region is equal to the iterated integral of the function with respect to dzdydx. Examples are provided to demonstrate how to set up and evaluate triple integrals over various regions in 3D space, including in rectangular, cylindrical and other coordinate systems.

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA LETRAS Y CIENCIAS DE
LA
EDUCACIÓN
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES
QUÍMICA Y BIOLOGÍA
CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRALES TRIPLES

2. INTEGRALES TRIPLES
- Es una extensión de la integral doble.
- El paralelepípedo rectangular es la región más
simple en 𝑅3
.
- Limita por seis planos:
- 𝑥 = 𝑎1, 𝑥 = 𝑎2, 𝑦 = 𝑏1, 𝑦 = 𝑏2, 𝑧 = 𝑐1, 𝑧 = 𝑐2,
- donde 𝑎1 < 𝑎2, 𝑏1 < 𝑏2, 𝑐1 < 𝑐2.
Condiciones:
- Sea f una función de tres variables.
- Suponga f es continua en una región S.
- La partición de S mediante planos paralelos a los
planos coordenados los denominaremos “cajas
rectangulares”.

3.  Sea ∆ la partición de 𝑛 cajas, entonces ∆𝑖𝑉 es el volumen de la i-ésima caja.
 Se elige un punto arbitrario 𝑢𝑖, 𝑣𝑖, 𝑤𝑖 para formar la suma:
 La norma Δ de la partición es la longitud de la diagonal más grande de las cajas.
 Si las sumas de la caja se aproxima a un límite conforme Δ tienda a cero para cuales
quiera de los puntos 𝑢𝑖, 𝑣𝑖, 𝑤𝑖 , entonces este límite recibe el nombre de integral triple
de 𝑓 en S.
𝑙𝑖𝑚
Δ →0
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑢𝑖, 𝑣𝑖, 𝑤𝑖 ∆𝑖𝑉 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑢𝑖, 𝑣𝑖, 𝑤𝑖)Δ𝑖𝑉

4.  La integral triple es igual a una integral iterada triple.
 Cuando S es el paralelepípedo rectangular descrito antes, y f es continua en S se tiene:
𝑆
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
𝑎1
𝑎2
𝑏1
𝑏2
𝑐1
𝑐2
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

5. EJEMPLO 1:
Evalué la integral triple 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑧 𝑑𝑉 si S es el paralelepípedo rectangular limitado por planos
=π, y =
1
2
π , z =
1
3
𝜋 y los planos coordenados.
SOLUCIÓN:
𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑧 𝑑𝑉
= 0
𝜋
0
𝜋/2
0
𝜋/3
(𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑧 )𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 0
𝜋
0
𝜋/2
−𝑥 cos(𝑦𝑧) 0
𝜋
3
dydx
= 0
𝜋
0
𝜋/2
𝑥(1 − cos(
1
3
𝜋𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 0
π
0
π/2
x y −
3
π
sen
1
3
πy
0
𝜋
2
𝑑𝑥

6. = 0
π
𝑥
𝜋
2
−
3
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋2
6
dx
=
𝑥2
2
𝜋
2
−
3
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋2
6
0
𝜋
𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑧 𝑑𝑉 =
𝜋
4
𝜋2
− 6 𝑠𝑒𝑛
𝜋2
6

7. Integral triple de una función continua de tres variables en una región de R³ diferente a un
paralelepípedo rectangular:
 Sea S la región tridimensional cerrada y limitada por los planos x = a y x= b , los cilindros y =
Φ1 𝑥 𝑦 𝑦 = Φ2 𝑥 , y las superficies 𝑧 = 𝐹1(𝑥, 𝑦) y y = 𝐹2(𝑥, 𝑦) , donde las funciones Φ1 , Φ2 ,
𝐹1 , 𝐹2 son lisas.

8. Suma de Riemann: 𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑢𝑖, 𝑣𝑖, 𝑤𝑖 ∆𝑖𝑉
Lo llevamos al limite:
lim
∆ →0
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑢𝑖, 𝑣𝑖, 𝑤𝑖 ∆𝑖𝑉
= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
=
𝑎
𝑏
Φ1(𝑥)
Φ2(𝑥)
𝐹1
𝐹2
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Si 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 en S, entonces se transforma en
lim
∆ →0
𝑖=1
𝑛
∆𝑖𝑉 = 𝑑𝑉
De modo que una integral triple es la medida del volumen de la región S.

9. 3. 0
1
0
𝑥
0
𝑥+𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
 0
1
0
𝑥
0
𝑥+𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧 dydx
 0
1
0
𝑥
𝑥 + 𝑦 0
𝑥+𝑦
𝑑𝑧 + 0
𝑥+𝑦
𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥
 0
1
0
𝑥
𝑥 + 𝑦 𝑧| 0
𝑥+𝑦
+
𝑧2
2
| 0
𝑥+𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥
 0
1
0
𝑥
𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 +
(𝑥+𝑦)2
2
𝑑𝑦𝑑𝑥

10.  0
1
0
𝑥 3
2
𝑥2 + 3𝑥𝑦 +
3
2
𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
 0
1 3
2
𝑥2
0
𝑥
𝑑𝑦 + 3𝑥 0
𝑥
𝑦𝑑𝑦 +
3
2 0
𝑥
𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥
 0
1 3
2
𝑥2y| 0
𝑥
+ 3𝑥
𝑦2
2
| 0
𝑥
+
3
2
𝑦3
3
| 0
𝑥
𝑑𝑥
 0
1 3
2
𝑥2
𝑥 + 3𝑥
𝑥2
2
+
3
2
𝑥3
3
𝑑𝑥
 0
1 7
2
𝑥3 𝑑𝑥

7
2
1
4
𝑥4
| 0
1

7
8
(1)1
=
7
8

11. Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 25, el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8 y el
plano xy
 Los límites de z para la integral iterada son de [0;
8-x-y]
 Los límites de y son de [− 25 − 𝑥2 ; 25 − 𝑥2]
 Los límites de x son de [-5;5]

12. 𝑉 = 2
−5
5
−𝑥 25 − 𝑥2 𝑑𝑥
𝑉 = 16
−5
5
25 − 𝑥2 𝑑𝑥 +
−5
5
−2𝑥 25 − 𝑥2 𝑑𝑥
𝑉 = 16
1
2
𝑥 25 − 𝑥2 +
25
2
sin−1
1
5
𝑥 +
2
3
(25 − 𝑥2
)
3
2
−5
5
𝑉 = 200𝜋
Por lo tanto, el volumen es de 200 𝜋 unidades cúbicas.

13. INTEGRALES TRIPLES EN
COORDENADAS CILÍNDRICAS
 Si una región 𝑆 de 𝑅3tiene un eje de simetría, se puede
construir una partición de dicha región dibujando
planos que contengan el eje 𝑧, planos perpendiculares
al eje 𝑧 y cilindros circulares rectos que tenga el eje 𝑧
como eje.
 FIGURA 1
 Los elementos de partición construida se encuentran en
S
 La partición se denomina Partición cilíndrica
 La medida de la longitud de la diagonal más grande de
todas las subregiones es la norma Δ

14. Utilizando sumas de Riemann
El área de la base i – ésima de la subregión es:
𝐴 = 𝑟𝑖. ∆𝑖 𝑟. ∆𝑖 𝜃 ,unidades cuadradas, donde 𝑟𝑖 =
1
2
(𝑟𝑖 + 𝑟𝑖−1), por lo tanto, el volumen de la figura
será:
∆𝑖𝑉 = 𝑟𝑖. ∆𝑖 𝑟. ∆𝑖𝜃. ∆𝑖 𝑧
Sea 𝑓 una función de r, 𝜃 y 𝑧 y además continua en 𝑆 se cumple que:
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑧𝑖) ∆𝑖𝑉= 𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑧𝑖)𝑟𝑖. ∆𝑖 𝑟. ∆𝑖𝜃. ∆𝑖 𝑧
Cuando Δ se lleva al límite tendiendo a cero, se tiene:
lim
Δ →0
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑧𝑖) ∆𝑖𝑉 = 𝑓 𝑟, 𝜃, 𝑧 𝑑𝑉
⟺ lim
Δ →0 𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑧𝑖) 𝑟𝑖. ∆𝑖 𝑟. ∆𝑖𝜃. ∆𝑖 𝑧 = 𝑓 𝑟, 𝜃, 𝑧 𝑑𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑧

16. EJERCICIO 10
Determine el volumen del sólido limitado por el paraboloide:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 1, y el plano 𝑥𝑦

17. Si trabajamos en torno al eje z (eje de color azul), tenemos:
𝑧 = 1 − 𝑥2
+ 𝑦2
La ecuación ordinaria de la circunferencia es 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
, y al despejar 𝑟2
se obtiene:
𝑧 = 1 − 𝑟2
, por lo tanto el volumen que se genera es:
𝑉 = 0
2𝜋
0
1
0
1−𝑟2
𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑉 = 0
2𝜋
(
1
2
−
1
4
)𝑑𝜃
𝑉 = 0
2𝜋
0
1
𝑟𝑧 1 − 𝑟2
0
𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑉 = 0
2𝜋 𝑑𝜃
4
𝑉 = 0
2𝜋
0
1
𝑟(1 − 𝑟2
)𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑉 =
𝜃
4
2𝜋
0
𝑉 = 0
2𝜋
0
1
𝑟 − 𝑟3
𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑉 =
𝜋
2
𝑢3
𝑉 = 0
2𝜋 𝑟2
2
−
𝑟4
4
1
0
𝑑𝜃 𝑅. 𝐸𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑑𝑒𝑙 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒
𝜋
2
𝑢3

18. Convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y evaluar la
integral iterada más sencilla
𝟎
𝟐
𝟎
𝟒−𝒙𝟐
𝟎
𝟏𝟔−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
0 ≤ z ≤ 16 − 𝑥2 − 𝑦2
0 ≤ y ≤ 4 − 𝑥2
0 ≤ x ≤ 2
z = 16 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑦 = 4 − 𝑥2
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 16 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
hemisferio radio = 4 cilindro radio = 2
CILINDRICAS: 𝑥 = 𝑟 cos θ → 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
𝑦 = 𝑟 sin θ → 𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑θ
𝑧 = 𝑧

19. 0
𝜋
2
0
2
0
16−𝑟2
𝑟2 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 =
0
𝜋
2
0
2
0
16−𝑟2
𝑟2
𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
0
𝜋
2
0
2
0
16−𝑟2
𝑟2
𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 =
0
𝜋
2
0
2
𝑟2
0
16−𝑟2
𝑑𝑧 𝑑𝑟𝑑𝜃
= 0
𝜋
2
0
2
𝑟2
𝑧 16 − 𝑟2
0
𝑑𝑟𝑑𝜃
=
0
𝜋
2
0
2
𝑟2
16 − 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃
Sustitución trigonométrica: 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑟 = 0 𝑟 = 2
𝑑𝑟 = 4cos𝛽𝑑𝛽 𝛽 = sin−1 𝑟
4
𝛽 = sin−1
0 𝛽 = sin−1 2
4
16 − 𝑟2 = 4𝑐𝑜𝑠𝛽 𝛽 = 0 𝛽 = sin−1 1
2
𝛽 =
𝜋
6

20. =
0
𝜋
2
0
𝜋
6
4𝑠𝑒𝑛𝛽 2
∗ 4𝑐𝑜𝑠𝛽 ∗ 4𝑐𝑜𝑠𝛽𝑑𝛽𝑑𝜃 = 44
0
𝜋
2
0
𝜋
6
𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 2
𝑑𝛽𝑑𝜃
= 44
0
𝜋
2
0
𝜋
6 𝑠𝑒𝑛2𝛽
2
2
𝑑𝛽𝑑𝜃 =
44
4 0
𝜋
2
0
𝜋
6
𝑠𝑒𝑛2
2𝛽 𝑑𝛽𝑑𝜃 = 43
0
𝜋
2
0
𝜋
6 1 − 𝑐𝑜𝑠4𝛽
2
𝑑𝛽𝑑𝜃
=
64
2 0
𝜋
2
𝛽 −
𝑠𝑒𝑛4𝛽
4
𝜋
6
0
𝑑𝜃 = 32
𝜋
6
−
1
4
𝑠𝑒𝑛 4
𝜋
6 0
𝜋
2
𝑑𝜃 = 32
𝜋
6
−
1
4
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3
𝜃
𝜋
2
0
= 32
𝜋
6
−
1
4
3
2
𝜋
2
=
16𝜋2
6
−
16
8
𝜋 3
=
8𝜋2
3
− 2𝜋 3
Por lo tanto el volumen del sólido es de =
8𝜋2
3
− 2𝜋 3

21. DEFINICIÓN DE INTEGRAL TRIPLE EN
COORDENADAS ESFÉRICAS
 Una partición esférica de la
región tridimensional S se forma
al trazar planos que contengan al
eje z, esferas con centro en el
origen, y cono circulares que
tengan un vértice en el origen y
el eje z como su eje.
 La figura muestra una subregión
típica de la partición.

22.  Si ∆𝑖𝑉 unidades cubicas es el volumen de la i-ésima región subregión, y 𝜌𝑖, 𝜃𝑖, ∅𝑖 es
un punto en ella puede obtenerse una aproximación de ∆𝑖𝑉 al considerar la región
como si fuese un paralelepípedo rectangular y tomando el producto de las medidas de
las tres dimensiones.
 Estas medidas son 𝜌𝑖𝑠𝑒𝑛∅𝑖∆𝑖𝜃, ∆𝑖𝜌𝑖∆𝑖∅, y ∆𝑖𝜌.
 Las figuras 7 y 8 ilustran como se obtienen las dos primeras medidas, mientras que la
figura 6 muestra la dimensión de la medida ∆𝑖𝜌.
 En consecuencia, ∆𝑖𝑉 = 𝜌𝑖
2
𝑠𝑒𝑛∅𝑖∆𝑖𝜌∆𝑖𝜃∆𝑖∅

23. DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL
TRIPLE POR SUMA DE RIEMANN
 La integral triple en coordenadas esféricas de una función f en S esta
definida por:
lim
∆ →0
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝜌𝑖, 𝜃𝑖, ∅𝑖 ∆𝑖𝑉 =
𝑆
.
𝑓 𝜌, 𝜃, ∅ 𝑑𝑉
.
lim
∆ →0
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝜌𝑖, 𝜃𝑖, ∅𝑖)𝜌𝑖
2
𝑠𝑒𝑛∅𝑖∆𝑖𝜌∆𝑖𝜃∆𝑖∅
=
𝑆
.
𝑓 𝜌, 𝜃, ∅ 𝜌2𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑∅

24. Determine el volumen del sólido ubicado dentro de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4𝑧 y que se
encuentra arriba del cono 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4𝑧
𝑝2 = 4𝑝 cos 𝜃
𝑝 = 4 cos 𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑧2
𝑝2 = 4𝑝2𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃 =
1
2
𝜃 =
1
4
𝜋
𝑉 = lim
∆→0
𝑖=1
𝑛
∆𝑖
𝑉 =
𝑆
0
𝑑𝑉
𝑉 =
0
2𝜋
0
𝜋
4
0
4𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑝2
sin 𝜃𝑑𝑝 𝑑𝜙 𝑑𝜃
𝑉 =
0
2𝜋
0
𝜋
4 1
3
𝑝3 4𝑐𝑜𝑠𝜃
0
sinθ𝑑𝜃𝑑𝜙
𝑉 =
64
3 0
2𝜋
0
𝜋
4
𝑐𝑜𝑠3𝜃sinθ𝑑𝜃𝑑𝜙
𝑉 =
64
3
∗ 2π −
1
4
𝑐𝑜𝑠4
𝜃
𝜋
4
0
𝑉 =
32
3
𝜋 −
1
4
+ 1
𝑉 = 8𝜋
El volumen del sólido es 8𝜋 𝑢3

25.  Calcule el momento de inercia con respecto al eje z del sólido homogéneo limitado por
la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 4. La densidad volumínica en cualquier punto del sólido es k
slugs por pie cúbico.
𝑟2 = (𝑝 sin 𝜙)2
𝐼 =
0
2𝜋
0
𝜋
0
2
𝑝2𝑠𝑖𝑛2𝜙 ∗ 𝑘𝑝2 sin 𝜙 𝑑𝑝 𝑑𝜙 𝑑𝜃
𝐼 = 𝑘
0
2𝜋
𝑑𝜃
0
𝜋
(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜙) sin 𝜙 𝑑𝜙
0
2
𝑝4 𝑑𝑝
𝐼 = 2𝑘
1
3
𝑐𝑜𝑠3
𝜙 − cos 𝜙
𝜋
0
1
5
𝑝5 2
0
𝐼 = 2𝑘𝜋 ∗
4
3
∗
32
5
𝐼 =
256
15
𝑘𝜋 El momento de inercia es
256
15
𝑘𝜋