The document discusses solving polynomial inequalities, including: - Linear inequalities have the general form ax + b ≷ 0 and their solution sets are intervals. - Quadratic inequalities can be solved using critical points or factoring depending on the discriminant. - Examples are provided of solving linear, quadratic, and polynomial inequalities using critical points or factoring.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: PLANA DE ÁLGEBRA

2. INECUACIONES
POLINOMIALES I
Semana 17

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
RESOLVER
INECUACIONES
LINEALES
APLICAR EL
MÉTODO DE
LOS PUNTOS
CRÍTICOS
RESOLVER
INECUACIONES
CUADRÁTICAS

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑰𝑵𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺
𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺
En esta ocasión, desarrollamos el tema
de inecuaciones que permiten encontrar
un conjunto de valores que permiten
explicar una necesidad.
en el mercado libre y nos indica el punto E
de equilibrio y las zonas de excedente del
consumidor y del productor, generadas por
Inecuaciones.
En el gráfico se muestra los excedentes
𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Inecuaciones polinomiales
𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢ó𝐧: Una inecuación es una desigualdad entre
dos expresiones donde aparezca al menos una variable.
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
a) 2𝑥 − 3 > 𝑥 + 2
Para resolver una inecuación se utilizan los teoremas
de las desigualdades
b) 𝑥2 − 3𝑥 + 4 ≥ 2𝑥 − 1
2𝑥 − 3 > 𝑥 + 2
→
(+3) 2𝑥 > 𝑥 + 5
→
(−𝑥) 𝑥 > 5
Luego: C. S = 5; +∞
𝐈𝐍𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈Ó𝐍 𝐋𝐈𝐍𝐄𝐀𝐋
Tiene como forma general 𝑎𝑥 + 𝑏 ≷ 0 ; 𝑎 ≠ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
a) 4𝑥 − 7 ≥ 0 b) −5𝑥 + 8 < 0
Para resolver una inecuación lineal, se despeja la
variable por los teoremas de las desigualdades
a) 4𝑥 − 7 ≥ 0
→
(+7) 4𝑥 ≥ 7
→
(÷ 4) 𝑥 ≥
7
4
Luego:
C. S = ቈ
7
4
; ۧ
+∞
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
b) − 5𝑥 + 8 ≥ 0
→
(−8) −5𝑥 ≥ −8
→
÷ (−5) 𝑥 ≤
8
5
Luego: C. S = ‫ۦ‬−∞; ൨
8
5
¡NOTA!
El C.S de una inecuación lineal es
un intervalo no acotado
𝐄𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥:
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0
Si tenemos
→
(−𝑏) 𝑎𝑥 > −𝑏
Si 𝑎 > 0: Si 𝑎 < 0:
𝑎𝑥 > −𝑏 𝑎𝑥 > −𝑏
→
÷ (𝑎) 𝑥 > −
𝑏
𝑎
→
÷ (𝑎) 𝑥 < −
𝑏
𝑎
Luego:
Luego:
C. S = ൽ−
𝑏
𝑎
; + ۧ
∞ C. S = ‫ۦ‬−∞; − ඁ
𝑏
𝑎
Tenemos 2 posibles casos, estos son:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Criterio de los puntos críticos
Es un método que nos permite observar como
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨
Analizar 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 − 4
Sus raíces son: −3; 4 los ubicamos en la recta real
−3 4
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
−3 < 𝑥 < 4 4 < 𝑥
𝑥 < −3
Analizando el signo en cada zona
ZONA
4 < 𝑥
−3 < 𝑥 < 4
𝑥 < −3
𝑥 + 3 𝑥 − 4 𝑥 + 3 𝑥 − 4
(+) (+) (+)
(−)
(−)
(+)
(−) (−) (+)
𝑃 𝑥
cambia de signo los factores lineales (con
coeficientes reales), en una multiplicación indicada
Se deduce:
−3 4
(−) (+)
(+)
+∞
−∞
−∞ +∞
𝑆𝑖
𝑆𝑖
𝑃 𝑥 > 0
𝑃 𝑥 < 0
↔
↔
𝑥 ∈
𝑥 ∈
−∞; −3 ∪ 4; +∞
−3; 4

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ቐ
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏
Resolver: (𝑥 + 7) (𝑥 − 5) ≤ 0
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
Encontramos sus puntos críticos (P. C):
𝑥 + 7 = 0 → 𝑥 = −7
𝑥 − 5 = 0 → 𝑥 = 5
P. C
→ P. C = −7; 5
−∞ +∞
5
−7
→ 𝑥 ∈ −7; 5
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐
Resolver: (𝑥 + 1) (𝑥 − 4)(𝑥 + 8) > 0
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
Encontramos sus puntos críticos (P. C):
𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
𝑥 + 8 = 0
𝑥 = −8
→ P. C = −1; 4;−8
−∞ +∞
−1
−8 4
→ 𝑥 ∈ −8; −1 ∪ 4; +∞

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟏
Resolver
𝑥 + 5 𝑥 − 2 ≥ 0
Aplicando el método de puntos críticos
Los P. C son: −5; 2
−∞ +∞
2
−5
→ 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−∞; ሿ
−5 ∪ ሾ2; ۧ
+∞
𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≥ 0
Factorizando
𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≥ 0
𝑥
𝑥
+5
−2
𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟐
Resolver
2𝑥 + 1 𝑥 − 2 < 0
Aplicando el método de puntos críticos
Los P. C son: −1/2; 2
−∞ +∞
2
−1/2
→ 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−1/2; ۧ
2
2𝑥2 − 3𝑥 − 2 < 0
Factorizando
2𝑥2 − 3𝑥 − 2 < 0
2𝑥
𝑥
+1
−2

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Inecuación cuadrática
C U R S O D E Á L G E B R A
Tiene como forma general
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≷ 0 ; 𝑎 ≠ 0
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
Considerando 𝑎 > 0 se tiene 3 casos según el
análisis de su discriminante (∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐)
𝑃 𝑥 =
CASO ∆> 𝟎 ∆= 𝟎
FORMA Es
factorizable
Trinomio cuadrado
perfecto
MÉTODO Puntos
críticos
𝑥2 ≥ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏
Resolver: 3𝑥2 − 5𝑥 − 2 ≥ 0
Analizando ∆= (−5)2−4(3)(−2) = 49 → ∆ > 0
→ 𝐄𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐨 𝐞𝐬 𝐟𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐳𝐚𝐛𝐥𝐞
3𝑥2 − 5𝑥 − 2 ≥ 0
3𝑥
𝑥
+1
−2
→ (3𝑥 + 1)(𝑥 − 2) ≥ 0
→ Los P. C son: −
1
3
; 2
−∞ +∞
2
−1/3
→ 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−∞; ሿ
−1/3 ∪ ሾ2; ۧ
+∞

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ቐ
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐
𝑦 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝐴𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎,
𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝐶. 𝑆 𝑠𝑜𝑛 𝑃. 𝐶
𝑆𝑖 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 ↔ 𝐶. 𝑆 = 𝑚; 𝑛
→ ∧
𝑚 + 𝑛 = −
𝑏
𝑎
𝑚𝑛 =
𝑐
𝑎
Si al resolver la inecuación
2𝑥2 + 𝑚𝑥 − 𝑛 < 0
Se obtiene C. S = 3;7
Calcule 𝑚. 𝑛
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
Como C. S = 3; 7 Tenemos que 3 y 7 son P. C y raíces. Por teorema de Cardano
→ 3 + 7 = −
𝑚
2
→ 𝑚 = −20
→ 3.7 =
−𝑛
2
→ 𝑛 = −42
𝑚. 𝑛 = 840

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
¡ 𝐑𝐞𝐜𝐮𝐞𝐫𝐝𝐚! ∀𝑥 ∈ ℝ ; 𝑥2 ≥ 0
Entonces
(𝑥 − 3)2 ≥ 0 → 𝑥 ∈ ℝ
(𝑥 − 3)2 > 0 → 𝑥 ∈ ℝ − 3
(𝑥 − 3)2 < 0 → 𝑥 ∈ ∅
(𝑥 − 3)2 ≤ 0 → 𝑥 ∈ 3
Esto es:
𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0 → C. S = ℝ
𝑥2 − 6𝑥 + 9 > 0 → C. S = ℝ − 3
𝑥2 − 6𝑥 + 9 < 0 → C. S = ∅
𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≤ 0 → C. S = 3
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚: Si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 tiene 𝐶. 𝑆 = 𝛼
→ 𝑎 > 0 ∧ ∆= 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨
Si 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑛 ≤ 0 tiene 𝐶. 𝑆 = 𝛼 . Calcule el valor de 𝑛
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
Como tiene 𝐶. 𝑆 = 𝛼 → ∆= 0
→ ∆= (−4)2−4(1)(𝑛) = 0
→ 16 − 4𝑛 = 0
→ 𝑛 = 4

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚: Si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 tiene 𝐶. 𝑆 = ℝ − 𝛼
→ 𝑎 > 0 ∧ ∆= 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨
Si 2𝑥2 − 6𝑥 + (𝑛 − 2) > 0 tiene 𝐶. 𝑆 = ℝ − 𝛼 . Calcule el valor de 𝑛
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
Como tiene 𝐶. 𝑆 = ℝ − 𝛼 → ∆= 0
→ ∆= (−6)2−4(2)(𝑛 − 2) = 0
→ 52 − 8𝑛 = 0
→ 𝑛 =
13
2
¡ 𝐈𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞!
𝐴𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑖 𝑠𝑒
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎, 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎
𝑠𝑢 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

14. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e