Gráficas de ecuaciones (slide share)

www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
1
Gráficas de Ecuaciones

Objetivos
• Dibujar gráficas de ecuaciones.
• Definir las intercecciones en los ejes.
• Encontrar las intersecciones en los ejes.
• Estudiar la simetría con los ejes y el origen.
• Determinar propiedades de las ecuaciones.
2

Gráficas de Ecuaciones
3
La representación en un plano cartesiano de
las soluciones de una ecuación con dos variables
se llama la gráfica de la ecuación.
Para dibujar la gráfica de una ecuación con
dos variables se acostumbra tomar una muestra
representativa de las soluciones o los puntos de
manera que nos de una idea de la forma de la
gráfica.

Construir Gráficas de Ecuaciones
4
Solución:
𝑥 = −2, −1, 0, 1, 2 Seleccionamos los valores de 𝑥 a
utilizar en la evaluación de la ecuación.
Evaluamos la ecuación para estos
valores y los tabulamos.
Localizamos los puntos tabulados en
el plano cartesiano y los unimos para
formar la gráfica de la ecuación.
𝒙 -2 -1 0 1 2
𝒚 1
3 -1 1 3
La gráfica de esta ecuación tiene
forma de V.
Ejemplo:
Construir la gráfica de la ecuación 𝑦 = 2 𝑥 − 1.
𝑦 = 2 2 − 1 = 4 − 1= 3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

5
Solución:
𝑥 = −2, −1, 0, 1, 2 Seleccionamos los valores de 𝑥 a
utilizar en la evaluación de la ecuación.
Evaluamos la ecuación para estos
valores y los tabulamos.
𝒙 -2 -1 0 1 2
𝒚 11
Ejemplo:
Construir la gráfica de la ecuación 𝑦 = −3𝑥 + 5.
𝑦 = −3 2 + 5= −6 + 5= −1
8 5 2 -1
Localizamos los puntos tabulados en
el plano cartesiano y los unimos para
formar la gráfica de la ecuación.
La gráfica de esta ecuación tiene
forma de línea recta.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

Práctica
7
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de las páginas 1 y 2

10
Práctica:
Construir la gráfica de la ecuación 𝑦 = 2𝑥2 + 1.

Los puntos donde una gráfica cruza o toca los ejes
coordenados son las intersecciones con los ejes. Una
gráfica no siempre tiene intersecciones con los ejes
coordenados.
Intersecciones en los ejes
11
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
intersecciones en x
intercepto en y
¿Cuál es la coordenada en 𝑥 de
un punto que representa una
intersección en el eje de 𝑦?
La coordenada en 𝑥 del punto
que representa una intersección
en el eje de 𝑦 es cero.
¿Cuál es la coordenada en 𝑦 de
un punto que representa una
intersección en el eje de 𝑥?
La coordenada en 𝑦 del punto
que representa una intersección
en el eje de 𝑥 es cero.

12
Procedimiento para hallar las intersecciones
Para encontrar las intersecciones en 𝑥 en la gráfica
de una ecuación, se hace 𝑦 = 0 en la ecuación y se
resuelve para 𝑥. Una intersección en el eje de 𝑥 se
conoce como un cero de la gráfica de una ecuación o
como raíz de una ecuación. No todas las ecuaciones
tienen intersecciones en el eje de 𝑥.
Para encontrar las intersecciones en 𝑦 en la gráfica
de una ecuación, se hace 𝑥 = 0 en la ecuación y se
resuelve para 𝑦. No todas las ecuaciones tienen
intersecciones en el eje de 𝑦.

13
Ejemplo:
Encontrar las intersecciones en los ejes de la gráfica de la ecuación
𝑦 = 𝑥3 + 1.
Solución:
Buscar las intersecciones en el eje
de 𝑥 sustituyendo cero en la 𝑦 de la
ecuación.
𝑦 = 𝑥3 + 1
0 = 𝑥3 + 1
Se despeja para 𝑥 y se escriben las
coordenadas de las intersecciones.
𝑥3 = −1
3 3
𝑥 = −1
𝐼𝑥 −1, 0
de 𝑦 sustituyendo cero en la 𝑥 de la
ecuación.
𝑦 = 𝑥3 + 1
𝑦 = 0 3
+ 1
Se despeja para 𝑦, se escriben las
𝑦 = 1
𝐼𝑦 0, 1

Ejemplo:
𝑦 = 2 𝑥 + 4 − 2.
15
Solución:
de 𝑥 sustituyendo cero en la 𝑦 de la
ecuación.
𝑦 = 2 𝑥 + 4 − 2
0 = 2 𝑥 + 4 − 2
Se despeja para 𝑥 y se escriben las
2 = 2 𝑥 + 4
𝐼𝑥 −3, 0
1 = 𝑥 + 4
2 2
𝑥 = −3
de 𝑦 sustituyendo cero en la 𝑥 de la
ecuación.
𝑦 = 2 𝑥 + 4 − 2
𝑦 = 2 0 + 4 − 2
Se despeja para 𝑦, se escriben las
𝑦 = 2
𝐼𝑦 0, 2
𝑦 = 2 2 − 2

Práctica
16
Hacer los ejercicios de la página 3

18
Práctica:
2𝑦 + 3𝑥 = 18.

Simetría
19
Simetría es el conjunto de transformaciones
que llevan a que un objeto se vea igual.

La gráfica de una ecuación tiene simetría con
respecto al eje de 𝒙 si, para todo punto 𝑥, 𝑦
en la gráfica, el punto 𝑥, −𝑦 también está en la
gráfica.
Simetría con respecto al eje de 𝑥
20
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
𝑥, 𝑦
𝑥, −𝑦
El eje de 𝑥 está a la
misma distancia de 𝑦 que de
– 𝑦. El valor de la 𝑥 es igual
para 𝑦 y – 𝑦.

Simetría con respecto al eje de 𝑥
21
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Ejemplo:
Determina si la siguiente gráfica tiene simetría con respecto al eje
de 𝑥.
0, 2
0, −2
5, 3
5, −3
Seleccionar algunos puntos en la
grafica.
Buscar otros punto en la gráfica
de forma tal que tengan el mismo
valor de 𝑥 y el valor opuesto de 𝑦.
Si existen estos puntos, la
gráfica tiene simetría con respecto
al eje de 𝑥 . Si no existen estos
puntos, la gráfica no tiene simetría
con respecto al eje de 𝑥.
La gráfica tiene simetría
con respecto al eje de 𝑥.
Solución:

La gráfica de una ecuación tiene simetría con
respecto al eje de 𝒚 si, para todo punto 𝑥, 𝑦
en la gráfica, el punto −𝑥, 𝑦 también está en la
gráfica.
Simetría con respecto al eje de 𝒚
22
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
𝑥, 𝑦
−𝑥, 𝑦
El eje de 𝑦 está a la
misma distancia de 𝑥 que de
– 𝑥. El valor de la 𝑦 es igual
para 𝑥 y – 𝑥.

Simetría con respecto al eje de 𝒚
23
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Ejemplo:
Determina si la siguiente gráfica tiene simetría con respecto al eje
de 𝑦.
−2, 1
−3, −4
2, 1
3, −4
gráfica.
de forma tal que tengan el mismo
valor de 𝑦 y el valor opuesto de 𝑥.
al eje de 𝑦. Si no existen estos
con respecto al eje de 𝑦.
con respecto al eje de 𝑦.
Solución:

Simetría con respecto al origen
25
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Ejemplo:
Determina si la siguiente gráfica tiene simetría con respecto al
origen.
1, −1
−1, 1
gráfica.
de forma tal que tengan el valor
opuesto de 𝑥 y el valor opuesto de 𝑦.
al origen. Si no existen estos
con respecto al origen.
con respecto al origen.
Solución:

Estudiar la Simetría
26
Ejemplo:
Estudia la simetría de la ecuación −2𝑥 + 3𝑦2 − 24 = 0.
Solución:
−2𝑥 + 3𝑦2
− 24 = 0
−2𝑥 + 3 −𝑦 2
− 24 = 0
−2𝑥 + 3𝑦2
− 24 = 0
simetría en 𝑥
simetría en 𝑦
−2𝑥 + 3𝑦2
− 24 = 0
−2 −𝑥 + 3𝑦2
− 24 = 0
2𝑥 + 3𝑦2 − 24 = 0
simetría en origen
−2𝑥 + 3𝑦2
− 24 = 0
−2 −𝑥 + 3 −𝑦 2
− 24 = 0
2𝑥 + 3𝑦2
− 24 = 0
Estudiar la simetría con respecto al eje de
𝑥 sustituyendo 𝑦 por – 𝑦 en la ecuación. Luego
se simplifica y compara la nueva ecuación con
la ecuación original.
Estudiar la simetría con respecto al eje de
𝑦 sustituyendo 𝑥 por – 𝑥 en la ecuación.
Estudiar la simetría con respecto al origen
sustituyendo 𝑦 por – 𝑦 y 𝑥 por – 𝑥 en la
ecuación.
Luego
se simplifica y compara la nueva ecuación con
la ecuación original.
Simplificar y comparar si la nueva
ecuación es igual a la original.
No hay simetría con eje 𝑦
Hay simetría con eje 𝑥
No hay simetría
con el origen.

Práctica
29
Hacer los ejercicios de las páginas 5 y 6

Estudiar la Simetría
31
Práctica:
Estudia la simetría de la ecuación 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥.

33
Esta es una muestra de algunas páginas de la presentación
Gráficas de Ecuaciones. Si deseas la presentación completa
la puedes obtener en matematicaspr.com. Espero que esta
muestra ayude a aclarar sus dudas de las transformaciones de
las gráficas de funciones.

Gráficas de ecuaciones (slide share)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Gráficas de ecuaciones (slide share)

Similar to Gráficas de ecuaciones (slide share) (20)

More from L2DJ Temas de Matemáticas Inc.

More from L2DJ Temas de Matemáticas Inc. (19)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Gráficas de ecuaciones (slide share)