Dokumen tersebut membahas tentang pemodelan sistem linier satu masukan satu keluaran (SISO) menggunakan representasi ruang keadaan dan fungsi alih. Termasuk didalamnya adalah penentuan variabel sistem, hukum dasar yang digunakan, konversi antara ruang keadaan dan fungsi alih, serta kontrolabilitas dan observabilitas sistem linier.

2. Capaian :
 Pemodelan matematika suatu sistem SISO, linearisasi model, dan fungsi alih
Indikator :
 Menurunkan persamaan state space dari sebuah sistem linear dan
menghubungkannya ke fungsi alih
 Menggunakan grafik aliran sinyal untuk mendapatkan hubungan input output
system
Materi
 Model Linear
 State Space
 Fungsi Alih

3.  Tentukan variabel- variabel yang akan diperhitungkan dalam model (contoh gaya
angin, massa, gaya input)
 Tentukan konstanta atau koefisien yang akan digunakan jika ada (contoh: konstanta
pegas, koefisien gaya gesek, koefisien angin dll)
 Tentukan arah vektor variabel, jika berlawanan maka negative
 Gunakan Hukum Newton I, II atau III

4.  Hukum Pertama: Setiap benda akan mempertahankan keadaan diam atau
bergerak lurus beraturan, kecuali ada gaya yang bekerja untuk mengubahnya
 Hukum Kedua: Hukum kedua menyatakan bahwa total gaya pada sebuah
partikel sama dengan banyaknya perubahan momentum linier p terhadap
waktu
 Hukum Ketiga: Untuk setiap aksi selalu ada reaksi yang sama besar dan
berlawanan arah: atau gaya dari dua benda pada satu sama lain selalu sama
besar dan berlawanan arah

5.  Tinjau Sebuah Sistem yang dapat bergerak maju ke posisi x, kepercepatan v
( 𝑥) dan dengan percepatan a ( 𝑥). Tujuan dari cruise control system adalah
untuk menjaga kecepatan wahana yang dapat dipengaruhi oleh gangguan
luar (angin atau jalan)
m = massa mobil
u = gaya input (control)
b = gaya hambatan (gaya
angin, redaman dll)

6.  K = konstanta pegas
 B = koefisien damper (N.s/m)
 y = perpindahan
 u = gaya input

7.  Dalam Teknik Kendali, State space adalah suatu model matematika yang
dinyatakan dalam bentuk matriks untuk mewakili sebuah fungsi transfer (alih)
 State Space Terdiri dari Variabel Input, State dan Output

8. State Space memiliki bentuk
Dimana
 A adalah matriks sistem
 B matriks/vektor input
 C Matriks output
 D Matriks Umpan Maju (Feed Forward)
 x disebut vektor state
 y disebut vektor output
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx



11.  State space merupakan representasi lain fungsi transfer dan persamaan
diferensial
 Cara mengubah state space menjadi fungsi transfer Misal :
𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝐵𝑈(𝑠)

12. 𝑌 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝐵𝑈 𝑠 + 𝐷𝑈(𝑠)
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝐵 + 𝐷

13.  Scalar
Matlab Command :
[pembilang, penyebut] = ss2tf(A,B,C,D]

14. Matrix
1. Ubah ke Fungsi Alih
2. Dari fungsi alih ubah ke persamaan diferensial
𝑌
𝑈
=
𝑖
𝑗𝑠2 + 𝑘𝑠 + 𝑙
𝑌(𝑗𝑠2
+ 𝑘𝑠 + 𝑙) = 𝑈
𝑗 𝑌 − k 𝑌 + 𝑙𝑌 = U
𝑗
𝑑2
𝑌
𝑑𝑡2
− k
𝑑𝑌
𝑑𝑡
+ 𝑙𝑦 = U

15. 𝑏0 𝑢 = 𝑎1 𝑦 + 𝑎2 𝑦 + 𝑦
Dengan memisalkan 𝑥1 = 𝑦 , 𝑥2 = 𝑦, 𝑥2 = 𝑦 dan
 𝑥1 = 𝑥2
 𝑥2 = 𝑏0 𝑢 − 𝑎1 𝑥1 − 𝑎2 𝑥2
Ubah ke matrix canonic

𝑥1
𝑥2
=
0 1
−𝑎1 −𝑎2
𝑥1
𝑥2
+
0
𝑏0
𝑢
 𝑦 = 1 0
𝑥1
𝑥2
t3y(3)+at2y¨+6ty˙+by=cu

16. 1. Ubah ke Fungsi alih dan Persamaan Diferensial
a. 𝑥 = 5𝑥 + 3𝑢
𝑦 = 2𝑥
b. 𝑥= 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
y = C𝑥
Dimana A =
0 1
1 0
𝐵 =
0
1
𝐶 = 0 1
3. Ubah ke State Space
6𝑦 = 4 𝑦 + 2𝑢 + 2 𝑦

17. Sedangkan sistem dikatakan Structural Controllable (S-Controllable) jika dan hanya jika:
1. Sistem tersebut input connectable
2. Sistem tersebut mempunyai
s-rank(𝐵 𝐴𝐵 … 𝐴 𝑛−1
𝐵) = n
di mana n=banyaknya state
sistem dikatakan Structural Observable (S-Observable) jika dan hanya jika:
1. Sistem tersebut output connectable
2. Sistem tersebut mempunyai

18.  Secara matematis Kontrolabilitas dapat dicari dengan menggunakan
determinan dari matriks state.
Det [ B AB … An-1 B] ≠ 0
Atau
rank [ B AB … An-1 B] = n
 Sedangkan Observabilitas dapat dicari dengan
Det [ C CA CAn-1] T ≠ 0
Atau
rank [ C CA CAn-1] T = n

19. 
19
  
































2
1
2
1
2
1
01
)(
0
1
10
12
x
x
y
tu
x
x
x
x


1
s 1
s 1
1 2
u y1x2x
s
x )0(2
s
x )0(1
1 1x2x
1
controllable
uncontrollable

20. 
  
































2
1
2
1
2
1
01
)(
1
3
10
02
x
x
y
tu
x
x
x
x


1
s 1
s 1
1 2
u y1x2x
s
x )0(2
s
x )0(1
1 1x2x
3
observable
unobservable

21.  Apakah sistem berikut Controlable dan observable ?
 10,
1
0
,
01
10












 CBA
DuCxy
RxBuAxx n

 ,