Уроки геометрії в 10 класі

1. Урок - лекція
Темауроку. Перпендикулярність прямих іплощин у просторі.
Метауроку: - ознайомити учнів з перпендикулярністю прямихі
площин у просторі;
- довести теореми :
про перпендикулярність прямоїі площині;
про прямі, що перетинаються і паралельнідвом
перпендикулярним прямим;
- довести теореми, що виражають властивості прямої і
площиниперпендикулярнихміж собою;
- розвивати вміння будуватиланцюжок логічних
тверджень, робити висновок, систематизувати новий
навчальнийматеріал;
- виховувати охайність, формувативміння працюватиз
навчальною літературою.
Обладнання: стереометричний набір,таблиці, мультимедійнізасоби
Тип уроку : засвоєння нових знань
Хід уроку
І. Актуалізаціяопорних знань учнів.
Поряд із відношенням паралельностів геометрії важливе значення має
відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорилипри
перпендикулярність прямих.
- Які пряміназиваються перпендикулярними?
- Скількипрямих перпендикулярних до даноїпрямої,через точку на цій
прямій , можна провести?
- Як розміщені двіпрямі перпендикулярнідо даноїпрямої?
ІІ. Мотиваціянавчальної діяльності.
У стереометрії розглядають тривипадкиперпендикулярності: перпендику-
лярність прямих, перпендикулярність прямоїі площини, перпендикулярність
площин. На цьому уроці ми займемося послідовним вивченням цих трьох
відношень.
ІІІ. Повідомленнятеми і мети уроку.
IV. Сприйняття й осмисленнянового матеріалу
1. Означення перпендикулярних прямих у просторі
Почнемо з випадку перпендикулярностіпрямиху просторі.
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вониперетинаються під
прямим кутом.
Розв'язування задач
1. Назвіть в оточенні моделіпрямих, які перпендикулярніміж собою.
2. Дано зображення куба АВСDA 1B 1C 1D 1 . Укажіть ребра куба, які
перпендикулярнідо прямої АА1.

2. 2. Теорема про прямі, що перетинаються і паралельні двом
перпендикулярним прямим
Питання до класу: що можна стверджувати про взаємне розташування
прямих а1 і b1 , які перетинаються і а1 ІІ а, b1ІІb, а⊥b ? Учні висувають гіпотезу,
що а1 ⊥ b1. Для ілюстрації цього твердження використовується каркасна
модель куба або прямокутного паралелепіпеда.
Далі формулюємо теорему:
Якщо дві прямі, які перетинаються,паралельнівідповідно двом
перпендикулярнимпрямим, то вони теж перпендикулярні.
Доведення цієї теореми проводить учитель. Запис доведення теореми
виконується на дошціі в зошитахучнів.
Дано: а ⊥b , а ⊂ α, b ⊂ α , а1 ІІ а, b1ІІb а1 ⊂ α1, b1 ⊂ α1 ; а1 і b1перетинаються
(рис. 1).
Довести: а1 ⊥b1
Доведення
Номер
п п
Твердження Аргумент
1 а і b лежать в 𝛼 , а1 і b1 , лежать
в 𝛼1 .
С3
2 𝛼 ІІ 𝛼1 Теорема 2.4
3 Нехай точка С — точка
перетину а і b, точка С1 — точка
перетину а1 і b1
Означення
4 АА1 ІІ СС1, ВВ1 ІІ СС1 Теорема 2.1
5 А1А2 ІІ ВВ1 Теорема 2.2
6 САА1С1 і СВВ1С1 —
паралелограми, отже, АС =А1С1 ,
ВС = В1С1
АС ІІ А1С1 ; АА1 ІІ СС1,
СВ ІІ С1В1 , ВВ1 ІІ СС1
7 АВВІА1 — паралелограм, отже,
АВ = А1С1
АВ ІІ А1В1 , АА1 ІІ ВВ1
8 ∆АВС = ∆А1В1С1 , отже,
< А1В1С1 = <ACB=90° , тоді
а1 ⊥b1
Третя ознака рівності
трикутників

3. 3. Означення перпендикулярності прямої і площини
Уявлення про пряму перпендикулярну до площинидають вертикально
поставлені стовпи — вони перпендикулярнідо поверхні землі,
перпендикулярнідо будь-якоїпрямої, яка проходить через основу стовпи і
лежить у площиніземлі.
Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає
цю площину та перпендикулярна до будь -
якої прямої, що лежить у цій площині й
проходить через точку перетину.
На рис. пряма с перпендикулярна до
площини 𝛼 .
Пишуть: c⊥b . З означення випливає, що с ⊥ а , с ⊥b .
Розв'язування задач
1. Укажіть в оточуючому просторімоделіпрямихі площин, які пер-
пендикулярні.
2. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини, то
вона не перпендикулярна ні до жодної прямої, яка лежить в цій
площині?
3. Що означає твердження: пряма не перпендикулярна до площини?
4. Ознака перпендикулярності прямої і площини
Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це
питання має практичне значення, наприклад, приустановці щогл, колон
тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини
землі. Насправдінемає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої
до всіх прямих, що лежать у даній площиній проходять через точку перетину
даної прямоїі площини, а досить перевірити перпендикулярність лишедо
двох прямих, які лежать у площині і проходять через точку перетину прямоїі
площини. Це випливаєз теореми, що виражає ознаку перпендикулярності
прямоїі площини.
Теорема.
Якщо пряма перпендикулярна до двохпрямих, якілежать у площиній
перетинаються,то вона перпендикулярна до даноїплощини.
Далі колективно розбирається доведення сформульованоїтеореми
за заготовленим рисунком іумовою теореми.
Запис робиться на дошціі в зошитах учнів.
Дано: а ⊥ с , а ⊥ Ь , b⊂с, с⊂ а а ; а, b, с перетинаються в
точці А; х⊂ 𝛼.
Довести: а⊥ х

4. Доведення
Додатковіпобудови: проводимо пряму в площині 𝛼 , яка перетинає пряміb,
х, с в точках В, X, С, та відкладаємо на прямій а ААІ = АА2.
Номер Твердження
п/п
Аргументи
1 ∆A 1СА2 — рівнобедрений АС — висота за умовою та медіана
за побудовою
2 ∆А1ВА2 — рівнобедрений АВ — висота за умовою та медіана
за побудовою
3 ∆A 1СВ = ∆А2СВ За третьою ознакою рівності
трикутників (А 1В = А2В із п. 2; А 1С =
А2C із п. 1; СВ — спільна)
4 <А1ВХ = <А2ВХ Із п. 3
5 ∆А1ВХ = ∆А2ВХ За першою ознакою рівності три-
кутників (< A1ВХ =<A 2ВХ із п. 4;
А 1В = ВХ2 із п. 3; ВХ — спільна)
6 А,Х = А2Х Із п. 5
7 ∆АІХА2 — рівнобедрений А1Х = А2Х
8 ХА — медіана є висотою: ХА
⊥ А1А2
∆А1ХА2 — рівнобедрений
5. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою
Теорема 1.
Якщо площина перпендикулярна до однієїз двох
паралельнихпрямих, то вона перпендикулярна ідо
другої.
До вед ення
Нехай а1ІІа2 і а1 ⊥𝛼 . Доведемо, що 𝛼 ⊥а2. Точки А1 і А2 —
точки перетину а1 і а2 з площиною 𝛼 .
У площині 𝛼 через точку А2 проведемо довільну пряму х2, а через точку А1 –
пряму х1 таку, що х1ІІ х2. Оскільки а1ІІа2, х1ІІ х2 і а1 ⊥ х1, то за теоремою 3.1
а2 ⊥ х2 . Оскільки х2 вибрана довільно в площині 𝛼 , то а2 ⊥𝛼.
Теорема 2.
Якщо дві прямі перпендикулярнідо однієїі тієї
самоїплощині, то прямі паралельні.
До вед ення
Нехай а ⊥ 𝛼 , b⊥ 𝛼. Доведемо, що а || b. Припустимо,
що а не паралельно до b. Тоді через точку С прямої b

5. проведемо b1, паралельну а. Оскількиа ⊥ 𝛼 , то b1⊥ 𝛼 за доведеною
теоремою, а за умовою b⊥ 𝛼. Якщо точки А і В — точки перетину прямих b1 і
b з площиною 𝛼 , то з припущення випливає, що в трикутнику <А = <В = 90°,
що не можебути. Отже, а ІІ b .
V. Підсумокуроку.
Відстань від точки S до кожноїіз вершин прямокутника АВСD однакова (рис.
1), точка О — точка перетину діагоналей АС і ВD прямокутника АВСD. Укажіть,
які з поданих нижче тверджень правильні, а які — неправильні:
а) пряма SO перпендикулярна до прямої ВD;
б) пряма SO не перпендикулярна до прямої АС;
в)пряма SО не перпендикулярна до площини АВС;
г)пряма АС обов'язково перпендикулярна до площини ВDS;
д) якщо АВ = 6 см; ВС = 8 см і АS = 13 см, то SО = 12 см.
Рис.1
VI. Домашнєзавдання.
Вивчити новий матеріал за підручником: §2(п.п.14-17), ознайомитись
самостійно з п.16, скластикороткийконспект.
Підготуватися до семінару (якийвідбудеться через 2 уроки) за планом.
1. Означення перпендикулярнихпрямиху просторі (довести теорему
про прямі, що перетинаються і паралельнідвом перпендикулярним
прямим).
2. Ознака перпендикулярностіпрямоїі площини.
3. Властивості прямої і площини, перпендикулярнихміж собою

6. Практичне заняття
Темауроку: Розв’язування задач
Мета: формувативміння учнів застосовувати знання про перпендикулярність
прямоїі площинидо розв’язування задач; розвиватиматематичне
мислення; виховувати культуру математичного запису та культуру
математичної мови.
Обладнання: стереометричний набір, моделі куба
Тип уроку: комбінований
Хід уроку
І. Перевірка домашньогозавдання.
1. Перевірити складені вдома короткіконспекти з теми (візуально).
2. Два учні на дошцісхематично відтворюють конспект:
- Дано пряму а і точку А поза нею. Провести через точку А
площину , перпендикулярно до прямої а.
- Дано пряму а і точку А на ній . Провести площину , яка
проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а .
3 . Математичний диктант
(після написання диктанта , учні виконують взаємоперевірку)
Рис.1 Рис.2
Дано: МА⊥АВ, МА ⊥ АС ; <ВАС = 90°; АF — медіана трикутника АВС;
варіант 1 (рис. 1) — АВ = 5 см, АС = 12 см;
варіант 2 (рис. 2) — АВ = 8 см, АС = 6 см.
1) Якевзаємне розміщення прямої МА і площини АВС? (2 бали)
2) Якевзаємне розміщення прямої МА і прямої АF? (2 бали)
3) Чиправильно, що АF⊥ ВС ? (2 бали)
4) Знайдіть довжину гіпотенузи ВС. (2 бали)
5) Знайдіть довжину медіани АF. (2 бали)
6) Знайдіть довжину відрізка МА, якщо МF = 7 см. (2 бали)
Відповідь. Варіант 1. 1) МА ⊥(АВС); 2) МА ⊥ АF ; 3) ні; 4) 13 см; 5) 6,5 см;
6) √6.75 см.
Варіант 2. 1) МА ⊥(АВС);2) МА ⊥АF ; 3) ні; 4) 10 см; 5) 5 см; 6) 2√6 см.

7. ІІ. Мотивація навчально – пізнавальної діяльності учнів і повідомлення
теми і мети уроку
ІІІ. Закріплення та осмисленнязнань учнів
Розв'язування задач
(Клас поділено на дві групи. Кожна група розв’язуєпо чотири задачі, після
чого виконує звіт )
Завдання для І групиучнів
1.Діагоналідвохпрямокутників відповідно паралельні. Чипаралельні
відповідністорони цих прямокутників?
(Відповідь. Так.)
2. Дано зображення куба АВСDA 1B 1C 1D 1 (рис. 3). Точки М, N, Р, К — точки
перетину діагоналейграней АВВ1А1 , СDD1C1 і АВСD відповідно. Довести, що
МN ⊥ РК .
3.ПроменіОВ, ОС, ОD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка
ВС, якщо ОD = а, DС = b, DB= c.
(Відповідь. √ 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑎2)
4 . У трикутнику АВС <С = 900
, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медіана. Через
вершину С проведено пряму СК , яка перпендикулярна до площини
трикутника АВС , причому СК = 12 см. Знайдіть КМ.
(Відповідь. 13 см.)
Завдання для ІІ групиучнів
1 . АВСD – ромб, його сторони відповідно паралельнідо сторін чотирикутника
А1В1С1D1 . Чи перпендикулярнідіагоналічотирикутника А1В1С1D1 ?
(Відповідь. Не обов’язково .)
2. Дано куб АВСDA 1B 1C 1D 1 . Через точку М, що належить ребру АA1, в
грані АА1DD1, проведіть пряму МN так, щоб < МОD1 = 90°, де точка О — точка
перетину прямих МN і АD1 .
Розв'язання
Проведемо в квадраті А1АDD1 діагоналіАD1 і А1D (АD1 ІІ А1D) (рис. 4). Через
точку М ребра АА1 в граніАDD1A1 проведемо пряму МN ІІ А1D. За
теоремою 3.1 МN ⊥ АD1 , оскільки <A1OD1 = 90°.
Рис. 3 Рис. 4

8. 3 . У прямокутному паралелепіпеді АВСD А1В1С1D1 АВ = b, А1В = а, АD =с.
Знайдіть А1D.
(Відповідь. √а2 − 𝑏2 + 𝑐2)
4 . Пряма СD перпендикулярна до площиниправильного трикутника АВС.
Через центр цього трикутника проведена пряма ОК, паралельна до
прямоїСD. Відомо, що АВ = 16√3 см, ОК = 12 см, СD = 16 см. Знайдіть
відстань від точок D і К до вершин А і В трикутника.
(Відповідь. КА = КВ = 20 см; DА = DВ = 32 см. )
ІІІ . Підсумок уроку
Відстань від точки S до вершин прямокутного трикутника АВС(<С= 900
)
однакова (рис. 5), точка О — середина гіпотенузи АВ. Укажіть, які з поданих
нижче тверджень правильні, а які — неправильні:
а) пряма СО не може бути перпендикулярна до площини SАВ;
б) Пряма СО обов'язково перпендикулярна до прямої SО;
в) пряма SО обов'язково перпендикулярна до площини АВС;
г) якщо АС = 6 см, ВС = 8 см і СS = 13 см, то SО = 12 см.
IV. Домашнєзавдання
Розв’язати задачідомашньоїконтрольноїроботи
1. До площини правильного трикутника АВС
проведено перпендикуляр SА. АМ— медіана
трикутника АВС. Які пряміперпендикулярнідо ВС?
2. Дано АВСD — ромб, МА перпендикулярна до
площиниАВD. Довести: МО⊥ВD, О — точка
перетину діагоналейромба.
3. Дано <АВС=900
, К ∈ АС, FK⊥ 𝛼.Провести
з точкиF перпендикулярна пряму АВ.
4. Дано квадратзі стороною 20√2см.
Деяка точка простору знаходитьсяна
відстані25 см від кожноївершини
квадрата. Знайдіть відстань від цієї
точки до площини квадрата.
5. Дано трикутник зісторонами26см,28см,ЗОсм.ТочкаD віддалена від
усіх сторін трикутника на 17 см і проектується у внутрішню точку
трикутника. Знайдіть відстань від точки М до площинитрикутника.
6. У рівнобедреному трикутнику кутпри вершині дорівнює 𝛼, а бічні
сторони — а. Поза площиною трикутника дано точку, яка віддалена від
усіх його вершин на b. Знайдіть відстань від цієї точки до площини
трикутника.

9. Урок – консультація (аукціон)
Темауроку: Розв'язування задач.
Метауроку: у цікавій формі повторити тему, показати практичне застосування
знань, умінь,навичок;розвиватиматематичнемислення;
виховуватипочуття відповідальності.
Обладнання: гонг,дерев’яниймолоток,секундомір,таблиці
Типуроку:уроккомплексного застосування знань,уміньінавичок
Хід уроку
І.Актуалізаціяопорнихзнань
Лот 1.
Перевірка «акціонернихтовариств»на «сплатоздатність», тобто підготовленість
учнів із даноїтеми. І
Лотпредставляєсобою п’ять питань від кожноїгрупи(учніготують
самостійно), на які треба дати відповідь «так» чи «ні» (якщо на питання ніхто не
дає правильної відповіді, то відповідає і пояснює один із купців). Члени
«акціонерних товариств»,відповідаючи«так»,піднімають руки,відповідаючи
«ні», —не піднімають.«Президенти» ведуть облік правильнихвідповідей у
сусідніх «товариствах», дояких ;вони переходять перед початком лоту.Підрахунок
кількостіправильнихвідповідейта середнього балу зазібранимикартками
виконує перший «купець» ізвіт передає «банкіру».
ІІ. Мотиваціянавчальноїдіяльностіучнів.
ІІІ. Повідомленнятеми, метиі завданьуроку
ІV. Усвідомленняучнямизмісту роботи
Умовипроведенняаукціону
«Товаром» на уроці-аукціонієзнання учнів.«Товар»на аукціоніназивають
«лот», тойхто продає—«купець». Ведучий —учитель.Урокпотребуєневеликої
попередньої підготовки. Призначаються три «купці», які готують «лоти»
(розв’язання задач трьох рівнів складностііз домашньоїконтрольноїроботи),
«банкір»,якийвідповідаєзапідготовкукласута звітнутаблицюрезультатів.Це
повиннібутиучні, якідобре встигають з предмета. Решта учніврозбиваютьсяна
групи —«акціонернітовариства»,середнихпризначається «президент».
«Президенти» (керівники груп)повинніпідготуватиперелік питань з яких
виниклизапитання всвоїх «акціонерних товариствах».
Коженученьповинен підготуватизапитання, яківиниклипідчас розв’язання
домашньоїконтрольноїроботи. Оцінку відповідей учнів дають «купці».
Максимальна оцінка за задачусереднього рівня —2бали, за завдання достатнього
рівня —З бали, за завдання високого рівня —6 балів.«Банкір»визначає
середнійбал по кожному«акціонерному товариству» і заносить у звітнутаблицю
результати.Потім по черзі надає слово «купцям»для представленнязавдань.
V.- VI. Самостійне виконання учнями завдання під контролем і з допомогою
вчителя та звіт учнів про способи і результати виконаної роботи.
Лот2. (№1, середнійрівень)
Кожному «акціонерному товариству» потрібно було розв’язати задачі із домашньої
контрольної роботи. Один –із членів «товариства» пояснює розв'язання біля

10. дошки. За правильнедоповнення абовиправлення друге«товариство» може
отримати 1 бал.
У цьому лотідаєтьсязадачасереднього рівня.
Оцінюєвідповідідругий«купець»іпередає «банкіру» результати.
Задача
До площини правильного трикутника АВС проведено
перпендикуляр SА. АМ— медіана трикутника АВС.
Які пряміперпендикулярнідо ВС?
ЛотЗ. (№2, середнійрівень)
Задача
Дано АВСD — ромб, МА перпендикулярна до площиниАВD. Довести:
МО⊥ВD, О — точка перетину діагоналейромба.
Лот№ 4. (№1, достатнійрівень)
Задача
Дано <АВС=900
, К ∈ АС, FK⊥ 𝛼.Провестиз точкиF перпендикулярна пряму АВ.
Лот№ 5. (№2, достатнійрівень)
Задача
Дано квадратзі стороною 20√2см. Деяка точка простору знаходитьсяна
відстані25 см від кожноївершиниквадрата. Знайдіть відстань від цієї точки
до площини квадрата.
Лот№ 6. (№1, високийрівень)
Задача
Дано трикутникзісторонами26см,28см, ЗОсм. Точка D віддалена від усіх
сторін трикутника на 17 см і проектується у внутрішню точку трикутника.
Знайдіть відстань від точки М до площинитрикутника.
Лот№ 7. (№2, високийрівень)
Задача
У рівнобедреному трикутнику кутпри вершині дорівнює 𝛼, а бічні
сторони — а. Поза площиною трикутника дано точку, яка віддалена від усіх
його вершин на b. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
VII. Підсумокуроку.
Ведучийповідомляє, що весь товар проданий, аукціонзакривається.
«Банкір» закінчує облік балів і повідомляєрезультатиаукціону.
VIII. Домашнє завдання
Підготуватися до виступу на семінарі.

11. Урок – семінар
Темауроку: Перпендикулярність прямихі площину просторі( розв’язування
задач)
Метауроку: узагальнитиі систематизувати знання учнів з теми, набути вмінь
та навичок доводититвердження; розвивати логічне мислення
учнів у процесі доведення тверджень, вчити послідовно та чітко
висловлюватисвої думкита впевнено їх захищати; виховувати
культуру математичноїмови
Обладнання: таблиці «Перпендикулярність прямихі площини»;
стереометричний набір; роздатковийматеріал; мультимедійні
засоби.
Тип уроку: узагальнення і систематизація знань, вмінь і навичок учнів.
Хід уроку
І. Мотиваціянавчальної діяльності учнів і повідомлення теми ,завдання і
плану уроку.
Девіз уроку : Математика –це мова плюс
міркування, це наче й логіка разом.
Математика –знаряддя для міркування.
Р. Фейнман
Плансемінару
1. Означення перпендикулярнихпрямиху просторі (довести теорему
про прямі, що перетинаються і паралельнідвом перпендикулярним
прямим).
2. Ознака перпендикулярностіпрямоїі площини.
3. Властивості прямої і площини, перпендикулярнихміж собою.
(учніперед початком уроку розбиваються на 3 групи. На перерві кожна
група отримуєодне із питань семінару, захист якого робитиме на
уроці)
ІІ. Узагальнення вивченогоматеріалу.
1. Гімнастика розуму
(усне опитування з використанням таблиць, моделей)
І група
- Які прямів просторі називаються перпендикулярними?
- Сформулюйтеозначення прямоїперпендикулярноїдо площини.
- Чи завждичерез дану точку можна провести площину, перпендикулярну
до даної прямої?
- Як розташовані пряміперпендикулярнідо площини?
- Сформулюйтетеорему за малюнком

12. ІІ група
- Чи визначають площину дві перпендикулярніплощини? Чому?
- Сформулюйтеознаку перпендикулярностіпрямоїдо площини.
- Скількипрямих , перпендикулярнихдо даної площини, можна провести
через дану точку?
- Як розташовані пряма і площина, якщо площина, паралельна до даної
площини, перпендикулярна до даноїпрямої?
- Сформулюйтетеорему за малюнком
ІІІ група
- Як розташовані дві прямі, які перетинаються і відповідно паралельні
перпендикулярним прямим?
- Що означає пряма перпендикулярна до площини?
- Чи завждичерез дану точку можна провести пряму, перпендикулярну до
даної площини?
- Як розташовані в просторі площини, які перпендикулярнідо прямої?
- Сформулюйтетеорему за малюнком
2. Історична екскурсія
(невеликі реферати, повідомлення з історії математики по даній темі)
3. Серйозне математичне повідомлення.
Робота груп запланом семінару. Формулювання ідоведення
теорем(індивідуально , в парі ). Кожна група проводить захист
одержаного плану семінару, інші учні груп доповнюють, ставлять
додатковізапитання. Робота кожної групиоцінюється вчителем.

13. 4. Захист творчих робіт.
Проект «Перпендикулярність прямихіплощин у просторі»
ІІІ. Підсумокуроку.
Оцінка роботи кожної групи.
Назватинайважливіші поняття теми «Перпендикулярність прямихі
площин» (відповідіучнів)
ІV. Домашнєзавдання.
Підготуватися до контрольно – залікового уроку.
Розв’язати задачі.
1. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Точка М знаходиться поза
площиною ромба і віддалена від усіхйого сторін на 8 см. Знайти відстань
від точки М до площиниромба.
2. Якийіз малюнків слід використати при розв’язуваннізадачі:
Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b. Точка простору
рівновіддалена від усіх вершин трикутника і знаходиться на відстані с
Від його площини. Знайти відстані від цієї точки до вершин трикутника.

14. Контрольно – заліковий урок
Темауроку: Контрольна робота ( тест)
Мета уроку: перевірити навчальні досягнення учнів з теми
«Перпендикулярність прямоїіплощини»; розвивати вміння
використовуватинабуті знання до розв’язування вправ;
виховувати культуру математичного запису.
Обладнання: тексти тестів
Тип уроку: урок перевірки , оцінки й корекції знань, умінь і навичок
Хід уроку
І. Мотиваціянавчальної діяльності учнів і повідомлення теми і завдань
Уроку
ІІ. Перевірказнань учнями матеріалу.
Тест
Варіант1
І рівень
1. Дано зображення куба АВСDАІВ1СІD1 (рис. 1). Укажіть пряму, яка
перпендикулярна до прямоїАА1 і проходить через точку C (1 бал)
а)АВ; б) АС; в) АD; г) АІС1.
2. Відомо, що різні прямі а і b перпендикулярнідо
площини 𝛼
(рис. 2). Як розміщені пряміа і b? (1 бал)
а) Перетинаються; в) паралельні;
б) мимобіжні; г) перпендикулярні. Рис. 1
3 Відрізок SВ перпендикулярнийдо площинипрямокутника АВСD
(рис. 3). Знайдіть відстань між точками S і D, якщо SВ = 4 см, ВD = 3 см.
(1 бал)
а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см; г) 7 см.
II рівень
1. Точка S лежить поза площиною трикутника АВС,
причому < SАС = 90°, <САВ = 90° (рис. 4).
Які з вказаних тверджень правильні? (1 бал) Рис. 2
а) Пряма SА перпендикулярна до площиниАВС;
б) пряма АВ перпендикулярна до площиниSАС;
в) пряма АС перпендикулярна до площиниSАВ;
г) пряма ВС перпендикулярна до площиниАSС.
2. Точки А, В, С лежать на прямій, перпендикулярній
до площини 𝛼 , а точки А,М, N лежать у площині 𝛼
(рис. 5). Які з вказаних кутів прямі? (1 бал)
рис.3

15. а) <МАВ ; б) <МСА ;
в)<САN ; г) <NВА .
3. У просторі дано пряму а і точку А поза нею. Скільки
існує прямих, перпендикулярнихдо прямої а і які
проходять через точку А? (1 бал)
а) Жодної; б) безліч; в) одна;
г)визначити неможливо.
III рівень
1. ПряміАВ і СD перпендикулярнідо деякої Рис.4
площини і перетинають їїв точках В і D
відповідно. Знайдіть АС, якщо АВ = 9 см, СВ = 15 см,
ВD = 8 см і відрізок АС не перетинає даної площини. (2 бали)
а) 8 см; б) 9 см; в) 10 см; г) 15 см.
2. Через вершину В квадрата АВСD проведено
пряму ВS, перпендикулярну до його площини.
Які з наведених тверджень правильні? (2 бали)
а)Пряма SD перпендикулярна до площиниАВС;
б) пряма АD перпендикулярна до площини АSВ;
в) пряма СD перпендикулярна до площини ВSС;
г) пряма ВD перпендикулярна до площини SВС. Рис. 5
3. Через точку О перетину діагоналейпрямокутника АВСD проведено
перпендикуляр МО. Знайдіть МО, якщо АВ = 6 см, ВС = 8 см, МА = 13
см. (2 бали)
а) 10 см ; б) 11 см; в) 12 см; г) визначити неможливо.
IV рівень
1. Дано паралелограм АВСD і площину 𝛼 , яка його
не перетинає. Через вершини паралелограма проведено прямі,
перпендикулярнідо
площини і які перетинають площину відповідно в точках
А1 , В1,С1 ,D1 . Знайдіть довжину відрізка DD1 , якщо
АА1 = 3 см, ВВ1 = 4 см, СС1 = 5 см. (З бали)
а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 5 см.
2. Прямі АВ, АС і АD попарно перпендикулярні. Знайти
площу трикутника ВСD, якщо АВ = √18 см, АС =√18 см,
АD = √7см. (З бали)
а) 25 см2
; б) 16 см2
; в) 15 см2
; г) 12 см2
.
3 Побудовано переріз куба АВСDА1В1СІD1 площиною, що
проходить через точки В1 і D1 і середину ребра СD. Знайдіть периметр
перерізу, якщо ребро куба дорівнює а. (З бали)
a)
𝑎
2
(√5 +√3 ); б)
𝑎
2
(2√5 +√2 ); в)
𝑎
2
(2√5+3√2 ); г)
𝑎
2
√5;

16. Варіант 2
І рівень
1. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда
АВСDА1В1СІD1 (рис. 1). Укажіть площину, яка
перпендикулярна до прямоїАА1,і проходить через
точку А. (1 бал)
а) DСС1; б) А1ВІС1; в) ВСD; г) ВСС1 .
2. Як розташовані площина 𝛼 і пряма b, якщо 𝛼 ⊥а, а || b Рис. 1
(рис. 2) (І бал)
а) не перетинаються; б) паралельні;
в) перпендикулярні; г) визначити неможливо
3. Відрізок SА перпендикулярнийдо площини
трикутника АВС (рис. 3). Знайдіть відстань
від точки А до точки С, якщо SА = 3 см,
SС = 5 см. (1 бал)
а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см; г) 6 см. Рис. 2
II рівень
1. Точка S лежить поза площиною ромба АВСD, причому SВ ⊥ ВС, SВ⊥ АВ,
<ВАD = 30°(рис. 4). Якіз вказаних тверджень правильні? (1 бал)
а)Пряма SВперпендикулярна до площини АDС;
б)пряма АВ перпендикулярна до площини SВС;
в)пряма ВС перпендикулярна до площини АВS;
г)пряма SВперпендикулярна до прямої ВD.
2. <АВС = 90°, точка М лежить поза площиною АВС,
МА = МВ = МС. З точки М проведено відрізок ОМ, який
перпендикулярнийдо площини АВС, точка О лежить у
площиніАВС (рис. 5). Якіз вказанихтверджень
правильні? (1 бал) Рис. 3
а)Точка О лежить усередині трикутника АВС;
б) точка О лежить поза трикутником АВС;
в) точка О лежить на відрізку АС, причому
АО не дорівнюєОС;
г) точка О лежить на гіпотенузі АС, причому АО
дорівнює ОС.
3 У просторі дано пряму а і точку А на ній. Скількиіснує
прямих, перпендикулярнихдо прямої а, які проходять Рис. 4
через точку А? (1 бал)
a) Жодної; б) безліч; в) тільки одна;
г) визначити неможливо.
Рис. 5

17. III рівень
1. ПряміАВ і СD перпендикулярнідо деякоїплощиниі перетинають її
в точках В і D відповідно. Знайдіть ВD, якщо АВ = 6 см, СD = 9 см,
AС = 5 см і відрізок АС не перетинає даної площини. (2 бaли)
a) І см; б) 2 см; в) 3 см; г) 4 см. .
2. Через точку О перетину діагоналейпрямокутника АВСD проведено
перпендикуляр МОдо площини АВС. Якіз наведених тверджень
правильні? (2 бали)
a) Пряма МО перпендикулярна до прямої AС;.
б) пряма МО перпендикулярна до площини ВСD;
в) пряма АС перпендикулярна до площиниМАВ;
г)пряма АС обов’язково перпендикулярна до площиниМВD.
3. Через вершину B квадрата АВСd проведено пряму BS,
перпендикулярну до його площини. Знайдіть відстань від точки S до
вершини А квадрата АВСD, якщо АС = 2 см, SВ = 1 см. (2 бали)
а) √2 см; б) 1 см; в) √3 см; г) 2 см.
IV рівень
1. Точка О — точка перетину медіан трикутника АВС, а — площина,
яка не перетинає трикутник АВС. Через точки А, В, С, D проведено
прямі, перпендикулярнідо площини 𝛼 , які перетинають площину
відповідно в точках А1, В1 , С, , D1. Знайдіть довжину відрізка ОО1, якщо
АА1 = 1 см, ВВ1 = 2 см, СС1 = 3 см. (З бали)
а) 1 см; б) 2 см; в) 3 см; г) 1,5 см.
2. Дано прямокутнийпаралелепіпед АВСDА1В1СІD1, в якому AD = 13 см,
DС = 5 см, СС1 = √11 см. Знайдіть площу трикутника АDС1. (З бали) ,
а) 25 см2
; б) 36 см2
; в) 72 см2
; г) 18 см2
.
3. У кубі АВСDА1В1С1D1 побудовано переріз площиною, що проходить
через точки А, С, К, де К — середина ребра С1D1. Знайдіть периметр
перерізу, якщо ребро куба дорівнює а. (З бали)
а) 2а; б)
а√5
2
; в)
3а√2
2
; г)
3а√2
2
+ а√5
ІІІ. Збір виконаних завдань та оцінка їх.
Відповіді до тестовихзавдань
ІV. Підсумокуроку.
Рівень
;. ■■■
■. ■■
Номер
завдання
Варіант І
Ґ'^Ш
Варіант ІІ
І 1 б в
2 в в
3 в б
II 1 в а, г
2 а, в г
3 в б
III 1 в г
2 б, в а, б
3 в в
IV 1 в б
2 г б
3 в г