Dokumen tersebut membahas tentang fungsi analitik dan kompleks, termasuk definisi fungsi analitik, contoh-contoh fungsi analitik dan non-analitik, teorema Cauchy-Riemann untuk menentukan keanalitikan suatu fungsi, dan soal-soal latihan tentang fungsi analitik.

1. Fungsi Variabel Kompleks Mariatul Kiftiah, M. Sc
Meliana Pasaribu, M. Sc

2. Agenda Fungsi Analitik
Integral Kompleks, Teorema Cauchy
Barisan dan Deret Kompleks
Teorema Residu
2 / 2 / 2 0 2 3 F u n g s i V a r i a b e l K o m p l e k s 2

3. Topic One
Fungsi Analitik

4. Definisi 1. Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada 𝐷 ⊂ ℂ dan 𝑧0 di dalam 𝐷. Fungsi 𝑓
dikatakan analitik di 𝑧0 jika terdapat 𝛿 > 0 sehingga 𝑓 terdiferensial di setiap titik 𝑧 ∈
𝑁 𝑧0, 𝛿 ∩ 𝐷.
Contoh 1 Fungsi 𝑓 𝑧 =
1
𝑧
terdiferensial di setiap titik kecuali di 𝑧 = 0, jadi 𝑓 analitik pada
domain ℂ − 0
Contoh 2 Teliti apakah fungsi 𝑓 𝑧 = 𝑥2
− 𝑖𝑦2
analitik?

5. Jika suatu fungsi analitik pada setiap titik dalam suatu himpunan 𝑆, maka fungsi
tersebut dikatakan analitik pada 𝑆. Suatu fungsi yang analitik pada seluruh bidang
kompleks dinamakan fungsi menyeluruh/Fungsi Utuh (entire function)
Contoh 3 Fungsi polinomial 𝑃 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧𝑛merupakan fungsi
menyeluruh karena ܲ′ (‫)ݖ‬ ada pada semua ‫ݖ‬.
Contoh 4 Teliti apakah fungsi 𝑓 𝑧 =
𝑧3−𝑧+1
𝑧2+1
analitik?
Contoh 5 Teliti apakah fungsi 𝑓 𝑧 =
2𝑧+1
𝑧3+𝑧
analitik?
Suatu fungsi yang terbentuk dari hasil bagi dua fungsi menyeluruh dinamakan
fungsi meromorfik

6. Suatu titik 𝑧0 dinamakan singularitas atau titik singular bagi fungsi 𝑓 jika dan
hanya jika 𝑓 gagal menjadi analitik pada 𝑧0 dan setiap lingkungan 𝑧0 memuat
paling sedikit satu titik yang membuat 𝑓 analitik.
Contoh 6 Pada Contoh 1, 𝑓 analitik kecuali pada ‫ݖ‬ = 0 . Jadi pada fungsi tersebut
titik 0 merupakan singularitas
Contoh 7 Sedangkan fungsi pada contoh 2 tidak memiliki singuliaritas meskipun
fungsi tersebut gagal menjadi analitik pada setiap titik ‫ݖ‬ dalam bidang datar.

7. Teorema 2. Jika
1. 𝑓 𝑧 dan 𝑔(‫)ݖ‬ analitik pada himpunan 𝑆.
2. 𝑓 analitik pada setiap 𝑔(‫)ݖ‬ untuk semua ‫ݖ‬ dalam 𝑆
maka jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, dan gabungan (komposisi) 𝑓 dan 𝑔
juga merupakan fungsi analitik pada setiap titik di 𝑆 asalkan terdefinisikan.
Teorema 3(PCR). Misal 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) pada 𝐷 ⊂ ℂ. Diberikan 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0.
Jika
1. Terdapat 𝛿 > 0 sehingga 𝑢, 𝑣,
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
, 𝜕𝑣
𝜕𝑥
, 𝜕𝑣
𝜕𝑦
kontinu pada 𝑁 𝑧0, 𝛿
2. Persamaan Cauchy Riemann
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
dan
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
berlaku pada 𝑁 𝑧0, 𝛿
maka 𝑓 analitik di 𝑧0.

8. Contoh 8 Diberikan 𝑓 𝑧 = 𝑧2 buktikan bahwa fungsi tersebut analitik dengan
menggunakan Teorema 3
Contoh 9 Diberikan 𝑓 𝑧 = 2𝑥 1 − 𝑦 + 𝑥2 − 𝑦2
+ 2𝑦 𝑖buktikan bahwa fungsi tersebut
analitik dengan menggunakan Teorema 3
Soal
1. Selidiki apakah fungsi berikut analitik?
a. 𝑓 𝑧 = 𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃+ i𝑟2
𝑠𝑖𝑛2
𝜃
b. 𝑓 𝑧 = 𝑧 2
2. Suatu fungsi 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑦2
− 3𝑥2
𝑦 adalah bagian real dari fungsi kompleks 𝑓. Tentukan
bagian imajinernya agar fungsi tersebut analitik
3. Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓 𝑧 = 3𝑥 + 𝑦 + 3𝑦 − 𝑥 𝑖 merupakan fungsi menyeluruh!
4. Buktikan Teorema 3
5. Diberikan fungsi 𝑓 𝑧 = 𝑧 + 𝑧2. Tentukan semua titik 𝑧 ∈ ℂ sehingga fungsi 𝑓(𝑧)
tersebut analitik!

9. Thank you
2 / 2 / 2 0 X X P R E S E N T A T I O N T I T L E 9