Vektor

*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
V E K T O R
M E N U
V e k t o r
Pengertian vektor
Penulisan Vektor
Panjang /besar Vektor
Vektor Sama
Vektor Lawan
Penjumlahan Vektor
Pengurangan Vektor
Perkalian skalar dengan vektor
Vektor basis
Perbandingan vektor
M E N U
M E N U
M E N U

V E K T O R
Perhatikanlah tayangan berikut ini !
Vektor !.....coy, gaya dorong!
Vektor Juga! ...Brur, grafitasi !

Perhatikan juga tayangan yang berikut ini !
Vektor Juga! ...Brur, kecepatan !

Vektor juga itu namanya...Coy !

Vektor
Vektor

A. Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Sebagai contoh dalam fisika,
misalnya seperti gaya, grafitasi, kecepatan, percepatan, medan magnit, dll. Vektor
bersifat kekal atau tetap sehingga tidak berubah karena pergeseran
Secara geometri sebuah vektor digambarkan mengunakan anak panah atau segmen
garis berarah .
Panjang anak panah menunjukan besar atau panjang vektor, dan arah anak panah
menunjukan arah dari vektor tersebut.
Untuk membedakan sebuah vektor dengan vektor yang lainnya, maka vektor diberi
nama dengan cara membubuhkan huruf kapital pada titik pangkal dan titik ujungnya.
Contoh vektor secara geometri :
A B
D
E
C
D G
H
F
E
TERUS

1. Penulisan Vektor
c. Huruf kecil tebal, seperti : “ u “.
TERUS
Contoh :
A
B
u
Ditulis u, u, u, atau AB adalah menyatakan
sebuah vektor yang berpangkal dititik A dan
berujung di titik B.
u
Secara aljabar, vektor dapat dituliskan dengan berbagai cara, yaitu menggunakan :
a. Huruf kecil dengan garis bawah, seperti : “ u “
b. Huruf kecil dengan tanda panah di atasnya, seperti :
ABd. Pasangan huruf kapital dengan tanda panah di atasnya, seperti :
a. Penulisan Vektor di Ruang Dimensi 2 ( R2 )

Perhatikan juga contoh vektor berikut ini !
x
y
O
A(a,b)
u
Vektor di atas berpangkal dititik O(0,0) dan berujung di titik A(a,b) disebut
sebagai vektor posisi, dan ditulis sebagai berikut :
OA = u =
a
b
a dan b disebut komponen- komponen vektor dari vektor posisi . OA
Next
Disebut vektor kolom
OA = u = ( a, b ) Disebut vektor baris

Perhatikan beberapa vektor posisi berikut !
X
Y
O
A(–6, 4)
B(–2, 8)
C(0,7)
D(5, 6)
E(13,3)
O
OA = a =
–6
4 Adalah vektor posisi dari titik A
OB = b = –2
8
Adalah vektor posisi dari titik B
b
OC = c =
0
7
Adalah vektor posisi dari titik C
c
d
OD = d = 5
6
Adalah vektor posisi dari titik D
e
OE = e = 13
3
Adalah vektor posisi dari titik E
Next
Next
Next
Next
Next
a

2. Mengubah sebuah vektor menjadi vektor posisi
x
y
P(a,b)
Q(c,d)
u
Next
PQ adalah vektor yang berpangkal di titik P(a,b) dan berujung di titik Q(c,d).
PQ dapat digeser hingga titik pangkal P berimpit dengan O, dan titik ujung
Q berimpit dengan U.
O
U
Sehingga didapat u=PQ =
c – a
d – bOU =

Contoh : Ubahlah vektor vektor berikut menjadi vektor posisi !
X
Y
O
A(–1,7)
B(–5,1)
Next
u
AB
Penyelesaian :
= u =
–5 – (–1)
1– 7 =
–4
–6
C(10,3)
B(2,7)
v
BC = u =
10 – 2
3 – 7 =
8
–4
Next Next
C(13,3)
D(7,8)
w
CD = w =
7 – 13
8 – 3 =
–6
5
Next
D(16,2)
E(20,7)
x
DE = x =
20 – 16
7 – 2 =
4
5

b. Penulisan Vektor di Ruang Dimensi 3 ( R3 )
Perhatikan vektor di R3 berikut ini !
Y
X
Z
O
P( a,b,c )
u
a
b
c
Next
vektor di atas adalah vektor posisi pada R3 dan dapat ditulis sebagai berikut :
Next
u = OP =
a
b
c
u = OP =atau [ a, b, c ]

Mengubah sebuah vektor menjadi vektor posisi di R3
X
Y
Z
P(a,b,c)
Q(d,e,f)
u
Next
u = PQ =
d – a
e – b
f – c
A
O
OA=
u OA= Adalah vektor posisi dari PQ Dapat cari sebagai berikut :

Contoh :
Ubahlah vektor vektor berikut menjadi vektor posisi !
1. Titik pangkal A(1,2,3) dan titik ujung B(9,7,6)
2. Titik pangkal P(1,–2 ,–3 ) dan titik ujung Q(–9 ,–7, 6)
3. Titik pangkal C(–1, 2, –3 ) dan titik ujung D(9, 3, 4)
Penyelesaian :
Misalkan : u =ABAdalah vektor posisi dari maka u
9 – 1
7 – 2
6 – 3
=
8
5
3
Misalkan : v =PQAdalah vektor posisi dari maka v
–9 – 1
-7 + 2
6 + 3
=
–10
-5
9
Misalkan : w =CDAdalah vektor posisi dari maka u
9 + 1
3 – 2
4+ 3
=
10
1
7
Next
Next
Next

Panjang atau Besar Vektor
a. Panjang Posisi Vektor Di R2
x
y
O
P(a,b)
u
Next
Panjang Vektor u = OP dinyatakan dengan uI I atau OPI I dan
dengan bantuan teorema Pythagoras dirumuskan sebagai berikut :
uI I2
= OPI I2
=
Next
a
b
a2
+ b2
uI I = OPI I =
22
ba +

I IPQ
b. panjang vektor di R2
x
y
P(a1,b1)
Q(a2,b2)
u
Next
Panjang Vektor u = PQ dinyatakan dengan uI I atau I IPQ dan
dengan bantuan teorema Pythagoras dirumuskan sebagai berikut :
uI I2
= I I2
PQ =Next
a2 – a1
b2 – b1
(a2 – a1)2
+ (b2 – b1)2
uI I = = ( ) ( )2
12
2
12 bbaa −+−

c. Contoh soal

uI I
c. Panjang Vektor Posisi Di R3
P(a,b,c)
u
O
I IOP
X
Y
Z
Next
Panjang Vektor posisi u = OP dinyatakan dengan atau I IOP dan
dengan bantuan rumus panjang diagonal ruang dirumuskan sebagai berikut :
uI I2
= I I2
OP =Next a2
+ b2
+ c2
uI I = =
222
cba ++
atau

d. Panjang Vektor Di R3
X
Y
Z
P(a,b,c)
u
I IPQ
Next
Panjang Vektor u = PQ dinyatakan dengan uI I atau I IPQ dan
dengan bantuan rumus jarak dua titik dirumuskan sebagai berikut :
uI I2
= I I2
PQ =
Next
(d – a)2
+ (e – b)2
+ (f – c)2
uI I = = ( ) ( ) ( )222
cfbead −+−+−
Q(d,e,f)
O
atau

Vektor-vektor yang Sama
Dua buah vektor u v= =
a
b
c
d
u = v
dan adalah sama, jika dan hanya jika
memiliki
panjang dan arah yang sama. Dengan kata lain ↔
perhatikan illustrasi berikut :
x
y
R
S
u
O
Q
v
P
u = ↔v
a
c
Next
Next
b
d
a = c dan b = d
a = c dan b = d

4. Vektor Lawan
perhatikan illustrasi berikut :
x
y
P
Q
u
O
Q
– u
P
Next
Dua buah vektor di atas memiliki besar atau panjang yang sama, tetapi memiliki
arah yang berlawan dikatakan dua vektor tersebut saling berlawanan.
ulawan dari vektor dinyatakan dengan – u dan disebut juga negatif vektor u
atau lawan dari vektor PQ adalah – PQ atau dapat ditulis
sebagai
QP

1. Penjumlahan Vektor
a. Penjumlahan Vektor Secara Geometri
A a
1) Aturan segitiga
B
a
C
b
+ b
Operasi Antar Vektor
2) Aturan jajaran Genjang
A a B
a
C
b + b
Next
D

Penjumlahan Vektor Secara Aljabar atau Analitik
X
Y
O
Penjumlahan Vektor di R2
A(a,b)
B(c,d)
u
v
Next
Untuk vektoru = a
b
dan v = c
d
maka u + v =
a
b +
c
d =
a + c
b + d
Perhatikan gambar di atas !
u +v
C(a+c,b+d)
u
v
a
c a+c
b
d
b+d

Penjumlahan Vektor di R3
Untuk vektoru = dan v = maka u + v = + =
Perhatikan gambar di atas !
Next
A(a,b,c)
B(d,e,f)
u
v
u +
v
C(a+d,b+e,c+f)
u
v
y
x
z
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a+d
b+e
c+f
O

2. Pengurangan Vektor
A
B
u
C
v
u – v
v–
u+ – v( )
KLIK
Jika vektor AB mewakili u dan ACmewakili v maka : AB – AC = CB
↔ u – v = u + – v( )
Perhatikan pengurangan vektor secara geometrik berikut !
Dan secara aljabar atau analitik didapat :
a. Untuk u dan v Di R2 :
jika =
a
b dan v =
c
d
maka u – v =
a
b
–
c
d =
a – c
b – d
b. Untuk u dan v Di R3 :
jika u = dan v = maka u v = =
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a – d
b – e
c – f
– –
u

3. Perkalian Vektor dengan Skalar
X
Y
O
u
A(ka,kb)
a
b
KLIK
ka
kbA(a,b)
uk
KLIK
Jika k adalah sebuah
skalar
u adalah sebuah vektor, maka :
a. Untuk u di R2 didapat : uk = k
a
b =
k a
k b
b. Untuk u di R3 didapat : uk = k =
a
b
c
k a
k b
k c

4. Vektor Basis
Perhatikan illustrasi berikut !
1
1
1
i
j
k
i
KLIK
=
1
0
0
Adalah vektor yang panjangnya 1 satuan sejajar dengan sumbu x
j =
0
1
0
Adalah vektor yang panjangnya 1 satuan sejajar dengan sumbu y
k =
0
0
1
Adalah vektor yang panjangnya 1 satuan sejajar dengan sumbu
z
i
j
k
dan,
i , j dan k Saling tegak lurus dan membentuk sistem putaran tangan kanan
disebut vektor basis
y
x
z
O

y
x
z
x1
y1
z1
i
j
k
O
u
Perhatikan illustrasi berikut !
Vektor posisi
KLIK
OP = u dapat ditulis sebagai kombinasi dari vektor basis
i , j , dan k yaitu :
=
x1
y1
z1
u = x1 i + y1 j + z1 k
i
j
k
P(x1,y1,z1)
x1
y1
z1

Perbandingan Dua Vektor
O A
B
P
a
b
p
m
n
O A
B
P
a
b
p
m
nKLIK
KLIK
a. Dalam Bentuk Vektor
Jika titik P membagi dua garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, maka
vektor posisi titik P :
p = a + AP, AP =
m
m+n AB , AB = b – a , AP =
m
m+n b – a( )
p = a +
m
m+n b – a( ) = (m+n)a + b – a )(m
( m+n)
=
ma + na + mb – ma
( m+n)
p =
na+ mb
( m+n )
Jika P merupakan titik tengah AB maka : p =
a + b
2
KLIK

Vektor

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Vektor

Similar to Vektor (20)

More from widi1966

More from widi1966 (20)

Vektor