1. VEKTOR

2. Vektor
adalah
besaran
yang mempunyai
besar dan arah

3. Besar vektor
artinya panjang vektor
Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk
dengan sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah

4. A
B
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
u
45° X
Gambar Vektor

5. Notasi Penulisan Vektor
 Bentuk vektor kolom:






=
4
3
u










−=
0
2
1
PQatau
 Bentuk vektor baris:
( )4,3AB = atau ( )0,3,2v −=
 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k

6. VEKTOR DI R2
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu bidang
atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y

7. VEKTOR DI R2
OAPAOP =+
O Pi
j
X
•A(x,y)
Y
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
a
x
y
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
•Q OAOQOP =+

8. Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z

9. Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
X
Y
Z
•T(x,y,z)
O
xi
yj
zk
•P
•Q
•S

10. X
Y
Z
•T(x,y,z)
O
t
•
P
Q
•R(x,y)
S
xi
yj
zk
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Jadi
OT = xi + yj + zk
atau t = xi + yj + zk

11. Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)

12. X
Y
O
Contoh:
A(4,1)
B(2,4)
Vektor posisi
titik A(4,1) adalah






==
1
4
aOA
Vektor posisi titik B(2,4) adalah
ji 42bOB +==
a
b

13. Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’

14. Di R2
, panjang vektor: 





=
2
1
a
a
a
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
2
2
2
1 aaa +=

15. Di R3
, panjang vektor:
222
yx zv ++=










=
z
y
x
v
atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras

16. Contoh:
1. Panjang vektor: 





=
4
3
a
adalah 22
43a += = √25 = 5
2. Panjang vektor: 2k-ji2 +=v
adalah
222
)2(12 −++=v
= √9 = 3

17. ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real

18. Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b3

19. Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....

20. Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a = b
1 = x - y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y; ⇒ y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

21. Penjumlahan Vektor
a
a
a
a
3
2
1










=
b
b
b
b
3
2
1










=Misalkan: dan
Jika: a + b = c , maka vektor










+
+
+
=
33
22
11
c
ba
ba
ba

22. Contoh
1-
2p-
3
a










=
3
6
p
b










=Diketahui:
Jika a + b = c , maka p – q =....
dan
2
4q
5-
c










=

23. 








 −
=










+−
+−
+
⇒
2
4
5
3)1(
62
3
qp
p
jawab: a + b = c









 −
=










+










2
4
5
3
6
p
1-
2p-
3
q

24. 








−
=










+−
+−
+
2
4
5
3)1(
62
3
qp
p
3 + p = -5 ⇒p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q ⇒ q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½

25. Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k

26. X
Y
O
A(4,1)
B(2,4)
a
b
Perhatikan gambar:






3
2-
vektor posisi:
titik A(4,1) adalah:






=
1
4
a
titik B(2,4) adalah: 





=
4
2
b
vektor AB =

27. Jadi secara umum: abAB −=
=





−





=−
1
4
4
2
ab






3
2-






=
1
4
a 





=
4
2
b






3
2-
AB=
vektor AB =

28. Contoh 1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponen-
komponen vektor AB










−
−
=




















2
3
2
2
5
3
-
4
2
1
abAB −=










−
−
=
2
3
2
ABJadi

29. Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)

30. Jawab: Q(1,2,-2)
P(-1,3,0)
PQ = q – p =










−
−=




















2
1
2
0
3
1-
-
2-
2
1










−
=→
2
2
1
q









 −
=→
0
3
1
p

31. 









−
−=
2
1
2
PQ
222
)2()1(2PQ −+−+=
39PQJadi ==

32. Perkalian Vektor dengan Bilangan
Real
a
a
a
a
3
2
1










=Misalkan:
Jika: c = m.a, maka










=










=
3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
am
am
am
a
a
a
m
dan
m = bilangan real

33. Contoh
Diketahui:
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
misal










−=










−










−
4
1
2
32
6
1
2
3
2
1
x
x
x
6
1-
2
a










=
4
1-
2
b










=dan
⇒










=x
3
2
1
x
x
x

34. ⇒










−=










−










−
4
1
2
32
6
1
2
3
2
1
x
x
x










−=










−










−
12
3
6
2
2
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
2 – 2x1 = 6 ⇒ -2x1 = 4 ⇒ x1= -2
-1 – 2x2 = -3 ⇒ -2x2 = -2 ⇒ x2 = 1
6 – 2x3 = 12 ⇒ -2x3 = 6 ⇒ x3 = -3
Jadi
3
1
2
xvektor










−
−
=