All about Vektor. - Vektor dalam Bidang dan Ruang - Perkalian Vektor dengan Skalar - Perkalian Vektor dengan Vektor

1. Vektor Satuan
Dalam bidang
A
Ay j
A = Ax i + Ay j
α
Ax i
A = A2 + A2
x
y
dengan I dan j vektor satuan dalam arah
sumbu x dan y

2. Vektor dalam ruang
k
dan
i
,

j
,

k
i
A = A2 + A2 + A2
x
y
z
j
α, β, γ = masing-masing sudut antara
vektor A dengan sumbu-sumbu x, y
dan z
A = Ax i + Ay j+ Az k
Ax = cos α
Ay = cos β
Az = cos γ
Dan i, j dan k masing-masing vektor
satuan pada sumbu x, y dan z

3. Operasi Vektor Pada Vektor Satuan.
Penjumlahan.
Contoh :
A = 4i+ 3j+ 5k dan B = 3i - 5j - 4k
Tentukan :
a. A + B
b. A – B
Penyelesaian :
A+B
= (4i+ 3j+ 5k) + (3i - 5j - 4k)
= ( 4 + 3 )i + ( 3 - 5 )j+ ( 5 - 4 )k
= 7i – 2j + k
A–B
= (4i+ 3j+ 5k) - (3i - 5j - 4k)
= ( 4 - 3 )i + ( 3 + 5 )j+ ( 5 + 4 )k
= i + 8j + 9k

4. Perkalian
1. Perkalian vektor dengan skalar.
Suatu vektor jika dikalikan dengan suatu besaran skalar maka
hasilnya adalah suatu vektor. Mengalikan vektor dengan suatu
skalar k hasilnya adalah suatu vektor pula yang besarnya k dan
arahnya searah dengan jika k > 0 berlawanan dengan jika k < 0
Contoh :
A = 4i+ 3j+ 5k dan B = 3i - 5j - 4k
Tentukan :
a. 2A
b. -3B
Penyelesaian :
a. 2A
= 2 (4i+ 3j+ 5k)
= 8i+ 6j+ 10k
b. -3B
= -3 (3i - 5j - 4k)
= -9i + 15j + 12k

5. Bagaimana dengan soal berikut :
Jika A = 4i+ 3j+ 5k dan B = 3i - 5j - 4k
Tentukan :
a. 2A + 3B
b. 3A – 2B

6. 2. Perkalian vektor dengan vektor.
Dalam perkalian vektor dengan vektor, kita mengenal dua
bentuk perkalian , yaitu :
Perkalian titik (DOT PRODUCT)
Perkalian silang (CROSS PRODUCT)

7. Perkalian titik (DOT PRODUCT)
Dalam Perkalian Titik antara vektor A dengan vektor B akan
diperoleh besaran skalar.
A•B =C
C = A • B cos θ
dengan C besaran skalar dan θ adalah sudut antara A dan B
contoh dalam besaran fisika yang merupakan hasil perkalian titik
antara vektor adalah kerja (W) merupakan perkalian titik gaya ( F )
dengan perpindahan (x) :
W = F • x = F • x cos θ

8. Dalam vektor satuan
Sejenis
i • i = i • i cos 0o
=(1)•(1) (1)
= 1
Tak Sejenis
i • j = i • j cos 90o
=(1)•(1) (0)
= 0

9. Perkalian silang (CROSS PRODUCT)
Dalam Perkalian Silang antara vektor A dengan vektor B akan
diperoleh besaran vektor.
AxB=C
C = A x B sin θ
C besaran vektor dan θ adalah sudut antara A dengan B
Arah dari vektor selalu tegak lurus bidang yang dibentuk oleh
vektor dan , menurut aturan sekrup kanan.
Dari vektor A diputar ke vektor B.
Catatan : A x B ≠ B x A
[A x B] = - [B x A]
Contoh besaran fisika yang merupakan hasil perkalian silang
antara vektor adalah : luas, momen gaya dan gaya Lorentz.

10. Dalam vektor satuan
Sejenis
i x i = i • i sin 0o
=(1)•(1) (0)
= 0
Tak Sejenis
Untuk mendapatkan hasil perkaliannya dapat digunakan
diagram berikut ini.
Perjanjiaan tanda :
- Untuk putaran berlawanan arah jarum jam, tanda POSITIF.
- Searah jarum jam NEGATIF

11. Contoh :
A = 4i+ 3j+ 5k dan B = 3i - 5j - 4k
Tentukan :
a. A • B
b. A x B

12. Penyelesaian :
a. 2A + 3B
= 2(4i+ 3j+ 5k) + 3(3i - 5j - 4k)
= (8i+ 6j+ 10k) + (9i - 15j - 12k)
= ( 8 + 9 )i + ( 6 - 15 )j+ ( 10 - 12)k
= 17i – 9j - 2k
b. 3A – 2B
= 3(4i+ 3j+ 5k) - 2(3i - 5j - 4k)
= (12i+ 9j+ 15k) - (6i - 10j - 8k)
= ( 12 - 6 )i + ( 9 + 10)j+ ( 15 + 8)k
= 6i + 19j + 23k

13. Penyelesaian :
a. A • B
= (4i+ 3j+ 5k) • (3i - 5j - 4k)
= 12 i • i - 20 i • j - 16 i • k
+ 9 j • i – 15 j • j - 12 j • k
+ 15 k • i – 25 k • j - 20 k • k
= 12 - 15 – 20
= - 23
b. A x B
= (4i+ 3j+ 5k) x (3i - 5j - 4k)
= 12 i x i - 20 i x j - 16 i x k
+ 9 j x i – 15 j x j - 12 j x k
+ 15 k x i – 25 k x j - 20 k x k
= - 20 k – 16(-j ) + 9 (-k ) – 12 i + 15 j – 25 (-i )
= 13 i + 31 j - 29 k