Dokumen ini menjelaskan konsep vektor dalam matematika, termasuk definisi, penjumlahan, pengurangan, perkalian, proyeksi, dan dot product vektor. Terdapat juga berbagai soal latihan yang meminta perhitungan sudut antara vektor serta proyeksi vektor dalam konteks geometri dan aljabar. Berbagai koordinat dan kondisi diberikan untuk menyelesaikan soal-soal tersebut.

1. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis
berarah
AB= b – a
2. Sudut antara dua vektor
adalah 
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a =










3
2
1
a
a
a
= a1i + a2j + a3k;
|a| = 2
3
2
2
2
1 aaa 
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a  b =










3
2
1
a
a
a











3
2
1
b
b
b
=













33
22
11
ba
ba
ba
; ka = k










3
2
1
a
a
a
=










3
2
1
ka
ka
ka
C. Dot Product
Apabila diketahui a =










3
2
1
a
a
a
dan b =










3
2
1
b
b
b
, maka:
1. a · b = |a| |b| cos 
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos 
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos 
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D. Proyeksi Vektor

2. 1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b pada
a
|p| =
|a|
ba 
2. Vektor proyeksi ortogonal :
vektor proyeksi b pada a
p = a
|a|
ba
2


SOAL PENYELESAIAN
1. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1),
dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
a. 
b. 2

c. 3

d. 6

e. 0
2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1,
2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u
mewakili AB dan v mewakili AC , maka
sudut yang dibentuk oleh vector u dan v
adalah …
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
3. Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k
dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang
dibentuk vektor a dan b sama dengan …
a. 30º
b. 45º
c. 60º
d. 90º
e. 120º
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm.
Jika AC wakil vektor u dan wakil DH
adalah vektor v, maka sudut antara vektor
u dan v adalah …
a. 0
b. 30
c. 45
d. 60
e. 90
5. Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan
vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector
orthogonal vector a pada vector b adalah

3. …
a. i – j + k
b. i – 3j + 2k
c. i – 4j + 4k
d. 2i – j + k
e. 6i – 8j + 6k
6. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan
vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector
orthogonal vector a pada vector b adalah
…
a. –4i + 8j + 12k
b. –4i + 4j – 8k
c. –2i + 2j – 4k
d. –i + 2j + 3k
e. –i + j – 2k
7. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –
1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector
u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u
pada v adalah …
a. 3i – 5
6 j +
5
12 k
b. 3 5 i –
5
6
j +
5
12 k
c. 5
9 (5i – 2j + 4k)
d. 45
27 (5i – 2j + 4k)
e. 55
9 (5i – 2j + 4k)
8. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –
3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah
…
a. 4
1 (3i + j – 2k)
b. 14
3 (3i + j – 2k)
c. 7
1 (3i + j – 2k)
d. 14
3 (3i + j – 2k)
e. 7
3 (3i + j – 2k)
9. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan
BC wakil vektor v, maka proyeksi
orthogonal vektor u pada v adalah …
a. –3i – 6j – 9k
b. i + 2j + 3k
c. 3
1 i + 3
2 j + k

4. d. –9i – 18j – 27k
e. 3i + 6j + 9k
Jawab : a
10. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi
vektor a pada b adalah 5, maka nilai x =
…
a. –7
b. –6
c. 5
d. 6
e. 7
11. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x
yang memenuhi adalah …
a. –2 atau 6
b. –3 atau 4
c. –4 atau 3
d. –6 atau 2
e. 2 atau 6
12. Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3,
–2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah
…
a. –12i + 12j – 6k
b. –6i + 4j – 16k
c. –4i + 4j – 2k
d. –6i – 4j + 16k
e. 12i – 12j + 6k
13. Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah
…
a. 2i – 4j + 2k
b. 2i – 4j – 2k
c. 2i + 4j – 2k
d. i – 2j – k
e. i + 2j – k
14. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,
b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k.
Jika vektor a tegak lurus b maka vector
a – c = …
a. –58i – 20j –3k
b. –58i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k

5. d. –62i – 23j –3k
e. –62i – 23j –3k
15. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5).
Titik P membagi AB sehingga AP : AB =
2 : 3. Panjang vektor PC adalah …
a. 10
b. 13
c. 15
d. 3 2
e. 9 2
16. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan
q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q
pada p adalah 2, maka x adalah …
a. 6
5
b. 2
3
c. 2
13
d. 6
43
e. 6
53
17. Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j –
k, dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c =
…
a. 2i – 4j + 2k
b. 2i + 4j – 2k
c. –2i + 4j – 2k
d. 2i + 4j + 2k
e. –2i + 4j + 2k
18. Diberikan vektor a =










22
2
p dengan p 
Real dan vektor b =










2
1
1
. Jika a dan b
membentuk sudut 60º, maka kosinus
sudut antara vektor a dan a + b adalah …
a. 74
12

6. b. 72
5
c. 74
5
d. 714
5
e. 77
2
19. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal
dari vektor v =











4
3
2
terhadap vektor u =












1
2
1
, maka w = …
a.











3
1
1
d.











2
4
2
b.












2
1
0
e.












2
4
2
c.










2
1
0
20. Diketahui a + b = i – j + 4k dan
| a – b | = 14 . Hasil dari a · b = …
a. 4
b. 2
c. 1
d. 2
1
e. 0
21. Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) =
120º. Maka | 3a + 2b | = …
a. 5
b. 6
c. 10
d. 12
e. 13
22. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 3
4 (2 1 1)
b. –(2 1 1)

7. c.
3
4 (2 1 1)
d. (
3
4 1 1)
e. (2 1 1)
KUMPULAN SOAL
Menentukan sudut antara dua vektor.
1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j +
2k dan
b = i + j + 2k. Besar sudut yang
dibentuk vektor a dan b sama dengan
…
a. 30º c. 60º e. 120º
b. 45º d. 90º
2. Diketahui vektor kjia

336  ,
kjib

32  dan kjic

325  .
Besar sudut antara vektor a

dan cb


adalah ....
a. 300 c. 600 e. 1500
b. 450 d. 900
3. Diketahui vektor kjia

22  dan
jib

 . Besar sudut antara vektor
a

dan b

adalah ....
a. 300 c. 600 e. 1350
b. 450 d. 1200
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4
cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil
DH adalah vektor v, maka sudut antara
vektor u dan v adalah …
a. 0 c. 45 e. 90
b. 30 d. 60
5. Diketahui 2a , 9b ,
5 ba . Besar sudut antara vektor
a dan vektor b adalah ….
a. 450 c. 1200 e. 1500
b. 600 d. 1350
6. Diketahui 6a , (a –b ).(a +b ) =0,
dan a . (a –b ) = 3. Besar sudut antara
vektor a dan b adalah ….
a.
6

c.
3

e.
3
2
b.
4

d.
2

7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1),
dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
a.  c. 3
 e. 0
b. 2
 d. 6

8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1,
2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u
mewakili AB dan v mewakili AC ,
maka sudut yang dibentuk oleh vector
u dan v adalah …
a. 30 c. 60 e. 120
b. 45 d. 90
9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j
+ 4k. Jika a dan b membentuk sudut ,
maka nilai sin  = ....
a. 7
5 c. 6
12
5 e. 6
7
6
b. 6
7
2 d. 7
6
10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i +
2j – k, jika a dan b membentuk sudut
,
maka tan  = ... .
a. 5
3
1 c.
14
5
e. 5
14
1
b. 14
14
3 d. 14
5
1
11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b
= –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k.
Jika vektor a tegak lurus b maka vektor
a – c = …
a. –58i – 20j –3k d. –62i – 23j –
3k
b. –58i – 23j –3k e. –62i – 23j –
3k
c. –62i – 20j –3k

8. 12. Diberikan vektor a =










22
2
p dengan p 
Real dan vektor b =










2
1
1
. Jika a dan b
membentuk sudut 60º, maka kosinus
sudut antara vektor a dan a + b adalah
…
a. 74
12 c. 74
5 e. 77
2
b. 72
5 d. 714
5
13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x
yang memenuhi adalah …
a. –2 atau 6 c. –4 atau 3 e. 2 atau
6
b. –3 atau 4 d. –6 atau 2
KUMPULAN SOAL
Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal
dari vektor v =











4
3
2
terhadap vektor u
=












1
2
1
, maka w = …
a.











3
1
1
c.










2
1
0
e.












2
4
2
b.












2
1
0
d.











2
4
2
2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3)
pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 3
4 (2 1 1) c. 3
4 (2 1 1) e. (2 1
1)
b. –(2 1 1) d. ( 3
4 1 1)
3. Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan
vector
b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector
orthogonal vector a pada vector b
adalah …
a. i – j + k d. 2i – j + k
b. i – 3j + 2k e. 6i – 8j + 6k
c. i – 4j + 4k
4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan
vector
b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector
orthogonal vector a pada vector b
adalah …
a. –4i + 8j + 12k d. –i + 2j + 3k
b. –4i + 4j – 8k e. –i + j – 2k
c. –2i + 2j – 4k
5. Diketahui vektor kjia  2 dan
vektor kjib  . Proyeksi
ortogonal vektor a pada b adalah …
a.










1
1
1
3
2
c.










1
1
1
3
1
e.












1
1
1
2
3
b.












1
1
1
3
2
d.












1
1
1
3
1
6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7,
8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil
vector u, AC wakil vektor v, maka
proyeksi u pada v adalah …
a. 3i – 5
6 j + 5
12 k d. 45
27
(5i – 2j +
4k)
b. 3 5 i – 5
6
j +
5
12 k e. 55
9
(5i – 2j +
4k)
c. 5
9
(5i – 2j + 4k)
7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1)
dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u
dan BC wakil vektor v, maka proyeksi
orthogonal vektor u pada v adalah …
a. –3i – 6j – 9k d. –9i – 18j –
27k
b. i + 2j + 3k e. 3i + 6j + 9k

9. c. 3
1 i + 3
2 j + k
8. Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –
3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC
adalah …
a. –12i + 12j – 6k d. –6i – 4j +
16k
b. –6i + 4j – 16k e. 12i – 12j +
6k
c. –4i + 4j – 2k
9. Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1,
0). Proyeksi vektor AB terhadap AC
adalah …
a. 2i – 4j + 2k d. i – 2j – k
b. 2i – 4j – 2k e. i + 2j – k
c. 2i + 4j – 2k
10. Diketahui segitiga ABC dengan
koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –
3). Proyeksi vektor AB pada AC
adalah …
a. 4
1 (3i + j – 2k) d. 14
3 (3i + j –
2k)
b. 14
3 (3i + j – 2k) e. 7
3 (3i + j – 2k)
c. 7
1 (3i + j – 2k)
11. Panjang proyeksi vektor
kjia 482  pada vektor
kpjb 4 adalah 8. Maka nilai p
adalah ....
a. – 4 c. 3 e. 6
b. – 3 d. 4
12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi
vektor a pada b adalah 5, maka nilai x
= …
a. –7 c. 5 e. 7
b. –6 d. 6
13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi +
j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p
adalah 2, maka x adalah …
a. 6
5 c. 2
13 e. 6
53
b. 2
3 d. 6
43