Ukuran pemusatan data tunggal dan berkelompok

1. Ukuran Pemusatan data adalah nilai tunggal yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas
dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data.
Ada beberapa macam ukuran pemusatan data yang akan kita pelajari pada bahasan kali ini,
antara lain rata-rata hitung/rerata/rataan (mean), rata-rata geometris, rata-rata harmonis, median,
dan modus.
A. Rata-rata Hitung (mean)
1. Rata-rata hitung dari data tunggal
Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengang cara menjumlahkan seluruh nilai
dan membaginya dengan banyaknya data. Jika x1,x2,….,xn merupakan nilai-nilai data
dengan jumlah data sebanyak n, rata-ratanya adalah:
𝑥̅ =
𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥 𝑛
𝑛
atau 𝑥̅ =
∑ 𝑥 𝑖
𝑛
Keterangan:
𝑥̅= rata-rata
N=banyaknya data;
∑ 𝑥𝑖=jumlah seluruh data.
Contoh
Hitunglah rataan dari data : 7,5,9,4,8,6,10,7!
Jawab ;
𝑥̅ =
7+5+9+4+8+6+10+7
8
=
56
8
= 7
Jadi rataand ari data tsb adalah 7
Jika x1,x2,….,xn merupakan data yang nilainya berlainan dan frekuensinya masing-masing
f1,f2,….,fn, rataan dihitung dengan rumus 𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
Contoh soal cerita
Dalam suatu kelas yang mengikuti ulangan bahasa indonesiadiperoleh data siswa yang
mendapatkan nilai 5 ada 6 orang, nilai 6 ada 12 orang, nilai 7 ada 15 orang , nilai 8 ada 7
orang tentukan rataanya ?
Jawab;
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
=
6(5)+12(6)…
6+12+⋯
= rataanya 6,575

2. Nilai (xi) Frekuensi (fi) 𝑓𝑖 𝑥𝑖
5 6 30
6 12 72
7 15 105
8 7 56
∑ 𝑓𝑖 = 40 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 = 263
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
=
263
40
= 6,575
Rata-rata hitung dari data berkelompok
Rata-rata pada data berkelompok dihitung dengan rumus sama seperti data tunggal, yaitu
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
Contoh hitung rata2 dari data berikut
Nilai (xi) Frekuensi (fi)
52-58 2
59-65 6
66-72 7
73-79 15
80-86 13
87-93 4
94-100 3
jumlah 50
Jawab:
Nilai (xi) Titik tengah (xi) Frekuensi (fi) fixi
52-58 55 2 110
59-65 62 6 372
66-72 69 7 483
73-79 76 15 1140
80-86 83 13 1079
87-93 90 4 360
94-100 97 3 291
jumlah ∑ 𝑓𝑖 =50 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 = 3835
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
=
3835
50
= 76,7

3. Jadi rataanya adalah 76,7
Selain menggunakan nilai titik tengah, rata-rata hitung data yang sudah dikelompokan dapat
dicari dengan menggunakan rata2 sementara, yaitu dengan mengambil xi dari frekuensi
terbanyak dan memberi tanda 𝑥 𝑠̅ , yang dinyatakan dengan rumus :
𝑥̅ = 𝑥 𝑠̅ + p
∑ 𝑓 𝑖 𝑐 𝑖
∑ 𝑓 𝑖
Ket:
𝑥̅ = rata rata hitung yang dicari
𝑥 𝑠̅ = rata-rata sementara
P= panjang/interval kelas
Fi=frekuensi
Ci= koding(code)
Dengan menggunakan rata2 sementara, hitunglah rata-rata data pada contoh
Jawab: misalkan kita ambil rata2 sebanyak 𝑥 𝑠̅ = 76
Nilai (xi) Titik tengah (xi) Frekuensi (fi) 𝑐𝑖 𝑓𝑖 𝑐𝑖
52-58 55 2 -3 -6
59-65 62 6 -2 -12
66-72 69 7 -1 -7
73-79 76=rataan
sementara
15 0 0
80-86 83 13 1 13
87-93 90 4 2 8
94-100 97 3 3 9
jumlah ∑ 𝑓𝑖 =50 ∑ 𝑓𝑖 𝑐𝑖=5
𝑥̅ = 𝑥 𝑠̅ + p
∑ 𝑓 𝑖 𝑐 𝑖
∑ 𝑓 𝑖
= 76+7.
5
50
= 76+0,7
= 76,7

4. B. Rata-rata Geometris
Rata rata geometris (G) dari sekumpulan data 𝑥1, 𝑥2, … . . , 𝑥 𝑛 dalam akar pangkat n dari
perkalian data-data tersebut, dinyatakan dengan :
G= √ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛
𝑛
…………………….
Tentukan rata-rata geometris dari data 2,4,8!
Jawab:
G=√2.4.8
3
= √64
3
=4
Rumus geometris dari data itu dapat pula dinyatakan dengan log G =
∑ log 𝑥 𝑖
𝑛
……
Jawab ;
Log G=
log 2 +log 4+log 8
3
=
0,301+0,602+0,903
3
=
1,806
3
=0,602=4
1. Rata-rata geometris pada data tunggal
2. Rata-rata geometris pada data berkelompok
Untuk dta berkelompok (dalam daftar distribusi frekuensi ) rumus rata-rata geometris
adalah :
log G =
∑ 𝑓 𝑖log 𝑥 𝑖
∑ 𝑓 𝑖
hitung rataan geometris dari data
Nilai (xi) (fi) Log xi Fi log xi
52-58 55 2 1,740 2,480
59-65 62 6
66-72 69 7
73-79 76 20
80-86 83 8
87-93 90 4
94-100 97 3
jumlah ∑ 𝑓𝑖 =50 ∑ 𝑓𝑖 log 𝑥𝑖
= 93,934

5. log G =
∑ 𝑓 𝑖log 𝑥 𝑖
∑ 𝑓 𝑖
=
93,934
50
=1,8787
G= 75,6
C. Rata-rata Harmonis
3. Rata-rata harmonis dari data tunggal
Rata rata harmonis (H) dari sekumpulan data 𝑥1, 𝑥2, … … … , 𝑥 𝑛 dimyatakan dengan
H=
𝑛
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+⋯+
1
𝑥 𝑛
atau H=
𝑛
∑
1
𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
Tentukan rata-rata harmonis dari data 2,4,8!
Jawab :
Rangkaian data 2,4,8 maka n=3.
Rata-rata harmonis
H=
3
1
2
+
1
4
+
1
8
H=
3
8
16
+
4
16
+
2
16
H= 3
16
14
H=
48
14
H= 3,429
4. Rata-rata harmonis dari data berkelompok

6. H=
𝑓1 + 𝑓2+⋯+𝑓𝑛
𝑓1
𝑥1
+
𝑓2
𝑥2
+
𝑓3
𝑥3
atau H=
∑ 𝑓 𝑖
𝑛
𝑖=1
∑
𝑓 𝑖
𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
Contoh
Hitunglah rataan harmonis (H) dari data berikut
Nilai 3 6 7 9
Frekuensi 2 3 1 4
Jawab
Nilai (𝑥𝑖) 𝑓𝑖 𝑓𝑖
𝑥𝑖
3 2 0,6667
6 3
7 1
9 4
jumlah ∑ 𝑓𝑖 = 10 ∑
𝑓𝑖
𝑥𝑖
= 1,7540
Rata-rata harmonis
H=
∑ 𝑓 𝑖
𝑛
𝑖=1
∑
𝑓 𝑖
𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
=
10
1,7540
=5,70
D. Median
Median dari suatu kumpulan data adalah nilai tengah dari kumpulan data tersebut setelah
data tersebut diurutkan dari data terkecil hingga terbesar.
5. Median dari data tunggal
6. Median dari data berkelompok (dalam daftrar distribusi frekuensi)
Telah kita ketahui bahwa median dari data yang tidak dikelompokan( data tunggal)
adalah nilai tengah setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Sekarang
bagaimanakah mencari median pada data berkelompok ? untuk itu perhatikan data
berikut ini
kelas frekuensi
15-19 5
20-24 7
25-29 10
30-34 15
35-39 13
40-44 8

7. 45-49 6
Karena banyaknya data 64, maka nilai median jatuh diantara data ke 32 dan data ke
33 untuk memudahkan, kita buat daftar distribusi frekuensi kumulatifnya sebagai
berikut ini :
kelas frekuensi Frekuensi komulatif
15-19 5 5
20-24 7 12
25-29 10 22
30-34 15 37
35-39 13 50
40-44 8 58
45-49 6 64
Bentuk polygon frekuensi sebagai berikut
E. Modus
7. Modus pada data tunggal
8. Modus pada data berkelompok (dalam daftrar distribusi frekuensi)
0
10
20
30
40
50
60
70
14.5 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5
Chart Title
Series 1 Column1 Column2