1. Bab II membahas kegiatan pembelajaran tentang turunan fungsi aljabar. Definisi turunan fungsi dijelaskan dengan contoh penentuan turunan dari f(x) = 4x - 3 dan f(x) = 3x^2. 2. Teorema-teorema turunan fungsi aljabar dijelaskan, seperti turunan fungsi konstan, turunan fungsi aljabar, dan turunan hasil perkalian/pembagian fungsi aljabar. Contoh soal diberikan

1. Page 1 of 21
BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN
A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR
1. Definisi Turunan Fungsi
Contoh Soal :
1. Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3
Penyelesaian
f(x) = 4x – 3
f( x + h) = 4(x + h) – 3
= 4x + 4h – 3
maka ( )
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim'
0
−+
=
→
4
4
lim
33444
lim
)34()344(
lim
0
0
0
=
=
+−+−
=
−−−+
=
→
→
→
h
h
h
hxx
h
xhx
h
h
h
Fungsi f : x → y atau y = f(x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x)
atau
( )
dx
xdf
dx
dy
= di definisikan :
( ) ( )
h
xfhxf
xfy
h
)(
lim''
0
−+
==
→
atau
( ) ( )
x
xfxxf
dx
xdf
dx
dy
x ∆
−∆+
==
→∆
)(
lim
0
Definisi

2. Page 2 of 21
2. Tentukan turunan dari f(x) = 3x2
Penyelesaian
f(x) = 3x2
f(x + h) = 3(x + h)2
= 3(x2
+ 2xh + h2
)
= 3x2
+ 6xh + 3h2
maka:
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→
=
h
xhxhx
h
222
0
3)363(
lim
−++
→
=
h
hxh
h
2
0
36
lim
+
→
= 36lim
0
+
→
x
h
h
= 6x+ 3.0
= 6x
Latihan
Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:
1. f(x) = 6 – 2 x 2)(' −=⇒ xf
2. f(x) = 5x2
+2x 210)(' +=⇒ xxf
3. 2
1
)(
x
xf = 3
2
)('
x
xf
−
=⇒
4. xxf =)(
x
xf
2
1
)(' =⇒

3. Page 3 of 21
2. Teorema -Teorema Turunan Fungsi
Contoh Soal :
1. 0)('5)( =⇒= xfxf
2. 0)('2)( =⇒= xfbxf
3. ( ) 0)('
3
4 2
=⇒= xfyxf
Contoh soal :
1. Turunan dari ( ) 3
2xxf = adalah…
Penyelesaian
Diketahui : - a = 2
- n =3
maka : 13
.2.3)(' −
= xxf
2
6x=
2. Turunan dari
3 2
2
)(
x
x
xf = adalah …….
Penyelesaian
Turunan Fungsi Konstan
Jika f(x) = a, dimana a adalah konstanta maka:
Raxfaxf ∈=⇒= ;0)(')(
Teorema 1
Jika f(x) merupakan fungsi aljabar dan bukan fungsi konstan, a bilangan
real dan n adalah bilangan rasional maka :
1
.)(')( −
=⇒= nn
axnxfaxxf
Teorema 2

4. Page 4 of 21
3 2
2
)(
x
x
xf = disederhanakan bentuk aljabarnya menjadi :
3
2
2
.)(
−
= xxxf
.)( 3
2
2−
= xxf
.)( 3
4
xxf =
.
3
4
)('
1
3
4
−
= xxf
.
3
4
)(' 3
1
xxf =
.
3
4
)(' 3
xxf =
3. Turunan pertama dari 48122)( 23
+−+= xxxxf adalah …
Penyelesaian
f(x) = 2x3
+ 12x2
– 8x + 4
f ’(x) = 2.3x2
+ 12.2x – 8
= 6x2
+ 24x - 8
4. Turunan dari ( ) ( )( )232 4 3
+−= xxxf adalah ….
Penyelesaian
( ) ( )( )232 4 3
+−= xxxf disederhakan bentuk aljabar sehingga menjadi :
( ) 634.2 4 34 3
−−+= xxxxxf
( ) 6342 4
3
2
1
4
5
−−+= xxxxf
( ) 03.
4
3
4.
2
1
.2.
4
5
'
1
4
3
1
2
1
1
4
5
−−+=
−−−
xxxxf
( ) 4
1
2
1
4
1
4
9
2.
4
10
'
−−
−+= xxxxf
( ) 4
4
4
92
.
2
5
'
xx
xxf −+=

5. Page 5 of 21
Contoh Soal :
1. Turunan dari f(x) = (3x – 2)(4x + 1) adalah …
Penyelesaian
f(x) = (3x – 2)(4x + 1)
diketahui : u(x) = 3x – 2 ⇒ u’(x) = 3
v(x) = 4x + 1 ⇒ v’(x) = 4
sehingga
( ) ( ) ( )234143' −++= xxxf
( ) 812312' −++= xxxf
( ) 524' −= xxf
2. Turunan dari ( ) ( )42
3
2 6
3
3 22
−







+= x
x
xxxf adalah….
Penyelesaian
( ) ( )42
3
2 6
3
3 22
−







+= x
x
xxxf
( ) ( )42
3
2 62
3
3
8
−







+=
−
xxxxf
Turunan perkalian dua fungsi aljabar
Jika f(x) merupakan fungsi hasil perkalian dua fungsi, maka :
)(')()()(')(')().()( xvxuxvxuxfxvxuxf +=⇒=
Teorema 3

6. Page 6 of 21
maka : - 2
5
3
5
2
3
3
8
3
8
)('
3
2
)(
−−
−=⇒+= xxxuxxxu
- 56
12)('42)( xxvxxv =⇒−=
Sehingga :
( )
( ) 5
73 183 5
5
3 573 23
2
5
3
5
2
7
3
23
2
7
3
23
2
5
2
7
3
5
3
23
2
3
3
8
562
5
3
5
4
63252
3
1
)('
4
3
32
6
3
52
)('
4
3
32
6
3
52
)('
81242
3
32
3
16
)('
3
2
1242
3
8
)('
x
xxxxf
x
xxxxf
xxxxxf
xxxxxxxf
xxxxxxxf
++−=
+−+=
+−+=
+++−−=








++−







−=
−
−
−−
Contoh Soal
1. Tentukan turunan pertama dari ( )( )( )123)( 32
+−−= xxxxxf
Penyelesaian
23
2
3)('1)(
12)(')(
3)('23)(
xxwxxw
xxvxxxv
xuxxu
=⇒+=•
−=⇒−=•
=⇒−=•
Sehingga
Turunan hasil perkalian tiga fungsi aljabar
Jika f(x) merupakan fungsi hasil perkalian tiga fungsi u(x), v(x) dan w(x)
maka :
vwuwwvuvwuvuxfuvwxf '''''')(')( +++++=⇒=
Teorema 4

7. Page 7 of 21
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
48385
12327366339323
33691222763333
32331122312133)('
234
222333344
342334232
222332
+−++=
−+++−−−++−+−++=
−+−+−+−++−+++−=
−+−++−+−−+++−=
xxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxf
Contoh Soal
1. Jika
4
23
)(
+
−
=
x
x
xf maka f’(x) = ….
Penyelesaian
Missal : - 3)('23)( =⇒−= xuxxu
- 1)('4)( =⇒+= xvxxv
Sehingga :
( )
( )
( )2
2
2
2
4
14
)('
4
23123
)('
4
)23()4(3
)('
''
)('
4
23
)(
+
=⇒
+
+−+
=⇒
+
−−+
=⇒
−
=⇒
+
−
=
x
xf
x
xx
xf
x
xx
xf
v
uvvu
xf
x
x
xf
Turunan hasil pembagian dua fungsi aljabar
Jika f(x) merupakan fungsi hasil bagi fungsi u(x) oleh fungsi v(x) maka :
( )2
)(
)()(')()('
)('
)(
)(
)(
xv
xuxvxvxu
xf
xv
xu
xf
−
=⇒=
Teorema 5

8. Page 8 of 21
2. Jika
26
)( 2
3
−
=
x
x
xf tentukan turunan pertama
Penyelesaian
Misal : - 23
3)(')( xxuxxu ⇒=
- xxvxxv 12)('26)( 2
=⇒−=
( )
( )
( )22
24
22
424
22
322
22
3
26
66
)('
26
12618
)('
26
)(12)26(3
)('
''
)('
26
)(
−
−
=⇒
−
−−
=⇒
−
−−
=⇒
−
=⇒
−
=
x
xx
xf
x
xxx
xf
x
xxxx
xf
v
uvvu
xf
x
x
xf
Contoh Soal
1. Jika f(x) = (2x – 1)3
maka nilai f ‘(x) adalah …
Pembahasan
3
2)('12)(
=•
=⇒−=•
n
xuxxu
Turunan fungsi berpangkat
Jika f(x) merupakan fungsi hasil dari u(x) pangkat n, dimana n adalah
bilangan rasional maka :
( ) ( ) )('.)(.)(')()(
1
xuxunxfxuxf
nn −
=⇒=
Teorema 6
( )
( )
( )
( )
62424)('
1446)('
126)('
)2(123)('
)('.)()(')12(
2
2
2
13
13
+−=⇒
+−=⇒
−=⇒
−=⇒
=⇒−
−
−
xxxf
xxxf
xxf
xxf
xuxunxfxf
n

9. Page 9 of 21
2. Jika f(x) = (2x3
– 4x2
+ x )12
maka nilai f ‘(x) adalah …
Pembahasan
12
186)('42)( 223
=•
+−=⇒+−=•
n
xxxuxxxxu
( )
( )
( )( )11232
21123
11223
42129672)('
)186(4212)('
)('.)()(')42(
xxxxxxf
xxxxxxf
xuxunxfxxxf
n
+−+−=⇒
+−+−=⇒
=⇒+−
−
3. Jika ( )4 32
13)( +−= xxxf maka )(' xf adalah …
Pembahasan
( ) ( )
4
3
16)('13)(
13)(13)(
2
4
3
24 32
=•
−=⇒+−=•
+−==+−=•
n
xxuxxxu
xxxfxxxf
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )4 2
4 2
4 2
4
1
2
4
1
2
14 32
134
318
)('
134
163
)('
13
16
4
3
)('
13
1
16
4
3
)('
)16(13
4
3
)('
)('.)()('13)(
+−
−
=⇒
+−
−
=⇒
+−
−
=⇒
+−
−=⇒
−+−=⇒
=⇒+−=
−
−
xx
x
xf
xx
x
xf
xx
x
xf
xx
xxf
xxxxf
xuxunxfxxxf
n

10. Page 10 of 21
4. Jika ( )3 2
823)( +−= xxxf maka nilai )0('f adalah …
Pembahasan
( ) ( )
3
1
26)('823)(
823)(823)(
2
3
1
23 2
=•
−=⇒+−=•
+−==+−=•
n
xxuxxxu
xxxfxxxf
( ) ( )
( )
12
2
)0('
)2)0(6(8)0(2)0(3
3
1
)0('
)('.)()('823)(
3
2
2
13 2
−
=⇒
−+−=⇒
=⇒+−=
−
−
f
f
xuxunxfxxxf
n
Contoh Soal :
1. Jika 12)( += xxg dan 4)( 2
+= xxh maka turunan dari ( )( )xgh o adalah…
Penyelesaian
( ) ( ) )()()(
2)('4)(
2)('12)(
2
xfxghxgh
xxhxxh
xgxxg
==•
=⇒+=•
=⇒+=•
o
Sehingga
Cara I
Turunan Aturan Rantai
Jika f(x) merupakan fungsi hasil komposisi antara u(x) dan g(x) dinama
u(x) dan g(x) mempunyai turunan maka :
( )( ) ( ) )('.)(')(')( xgxguxfxguxf =⇒=
Teorema 7

11. Page 11 of 21
( )
( )
48
124
2.122
)(')).((')('))(()(
+=
+=
+=
=⇒=
x
x
x
xgxghxfxghxf
Cara II
( )
48)('
544
412
)12())(()(
2
2
+=
++=
++=
+==
xxfmaka
xx
x
xhxghxf
2. Turunan pertama dari ( )103
12)( +−= xxxf adalah…
Penyelesaian
( )
)(')).((')('))(()(
10)(')(
16)('12)(:
12)(
910
23
103
xuxugxfxugxf
xxguxg
xxuxxxumisal
xxxf
=⇒=•
=⇒=•
−=⇒+−=•
+−=
Sehingga
( )
( ) ( )
( ) ( )106012)('
161210)('
)(')).((')('12)(
293
293
103
−+−=⇒
−+−=⇒
=⇒+−=
xxxxf
xxxxf
xuxugxfxxxf
Latihan soal.
Tentukan turunan dari:
1. 3
2)( −
= xxf
2. 5
3
)(
x
xf =
3. 3
4)( xxf =
4. ( )23)12()( 10
−+= xxxf

12. Page 12 of 21
5.
x
x
xf
2
)2(
)(
+
=
6. xxxf 5)( 2
−=

13. Page 13 of 21
Evaluasi Kegiatan pembelajaran 1
1. Jika xxxf 2
4)( = maka f’(x)
adalah…
a. xx10 d. xx2
b. xx8 e. 2x2
c. xx4
2. Jika xxxf += 3
)( maka
f’(a) adalah…
a.
a
a
2
13 +
d.
a
a
2
3
b.
a
a
2
12 +
e.
12
2
+a
a
c.
a
a
2
13 +
3. Jika 1)23( +=+ xxxf maka
)11('12 f adalah…
a. 9 d. 14
b. 11 e. 15
c. 12
4. Jika 52492)( 23
+−+= xxxxf
dan 0)(' <xf maka nilai x yang
memenuhi adalah…
a. 41 <<− x
b. 41 << x
c. 14 <<− x
d. 14 >−< xataux
e. 41 >−< xataux
5. Jika 8)32( 34
+− xxf maka
)2('f adalah…
a.
2
1
6 d.
4
3
32
b.
3
1
9 e.
2
1
33
c.
2
1
16

14. Page 14 of 21
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
B. TURUNAN FUNGSI TRIGONMETRI
Kompetensi Dasar :
6.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi
Trigonometri
6.2 Menggunakan turunan untuk menentukan
karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah
Tujuan Pembelajaran :
1. Menentukan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan Teorema
Turunan
2. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai
Menentukan turunan fungsi trigonometri
Pada prinsipnya teorema turunan fungsi trigonometri sama dengan turunan fungsi
aljabar.
Contoh Soal:
1. Jika xy sec= tentukan 'y
Penyelesaian
( ) 11
coscos
cos
1
sec
−−
=⇒=⇒=⇒= xyxy
x
yxy
Teorema Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
xxfxxf cos)('sin)(.1 =⇒=
xxfxxf sin)('cos)(.2 −=⇒=
xxfxxf 2
sec)('tan)(.2 =⇒=
Teorema 8

15. Page 15 of 21
{ }
( )
xxy
xx
x
y
x
x
y
xxy
xxyxy
xuxuny
xxuxu
n
diketahui
xy
n
sectan'
cos.cos
sin
'
cos
sin
'
)sin(cos'
sin.cos)1('cos
)('.)('
sin)('cos
1
:
cos
2
2
111
1
1
=⇒
=⇒
=⇒
−−=⇒
−−=⇒=
=
−=⇒=•
−=•
=
−
−−−
−
−
2. Jika )23sin( −= xy tentukan 'y
Penyelesaian
)23cos(3'
3.cos'
)(')).((''
))((sin)23sin(
cos)('sin)(
3)('23)(
:
−=
=
=
=⇒=⇒−=
=⇒=•
=⇒−=•
xy
uy
xuxugy
xugyuyxy
uxguxg
xuxxu
misalkan
3. Jika 22
3sin)( xxf = tentukan )(' xf
Penyelesaian
))(()(3sin)(
cos.sin2)('sin)(
6)('3)(
:
22
2
2
xugxfxxf
uuxguxg
xxuxxu
misal
=⇒=•
=⇒=•
=⇒=•

16. Page 16 of 21
2
22
6sin6)('
cossin22sin:3cos3sin12)('
cossin12)('
6.cossin2)('
)(')).((')('
xxxf
xxxsifatxxxxf
uuxxf
xuuxf
xuxugxf
=
=⇒=
=
=
=
4. Jika xxxf 2sin3cos2)( += maka ....)(' =xf
Penyelesaian
xxxf
xxxf
xxxf
2cos6sin2)('
2).2(cos3)sin(2)('
2sin3cos2)(
+−=
+−=
+=
5. Jika xxxf 2cossin4)( 2
= tentukan turunan pertama f’(x)
Penyelesaian
Diketahui :
xxxxxf
xxxxxf
uvvuxfvuxfxxxf
Sehingga
xxv
xxv
xpxprxvxprxv
pxr
ppxrpxr
xpxxpmisalxxv
xxuxxu
sin4sin82coscos4)('
)sin4)(4sin2()2)(coscos4()('
'')('.)(2cossin4)(
:
4sin2)('
2).2(2sin)('
)(')).((')('))(()(
2sin)('
sincos2)('cos)(
2)('2)(:2cos)(
cos4)('sin4)(
2
2
2
2
2
−=⇒
−+=⇒
+=⇒=⇒=
−=⇒
−=⇒
=⇒=•
−=
−=⇒=•
=⇒=•⇒=•
=⇒=•

17. Page 17 of 21
Latihan soal :
Tentukan turunan dari fungsi berikut :
1. f(x) = sin x – 3 cos x
2. f(x) = sin 3x
3. f(x) = cos (3x + π )
4. f(x) = tan ( )
32
1 π
+x
5. f(x) = sec x
6. f(x) = sin x. cos x
7. f(x) = cos2
x
8. f(x) =
x
x
2sin
Evaluasi Kegiatan Pembelajaran 2
1. Jika tw 2sin= maka w’=……
a. cos 2t
b. 2cos 2t
c. sin 2t + t cos 2t
d. 2t cos 2t + sin2 t
e. sin 2t – t cos 2t
2. Jika xxxf sin22cos)( += maka
....
4
=




π
f
a. 22 − d. 12 +
b. 12 − e. 22 +
c. 2
3. Jika xxy tan+−= maka ....'=y
a. sin2
x d. sec2
x
b. cos2
x e. cosec2
x
c. tan2
x
4. Jika xxxf cossin)( = maka nilai dari
.....
6
=




π
f
a.
2
1
d. 3
3
2
b. 2
2
1
e. 1
c. 3
2
1
5. Jika ( )xxxf += 24
2sin)( maka
....)( =xf
a. ( )xx +23
2sin4
b. ( ) ( )1cos2sin4 22
−+ xxx
c. ( ) ( )xxxx ++ 223
2sin2cos4
d. ( ) ( ) ( )xxxxx +++ 232
2cos22sin24
e. ( ) ( ) ( )xxxxx 24sin2sin142 222
+++
6. Turunan pertama dari xy 4
cos=
adalah....
a. x3
cos
4
1
b. x3
cos
4
1
−
c. x3
cos4−
d. xxsincos4 2
−
e. xxsincos2 2
−
7. Jika xxf 2cot)( = maka ....)(' =xf
a. xec 2cos2 2
−
b. xec 2cos2 2
c. x2sin2 2
−
d. x2sin2 2
e. x2tan2 2
−

18. Page 18 of 21
C. APLIKASI TURUNAN
1. Garis Singgung Pada Kurva
Apabila garis AB diputar pada titik A maka titik B akan bergerak
mendekati titik A(h→0) maka tali busur AB menjadi garis singgung pada
kurva y = f(x) di titik A(a, f(a))dengan gradient :
)('
)()(
lim
0
afm
h
afhaf
m
g
h
g
=
−+
=
→
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A(a, f(a))
atau A(x1, y1) adalah
( )11 xxmyy −=−
Contoh Soal :
Diketahui kurva y = x2
– 3x + 4 dan titik A(3, 4)
a. Tentukan gradient garis singgung di titik A.
b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.
Perhatikan gambar di samping
Gradien garis AB adalah
m AB =
12
12
xx
yy
−
−
=
aha
afhaf
−+
−+
)(
)()(
=
h
afhaf )()( −+
y
x
• B((a + h), f(a + h))
x = a x = a + h
•A(a, f(a)) y = a
y = f(x)

19. Page 19 of 21
Penyelesaian
32'
432
−==
+−=
xym
xxy
a. Gradien di titik A(3, 4)
3
3)3(2' 3
=
−== =
m
ym x
b. Persamaan garis singgung di titik A(3, 4)
( )
( )
53
934
334
11
−=
−=−
−=−
−=−
xy
xy
xy
xxmyy
Latihan soal
1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva:
a. y = x2
– 6x di titik (-1, 7)
b. y = sin 2x di titik )2
2
1
,
2
(
π
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva
a. y = x2
– 2x – 3 di titik (3, 1)
b. y = x - 2x2
di titik dengan absis 1
c. y = (2- x)(2x +1) di titik dengan ordinat 8
3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2
sejajar dengan garis
4x + y = 3, tentukan :
a. Titik singgung
b. persamaan garis singgung

20. Page 20 of 21
2. Fungsi Naik Dan Fungsi Turun
1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap
x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
)()( 1212 xfxfxx >⇔>
2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk
setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
)()( 1212 xfxfxx <⇔<
3. Fungsi f (x) disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0
4. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0
5. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0
Contoh Soal
Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3
+ 9x2
+ 15x + 4 merupakan :
a. Fungsi naik
b. Fungsi turun
b
f(x)
y
f(x)
a
y
a b
Fungsi naik Fungsi Turun
x1 x2 x1 x2

21. Page 21 of 21
Penyelesaian
a. Syarat fungsi naik f’(x) > 0
f(x) = x3
+ 9x2
+ 15x + 4
f’(x) = 3x2
+ 18x + 15
f’(x) > 0 ⇒ 3x2
+ 18x + 15 > 0
x2
+ 6x + 5 > 0
(x + 1)(x + 5) > 0
x < - 5 atau x > -1
Jadi fungsi naik pada interval 15 −>−< xataux
b. Syarat fungsi turun f’(x) < 0
f(x) = x3
+ 9x2
+ 15x + 4
f’(x) = 3x2
+ 18x + 15
f’(x) < 0 ⇒ 3x2
+ 18x + 15 < 0
x2
+ 6x + 5 < 0
(x + 1)(x + 5) < 0
15 −<<− x
Jadi fungsi naik pada interval 15 −<<− x
Latiha soal
1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau
fungsi turun.
a. f(x) = x2
– 6x
b. f(x) =
3
1
x3
+ 4x2
– 20x + 2
c. f(x) = (x2
- 1)(x+1)
2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3
– 6x2
+ 12x + 6 tidak pernah turun.
- 5 - 1
( + )
Daerah
Positif
( - )
daerah
Positif
( + )
Daerah
Positif