Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
1. EKSPONEN
A. Pangkat bilangan bulat
Ingat kembali:
25
= ……………………..
….. faktor
(–4)6
= ……………………..
….. faktor
an
= ……………………..
….. faktor
20
= ……
10
= ……
(-)0
= ……
Untuk pangkat bilangan bulat negatif akan dibahas
pada sifat bilangan berpangkat
B. Sifat Bilangan Berpangkat
Untuk a, b R; a 0; b 0; p, q B
1) 64
×63
=(6666)×(666)
=(6666666)
=67
=64+3
23
×25
= ( ............... ) × ( ...................... )
= ...........................
= ......
= ......
2)
3)
(sifat 2)
n B positif
4)
(sifat 1)
(sifat 1)
5) (2×3)5
= (2×3) ....... ....... ....... .......
= (2×....×....×....×....)×(....×....×....×....×....)
= 2. . .
× .....
6) ....... ....... ....... ....... .......
Lembar Kerja Siswa
Kesimpulan: bentuk umum eksponen
dengan a bilangan real, n bilangan bulat
positif
a disebut …………………..
n disebut …………………..
a0
= . . . . , jika a bil real dan a 0
a-n
= …………
ap
× aq
= a....
.........
.......
........
(a × b)p
= ..... × .....
..........
2. Contoh soal:
1. Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen
sederhanakan bentuk berikut:
(a) dengan a 0, b 0
(b)
2. Diketahui a = 2, b = 3, c = 5
Tentukan nilai
Selesaian:
(a) (sifat 2)
(sifat 3)
(b) Ingat
(samakan penyebut)
(sifat 5)
(2) = ……………………
C. Persamaan eksponen sederhana
Untuk a R, a 0, dan m,n B
Contoh:
(1) 2x
= 64 (rubah ruas kanan mjd
bentuk eksponen)
2x
= …..
…. = ….
maka m = n
3. FUNGSI EKSPONEN
A. Fungsi eksponen
Bentuk umum :
dengan a > 0, a 1, dan x R
B. Grafik fungsi eksponen
Gambarlah grafik fungsi 2x
dan ()x
X … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2x
… …
(x,y) … …
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
()x
… …
(x,y) … …
(gambar grafik pada lembaran buku strimin/petak)
Kesimpulan:
Sifat grafik fungsi eksponen
1. Grafik fungsi f(x) = k ax
dan g(x) = k ( )x
. . . . . . . . . . terhadap . . . . .
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . adalah asimtot dari
fungsi f(x) = k ax
dan g(x) = k ( )x
3. Grafik fungsi f(x) = k ax
monoton . . . . . .
4. Grafik fungsi g(x) = k ( )x
monoton . . . . .
5. Grafik fungsi f(x) = k ax
dan g(x) = k ( )x
selalu bernilai . . . . .
6. Grafik fungsi f(x) = k ax
dan g(x) = k ( )x
memotong . . . . . . . . . . . . . . . pada titik (. . . .)
Y
X
4. Persamaan Eksponen
Tuliskan sifat-sifat bentuk eksponen
Ingat kembali : . . . = . . .
Persamaan eksponen ada 7 bentuk, yaitu:
(1) Untuk a > 0, a 1
af(x)
= 1 . . . . . . . . . . . .
(2) Untuk a > 0, a 1
. . . . . . . . . . . .
(3) Untuk a > 0, a 1
. . . . . . . . . . . .
(4) Untuk a > 0, b > 0, a 1, b 1, a b
. . . . . . . . . . . .
Contoh: Tentukan Himpunan Penyelesaian
persamaan berikut
(a)
(b)
Jadi himpunan penyelesaian (HP) = { . . .}
(c)
pindah semua ke ruas kiri
ingat pemfaktoran
Jadi HP = { . . . . .}
(d)
Jadi HP = { . . .}
(e)
Jadi HP = { . . . . .}
a0
= . . . . , dg a 0
ap
× aq
= . . . .
. . . .
= . . . .
(a × b)p
= . . . .
. . . .
,dg b 0
. . . .
,dg a 0
. . . .
,dg ap
≥ 0 dan a A