Induksi matematika

1. INDUKSI MATEMATIKA
A. BUKTI LANGSUNG DAN TAK
LANGSUNG
1. Bukti Langsung
Untuk menunjukkan pernyataan (p  q) benar
dapat dikakukan dengan menggunakan premis p
untuk mendapatkan konklusi q dengan metode
modus ponens, tollens, dan silogisme
Contoh: Buktikan bahwa “untuk semua bilangan
bulat n , jika n adalah bilangan ganjil, maka n2
adalah bilangan ganjil”
2. Bukti Tak langsung
Pembuktiaan secara taklangsung dilakukan secara
kontradiksi dan kontraposisi
(a) Kontradiksi
Untuk membuktikan (p  q) benar, dapat
dilakukan dengan mengandaikan ~q benar lalu
tunjukkan suatu kontradiksi dengan p benar atau
pernyataan benar lainnya
Contoh: Buktikan bahwa “jika n2
adalah bilangan
ganjil, maka n adalah bilangan ganjil”
(b) Kontraposisi
Untuk membuktikan (p  q) benar, dapat
dilakukan dengan mengandaikan ~q benar dan
tunjukkan ~p benar
Contoh: Buktikan bahwa “untuk semua bilanga
bulat n, jika n2
adalah bilangan ganjil, maka n
adalah bilangan ganjil”

2. B. INDUKSI MATEMATIKA
 Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.
 Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.
 Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan
bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.
Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu
menunjukkan bahwa:
1. Untuk n = 1 terbukti P(n) benar, dan
2. Andaikan P(n) benar untuk n = k, maka akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1 juga benar.
 Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.
 Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut
dinamakan hipotesis induksi.
 Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Gambar 4.1 Efek domino
Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa
1(1!) + 2(2!) + … + n(n!) = (n + 1)! – 1
Penyelesaian:
(i) Basis induksi: Untuk n = 1,
1(1!) + 2(2!) + … + n(n!) = (n + 1)! – 1
 1(1!) = (n + 1)! – 1
 11 = (1 + 1)! – 1
 1 = 2! – 1
 1 = 2 – 1
 1 = 1
Benar
(ii) Langkah induksi:
Andaikan P(n) benar untuk n = k maka pernyataan
1(1!) + 2(2!) + … + k(k!) = (k + 1)! – 1 bernilai benar
Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1
n = k + 1  k = n – 1
1(1!) + 2(2!) + … + n(n!) = (n + 1)! – 1
 1(1!) + 2(2!) + … + (n – 1)((n – 1)!) + n(n!) = (n + 1)! – 1
Subtitusikan n = k + 1dan (n – 1) = k
 1(1!) + 2(2!) + … + k(k!) + (k + 1)((k + 1)!) = ((k + 1)+ 1)! – 1
(k + 1)! – 1
 (k + 1)! – 1 + (k + 1)((k + 1)!) = (k + 2)! – 1

3.  (k + 1)! + (k + 1)((k + 1)!) – 1 = (k + 2)! – 1
 (k + 1)! [1 + (k + 1)] – 1 = (k + 2)! – 1
 (k + 1)! (k + 2) – 1 = (k + 2)! – 1
(k + 2)!
 (k + 2)! – 1 = (k + 2)! – 1
adalah benar (hipotesis induksi)
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka 1(1!) + 2(2!) + … +
n(n!) = (n + 1)! – 1 terbukti benar
Soal
1. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa
20
+ 21
+ 22
+ … + 2n
= 2n+1
– 1
2. Buktikan bahwa 1(2) + 2(3) + … + n(n + 1) = untuk semua n
3. Buktikan bahwa untuk semuan n ≥ 1
4. Buktikan bahsa 12
+ 32
+ 52
+ … + (2n – 1)2
=