aljabar

1. NAMA :
NIM :
KELOMPOK :
1. Periksalah relasi berikut:
𝛼: ℂ → ℂ
𝑥 ↦ 𝛼( 𝑥) =
1
5
+
6
11
𝑥
Apakah 𝛼 termasuk pemetaan onto?
Jika iya, berikan alasan dan buktinya!
Jika tidak, beri alasan dan bukti bahwa 𝛼 pemetaan into!
Jawab:
(i)
1
5
,
6
11
, 𝑥,
6
11
𝑥,
1
5
+
6
11
𝑥 ∈ ℂ
(ii) Ambil 𝑥1 dan 𝑥2 ∈ ℂ dengan 𝑥1 = 𝑥2
Perhatikan bahwa:
𝛼( 𝑥1)
=
1
5
+
6
11
𝑥1
=
1
5
+
6
11
𝑥2
= 𝛼( 𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝛼𝑥1 = 𝛼𝑥2
∴ 𝛼 pemetaan
(iii) Ambil sembarang 𝑦 ∈ ℂ
Perhatikan bahwa:
𝑦,
1
5
,
11
6
, (𝑦 −
1
5
)
11
6
∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ
∀ 𝑦∈ ℂ, ∃𝑥, (𝑦 −
1
5
)
11
6
∈ ℂ
Sedemikian sehingga
𝛼(𝑥)
= 𝛼 ((𝑦 −
1
5
)
11
6
)
=
1
5
+
6
11
(𝑦 −
1
5
)
11
6
=
1
5
+ 𝑦 −
1
5
= 𝑦
∴ 𝛼 pemetaan onto∎
2. Dari dua relasi berikut, tentukan manakah yang merupakan pemetaan satu-
satu dan manakah yang bukan merupakan pemetaan satu-satu!
𝛽: (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) → ℝ
𝑥 ↦ 𝛽( 𝑥) = 3 sin(𝑥)
Jawab:

2. (i) 3, sin( 𝑥), 3sin( 𝑥), 𝑥 ∈ ℝ
∴ 𝛽 tertutup.
(ii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) dengan 𝑥1 = 𝑥2 perhatikan bahwa:
𝛽( 𝑥1) = 3sin( 𝑥1)
= 3 sin(𝑥2)
= 𝛽(𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝛽( 𝑥1) = 𝛽(𝑥2)
∴ 𝛽 adalah pemetaan.
(iii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) dengan 𝛽( 𝑥1) = 𝛽(𝑥2) perhatikan bahwa:
𝛽( 𝑥1) = 𝛽( 𝑥2)
3 sin( 𝑥1) = 3 sin( 𝑥2)
1
3
× 3 sin( 𝑥1)
=
1
3
× 3 sin( 𝑥2)
sin( 𝑥1) = sin(𝑥2)
Karena 𝛽 berada pada rentang (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) maka tidak terdapat nilai sin
yang sama sehingga jikan ada sin(𝑥1) = sin(𝑥2) maka 𝑥1 = 𝑥2,
sehingga diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝛽( 𝑥1) = 𝛽( 𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2
∴ 𝛽 adalah pemetaan satu-satu (injektif)∎
𝛾 ∶ [−2𝜋, 2𝜋] → ℝ
𝑥 ↦ 𝛾( 𝑥) = 3 sin( 𝑥)
(i) 3, sin( 𝑥), 3sin( 𝑥), 𝑥 ∈ ℝ
∴ 𝛾 tertutup.
(ii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ [−2𝜋, 2𝜋] dengan 𝑥1 = 𝑥2 perhatikan bahwa:
𝛽( 𝑥1) = 3 sin( 𝑥1)
= 3 sin(𝑥2)
= 𝛾(𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝛾( 𝑥1) = 𝛾(𝑥2)
∴ 𝛾 adalah pemetaan.
(iii) Dengan menggunakan counter example akan dibuktikan bahwa
𝛾 bukan pemetaan satu-satu (injektif)
Ambil 𝑥1 = 30 dan 𝑥2 = 150, perhatikan bahwa:
𝑥1 ≠ 𝑥2 tetapi,
𝛾( 𝑥1) = 3 sin(30°)
= 3 sin(150 °)
= 𝛾(𝑥2)
Diperoleh 𝛾( 𝑥1) = 𝛾(𝑥2) tetapi 𝑥1 ≠ 𝑥2
∴ 𝛾 bukan pemetaan satu-satu (injektif) ∎.

3. 3. Perhatikan dua relasi berikut:
𝜏: ℕ → ℕ 𝜀: ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 𝜏( 𝑥) = 7𝑥 + 6
𝑥 ↦ 𝜀( 𝑥) =
3𝑥 − 1
15
Manakah dari relasi di atas yang merupakan pemetaan bijektif dan mana
yang bukan merupakan pemetaan bijektif?
Petunjuk: Suatu pemetaan disebut pemetaan bijektif jika dan hanya jika
pemetaan tersebut adalah pemetaan injektif dan surjektif.
Jawaban:
 Relasi pertama:
𝜏: ℕ → ℕ
𝑥 ↦ 𝜏( 𝑥) = 7𝑥 + 6
1) Untuk membuktikan 𝜏 adalah pemetaan injektif.
(i) 7, 𝑥, 6,7𝑥, 7𝑥 + 6 ∈ ℕ 𝐾
∴ 𝜏 tertutup.
(ii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℕ 𝐷, dengan ( 𝑥1) = (𝑥2).
Perhatikan bahwa:
𝜏( 𝑥1) = 7𝑥1 + 6
= 7𝑥2 + 6
= 𝜏( 𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝜏( 𝑥1) = 𝜏(𝑥2).
∴ 𝜏 pemetaan.
(iii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℕ 𝐷, dengan 𝜏( 𝑥1) = 𝜏(𝑥2).
Pembuktian bahwa:
𝜏( 𝑥1) = 𝜏(𝑥2)
7𝑥1 + 6 = 7𝑥2 + 6
7𝑥1 = 7𝑥2 + 6 − 6
7𝑥1 = 7𝑥2
1
7
× 7𝑥1 =
1
7
× 7𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝜏( 𝑥1) = 𝜏(𝑥2) → ( 𝑥1) = (𝑥2).
∴ 𝜏 pementaan injektif.∎
2) Untuk membuktikan 𝜏 adalah pemetaan subjektif.
(i) 7, 𝑥, 6,7𝑥, 7𝑥 + 6 ∈ ℕ 𝐾
∴ 𝜏 tertutup.
(ii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℕ 𝐷, dengan ( 𝑥1) = (𝑥2).
Perhatikan bahwa:
𝜏( 𝑥1) = 7𝑥1 + 6
= 7𝑥2 + 6
= 𝜏( 𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝜏( 𝑥1) = 𝜏(𝑥2).

4. ∴ 𝜏 pemetaan.
(iii) Ambil sembarang 𝑦 ∈ ℕ 𝐾.
Perhatikan bahwa:
1
7
, 𝑦, −6, 𝑦 − 6,
1
7
( 𝑦 − 6) ∉ ℕ 𝐷 → 𝑥 ∉ ℕ 𝐷
∀𝑦 ∉ ℕ 𝐾, ∄𝑥 =
1
7
( 𝑦 − 6) ∉ ℕ 𝐷.
∴ 𝜏 bukan pembuktian surjektif. ∎
∴ 𝜏 bukan pemetaan bijektif. ∎
 Relasi kedua:
𝜀: ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 𝜀( 𝑥) =
3𝑥 − 1
15
1) Untuk membuktikan 𝜀 adalah pemetaan injektif.
(i)
3
15
,
−1
15
, 𝑥,
3𝑥
15
,
3𝑥−1
15
∈ ℝ 𝐾
∴ 𝜀 tertutup.
(ii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ 𝐷, dengan ( 𝑥1) = (𝑥2).
Perhatikan bahwa:
𝜀( 𝑥1)
=
3𝑥1 − 1
15
=
3𝑥2 − 1
15
= 𝜀(𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝜀( 𝑥1) = 𝜀(𝑥2).
∴ 𝜀 pemetaan.
(iii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ 𝐷, dengan 𝜀( 𝑥1) = 𝜀(𝑥2).
Pembuktian bahwa:
𝜀( 𝑥1) = 𝜀(𝑥2).
3𝑥1 − 1
15
=
3𝑥2 − 1
15
(3𝑥1 − 1) × 15 = (3𝑥2 − 1) × 15
(3𝑥1 − 1) = (3𝑥2 − 1) × 15 − 15
3𝑥1 − 1 = 3𝑥2 − 1
3𝑥1 = 3𝑥2 − 1 + 1
3𝑥1 = 3𝑥2
1
3
3𝑥1 =
1
3
3𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝜀( 𝑥1) = 𝜀(𝑥2) → ( 𝑥1) = (𝑥2).
∴ 𝜀 pementaan injektif.∎
2) Untuk membuktikan 𝜀 adalah subjektif.
(i)
3
15
,
−1
15
, 𝑥,
3𝑥
15
,
3𝑥−1
15
∈ ℝ 𝐾
∴ 𝜀 tertutup.

5. (ii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ 𝐷, dengan ( 𝑥1) = (𝑥2).
Perhatikan bahwa:
𝜀( 𝑥1)
=
3𝑥1 − 1
15
=
3𝑥2 − 1
15
= 𝜀(𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝜀( 𝑥1) = 𝜀(𝑥2).
∴ 𝜀 pemetaan.
(iii) Ambil sembarang 𝑦 ∈ ℝ 𝐾.
Perhatikan bahwa:
1
3
, 15,1,15𝑦, 15𝑦 + 1,
1
3
(15𝑦 + 1) ∈ ℝ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℝ 𝐷
∀𝑦 ∈ ℝ 𝐾, ∃𝑥 =
1
3
(15 + 1𝑦) ∈ ℝ 𝐷.
Sedemikian sehingga:
𝜀(𝑥)
= 𝜀 (
1
3
(15𝑦 + 1))
=
3 (
1
3
(15𝑦 + 1)) − 1
15
=
15𝑦 + 1 − 1
15
=
15𝑦
15
= 𝑦
∴ 𝜀 pembuktian surjektif. ∎
∴ 𝜀 merupakan pemetaan bijektif. ∎
4. Misalkan 𝜃 ∶ 𝐷 → 𝐾1dan 𝜌 ∶ 𝐾1 → 𝐾2 adalah sebuah pemetaan. Buktikan
bahwa jika 𝜃 dan 𝜌 adalah pemetaan satu-satu, maka 𝜌 ∘ 𝜃 juga berupa
pemetaan satu-satu! Berikan contohnya!
Penyelesaian :
Periksa apakah relasi 𝜃 dan 𝜌 adalah pemetaan satu-satu !
Jawab :
𝜃 Injektif
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷, 𝜃( 𝑥1) = 𝜃 ( 𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2
𝜌 Injektif
∀𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐾1, 𝜌( 𝑎1) = 𝜌( 𝑎2) → 𝑎1 = 𝑎2
Periksa apakah komposisi 𝜌 ∘ 𝜃 adalah pemetaan satu-satu !

6. Jawab :
Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷 dengan 𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥1) = 𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥2) akan dibuktikan 𝑥1 = 𝑥2
perhatikan bahwa : 𝑦1 = 𝑦2
𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥1) = 𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥2)
𝜌(𝜃 ( 𝑥1)) = 𝜌(𝜃 ( 𝑥2))
𝜌( 𝑦1) = 𝜌( 𝑦2)
𝑦1 = 𝑦2
𝜃 ( 𝑥1) = 𝜃 ( 𝑥2)
𝑥1 = 𝑥2
Diperoleh implikasi sebagai berikut :
𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥1) = 𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2
∴ 𝜌 ∘ 𝜃 Pemetaan satu-satu∎
Contoh :
Langkah pertama
𝜃 ∶ 𝐷 → 𝐾1 didefinisikan
𝜃 ∶ ℕ → ℕ
𝑥 ⟼ 4𝑥 + 1
Periksa apakah relasi 𝜃 adalah pemetaan satu-satu !
Jawab :
(i) Akan dibuktikan bahwa 𝜃 tertutup di ℕ
Perhatikan bahwa :
4, 𝑥, 1, 4𝑥, 4𝑥 + 1 ∈ ℕ
∴ 𝜃 tertutup
(ii)Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℕ dengan 𝑥1 = 𝑥2 Perhatikan bahwa
𝜃( 𝑥1) = 4𝑥1 + 1 = 4𝑥2 + 1 = 𝜃( 𝑥2)
Berlaku implikasi sebagai berikut :
𝑥1 = 𝑥2 → 𝜃( 𝑥1) = 𝜃( 𝑥2)
∴ 𝜃 pemetaan
(iii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℕ dengan 𝜃 ( 𝑥1) = 𝜃 ( 𝑥2) Perhatikan bahwa
𝜃( 𝑥1) = 𝜃( 𝑥2)
4𝑥1 + 1 = 4𝑥2 + 1
1
4
× 4𝑥1 + 1 − 1 =
1
4
× 4𝑥2 + 1 − 1
𝑥1 = 𝑥2

7. Diperoleh implikasi sebagai berikut :
𝜃 ( 𝑥1) = 𝜃 ( 𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2
∴ 𝜃 pemetaan satu-satu∎
Langkah kedua
𝜌 ∶ 𝐾1 → 𝐾2 didefinisikan
𝜌 ∶ ℕ → ℝ
𝑦 ⟼ 8𝑦 + 2
Periksa apakah relasi 𝜌 adalah pemetaan satu-satu !
Jawab :
(i) Akan dibuktikan bahwa 𝜌 tertutup di ℝ
Perhatikan bahwa :
8, 𝑦, 2,8𝑦, 8𝑦 + 2 ∈ ℕ
∴ 𝜌 tertutup
(ii) Ambil 𝑦1, 𝑦2 ∈ ℕ dengan 𝑦1 = 𝑦2 Perhatikan bahwa
𝜌( 𝑦1) = 8𝑦1 + 2 = 8𝑦2 + 2 = 𝜌( 𝑦2)
Berlaku implikasi sebagai berikut :
𝑦1 = 𝑦2 → 𝜌( 𝑦1) = 𝜌( 𝑦2)
∴ 𝜌 pemetaan
(iii) Ambil 𝑦1, 𝑦2 ∈ ℕ dengan 𝜌( 𝑦1) = 𝜌( 𝑦2) Perhatikan bahwa
𝜌( 𝑦1) = 𝜌( 𝑦2)
8𝑦1 + 2 = 8𝑦2 + 2
1
8
× 8𝑦1 + 2 − 2 =
1
8
× 8𝑦2 + 2 − 2
𝑦1 = 𝑦2
Diperoleh implikasi sebagai berikut :
𝜌( 𝑦1) = 𝜌( 𝑦2) → 𝑦1 = 𝑦2
∴ 𝜌 pemetaan satu-satu∎
Langkah ketiga
𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥) = 𝜌(𝜃( 𝑥))
= 𝜌(4𝑥 + 1)
= 𝜌(𝑦)
= 8𝑦 + 2
= 8(4𝑥 + 1) + 2
= 32𝑥 + 8 + 2
= 32𝑥 + 10
Langkah keempat

8. 𝜌 ∘ 𝜃 ∶ ℕ → ℝ
𝑥 ⟼ 32𝑥 + 10
Periksa apakah relasi 𝜌 ∘ 𝜃 adalah pemetaan satu-satu !
Jawab :
(i) Akan dibuktikan bahwa 𝜌 ∘ 𝜃 tertutup di ℝ
Perhatikan bahwa :
32, 𝑥, 10, 32𝑥,32𝑥 + 10 ∈ ℕ
∴ 𝜌 ∘ 𝜃 tertutup
(ii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℕ dengan 𝑥1 = 𝑥2 Perhatikan bahwa
𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥1) = 32𝑥1 + 10 = 32𝑥2 + 10 = 𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥2)
Berlaku implikasi sebagai berikut :
𝑥1 = 𝑥2 → 𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥1) = 𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥2)
∴ 𝜌 ∘ 𝜃 pemetaan
(iii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℕ dengan 𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥1) = 𝜌 ∘ 𝜃 ( 𝑥2) Perhatikan
bahwa
𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥1) = 𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥2)
32𝑥1 + 10 = 32𝑥2 + 10
1
32
× 32𝑥1 + 10 − 10 =
1
32
× 32𝑥2 + 10 − 10
𝑥1 = 𝑥2
Diperoleh implikasi sebagai berikut :
𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥1) = 𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2
∴ 𝜌 ∘ 𝜃 pemetaan satu-satu∎
5. Misalkan 𝜃: 𝐷 → 𝐾1 dan 𝜌 ∶ 𝐾1 → 𝐾2 adalah sebuah pemetaan. Buktikan
bahwa jika 𝜃 dan 𝜌 adalah pemetaan onto, maka 𝜌 ∘ 𝜃 juga berupa pemetaan
onto ! Berikan contohnya !
Jawab :
𝜃 ∶ 𝐷 → 𝐾1 merupakan pemetaan onto
𝜌 ∶ 𝐾1 → 𝐾2 merupakan pemetaan onto
 𝜃 Surjektif
∀𝑦 ∈ 𝐾1, ∃𝑥 ∈ 𝐷, sedemikian sehingga 𝜃( 𝑥) = 𝑦
 𝜌 Surjektif
∀𝑧 ∈ 𝐾2, ∃𝑦 ∈ 𝐾1, sedemikian sehingga 𝜌( 𝑦) = 𝑧
 𝜌 ∘ 𝜃 Surjektif
∀𝑧 ∈ 𝐾2, ∃𝑥 ∈ 𝐷, sedemikian sehingga 𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥) = 𝑧
Ambil 𝑧 ∈ 𝐾2, karena 𝜌 surjektif maka terdapat 𝑦 ∈ 𝐾1, sedemikian
sehingga berlaku :
𝜌( 𝑦) = 𝑧 …… . . (𝑖)
Karena 𝜃 surjektif, maka ∀𝑦 ∈ 𝐾1 dapat ditemukan 𝑥 ∈ 𝐷, sedemikian
sehingga berlaku :

9. 𝜃( 𝑥) = 𝑦… … . . (𝑖𝑖)
Dari persamaan (𝑖) dan (𝑖𝑖) diperoleh :
𝜌( 𝑦) = 𝑧
𝜌( 𝜃(𝑥)) = 𝑧
𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥) = 𝑧
Artinya ∀𝑧 ∈ 𝐾2 terdapat 𝑥 ∈ 𝐷 sedemikian sehingga berupa :
𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥) = 𝑧
∴ 𝜌 ∘ 𝜃 pemetaan surjektif∎
Contoh soal :
𝜃 ∶ ℚ → ℝ1
𝑥 ⟼ 𝜃( 𝑥) =
7
3
𝑥 + 2
𝜌 ∶ ℝ1 → ℝ2
𝑦 ⟼ 𝜌( 𝑦) =
3
5
𝑦 − 5
 𝜃 Surjektif
i.
7
3
, 𝑥, 2,
7
3
𝑥 + 2 ∈ ℝ1
∴ 𝜃 tertutup
ii. Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℚ dengan 𝑥1 = 𝑥2 perhatikan bahwa :
𝜃( 𝑥1) =
7
3
𝑥1 + 2 =
7
3
𝑥2 + 2 = 𝜃( 𝑥2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut :
𝑥1 = 𝑥2 → 𝜃( 𝑥1) = 𝜃(𝑥2)
∴ 𝜃 pemetaan
iii. Ambil sembarang 𝑦 ∈ ℝ1, perhatikan bahwa :
3
7
, 𝑦, −2, 𝑦 − 2,
3
7
(𝑦 − 2) ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℚ
∀𝑦 ∈ ℝ1, ∃𝑥 =
3
7
(𝑦 − 2) ∈ ℚ sedemikian sehingga
𝜃( 𝑥) = 𝜃 (
3
7
( 𝑦 − 2))
=
7
3
(
3
7
( 𝑦 − 2)) + 2
= 𝑦 − 2 + 2 = 𝑦
∴ 𝜃 pemetaan surjektif∎
 𝜌 Surjektif
I.
3
5
, 𝑦, −5,
3
5
𝑦,
3
5
𝑦 − 5 ∈ ℝ2
∴ 𝜃 tertutup
II. Ambil 𝑦1, 𝑦2 ∈ ℝ1 dengan 𝑦1 = 𝑦2 perhatikan bahwa :
𝜌( 𝑦1) =
3
5
𝑦1 − 5 =
3
5
𝑦2 − 5 = 𝜌( 𝑦2)
Diperoleh implikasi sebagai berikut :
𝑦1 = 𝑦2 → 𝜌( 𝑦1) = 𝜌(𝑦2)
∴ 𝜌 pemetaan
III. Ambil sembarang 𝑧 ∈ ℝ2, perhatikan bahwa :

10. 5
3
, 𝑧, 5, 𝑧 + 5,
5
3
(𝑧 + 5) ∈ ℝ1 → 𝑦 ∈ ℝ1
∀𝑧 ∈ ℝ2, ∃𝑦 =
5
3
(𝑧 + 5) ∈ ℝ1 sedemikian sehingga
𝜌( 𝑦) = 𝜌 (
5
3
( 𝑧 + 5))
=
3
5
(
5
3
( 𝑧 + 5)) − 5
= 𝑧 + 5 − 5 = 𝑧
∴ 𝜌 pemetaan surjektif∎
 𝜌 ∘ 𝜃 Surjektif
∀𝑧 ∈ ℝ2, ∃𝑥 ∈ ℚ, sedemikian sehingga 𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥) = 𝑧
Ambil 𝑧 ∈ ℝ2, karena 𝜌 surjektif maka terdapat 𝑦 ∈ ℝ1, sedemikian
sehingga berlaku :
𝜌( 𝑦) = 𝑧… … . . (𝑖)
Karena 𝜃 surjektif, maka ∀𝑦 ∈ ℝ1 dapat ditemukan 𝑥 ∈ ℚ, sedemikian
sehingga berlaku :
𝜃( 𝑥) = 𝑦… … . . (𝑖𝑖)
Dari persamaan (𝑖) dan (𝑖𝑖) diperoleh :
𝜌( 𝑦) = 𝑧
𝜌( 𝜃(𝑥)) = 𝑧
𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥) = 𝑧
Artinya ∀𝑧 ∈ ℝ2 terdapat 𝑥 ∈ ℚ sedemikian sehingga berupa :
𝜌 ∘ 𝜃( 𝑥) = 𝑧
∴ 𝜌 ∘ 𝜃 pemetaan surjektif∎
6. perhatikan dua pemetaan sebagai berikut:
 𝛼 = ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟼ 𝛼( 𝑥) = 𝑥2
− 9
 𝛽 = ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟼ 𝛽( 𝑥) = 4 −
7
5
𝑥
Manakah diantara dua pemetaan tersebut yang memiliki invers pemetaan?
Berikan alasan beserta buktinya!
Tentukan bentuk invers pemetaannya!
 𝛼 = ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟼ 𝛼( 𝑥) = 𝑥2
− 9
Pembuktian!
(i) Akan dibuktikan bahwa 𝛼 tertutup di ℝ 𝑘
Perhatikan bahwa 𝑥, 𝑥2
, −9, 𝑥2
− 9 ∈ ℝ.
∴ 𝛼 tertutup di ℝ 𝑘
(ii) Akan dibuktikan bahwa berlaku implikasi
𝑥1 = 𝑥2 ⟶ 𝛼( 𝑥1) = 𝛼(𝑥2)
Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ 𝐷 dengan 𝑥1 = 𝑥2

11. Perhatikan bahwa:
𝛼( 𝑥1) = (𝑥1)2
− 9 = ( 𝑥2)2
− 9 = 𝛼(𝑥2)
Sehingga dipenuhi implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 ⟶ 𝛼( 𝑥1) = 𝛼(𝑥2)
∴ 𝛼 pemetaan.
(iii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ dengan 𝛼( 𝑥1) = 𝛼(𝑥2)
Perhatikan bahwa:
𝛼( 𝑥1) = 𝛼(𝑥2)
(𝑥1)2
− 9 = ( 𝑥2)2
− 9
(𝑥1)2
− 9 + 9 = ( 𝑥2)2
− 9 + 9
(𝑥1)2
= (𝑥2)2
Untuk kasus (𝑥1)2
= (𝑥2)2
tidak bisa dipastikan 𝑥1 ≠ 𝑥2
∴ karena 𝛼 bukan pemetaan injektif, maka 𝛼 bukan pemetaan bijektif,
akibatnya 𝛼 tidak memiliki invers pemetaan ∎
 𝛽 = ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟼ 𝛽( 𝑥) = 4 −
7
5
𝑥
Pembuktian!
(i) Akan dibuktikan bahwa 𝛽 tertutup di ℝ 𝑘
Perhatikan bahwa 4, −
7
5
, 𝑥, −
7
5
𝑥, 4 −
7
5
𝑥 ∈ ℝ.
∴ 𝛽 tertutup di ℝ 𝑘
(ii) Akan dibuktikan bahwa berlaku implikasi
𝑥1 = 𝑥2 ⟶ 𝛽( 𝑥1) = 𝛽(𝑥2)
Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ 𝐷 dengan 𝑥1 = 𝑥2
Perhatikan bahwa
𝛽( 𝑥1) = 4 −
7
5
( 𝑥1) = 4 −
7
5
(𝑥2) = 𝛽(𝑥2)
Sehingga dipenuhi implikasi sebagai berikut:
𝑥1 = 𝑥2 ⟶ 𝛽( 𝑥1) = 𝛽(𝑥2)
∴ 𝛽 pemetaan ∎
(iii) Ambil 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ dengan 𝛽( 𝑥1) = 𝛽(𝑥2)
Perhatikan bahwa:
𝛽( 𝑥1) = 𝛽(𝑥2)
4 −
7
5
(𝑥1) = 4 −
7
5
(𝑥2)
4 + 4 −
7
5
( 𝑥1) = 4 + 4 −
7
5
(𝑥2)
(−
5
7
)−
7
5
(𝑥1) = (−
5
7
) −
7
5
(𝑥2)
( 𝑥1) = (𝑥2)
diperoleh implikasi sebagai berikut:
𝛽( 𝑥1) = 𝛽(𝑥2) ⟶ 𝑥1 = 𝑥2
∴ 𝛽 pemetaan injektif.
(iv) Ambil sebarang 𝑦 ∈ ℝ 𝑘, perhatikan bahwa:

12. 𝑦, −
5
7
, −
5
7
𝑦,
20
7
, −
5
7
𝑦 +
20
7
∈ ℝ ⟶ 𝑥 ∈ ℝ
∀ 𝑦 ∈ ℝ 𝑘,∃𝑥 ,−
5
7
𝑦 +
20
7
∈ ℝ 𝐷, sedemikian sehingga
𝛽( 𝑥) = 𝛽 (−
5
7
𝑦 +
20
7
)
= −
7
5
(−
5
7
𝑦 +
20
7
) − 4
= 𝑦 − 4 + 4
= 𝑦
𝛽−1( 𝑥): ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟼ 𝛽−1( 𝑥) = −
5
7
𝑥 +
20
7
∴ 𝛽 pemetaan surjektif.
∴ 𝛽 memenuhi syarat pemetaan bijektif yaitu tertutup, memenuhi
implikasi, pemetaan bijektif, dan pemetaan surjektif maka 𝛽
memiliki invers pemetaan ∎
“ bentuk invers 𝑥 ⟼ 𝛽( 𝑥) = 4 −
7
5
𝑥
𝑦
= 4 −
7
5
𝑥
𝑦− 4
= −
7
5
𝑥
(𝑦 − 4) × (−
5
7
) = −
7
5
𝑥 × (−
5
7
)
(𝑦 × −
5
7
) − (4 × −
5
7
) =
35
35
𝑥
−
5
7
𝑦 +
20
7
= 𝑥