Topologi Bidang Kompleks

1. TOPOLOGIDALAMSISTEMBILANGAN
KOMPLEKS
KELOMPOK - V

2. 1. Lingkungan/persekitaran
Lingkungan 𝑧0 adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran yang
berpusat di 𝑧0, berjari-jari di 𝑟, 𝑟 > 0. Ditulis 𝑧 − 𝑧0 < 𝑟.
Bukti :
𝑧 − 𝑧0 < 𝑟
−𝑟 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝑟
𝑧0 − 𝑟 < 𝑧 < 𝑧0 + 𝑟
maka
𝑉
𝑟(𝑧0) = {z ∈ 𝐶 |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟}
= {z ∈ 𝐶 | 𝑧0 − 𝑟 < 𝑧 < 𝑧0 + 𝑟}
= (𝑧0 − 𝑟 , 𝑧0 + 𝑟)
Konsep-KonsepTopologi PadaFungsiKompleks
Defenisi 𝑧 − 𝑧0 < 𝑟 jika dijabarkan
menjadi :
|(x+iy) – (𝑥0+ 𝑖𝑦0)| < 𝑟
|(x+𝑥0) – i(y−𝑦0)| < 𝑟
(x+𝑥0)2
−(𝑦 − 𝑦0)2 < 𝑟
merupakan lingkaran dengan
jari-jari r dan titik pusat di (𝑥0, 𝑦0)
(x+𝑥0)2
+(y+𝑦0)2
< 𝑟2

3. Contoh soal
Gambarkan persekitaran dari N(i,1)
Penyelesaian :
𝑧 − 𝑧0 < 𝑟
𝑧 − 𝑖 < 1
𝑧 − 𝑖 < 1
Dimana i karena bilangan komplek maka x=0 , y=1
maka titik pusatnya (0,1)
Sehingga didapatkan persekitaran/lingkungannya
seperti gambar disamping

4. Komplemen

6. TitikDalam(Interior)
.
.
.
.
. .
. .
.
.

7. Titik Luar(Eksterior)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

8. Misalkan 𝐴 ⊆ ℂ dan 𝑧0 ∈ ℂ.Titik 𝑧0 disebut titik batas dari 𝐴 jika
∀ 𝑁∈(𝑧0) berlaku 𝑁∈
∗ 𝑧0 ∩ 𝐴 ≠ ∅ dan 𝑁∈
∗ 𝑧0 ∩ 𝐴𝑐 ≠ ∅ .Disini 𝐴𝑐
menyatakan komplemen dari A, yaitu 𝐴𝑐
= 𝑧 ∈ ℂ 𝑧 ∉ 𝐴} .
Himpunan semua titik batas dari 𝐴 disebut batas dari 𝐴.
TitikBatas

9. Himpunan 𝐴 ⊆ ℂ disebut himpunan terbuka jika 𝐴 = 𝐼𝑛𝑡(𝐴)
HimpunanTerbuka(Open Set)

10. Misalkan 𝑇 himpunan titik-titik 𝑧 sedemikian sehingga 1 ≤ 𝑧 < 3
𝑇𝑐 = |𝑧| ≥ 3 atau 𝑧 < 1
Titik dalam : 1 ≤ 𝑧 < 3
Titik batas : 𝑧 = 1
Titik luar adalah titik-titik yang
berada diluar daerah 1 ≤ 𝑧 < 3
Contoh
3
1
Im
Re

11. Misalnya 𝑆 adalah himpunan semua titik 𝑧 sedemikian sehingga
𝑅𝑒 𝑧 > 1.
𝑅𝑒 𝑧 adalah 𝑥 → 𝑥 > 1
𝑆𝑐 ≡ 𝑥 ≤ 1
Gambar disamping merupakan
himpunan terbuka.
Contoh
Re
Im

12. Himpunan Terbuka
Definisi : Himpunan S dikatakan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.
Contoh :
𝑨 = 𝒛 𝑹𝒆 > 𝟏}
𝑨 = 𝒛 𝒙 > 𝟏}
𝒙 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …

13. Himpunan Tertutup
Definisi : Suatu himpunan R dikatakan himpunan tertutup jika R memuat semua titik limitnya.
Contoh :
𝐴 = 𝑧 1 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 4}
𝐴 = 𝑧 1 ≤ 𝑥 ≤ 4}

14. Perbatasan (Boundary)
Definisi: Boundary merupakan himpunan titik-titik yang bukan anggota interior maupun
eksterior dari A. Boundary dari A ditulis b(A).
Dengan kata lain
𝑏 𝐴 = 𝑖𝑛𝑡 𝐴 ∪ 𝑒𝑘𝑠 𝐴
𝐶
= (𝑖𝑛𝑡 𝐴 )𝐶
∩ 𝑒𝑘𝑠 𝐴
𝐶

15. Contoh :
𝑋 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑑𝑎𝑛 𝜏 = 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒
Misal 𝐴 = {𝑏, 𝑐, 𝑑} maka 𝐼𝑛𝑡 𝐴 = 𝑐, 𝑑
Misal 𝐵 = 𝑎, 𝑐, 𝑑 maka 𝐼𝑛𝑡 𝐵 = 𝑎 ∪ 𝑐, 𝑑 ∪ 𝑎, 𝑐, 𝑑 = 𝑎, 𝑐, 𝑑
𝐴𝐶
= 𝑎, 𝑒 maka 𝐼𝑛𝑡 𝐴𝐶
= 𝐼𝑛𝑡 𝑎, 𝑒 = 𝑎 , sehingga 𝐸𝑘𝑠 𝐴 = 𝑎
𝐵𝐶
= {𝑏, 𝑒} maka 𝐼𝑛𝑡 𝑏, 𝑒 = ∅, sehingga 𝐸𝑘𝑠 𝐵 = ∅
Jadi,
𝑏 𝐴 = 𝑖𝑛𝑡 𝐴
𝐶
∩ 𝐸𝑘𝑠 𝐴
𝐶
= 𝑐, 𝑑 𝐶
∩ 𝑎 𝐶
= 𝑎, 𝑏, 𝑒 ∩ 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = 𝑏, 𝑒
𝑏 𝐵 = (𝑖𝑛𝑡 𝐵 𝐶
∩ 𝐸𝑘𝑠 𝐵
𝐶
= 𝑎 𝐶
∩ ∅ 𝐶
= 𝑏, 𝑐, 𝑑, , 𝑒 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

16. TERIMA KASIH