Identify basic properties of equations
Solve linear equations
Identify identities, conditional equations, and contradictions
Solve for a specific variable (literal equations)
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Solve linear equations
Identify identities, conditional equations, and contradictions
Solve for a specific variable (literal equations)
PROJECT (PPT) ON PAIR OF LINEAR EQUATIONS IN TWO VARIABLES - CLASS 10mayank78610
THIS A PROJECT BEING MADE BY INFORMATION COLLECTED FROM CLASS 10 MATHS NCERT BOOK.
THANK YOU FOR SEEING MY PROJECT ... I THINK THIS MIGHT HELP YOU IN YOUR HOLIDAY HOMEWORK PROJECTS .
Linear Equations Slide Share Version Exploded[1]keithpeter
GCSE Maths algebra linear equations revision, now tested by students and typos eliminated. Simple, two step, x on each side and bracket type equations but all examples have whole number answers.
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Conjuntos y valor absoluto, valor absoluto con desifgualdadesYerelisLiscano
definición de conjuntos, conjuntos reales propiedades de los conjuntos, desigualdades, propiedades de las desigualdades, valor absoluto, propiedades del valor absoluto y valor absolito con desigualdades.
La siguiente presentación ejecutada por mi persona Angeli Dannielys Peña Suárez, estudiante de la Universidad Politécnica Territorial Andes Eloy Blanco te sera de gran ayuda para saber un poco mas acerca de de los conceptos y ejemplos de los conjuntos, pertenencia, agrupación, intersección, operaciones con conjuntos, los números reales y sus conjuntos, desigualdades, valor absoluto, desigualdades con valor absoluto, plano numérico y las cónicas.
Embracing GenAI - A Strategic ImperativePeter Windle
Artificial Intelligence (AI) technologies such as Generative AI, Image Generators and Large Language Models have had a dramatic impact on teaching, learning and assessment over the past 18 months. The most immediate threat AI posed was to Academic Integrity with Higher Education Institutes (HEIs) focusing their efforts on combating the use of GenAI in assessment. Guidelines were developed for staff and students, policies put in place too. Innovative educators have forged paths in the use of Generative AI for teaching, learning and assessments leading to pockets of transformation springing up across HEIs, often with little or no top-down guidance, support or direction.
This Gasta posits a strategic approach to integrating AI into HEIs to prepare staff, students and the curriculum for an evolving world and workplace. We will highlight the advantages of working with these technologies beyond the realm of teaching, learning and assessment by considering prompt engineering skills, industry impact, curriculum changes, and the need for staff upskilling. In contrast, not engaging strategically with Generative AI poses risks, including falling behind peers, missed opportunities and failing to ensure our graduates remain employable. The rapid evolution of AI technologies necessitates a proactive and strategic approach if we are to remain relevant.
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxPavel ( NSTU)
Synthetic fiber production is a fascinating and complex field that blends chemistry, engineering, and environmental science. By understanding these aspects, students can gain a comprehensive view of synthetic fiber production, its impact on society and the environment, and the potential for future innovations. Synthetic fibers play a crucial role in modern society, impacting various aspects of daily life, industry, and the environment. ynthetic fibers are integral to modern life, offering a range of benefits from cost-effectiveness and versatility to innovative applications and performance characteristics. While they pose environmental challenges, ongoing research and development aim to create more sustainable and eco-friendly alternatives. Understanding the importance of synthetic fibers helps in appreciating their role in the economy, industry, and daily life, while also emphasizing the need for sustainable practices and innovation.
The French Revolution, which began in 1789, was a period of radical social and political upheaval in France. It marked the decline of absolute monarchies, the rise of secular and democratic republics, and the eventual rise of Napoleon Bonaparte. This revolutionary period is crucial in understanding the transition from feudalism to modernity in Europe.
For more information, visit-www.vavaclasses.com
June 3, 2024 Anti-Semitism Letter Sent to MIT President Kornbluth and MIT Cor...Levi Shapiro
Letter from the Congress of the United States regarding Anti-Semitism sent June 3rd to MIT President Sally Kornbluth, MIT Corp Chair, Mark Gorenberg
Dear Dr. Kornbluth and Mr. Gorenberg,
The US House of Representatives is deeply concerned by ongoing and pervasive acts of antisemitic
harassment and intimidation at the Massachusetts Institute of Technology (MIT). Failing to act decisively to ensure a safe learning environment for all students would be a grave dereliction of your responsibilities as President of MIT and Chair of the MIT Corporation.
This Congress will not stand idly by and allow an environment hostile to Jewish students to persist. The House believes that your institution is in violation of Title VI of the Civil Rights Act, and the inability or
unwillingness to rectify this violation through action requires accountability.
Postsecondary education is a unique opportunity for students to learn and have their ideas and beliefs challenged. However, universities receiving hundreds of millions of federal funds annually have denied
students that opportunity and have been hijacked to become venues for the promotion of terrorism, antisemitic harassment and intimidation, unlawful encampments, and in some cases, assaults and riots.
The House of Representatives will not countenance the use of federal funds to indoctrinate students into hateful, antisemitic, anti-American supporters of terrorism. Investigations into campus antisemitism by the Committee on Education and the Workforce and the Committee on Ways and Means have been expanded into a Congress-wide probe across all relevant jurisdictions to address this national crisis. The undersigned Committees will conduct oversight into the use of federal funds at MIT and its learning environment under authorities granted to each Committee.
• The Committee on Education and the Workforce has been investigating your institution since December 7, 2023. The Committee has broad jurisdiction over postsecondary education, including its compliance with Title VI of the Civil Rights Act, campus safety concerns over disruptions to the learning environment, and the awarding of federal student aid under the Higher Education Act.
• The Committee on Oversight and Accountability is investigating the sources of funding and other support flowing to groups espousing pro-Hamas propaganda and engaged in antisemitic harassment and intimidation of students. The Committee on Oversight and Accountability is the principal oversight committee of the US House of Representatives and has broad authority to investigate “any matter” at “any time” under House Rule X.
• The Committee on Ways and Means has been investigating several universities since November 15, 2023, when the Committee held a hearing entitled From Ivory Towers to Dark Corners: Investigating the Nexus Between Antisemitism, Tax-Exempt Universities, and Terror Financing. The Committee followed the hearing with letters to those institutions on January 10, 202
Introduction to AI for Nonprofits with Tapp NetworkTechSoup
Dive into the world of AI! Experts Jon Hill and Tareq Monaur will guide you through AI's role in enhancing nonprofit websites and basic marketing strategies, making it easy to understand and apply.
A Strategic Approach: GenAI in EducationPeter Windle
Artificial Intelligence (AI) technologies such as Generative AI, Image Generators and Large Language Models have had a dramatic impact on teaching, learning and assessment over the past 18 months. The most immediate threat AI posed was to Academic Integrity with Higher Education Institutes (HEIs) focusing their efforts on combating the use of GenAI in assessment. Guidelines were developed for staff and students, policies put in place too. Innovative educators have forged paths in the use of Generative AI for teaching, learning and assessments leading to pockets of transformation springing up across HEIs, often with little or no top-down guidance, support or direction.
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Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptxJheel Barad
This presentation provides a briefing on how to upload submissions and documents in Google Classroom. It was prepared as part of an orientation for new Sainik School in-service teacher trainees. As a training officer, my goal is to ensure that you are comfortable and proficient with this essential tool for managing assignments and fostering student engagement.
Read| The latest issue of The Challenger is here! We are thrilled to announce that our school paper has qualified for the NATIONAL SCHOOLS PRESS CONFERENCE (NSPC) 2024. Thank you for your unwavering support and trust. Dive into the stories that made us stand out!
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universitaria, Ciencia y Tecnología
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
“Andrés Eloy Blanco”
Quíbor - Estado Lara
Integrante:
Roximar Pérez
C.I 27.987.385
Prof: Elismar Suárez
Roger Timaure
Sección: AD0401J
Conjuntos Matemáticos, Operaciones con
Conjuntos, Números Reales, Desigualdades,
Valor Absoluto y Desigualdades con Valor
Absoluto
2. Un conjunto es una colección de elementos que tienen una
propiedad común y que se encuentra formado por una cantidad finita
o infinita de los mismos. Asimismo un conjunto es representado por
una letra mayúscula, encerrando sus elementos entre llaves y
separándolos por comas. Por ejemplo, el conjunto A, integrado por
algunos estados de Venezuela, se representaría así: A= {Mérida,
Sucre, Falcón}
Conjuntos
Finitos
Infinitos Unitario Vacío
Heterogéneo
Homogéneo
Equivalentes Iguales
Tipos de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Unión
Se trata del conjunto formado por los elementos que pertenezcan a cualquiera de los
conjuntos que se propongan para dicha unión; donde el resultado de la operación será el
conjunto universal 𝑼, que cumplan la condición de estar en uno o en otro. Por ejemplo: M 𝑼
N₌ {a, c, b, g, e}.
3. Intersección
Permite hallar los elementos que tienen en común los conjuntos dados; se denota como ∩
, para determinar que elementos pertenecen a este conjunto, se deben establecer todos los
elementos del conjunto 𝑼, obteniendo por ejemplo M ∩ N₌ {b}.
Diferencia
Se deben señalar los elementos de un conjunto que no estén en el otro; por ejemplo si se
lleva a cabo la operación M menos N, se deben seleccionar los elementos de M que no
están en N, representando dicha operación de la siguiente manera M N₌ {a,c}.
Diferencia Simétrica
Representa el conjunto de los elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos
conjuntos dados y se representa a través del símbolo ∆, por ejemplo M ∆ N ₌ {a,c,g,e}.
Complemento
Si un conjunto U contiene uno de nombre M, entonces el complemento de este último
será aquel que contenga los elementos que no pertenecen a M. Asimismo comúnmente se
utilizan los símbolos Mᶜ,M
̅ o M ̕ para representar este complemento, por ejemplo Mᶜ₌ {j, f,
g, e, i, h}.
Ejercicios Resueltos
• Resuelve las siguientes operaciones con conjuntos:
Sean S₌ {a,b,c,d} y T₌ {f,b,d,g} cual es el conjunto 𝑼?
S 𝑼 T ₌ {a,b,c,d,f,g}
4. Sean V₌ {2,4,6…} es decir los múltiplos
de 2; y sea W₌ {3,6,9…} en este caso los
múltiplos de 3, determina cual es el
conjunto V ∩ W.
V ∩ W₌ {6,12,18…}
Suponiendo que el conjunto universal U sea el
alfabeto, dado T₌ {a,b,c}, cual es el
complemento?
T ̕ ₌ {d, e, f, g, h…}
Números Reales
El conjunto de los números reales se encuentra denotado por 𝐑 y
esta formado por la unión del conjunto de los números racionales 𝐐;
y el conjunto de los números irracionales 𝐈. Igualmente un numero
real se puede representar mediante una expresión decimal, explicada
a continuación:
Reales
Expresiones decimales
limitadas
Expresiones decimales
ilimitadas
Periódicas
Mixtas
Puras
No periódicas
Los números
racionales son
todas las
fracciones 𝑎
𝑏
Los números
irracionales son
números reales que
no se pueden
expresar como
fracción.
5. Adición en 𝐑
• Si son dos números racionales: Si los sumandos tienen una gran cantidad de cifras decimales se
aproximan, se alinean las cifras por la coma y luego se halla la suma de las cifras de derecha a
izquierda.
• Si son un numero racional y uno irracional: Se debe aproximar el irracional a cierta cantidad de
cifras decimales. Si el racional también tiene una gran cantidad de cifras decimales, también se
aproxima. Luego se alinean los números por la coma y se efectúa la adición de derecha a
izquierda.
• Si son dos números irracionales: Se aproximan las cifras decimales a cierto orden, se alinean y
se realiza la adición de derecha a izquierda.
Conmutativa: a+b ₌ b+a para
todo a, b ∈ 𝐑.
Asociativa: (a+b)+c ₌ a+(b+c)
para todo a, b y c ∈ 𝐑.
Elemento Neutro: a+0 ₌ a y
0+a ₌ a para todo a ∈ 𝐑.
Elemento Opuesto: a+(-a) ₌ 0
para todo a ∈ 𝐑.
Propiedades de la Adición
Sustracción en 𝐑
Para restar dos números reales con expresión decimal
limitada, se procede alineando los números por la coma
decimal y restando las cifras de derecha a izquierda. Por su
parte si las expresiones decimales de los sumandos son
ilimitadas, se trabaja con aproximaciones del mismo modo
que se hizo para la adición.
Multiplicación en 𝐑
La multiplicación es una operación en la que a cada par de
números reales a y b, llamados factores, le corresponde otro
numero real llamado producto de a y b, que se denota como a ∙
b. La multiplicación en 𝐑 cumple las mismas propiedades que la
multiplicación en 𝐐.
6. Conmutativa:
a∙b ₌ b∙a para
todo a y b ∈ 𝐑.
Asociativa:
(a∙b)∙c ₌ a∙(b∙c)
para todo a, b
y c ∈ 𝐑.
Elemento
Neutro: a∙1 ₌ a
para todo a ∈
𝐑.
Elemento
Inverso: 𝑎 ∙
𝑎−1
₌ a∙
1
𝑎
₌
𝑎
𝑎
₌1
para todo a 𝐑∗
Distributiva:
a∙(b+c)₌a∙b+a∙c
para todo a, b y
c ∈ 𝐑.
Propiedades de la multiplicación en 𝐑
División en 𝐑
La división en el conjunto 𝐑 extiende la división ya conocida en el conjunto 𝐐 de los
números racionales. En este sentido para dividir dos números reales con expresión decimal
limitada, se procede de la manera ya conocida. Si la expresión decimal del dividendo, la
del divisor o ambas son ilimitadas, entonces se utilizan aproximaciones.
Ejercicios Resueltos
• Efectúa la adición y sustracción:
2 + 3,4563876 ≈ 1,414
2 ≈ 1,4142135 ≈1,414 +3,456
3,4563876 ≈3,456 4,870
2+3,4563876 ≈ 4,870
3
2
− 2 ≈ 1,5
2 ≈ 1,414 ≈ 1,4 +1,4
3
2
≈ 1,5 0,1
3
2
− 2 ≈ 0,1
8. Ejercicios Resueltos
• Resuelve 4-3(x-2)≥ 2(x+3)
4-3(x-2) ≥ 2(x+3)
4-3x+6 ≥ 2x+6
-3x+10 ≥ 2x+6
10-6 ≥ 2x+3x
4 ≥ 5x
4
5
≥ x
Se resuelven primero los
paréntesis y luego se
agrupan los términos en x de
un lado y luego
las constantes del otro lado.
• Resuelve la desigualdad
1
2
(1-2x)-3 ≤ 2-x
1
2
(1-2x)-3 ≤ 2-x
2
1
2
1 − 2𝑥 − 3 ≤ 2 2 − 𝑥
(1-2x)-6 ≤ 4-2x
-5 ≤ 4
Se recomienda en caso de
desigualdades con fracciones.
Multiplicar por el m.c.m. de los
denominadores ambos lados de la
desigualdad a fin de evitar trabajar con
fracciones. En este caso el
m.c.m. de los denominadores es 2.
• Resuelve la desigualdad
2+x < 9x+6
2+x < 9x+6
2-2+x < 9x+6-2
x< 9x+4
X-9x < 9x-9x+4
-8x < 4
−1
8
(-8x) <
−1
8
(4)
x<
−4
8
Se resta -2 a ambos lados
de la desigualdad.
Luego se resta 9x a ambos
miembros.
Luego se multiplican
ambos miembros por
−1
8
.
Desigualdades
Lineales:
Ellas son las que se
pueden escribir en la
forma ax + b > 0 , (≥)
donde a y b son
constantes, (a ≠ 0).
Desigualdades Dobles:
Tienen la forma a < cx + d
< b, donde se pueden
resolver ambas
desigualdades y luego
determinar la parte común
de ambos conjuntos
solución.
Desigualdades
Cuadráticas:
Se llama cuadrática
cuando la podemos
escribir en la forma
ax2 + bx + c > 0 ( ≥ 0 ), en
donde a,b y c son
constantes con a ≠ 0.
9. Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o
bien menor o igual. Igualmente existen dos clases de desigualdades, las absolutas y las
condicionales. La desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se
atribuya a las literales que figuran en ella. Por su parte la desigualdad condicional es aquella
que sólo se verifica para ciertos valores de las literales.
Signos de
Desigualdad:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Si los miembros de la expresión son multiplicados por
el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad.
Si los miembros de la expresión son divididos por el
mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad.
Si los miembros de la expresión son sumados o restados
por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad.
Si los miembros de la expresión son multiplicados por
un valor negativo, sí cambia de sentido.
Si los miembros de la expresión son divididos por un
valor negativo, sí cambia de sentido.
Propiedades
10. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número representa la distancia
del punto a al origen. Como por ejemplo la distancia del 3
al origen es 3 unidades, es decir, −3 = 3. Si a es positivo,
es decir está a la derecha del cero, entonces 𝑎 = a y si está
a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces
el valor absoluto le cambia el signo, esto es 𝑎 = −a .
1. 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
2.
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
con b ≠ 0
3. 𝑥 = 𝑥²
4. 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
Propiedades del Valor
Absoluto
Ejercicios Resueltos
• Resuelve los siguientes ejercicios:
−
1
2
= − −
1
2
=
1
2
𝜋 − 6 = − 𝜋 − 6 = −𝜋 + 6
5 2 − 4 + 7 = 5 −2 + 7 = −10 + 7 = −3 = 3
−6 ² = (6)² = 36
11. Desigualdades con Valor Absoluto
Esta interpretación geométrica del valor absoluto puede ayudar a conseguir un método para
resolver ecuaciones en valor absoluto.
1. 𝑥 > 𝑎 solo si 𝑥 < −𝑎 o 𝑥 > 𝑎 2. 𝑥 < 𝑎 solo si −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
Estas equivalencias entre desigualdades permitirán resolver desigualdades en valores
absolutos al convertirlas en desigualdades sin valor absoluto.
Por ejemplo la expresión 𝑥 < 2 se puede
interpretar como los x cuya distancia al origen
es menor que 2, estos x son todos los números
que están entre -2 y 2. Así la desigualdad
𝑥 < 2 es equivalente a −2 < 𝑥 < 2
Por ejemplo la expresión 𝑥 > 2 se puede
interpretar como los x cuya distancia al origen
es mayor que 2, estos x son todos los números
mayores que 2 y los menores que -2. Así la
desigualdad 𝑥 > 2 es equivalente a 𝑥 < −2 o
𝑥 > 2
Ejercicios Resueltos
• Convierte las siguientes desigualdades en otra proposición equivalente sin valor
absoluto:
2𝑥 − 1 > 1
2𝑥 − 1 > 1 es equivalente a 2𝑥 − 1 > 1
2 − 5𝑥 ≤ 3
2 − 5𝑥 ≤ 3 es equivalente a −3 ≤ 2 − 5𝑥 ≤ 3
2𝑥 − 1 ≤ 3 es equivalente a −3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 3