Teks tersebut membahas dua metode inferensi dalam menaksir parameter populasi, yaitu metode klasik dan metode Bayes. Metode klasik didasarkan pada informasi sampel acak sedangkan metode Bayes menggunakan pengetahuan subjektif dan informasi data sampel. Kemudian membahas penaksiran titik, selang kepercayaan, sifat-sifat penaksir yang baik, dan cara menaksir perbedaan rataan dua populasi.

1. Teori Penaksiran
Oleh :
Dewi Rachmatin

2. Pendahuluan
 Ada 2 metode inferensi : metode
klasik dan metode Bayes dalam
menaksir parameter populasi
 Dalam metode klasik inferensi
didasarkan pada informasi yang
diperoleh melalui sampel acak
 Dalam metode Bayes, inferensi
menggunakan pengetahuan subjektif
terdahulu mengenai distribusi
peluang parameter yang tak
diketahui bersama dengan informasi
yang diberikan oleh data sampel

3. Metode Penaksiran Klasik
 Inferensi terbagi menjadi penaksiran
dan pengujian hipotesis
 Penaksir (taksiran) suatu parameter
dapat berupa taksiran titik atau
taksiran selang
 Statistik yang digunakan untuk
mendapatkan taksiran titik disebut
penaksir atau fungsi keputusan. Jadi
fungsi keputusan S adalah penaksir
σ dan taksiran s adalah ‘tindakan’
yang diambil

4.  Himpunan semua tindakan yang
mungkin yang dapat dilaksanakan
dalam masalah penaksiran disebut
ruang keputusan
 Tidak dapat diharapkan suatu
penaksir akan menaksir parameter
populasi tanpa kesalahan. Tidak
beralasan mengharapkan akan
menaksir µ dengan tepat, tapi
tentunya diharapkan tidak terlalu
jauh menyimpang
X

5. Sifat-sifat Penaksir yang Baik
 Penaksir Takbias
(Unbiased Estimator)
Statistik dikatakan penaksir takbias
parameter θ bila E[ ]= θ
Contoh : penaksir takbias untuk µ
karena E[ ] = µ , dan
penaksir takbias untuk σ2
θˆ
θˆ
X
X
 
1
1
2
2




n
XX
S
n
i
i

6.  Penaksir paling efisien
penaksir yang memberikan variansi
terkecil dari semua penaksir θ yang
mungkin dibuat
 Penaksir konsisten
 Penaksir yang takbias dan
variansinya minimum adalah
penaksir yang terbaik
  1ˆlim:berlaku0 

 P
n

7. Selang Kepercayaan
(Taksiran Selang)
 Selang kepercayaan untuk θ
adalah selang yang berbentuk
dimana dan nilainya
tergantung pada nilai
 Daripada mengatakan bahwa
tepat sama dengan µ akan lebih
meyakinkan bila mengatakan
21 θˆθθˆ  1θˆ 2θˆ
θˆ
x
kxkx  μ

8.  Jika ukuran sampel membesar maka
mengecil sehingga kemungkinan
besar taksiran bertambah dekat dengan µ,
yang berarti selang lebih pendek. Jadi
taksiran selang menunjukkan, berdasarkan
panjangnya, ketepatan titik
 Makin besar nilai k yang dipilih, makin
panjang selangnya dan makin yakin bahwa
sampel yang diambil akan memberikan
selang parameter yang tak diketahui
n
σ
σ
2
2
X


9. Menaksir rataan (mean)
 σ diketahui , untuk n yang cukup
besar :
 
 
α1z
nσ/
μX
z-P
α1zZz-PKarena
0,1N~
nσ/
μX
Z:akibatnya
n
σ
μ,N~X:PusatLimitDalil
α/2α/2
α/2α/2
2



















10.  Contoh :
Rataan dan simpangan baku nilai ujian
matematika sampel acak 36 mahasiswa
2,6 dan 0,3. Hitung selang kepercayaan
95% dan 99% untuk rataan nilai
matematika semua mahasiswa.
n
σ
.zμ
n
σ
.z:μuntuk
α)100%(1nkepercayaaselangSehingga
α1
n
σ
.zXμ
n
σ
.zXP
α/2α/2
α/2α/2









xx

11.  Jawab : diketahui =2,6
Karena ukuran sampel cukup besar maka
simpangan baku populasi dapat dihampiri
oleh s=0,3. Nilai z yang luas di sebelah
kanannya 0,025 adalah z0,025 = 1,96.
Jadi selang kepercayaannya 95% :
atau 2,50 < µ <2,70. Untuk 99% :
atau 2,47 < µ < 2,73.
x













36
3,0
)575,2(6,2μ
36
3,0
)575,2(6,2













36
3,0
)96,1(6,2μ
36
3,0
)96,1(6,2

12.  Untuk menaksir µ dengan derajat
ketepatan yang lebih tinggi diperlukan
selang yang lebih besar.
 Selang kepercayaan (1- α)100%
memberikan taksiran ketepatan taksiran
titik kita.
 Bila µ sesungguhnya merupakan titik pusat
selang, maka menaksir µ tanpa galat.
Tetapi umumnya sampel tidak
menghasilkan tepat sama dengan µ
sehingga taksiran titik umumnya akan
meleset (mengandung galat).
x
x

13.  σ tak diketahui, populasi normal dan n<30
p=α/2 dan dk = n-1
 Jika n relatif besar dibanding N yakni
(n/N)>5% dan n>30, gunakan :
1
.
n
.zμ
1
.
n
.z /2/2






N
nN
x
N
nN
x


n
s
.tμ
n
s
.t pp  xx

14.  Contoh :
Tujuh botol yang mirip masing-
masing berisi asam sulfat 9,8 ; 10,2;
10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 liter.
Carilah selang kepercayaan 95%
untuk rataan isi botol semacam itu
bila distribusinya dianggap hampir
normal.

15. Teorema
 Bila dipakai untuk menaksir µ, maka
dapat dipercaya (1-α)100% bahwa
galatnya akan lebih dari suatu bilangan g
yang ditetapkan sebelumnya asal ukuran
sampel :
 Contoh : Berapa besar sampel yang
diperlukan pada contoh sebelumnya bila
ingin percaya 95% bahwa taksiran untuk
µ meleset kurang dari 0,05 ? n=138,3
x
2
2/ .







g
z
n


16. Menaksir Selisih Dua Rataan
 Bila ada dua populasi masing-masing
dengan rataan µ1 dan µ2 dan variansi
dan , maka penaksir titik untuk
selisih rataan untuk selisih µ1 dan µ2 :
ukuran sampel : n1 dan n2.
2
2σ2
1σ
21 XX 
 
   
   
    α1
n
σ
n
σ
zXXμμ
n
σ
n
σ
zXX
α1z
/nσ/nσ
μμXX
zP
α1zZzP
2
2
2
1
2
1
α/22121
2
2
2
1
2
1
α/221
α/2
2
2
21
2
1
2121
α/2
α/2α/2
























P

17.  Contoh :
Suatu ujian kimia yang telah dibakukan
diberikan pada 50 siswa wanita dan 76
siswa pria. Nilai rata-rata wanita 76 dan
simpangan baku 6, sedangkan rata-rata
pria 82 dan simpangan baku 8. Carilah
selang kepercayaan 96% untuk selisih ,
bila menyatakan rataan nilai semua siswa
pria dan rataan nilai semua siswa wanita
yang mungkin akan mengikuti ujian.









2
2
2
1
2
1
2/21
2
2
2
1
2
1
2/21 )(,)(
nn
zxx
nn
zxx



18. Selisih Dua Rataan
 Selang kepercayaan sampel kecil
untuk µ1-µ2 ; = tapi tidak
diketahui, selang kepercayaan
(1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan :
ukuran sampel masing-masing n1
dan n2 berasal dari distribusi normal,
dk= n1+n2-2 ;
2
1σ 2
2σ







21
2/21
21
2/21
11
..)(,
11
..)(
nn
stxx
nn
stxx pp 
   
2
11
21
2
22
2
112



nn
snsn
sp

19.  Contoh : Dalam sekelompok proses kimia,
pengaruh dua katalisator ingin
dibandingkan dengan hasilnya pada
proses reaksi. Katalisator 1 digunakan
pada suatu sampel dengan 12 angkatan
dan katalisator 2 digunakan pada sampel
dengan 10 angkatan. Ke 12 angkatan yang
menggunakan katalisator 1 memberikan
rata-rata sampel 85 dengan simpangan
baku sampel 4, yang kedua rata-rata
sampel 81 dan simpangan baku sampel 5.
Carilah selang kepercayaan 90% untuk
selisih kedua rataan populasi bila dianggap
kedua populasi berdistribusi hampir normal
dengan variansi yang sama.

20. Selisih Dua Rataan
 Selang kepercayaan sampel kecil
untuk µ1-µ2 ; ≠ tapi tidak
diketahui, selang kepercayaan
(1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan :
ukuran sampel masing-masing n1
dan n2 berasal dari distribusi
normal, dk=
2
1σ 2
2σ
   









2
2
2
1
2
1
2/21
2
2
2
1
2
1
2/21 ,
n
s
n
s
txx
n
s
n
s
txx 
 
    )1/()/()1/()/(
)/()/(
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1



nnsnns
nsns


21.  Contoh : Catatan selama 15 tahun terakhir
menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan
di suatu kabupaten selama bulan Mei 4,93
cm dengan simpangan baku 1,14 cm. Di
kabupaten lain rata-rata curah hujan
selama bulan Mei 2,64 cm dengan
simpangan baku 0,66 cm selama 10 tahun
terakhir. Carilah selang kepercayaan 95%
untuk selisih rata-rata sesungguhnya curah
hujan di kedua kabupaten; anggap bahwa
pengamatan berasal dari populasi normal
dengan variansi yang berbeda.

22.  Selang kepercayaan untuk µ1-µ2=µD
untuk pengamatan pasangan.
Selang kepercayaan (1-α)100%
untuk µD diberikan oleh :
dengan dan sd menyatakan rataan
dan simpangan baku selisih n
pasangan pengukuran dan
menyatakan nilai distribusi t dengan
dk : ν =n-1 sehingga luas di sebelah
kanannya α/2.
d
2/t
n
s
td
n
s
td d
D
d
2/2/   
1~
/


 n
d
D
t
nS
D
T


23. Menaksir Proporsi
 Penaksir titik untuk proporsi p dalam
suatu percobaan binomial diberikan oleh
 Jadi akan digunakan sebagai
taksiran titik untuk parameter p
 Proporsi p yang tak diketahui diharapkan
tidak akan terlalu dekat dengan 0 atau 1,
maka selang kepercayaan untuk p dapat
dicari dengan distribusi sampel , yang
sama saja dengan distribusi p.a. X
 Distribusi hampir normal dengan
rataan
n
X
P ˆ
Pˆ
n
x
p ˆ
Pˆ
  p
n
np
n
X
EPEP




 ˆˆ

24. dengan variansi :
 P(-zα/2< Z < zα/2) = 1 - α dengan
n
pp
n
pnp
n
X
P
)1()1(
22
2
2
ˆ






npp
pP
Z
/)]1.([
ˆ



 






 


 1
)1(ˆ)1(ˆ
2/2/
n
pp
zPp
n
pp
zPP

25.  Selang kepercayaan untuk p, n 30 :
: proporsi sukses dalam sampel acak
berukuran n, dan menyatakan nilai
kurva normal baku sehingga luas di
sebelah kanannya α/2.
 Contoh : Pada suatu sampel acak n=500
keluarga yang memiliki pesawat televisi di
kota Hamilton Kanada, ditemukan bahwa x
= 340 memiliki TV berwarna. Carilah
selang kepercayaan 95% untuk proporsi
sesungguhnya dari keluarga yang memiliki
TV berwarna di kota tsb?
n
pp
zpp
n
pp
zp
)1(
ˆ
)1(
ˆ 2/2/



 
2/z

pˆ

26.  Jika dipakai sebagai taksiran p ,
maka galatnya akan lebih kecil dari :
dengan kepercayaan (1-α)100%.
 Akibatnya galat akan lebih kecil dari
g jika
pˆ
n
pp
z
)1(
2/


2
2
2/ )ˆ1(ˆ
g
ppz
n

 

27. Menaksir Selisih Dua Proporsi
 Selang kepercayaan untuk p1-p2 ;
n1 dan n2 30. Selang
kepercayaan (1-α)100% untuk
selisih dua parameter binomial
p1-p2 diberikan

 
 
2
22
1
11
2/21
21
2
22
1
11
2/21
ˆˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆ
n
qp
n
qp
zpp
pp
n
qp
n
qp
zpp





28.  Contoh :
Suatu perubahan dalam cara pembuatan
suku cadang sedang direncanakan.
Sampel diambil dari cara lama maupun
yang baru untuk melihat apakah cara baru
tsb memberi perbaikan. Bila 75 dari 1500
suku cadang yang berasal dari cara lama
ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang
berasal dari cara baru ternyata cacat,
carilah selang kepercayaan 90% untuk
selisih sesungguhnya proporsi yang cacat
dalam kedua cara.

29. Menaksir Variansi
 Taksiran selang untuk dapat
diturunkan dengan statistik
 Selang kepercayaan (1-α)100%
untuk suatu populasi normal
2

  2
12
2
1


 n
2
~
Sn
X 

     12
2/
2
2/1
2
XP
2

2
2/1
2
2
2
2/
2
)1()1(
 

 


 snsn

30.  Contoh :
Data berikut menyatakan berat
dalam gram dari 10 bungkus bibit
sejenis tanaman yang dipasarkan
oleh suatu perusahaan :
46,4;46,1;45,8;47,0;46,1;45,9;
45,8;46,9;45,2 dan 46,0. Tentukan
selang kepercayaan 95% untuk
varians semua bungkusan bibit yang
dipasarkan perusahaan tersebut.

31. Menaksir Nisbah Dua Variansi
 Bila dan variansi dua populasi
normal, maka taksiran selang untuk
/ dapat diperoleh dengan
memakai statistik :
 Peubah acak F mempunyai
distribusi F dengan dk : ν1=n1-1 dan
ν2=n2-1. Jadi
2
1 2
2
2
1 2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
S
S
F



     1),(),( 212/212/1 fFfP

32.  Selang kepercayaan (1-α)100% untuk
dengan ν1=n1-1 ν2=n2-1.
 Contoh : Suatu ujian masuk yang telah
dibakukan dalam matematika diberikan
kepada 25 siswa pria dan 16 wanita. Siswa
pria mendapat nilai rata-rata 82 dengan
simpangan baku 8,
2
2
2
1 /
),(
),(
1
122/2
2
2
1
2
2
2
1
212/
2
2
2
1






f
s
s
fs
s


33. sementara wanita mendapat nilai
rata-rata 78 dengan simpangan baku
7. Hitung selang kepercayaan 98%
untuk
dan bila dan
masing-masing menyatakan varians
populasi nilai pria dan wanita yang
telah/akan mengikuti ujian.
Pengujian Hipotesis
2
2
2
1 / 21 / 2
22
1