Statistika inferensial 1

Bahan ajar Statistika Inferensial

BAHAN AJAR

STATISTIKA INFERENSIAL
KODE MATA KULIAH
MAT 201

ROMBEL 410140-03
410140-04
410140-05
410140-06
410140-07

Semester Gasal 2011/2012

Disusun Oleh
Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.

Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Semarang
2011

Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 0
2011


DAFTAR ISI

BAB I PENAKSIRAN PARAMETER
1. Pengertian Penaksiran
2. Menaksir Rata-rata µ
3. Menaksir Proporsi π
4. Menaksir Simpangan Baku σ
5. Menaksir Selisih Rata-Rata
6. Menaksir Selisih Proporsi

BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Pendahuluan
2. Dua Macam Kekeliruan
3. Langkah Pengujian Hipotesis
4. Uji Hipotesis Rata-Rata
5. Uji Hipotesis Proporsi
6. Uji Hipotesis Varians
7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata
8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi
9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians
10. Uji Homogenitas Varians Populasi

BAB III ANALISIS VARIANS

BAB IV ANALISIS REGRESI

BAB V ANALISIS KORELASI

2011


BAB I
PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran
Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi.
Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara
sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk
menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian
berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai
populasi dibuat.
Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi
dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilai-
nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai statistik
dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.
Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan cara-
cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak
diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang
diambil dari populasi yang bersangkutan.
Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata,
simpangan baku dan proporsi.

Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ (baca: theta). Jadi θ
bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya.

Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θ (baca: theta topi), maka
ˆ

θˆ dinamakan penaksir.

Sangat diharapkan θ = θ , yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ
ˆ

yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal.
Kenyataan yang sering terjadi adalah:
a. menaksir θ oleh θ terlalu tinggi, atau
ˆ

2011


b. menaksir θ oleh θ terlalu rendah.
ˆ

Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians
minimum dan konsisten.
a. penaksir θ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θ yang
ˆ ˆ

()
mungkin akan sama dengan θ , ditulis E θ = θ . Penaksir yang tidak
ˆ

takbias disebut penaksir bias.
b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil
diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika θ1 dan θ 2 dua
ˆ ˆ

penaksir untuk θ , jika varians θ1 < varians θ 2 , maka θ1 merupakan
ˆ ˆ ˆ

penaksir bervarians minimum.
c. Misalkan θ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel
ˆ

acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran
populasi menyebabkan θ mendekati θ , maka θ disebut penaksir
ˆ ˆ

konsisten.
d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir
terbaik.

Jika harga parameter θ ditaksir oleh θ tertentu, maka θ dinamakan penaksir
ˆ ˆ

atau tepatnya titik taksiran (estimasi titik).

Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes.
Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu
dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x = 160 cm. Jika 160 cm ini
digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika
Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa
matematika Unnes.
Secara umum x adalah penaksir atau titik taksiran untuk µ .

2011


Titik taksiran untuk suatu parameter µ , harganya akan berlainan tergantung
pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya
kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval
taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas
dua harga.
Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat
kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut
koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ (baca: gamma), maka
0 < γ < 1 . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi
dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang
biasa digunakan adalah γ = 0,95 atau γ = 0,99 .

Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien
kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang
diperlukan.
Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah:
(I.1) P( A < θ < B ) = γ
Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi
tidak tergantung pada θ .

Bentuk (I.1) dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak
antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel,
maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas
menjadi: kita merasa 100 γ % percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam
interval (A, B).

2011


2. Menaksir Rata-rata µ
Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan
baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ . Untuk itu
ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu
x dan s . Titik taksiran untuk rata-rata µ adalah x . Dengan kata lain,
nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.
Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan
interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang
dikehendaki.

a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal
Rumus (I.1) menjadi:
⎛ σ σ ⎞
(I.2) P⎜ x − z 1 γ .
⎜ < µ < x + z1 γ . ⎟=γ
⎟
⎝ 2 n 2 n⎠
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan z 1 γ = bilangan z dari tabel normal
2

baku untuk peluang 1 γ .
2
Untuk memperoleh 100 γ % interval kepercayaan parameter µ dapat
digunakan rumus:
σ σ
(I.3) x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n 2 n

b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal
Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus (I.2) diganti
⎛ s s ⎞
(I.4) P⎜ x − t p .
⎜ < µ < x + tp . ⎟=γ
⎟
⎝ n n⎠
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan t p = nilai t dari daftar distribusi

Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan dk = (n-1).
2

2011


Untuk interval kepercayaannya:
s s
(I.5) x − tp . < µ < x + tp .
n n
s s
Bilangan x − t p . dan x + t p . masing-masing merupakan batas bawah
n n
dan batas atas kepercayaan.

Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N
n
yakni > 5 % , maka rumus (I..3) dan rumus (I.5) menjadi:
N
σ N −n σ N −n
(I.6) x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n N −1 2 n N −1

s N −n s N −n
(I.7) x −tp . < µ < x + tp .
n N −1 n N −1

c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi
normal
Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit
pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian (b) di atas dapat
digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil.
Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel
kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi
asli dari populasi yang bersangkutan.
Hal ini tidak dibicarakan di sini.

Contoh
Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku
5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:
a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30
b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80
dengan menggunakan kepercayaan 95% .

2011


Penyelesaian
Diketahui x = 68,6
σ = 5,75
γ = 95% = 0,95
1
γ = 0,475 z 0, 475 = 1,96
2
n 30
a. Sampel n = 30 = ≤ 5%
N 1000
σ σ
x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n 2 n

68,6 − (1,96 ). < µ < 68,6 + (1,96 ).
5,75 5,75
30 30
66,54 < µ < 70,66
Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
66,54 < µ < 70,66 .
Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66.
n 80
b. Sampel n = 80 = ≥ 5%
N 1000
σ N −n σ N −n
x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n N −1 2 n N −1

5,75 1000 − 80 5,75 1000 − 80
68,6 − (1,96 ). < µ < 68,6 + (1,96 ). .
30 1000 − 1 30 1000 − 1
68,6 − a < µ < 68,6 + a
Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
68,6 − a < µ < 68,6 + a .
Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas 68,6 − a dan 68,6 + a .

2011


3. Menaksir Proporsi
Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial
berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam
populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk

peristiwa A = x . Jadi titik taksiran untuk π adalah x .
n n
Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran
sampel n cukup besar.

Rumus 100 γ % keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah

pq pq
(I.8) p − z1 γ . < π < p + z1 γ .
2 n 2 n

dengan p = x dan q = 1 − p sedangkan z 1 γ
adalah bilangan z yang
n 2

diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang 1 γ .
2

Contoh
Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan
mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60
orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan
berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut.
Penyelesaian
Diketahui γ = 95% = 0,95
1
γ = 0,475 z 0, 475 = 1,96
2
60
p= = 0,6 q = 0,4
100
Interval kepercayaan π adalah

pq pq
p − z1 γ . < π < p + z1 γ .
2 n 2 n

2011


0,6 − (1,96 ).
(0,6)(0,4) < π < 0,6 + (1,96). (0,6)(0,4)
100 100
0,504 < π < 0,696
50,4 % < π < 69,6 %
Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan
berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval
dengan batas 50,4 % dan 69,6 %.

4. Menaksir Simpangan Baku σ
Untuk menaksir varians σ 2 dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel
varians s 2 berdasarkan sampel acak berukuran n.

∑ (x − x)
2

s2 =
i
(I.9)
n −1
Varians s 2 adalah penaksir takbias untuk varians σ 2 , tetapi simpangan baku
s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ . Jadi titik taksiran s
untuk σ adalah bias.

Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians σ 2 , maka 100 γ %

interval kepercayaan untuk σ 2 ditentukan dengan menggunakan distribusi
chi-kuadrat.

(I.10)
(n − 1)s 2 <σ2 <
(n − 1)s 2
χ1
2
(1+γ )
χ1
2
(1−γ )
2 2

dengan n ukuran sampel sedangkan χ 1
2
(1+γ )
dan χ 1
2
(1−γ )
diperoleh dari daftar
2 2

chi-kuadrat berturut-turut untuk p = 1 (1 + γ ) dan p = 1 (1 − γ ) dengan
2 2
dk = (n − 1) .
Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan
akar ketidaksamaan dalam rumus (I.10).

2011


Contoh
Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif
dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan
koefisien kepercayaan 99%, taksirlah interval dari simpangan baku populasi.
Penyelesaian
Diketahui n = 31
s=6
γ = 99 % = 0,99
χ1
2
(1+γ ),dk
= χ1
2
(1+ 0, 99 ),(31−1)
= χ (20,995 ),(30 ) = 53,7
2 2

χ1
2
(1−γ ),dk
= χ1
2
(1−0, 99 ),(31−1)
= χ (20,005 ),(30 ) = 13,8
2 2

Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah
(n − 1)s 2 < σ 2 < (n − 1)s 2
χ1 2
(1+γ )
2
χ1 (1−γ )
2 2

(31 − 1)(6)2 <σ2 <
(31 − 1)(6)2
53,7 13,8

(31 − 1)(6)2 <σ <
(31 − 1)(6)2
53,7 13,8
4,4846 < σ < 8,8465
Jadi, kita merasa 99% yakin (percaya) bahwa simpangan baku populasi tersebut
akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.

5. Menaksir Selisih Rata-Rata
Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ1 dan σ 1 untuk populasi
pertama, µ 2 dan σ 2 untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah
sampel acak dengan ukuran n1 dan n2 dari masing-masing populasi. Rata-rata
dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x1 , s1 dan x 2 , s 2 .

2011


Akan ditaksir selisih rata-rata ( µ1 − µ 2 ) .
Titik taksiran untuk adalah ( µ1 − µ 2 ) adalah ( x1 − x2 ) .
Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:

a. Dalam hal σ 1 = σ 2
Jika kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ yang besarnya
diketahui, maka 100 γ % interval kepercayaan untuk ( µ1 − µ 2 ) adalah

1 1 1 1
(I.11) ( x1 − x2 ) − z 1 γ σ + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + z 1 γ σ +
2 n1 n2 2 n1 n2

dengan z 1 γ
2 2

Jika kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ tetapi besarnya tidak
diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan
dengan s 2 .

(I.12) s2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s2 2
n1 + n2 − 2
Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student.
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan ( µ1 − µ 2 ) adalah

1 1 1 1
(I.13) ( x1 − x2 ) − t p .s + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + t p .s +
n1 n2 n1 n2

dengan s diperoleh dari rumus (I.12) dan t p diperoleh dari daftar distribusi

Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan dk = n1 + n2 − 2 .
2

b. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2
Untuk populasi normal dengan σ 1 ≠ σ 2 teori di atas tidak berlaku dan teori
yang ada hanya bersifat pendekatan.

2011


Dengan memisalkan s1 = σ 1 dan s 2 = σ 2 untuk sampel-sampel acak
berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal.
Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:

s12 s 2
2
s12 s 2
2
(I.14) ( x1 − x 2 ) − z 1 γ
+ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + z 1 γ +
2 n1 n2 2 n1 n2

dengan z 1 γ
2 2

c. Observasi berpasangan
Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua
dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing µ x dan µ y . Diambil

sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama, n1 = n2 = n .
Diperoleh data sampel (x1 , x2 ,K, xn ) dan ( y1 , y 2 ,K, y n ) , dan bila data

observasi ini berpasangan maka
x1 berpasangan dengan y1
x2 berpasangan dengan y 2
M
xn berpasangan dengan y n

Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata
µ B = µ x − µ y , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu

B1 = x1 − y1 , B2 = x 2 − y 2 ,…, Bn = xn − y n .

Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari B1 , B2 ,…, Bn , dihitung

rata-rata B dan simpangan baku s B dengan menggunakan

∑B n∑ B12 − (∑ Bi )
2

B= dan s B =
i

n n(n − 1)
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan µ B adalah
sB sB
(I.15) B − tp. < µB < B + t p .
n n

2011


dengan t p diperoleh dari daftar distribusi Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan
2
dk = (n − 1) .
Contoh (Sudjana)
Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I
dilakukan 50 kali yang menghasilkan x 1 = 60,2 dan s12 = 24,7. Cara II dilakukan
2
60 kali dengan x 2 = 70,4 dan s2 = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95%
mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x 1 = 60,2 ; s12 = 24,7
2
x 2 = 70,4 ; s2 = 37,2
Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.

p = 1 (1 + γ ) = 1 (1 + 0,95) = 0,975 ; dk = 50 + 60 − 2 = 108
2 2
Karena kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ tetapi besarnya tidak
diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah

s2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s2 2 = (50 − 1)(24,7 ) + (60 − 1)(37,2) = 31,53
n1 + n2 − 2 50 + 60 − 2
Maka interval kepercayaan

1 1 1 1
( x1 − x2 ) − t p .s + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + t p .s +
n1 n2 n1 n2

31,53 31,53 31,53 31,53
(70,4 − 60,2) − t 0,975;108 . + < µ1 − µ 2 < (70,4 − 60,2) + t 0,975;108 . +
50 60 50 60
(70,4 − 60,2) − (1,984 ). (1,08) < µ1 − µ 2 < (70,4 − 60,2) + (1,984 ). (1,08)

8,06 < µ1 − µ 2 < 12,34

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa selisih rata-rata pengukuran dari
kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.

6. Menaksir Selisih Proporsi
Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa
yang sama masing-masing π 1 dan π 2 . secara independen dari tiap populasi

2011


diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dan n2 . Proporsi untuk peristiwa
x1 x
yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah p1 = dan p 2 = 2 dengan
n1 n2

x1 dan x2 menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.

Akan ditentukan interval taksiran untuk (π 1 − π 2 ) dengan menggunakan
pendekatan oleh distribusi normal asalkan n1 dan n2 cukup besar.
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan selisih (π 1 − π 2 ) adalah
(I.16)

p1 q1 p2 q2 p1 q1 p2 q2
( p1 − p2 ) − z 1 γ + < π 1 − π 2 < ( p1 − p 2 ) + z 1 γ
+
2 n1 n2 2 n1 n2

dengan q1 = 1 − p1 dan q 2 = 1 − p 2 sedangkan z 1 γ
diperoleh dari daftar
2

normal baku untuk peluang 1 γ .
2

Contoh (Sudjana)
Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700
pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325
pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95%
mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran
dan menyukainya.
Penyelesaian
Diketahui
x1 325
persentase pemudi yang menyukai pameran p1 = = ×100% = 65%
n1 500
x2 400
persentase pemuda yang menyukai pameran p2 = = × 100% = 57%
n2 700

Jadi, q1 = 1 − p1 = 1 − 65% = 35% dan q 2 = 1 − p 2 = 1 − 57% = 43%
Maka interval kepercayaan

2011


p1 q1 p2 q2 p1 q1 p2 q2
( p1 − p2 ) − z 1 γ + < π 1 − π 2 < ( p1 − p 2 ) + z 1 γ
+
2 n1 n2 2 n1 n2

(0,65 − 0,57 ) − z 1 .0,95 (0,65)(0,35) + (0,57 )(0,43) < π − π 2 < (0,65 − 0,57 ) + z 1
(0,65)(0,35) + (0,57)(0,43)
1 .0 , 95
2 500 700 2 500 700
(0,65 − 0,57) − (1,96) (0,0284) < π 1 − π 2 < (0,65 − 0,57) + (1,96) (0,0284)
0,024 < π 1 − π 2 < 0,136
Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan
pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval
yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.

LATIHAN
1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan
kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika:
a. diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan
kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien
kepercayaan 95%.
b. diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan
kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ;
63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99%.

2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138,
175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal,
tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata berat tomat.

3. Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi.
Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45
Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63
Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 %, jika:
a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5.
b. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak
diketahui nilainya.

2011


c. simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.

4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi
tanaman padi sbb:
Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9.
Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2.
Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 %,,
taksirlah selisih rata-ratanya.

5. Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin
produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran
100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah
lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk selisih kedua
perbandingan.

2011


BAB II
PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan
Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil
kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan
kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis.
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk
menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan
pengecekannya.
Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya
mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis
statistik.
Contoh hipotesis
a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5.
b. 25 % masyarakat termasuk golongan A.
c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian
sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk
menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian
hipotesis.

2. Dua Macam Kekeliruan
Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti
bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya
menerima atau menolak hipotesis saja.
Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat
terjadi, yaitu:

2011


a. Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,
b. Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.
Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis
Keadaan Sebenarnya
Kesimpulan
Hipotesis Benar Hipotesis Salah
Terima Hipotesis BENAR SALAH
(Kekeliruan tipe II)
Tolak Hipotesis SALAH BENAR
(Kekeliruan tipe II)

Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat
kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α (alpha) maka disebut pula
kekeliruan α dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β
(beta) dikenal dengan kekeliruan β .
α disebut taraf signifikan (level of significan) atau taraf arti atau sering
disebut taraf nyata.
Jika α diperkecil, maka β menjadi besar dan demikian sebaliknya.
Harga α yang biasa digunakan adalah α = 0,01 atau α = 0,05 .
Misalnya, dengan α = 0,05 atau sering disebut taraf nyata (taraf signifikansi)
5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak
hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin
bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan
bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah
dengan peluang 0,05.

3. Langkah Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau
menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan
perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan
di antara dua pilihan tersebut.

2011


Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat
dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua
pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya
berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan (alternatif) yang
dinyatakan dengan A.
Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan
kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan
hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis.

Bila menguji parameter θ ( θ dapat berupa rata-rata µ , proporsi π ,
simpangan baku σ , dll), maka:
a. Hipotesis mengandung pengertian sama
Pengujian sederhana lawan sederhana
1) H : θ = θ 0

A : θ = θ1
dengan θ 0 ,θ1 dua nilai berbeda yang diketahui.

Pengujian sederhana lawan komposit
2) H : θ = θ 0

A : θ ≠ θ0

3) H : θ = θ 0

A : θ > θ0

4) H : θ = θ 0

A : θ < θ0

b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum (pengujian komposit lawan
komposit)
H : θ ≤ θ0

A : θ > θ0

2011


c. Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan
komposit)
H : θ ≥ θ0

A : θ < θ0

Berikut hanya akan dipelajari pengujian terhadap hipotesis yang
perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan,
disebut hipotesis nol H 0 melawan hipotesis tandingannya H 1 , yang

mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. H 1 harus
dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.
Pasangan H 0 dan H 1 yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut.

⎧H 0 : θ = θ 0
⎨ atau
⎩H 1 : θ ≠ θ 0

⎧H 0 : θ = θ 0
⎨ atau
⎩H 1 : θ > θ 0

⎧H 0 : θ = θ 0
⎨
⎩H 1 : θ < θ 0
Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t, χ 2 , F
atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data
sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf
nyata α atau disebut ukuran daerah kritis.

Peran hipotesis tandingan H 1 dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai
berikut:
1) Jika H 1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung
distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah

2011


1 α . Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis
2
dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah dibatasi oleh d1 dan d2 (pada contoh gambar d1 dinyatakan
dengan nilai z = -1,96 dan d2 dinyatakan dengan z = 1,96) yang harganya
diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan
oleh α .
Kriteria yang digunakan: terima H 0 jika harga statistik yang dihitung

berdasarkan data penelitian terletak diantara d1 dan d2, selain itu tolak H 0 .

2) Jika H 1 mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .

2011


Harga d (pada contoh gambar d dinyatakan dengan nilai z = 1,96) diperoleh
dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α ,
menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H 0 .

Kriteria yang digunakan: tolak H 0 jika statistik yang dihitung berdasarkan

sampel tidak kurang dari d, selain itu terima H 0 .

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3) Jika H 1 mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .
Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2)
di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri.
Kriteria yang digunakan: terima H 0 jika statistik yang dihitung berdasarkan

penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak H 0 .

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri.

Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah:
1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan.
2. Tentukan besarnya taraf nyata α .
3. Tentukan kriteria pengujian.
4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang
diambil.
5. Menarik kesimpulan menerima atau menolah H 0 berdasarkan hasil 3 dan 4.

4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ
dan simpangan baku σ . Untuk menguji parameter rata-rata µ , diambil
sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik x dan s .

2011


a. Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
⎧H : µ = µ 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 dengan µ 0 sebuah harga yang
⎩H 1 : µ ≠ µ 0
diketahui.
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H 0 jika − z 1 (1−α )
< z < z1 (1−α )
, selainnya tolak H 0 .
2 2

Dengan z 1 (1−α )
diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
2

peluang 1 (1 − α ) .
2
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
x − µ0
(II.1) z=
σ
n
dengan x adalah rata-rata sampel, µ 0 nilai yang diketahui, σ adalah

simpangan baku populasi.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh
Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar
800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah.
Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata
diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan
baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan
95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ; σ = 60

2011


⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 800
1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨ 0
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H1 : µ ≠ 800
2. Taraf signifikansi α = 5%.
< z < z1 (1−α )
2 2

− z1 (1−0, 05 )
< z < z1 (1−0, 05 )
− 1,96 < z < 1,96
2 2

diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
2

1 (1 − α ) .
2
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
x − µ0 792 − 800
z= = = −0,94
σ 60
n 50
5. Kesimpulan : karena z hitung = −0,94 terletak dalam daerah penerimaan

H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ = 800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu
masih 800 jam.

b. Dalam hal σ tidak diketahui
Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .
⎧H : µ = µ 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0
⎩H 1 : µ ≠ µ 0
− t1− 1 α < t < t1− 1 α
Terima H 0 jika 2 2 , selainnya tolak H 0 .

2011


Dengan t1− 1 α
diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)
2

dengan peluang 1 − 1 α dan dk = n − 1 .
2
x − µ0
(II.2) t=
s
n

(II.3) s2 =
∑ (x i − x)
n −1
dengan x adalah rata-rata sampel, µ 0 nilai yang diketahui, s adalah

simpangan baku sampel.

Contoh
Untuk contoh sebelumnya (kasus masa hidup lampu pijar), dimisalkan simpangan
baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah
dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah
atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ; s = 55
⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 800
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H1 : µ ≠ 800
− t1− 1 α < t < t1− 1 α
Terima H 0 jika 2 2 dengan dk = 50 - 1 = 49

− t1 (1−0, 05 )
< t < t1 (1−0, 05 )
− 2,01 < t < 2,01
2 2


2011


x − µ 0 792 − 800
t= = = −1,029
s 55
n 50
5. Kesimpulan : karena t hitung = −1,029 terletak dalam daerah penerimaan

H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ = 800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu
masih 800 jam.

5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Satu Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah
sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik x dan s .

Uji Pihak Kanan
⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ > µ 0
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α , selainnya H 0 diterima.

Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang (0,5 − α ) .
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).

Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .

2011


⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ > µ 0
Tolak H 0 jika t ≥ t1−α , selainnya H 0 diterima.

Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang 1 − α dan dk = n − 1 .
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).

Contoh
Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi
memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika
rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan
apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata
rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko
5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan
labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?
Penyelesaian
Diketahui x = 16,9 ; n = 20 ; σ = 2,3 , µ 0 =16

⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 16
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H1 : µ > 16
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α z 0,5−α = z0,5−0,05 = 1,64

2011


x − µ0 16,9 − 16
z= = = 2,65
σ 2,3
n 20
5. Kesimpulan : karena z hitung = 2,65 > z 0,5−α = 1,64 terletak pada daerah kritis

maka H 0 ditolak. Jadi, µ > 16 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan

risiko 5% metode baru dapat menggantikan metode lama.

Uji Pihak Kiri
⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ < µ 0
Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , selainnya H 0 diterima.

Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang (0,5 − α ) .

⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ < µ 0
Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α .

Terima H 0 jika t > −t1−α .

2011


Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang

1 − α dan dk = n − 1 .

Contoh
Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak
sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,
23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat rata-
rata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5%, bagaimanakah
pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x = 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; µ 0 = 5

Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui:
⎧H : µ = µ 0 ⎧H : µ = 5
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 yaitu ⎨ 0
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H 1 : µ < 5
Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat
tidak akan mengeluh.
Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α − t1−α = −t1−0,05 = −1,72 dengan dk = 23 - 1 = 22

x − µ 0 4,9 − 5
t= = = −2, ,398
s 0,2
n 23
5. Kesimpulan : karena t hitung = −2,398 < −t1−α = −1,72 terletak pada daerah kritis

maka H 0 ditolak. Jadi, µ < 5 . Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut

menguatkan keluhan masyarakat mengenai berat makanan kaleng yang kurang
dari berat yang tertera pada kemasan yaitu 5 ons.

2011


6. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π .
Untuk menguji parameter proporsi π , diambil sebuah sampel acak berukuran
x
n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar .
n
⎧H : π = π 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 dengan π 0 sebuah harga yang diketahui.
⎩H 1 : π ≠ π 0
< z < z1 (1−α )
2 2

2

2
x −π
(II.4) z = n 0

π 0 (1 − π 0 )
n

dengan x adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan π 0 adalah
n
proporsi yang diuji.

Contoh
Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah
sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki.
Dalam taraf nyata 5%, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah
sama.
Penyelesaian
Diketahui x = 2.458; n = 4800 ; µ 0 = 0,5

2011


⎧H 0 : π = π 0 ⎧H : π = 0,5
⎩H 1 : π ≠ π 0 ⎩H1 : π ≠ 0,5
< z < z1 (1−α )
2 2

− z1 (1−0, 05 )
< z < z1 (1−0, 05 )
− 1,96 < z < 1,96
2 2

x −π 2458 − 0,5
z= n 0
= 4800 = 1,68
π 0 (1 − π 0 ) 0,5(1 − 0,5)
n 4800
5. Kesimpulan : karena z hitung = 1,68 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka

H 0 diterima. Jadi, µ = 0,5 . Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin

tersebut adalah sama.

7. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan
⎧H : π = π 0
⎩H 1 : π > π 0
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α .

Terima H 0 jika z < z 0,5−α .

Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(0,5 − α ) .

2011



Uji Pihak Kiri
⎧H : π = π 0
⎩H 1 : π < π 0
Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , selainnya terima H 0 .


(0,5 − α ) .

Contoh
Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60% nya suka
menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran
berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah
diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan α =
5%, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita
suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60%.
Penyelesaian
Diketahui x = 40 n = 100
π 0 = 60% = 0,6
Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri:
⎧H 0 : π = π 0 ⎧H : π = 0,6
⎩H1 : π < π 0 ⎩H1 : π < 0,6

2011


Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α z ≤ − z 0,5−0,005 z ≤ − z 0, 45 z ≤ −1,64

Terima H 0 jika z > − z 0,5−α z > −1,64

z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5 − α ) .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)
x −π 40 − 0,6
z= n 0
= 100 = −4,08
π 0 (1 − π 0 ) 0,6(1 − 0,6 )
n 100
5. Kesimpulan: karena z hitung = −4,08 < − 1,64 = − z 0,5−α maka H 0 ditolak.

Jadi, π < π 0 . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita

menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.

8. Uji Hipotesis Varians σ 2 : Uji Dua Pihak
Pada pengujian rata-rata µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana
simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan
untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan
populasi berdistribusi normal dengan varians σ 2 dan daripadanya diambil
sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya s 2 dihitung
dengan rumus:

∑ (x − x) n∑ xi − (∑ xi )
2 2 2

= atau s =
2 i 2
s
n −1 n(n − 1)
⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪
1. Hipotesis pengujian ⎨
⎪H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2
⎩
Terima H 0 jika χ 1 α < χ 2 < χ12− 1 α , selainnya tolak H 0 .
2
2 2

2011


Dengan χ 1 α dan χ12− 1
2
α
diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat
2 2

dengan dk = n − 1 dan masing-masing peluang 1 α dan 1 − 1 α .
2 2
( )

(II.5) χ 2 =
(n − 1)s 2
σ 02

(II.6) s 2 =
∑ (x i − x)
2

atau
n −1

n∑ xi − (∑ xi )
2 2

(II.7) s 2 =
n(n − 1)

Contoh
Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan
ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi
normal, benarkah σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%.
Penyelesaian
Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam
⎧
⎪H 0 : σ = σ 0
2 2
⎧
⎪H 0 : σ = 3600
2

1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨
⎪H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2
⎩ ⎪H1 : σ 2 ≠ 3600
⎩
Terima H 0 jika χ 1 α < χ 2 < χ12− 1
2
α
dengan dk = n − 1 = 50 − 1 = 49
2 2

χ 1 .0, 05 < χ 2 < χ12− 1 .0,05
2
χ 02, 025 < χ 2 < χ 02,975
2 2

32,4 < χ 2 < 71,4

χ2 =
(n − 1)s 2 =
(50 − 1)(3,025) = 41,174
σ 2
0 3600

2011


5. Kesimpulan : karena χ 2 = 41,174 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka

H 0 diterima. Jadi, σ 2 = 3600 . Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata

5%.

9. Uji Hipotesis Varians σ 2 : Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan
⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪
⎪H 1 : σ 2 > σ 0 2
⎩
Tolak H 0 jika χ 2 ≥ χ12−α , selainnya terima H 0 .

Dengan χ12−α diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan

dk = n − 1 dan peluang (1 − α ) .
menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

Uji Pihak Kiri
⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪
⎪H 1 : σ 2 < σ 0 2
⎩
Tolak H 0 jika χ 2 ≤ χ α , selainnya terima H 0 .
2

Dengan χ α diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan dk = n − 1
2

dan peluang α .

2011


menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

Contoh (Walpole)
Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi
hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel
acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf
nyata 5% untuk menguji apakah σ > 0,81 tahun!
Penyelesaian
Diketahui σ 0 = 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun

⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪ ⎧H 0 : σ 2 = 0,81
⎪
1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨
⎪H 1 : σ > σ 0
⎩
2 2
⎪H1 : σ 2 > 0,81
⎩
Tolak H 0 jika χ 2 ≥ χ12−α , selainnya terima H 0 .

χ 1 .0,05 = 16,919 dengan dk = n − 1 = 10 − 1 = 9
2
2


χ2 =
(n − 1)s 2 =
(10 − 1)(31,44) = 16,0
σ 2
0 0,81

5. Kesimpulan : karena χ 2 = 16 < χ 1
2
.0 , 05
= 16,919 terletak dalam daerah
2

penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, σ 2 = 0,81 . Artinya, tidak ada alasan

meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.

10. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak
Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi.
Misalnya membandingkan hasil belajar, daya kerja suatu obat, dsb. Maka

2011


akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya
selisih rata-rata dan selisih proporsi.
Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ1 dan σ 1 untuk populasi
pertama, µ 2 dan σ 2 untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah
sampel acak dengan ukuran n1 dan n2 dari masing-masing populasi. Rata-rata
dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x1 , s1 dan x 2 , s 2 .
Akan diuji tentang rata-rata µ1 dan µ 2 .

a. Dalam hal σ 1 = σ 2 = σ dan σ diketahui
⎧H 0 : µ1 = µ 2
a. Hipotesis pengujian ⎨
⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2
b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c. Kriteria pengujian.
− z 1 (1−α ) < z < z 1 (1−α )
Terima H 0 jika 2 2 , selainnya tolak H 0 .
2

2
d. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
x1 − x 2
(II.8) z=
1 1
σ +
n1 n2

e. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ 1 = σ 2 = σ tetapi σ tidak diketahui
⎧H : µ = µ 2
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1
⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2

2011


Terima H 0 jika − t1− 1 α
< t < t1− 1 α , selainnya tolak H 0 .
2 2

Dengan t1− 1 α
diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)
2

dengan peluang 1− 1 α dan dk = n1 + n2 − 2 .
2
x1 − x2
(II.9) t=
1 1
s +
n1 n2

(II.10) s2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2

Contoh (Sudjana)
Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk
jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam.
Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi
makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam (ons) sebagai berikut
Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7
Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5%, apakah kedua
makanan tersebut sama baiknya atau tidak!
Penyelesaian
2 2
Diketahui dari data di atas x A = 3,22 ; x B = 3,07 ; s A = 0,1996 ; s B = 0,1112.
Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar.
Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ 1 = σ 2 = σ tetapi σ tidak diketahui

⎧H : µ = µ 2
⎩H1 : µ1 ≠ µ 2

2011


< t < t1− 1 α
dengan dk = n1 + n2 − 2 = 11 + 10 − 2 = 19
2 2

− t1− 1 α
< t < t1− 1 α
− t1− 1 .0 , 05
< t < t1− 1 .0 , 05
− 2,09 < t < 2,09
2 2 2 2


Simpangan baku gabungan s 2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 diperoleh s = 0,397.
n1 + n2 − 2

x1 − x2 3,22 − 3,07
t= = = 0,862
s
1
+
1
(0,397 ) +1 1
n1 n2 11 10

5. Kesimpulan : karena − 2,09 < t hitung = 0,862 < 2,09 terletak dalam daerah

penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ1 = µ 2 . Artinya, kedua macam

makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama,
sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.

c. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2 dan keduanya tidak diketahui
Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan.
Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik
t′ .
⎧H : µ = µ 2
⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2
w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2
Terima H 0 jika − < t′ < 1 1 , untuk harga t yang
w1 + w2 w1 + w2

lain H 0 ditolak.

s12 s2
Dengan w1 = ; w2 = 2
n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1)
2 1 2 2

2011


t β ,m diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan

dk = m .
x1 − x2
(II.11) t′ =
2
s12 s 2
+
n1 n2


Contoh (Sudjana)
Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah
kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari rata-
rata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing
dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi x1 = 9,25 kg ; x2 =
10,4 kg ; s1 = 2,24 kg ; s2 = 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan
varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5%, ujilah bagaimana
hasilnya!
Penyelesaian
Diketahui x1 = 9,25 kg ; x2 = 10,4 kg ; s1 = 2,24 kg ; s2 = 3,12 kg.
Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar.
Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ 1 ≠ σ 2 dan keduanya tidak diketahui
1. Hipotesis pengujian
⎧H 0 : µ1 = µ 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan
⎪
⎪ kualitas rata - rata daya tekan yang sama
⎨
⎪H1 : µ1 ≠ µ 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan
⎪
⎩ kualitas rata - rata daya tekan yang berbeda

w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2
Terima H 0 jika − < t′ < 1 1
w1 + w2 w1 + w2

2011


s12 5,0176 s 2 9,7344
w1 = = = 0,2509 ; w2 = 2 = = 0,4867
n1 20 n2 20

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) == t (1− 1 .0,05 ),(20−1) = t 0,975;19 = 2,09
2 1 2

t 2 = t (1− 1 α ),(n −1) = t (1− 1 .0,05 ),(20−1) = t 0,975;19 = 2,09
2 2 2

w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2
Sehingga − < t′ < 1 1
w1 + w2 w1 + w2

−
(0,2509)(2,09) + (0,4867 )(2,09) < t ′ < (0,2509)(2,09) + (0,4867 )(2,09)
(0,2509) + (0,4867 ) (0,2509) + (0,4867 )
− 2,09 < t ′ < 2,09
x1 − x2 9,25 − 10,4
t′ = = = 1,339
s12 s2
2
5,0176 9,7344
+
+
n1 n2 20 20

5. Kesimpulan : karena − 2,09 < t ′ = 1,339 < 2,09 terletak dalam daerah
penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ1 = µ 2 . Artinya, kedua proses

menghasilkan barang dengan kualitas yang sama baiknya.

d. Observasi berpasangan
Untuk observasi berpasangan, maka diambil µ B = µ x − µ y .

Jika B1 = x1 − y1 , B2 = x2 − y 2 ,…, Bn = xn − y n , maka data B1 , B2 ,…,

Bn menghasilkan rata-rata B dan simpangan baku s B .

⎧H : µ = 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 B
⎩H 1 : µ B ≠ 0
< t < t1− 1 α , selainnya tolak H 0 .
2 2

2011


Dengan t1− 1 α
diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang
2

1 − 1 α dan dk = n − 1 .
2
B
(II.12) t=
sB
n

11. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak
Serupa dengan uji dua pihak, pada uji satu pihak juga dimisalkan dipunyai dua
buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing
µ1 dan µ 2 dan simpangan baku σ 1 dan σ 2 .

Uji Pihak Kanan
a. Dalam hal σ 1 = σ 2
⎧H : µ = µ 2
1) Hipotesis pengujian ⎨ 0 1
⎩ H 1 : µ1 > µ 2
2) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3) Kriteria pengujian.
Terima H 0 jika t < t1−α , dan tolak H 0 untuk harga t yang lain.

Dengan dk = n1 + n2 − 2 dan peluang (1 − α ) dari daftar distribusi t.
4) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).
5) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik
t′ .

2011


⎧H : µ = µ 2
a) Hipotesis pengujian ⎨ 0 1
⎩ H 1 : µ1 > µ 2
b) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c) Kriteria pengujian.
w1t1 + w2 t 2
Tolak H 0 jika t ′ ≥ , dan terima H 0 jika terjadi sebaliknya.
w1 + w2

s12 s2
n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1)
2 1 2 2

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah (1 − α ) sedangkan
derajat kebebasannya masing-masing (n1 − 1) dan (n2 − 1) .
d) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t ′ yang sama dengan rumus (II.11).
e) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

⎧H : µ = 0
⎩H 1 : µ B > 0
Tolak H 0 jika t ≥ t1−α , selainnya terima H 0 .

Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang 1 − α

dan dk = n − 1 .

2011


Uji Pihak Kiri
a. Dalam hal σ 1 = σ 2 dan keduanya tidak diketahui
⎧H : µ = µ 2
⎩ H 1 : µ1 < µ 2
Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α , dan terima H 0 untuk harga t yang lain.

Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan dk = n1 + n2 − 2

dan peluang (1 − α ) .
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).

Pendekatan yang diggunakan adalah statistik t ′ .
⎧H : µ = µ 2
⎩ H 1 : µ1 < µ 2
w1t1 + w2 t 2
Tolak H 0 jika t ′ ≤ − , dan terima H 0 jika terjadi
w1 + w2
sebaliknya.
s12 s2
n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1)
2 1 2 2

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah (1 − α ) sedangkan
derajat kebebasannya masing-masing (n1 − 1) dan (n2 − 1) .

2011


menggunakan statistik t ′ yang sama dengan rumus (II.11).

⎧H : µ = 0
⎩H 1 : µ B < 0
Tolak H 0 jika t ≤ −t (1−α ),(n −1) , dan terima H 0 untuk t > −t (1−α ),(n−1) .


12. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai dua populasi binomial yang di dalamnya didapat proporsi
peristiwa A sebesar π 1 dan π 2 . Secara independen dari tiap populasi diambil
sebuah sampel acak berukuran n1 dan n2 . Proporsi untuk peristiwa yang
x1 x
diperhatikan pada sampel tersebut adalah dan 2 .
n1 n2
⎧H : π = π 2
⎩H 1 : π 1 ≠ π 2
< z < z1 (1−α )
2 2

2

2

2011


menggunakan pendekatan distribusi normal.
x1 − x2
n1 n2
(II.13) z=
⎧1 1 ⎫
pq ⎨ + ⎬
⎩ n1 n2 ⎭
x1 + x2
dengan p = dan q = 1 − p
n1 + n2

Contoh
Di kecamatan Semarang Barat dari 250 siswa SD, 150 orang suka matematika.
Di kecamatan Gunungpati dari 300 siswa SD, 162 orang suka matematika.
Dengan α = 5%, ujilah adakah perbedaan yang signifikan tentang kesukaan
matematika di kedua kecamatan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x1 = 150 n1 = 250
X2 = 162 n2 = 300
⎧H : π = π 2
⎩H 1 : π 1 ≠ π 2
< z < z1 (1−α )
2 2

− z1 (1−0, 05 )
< z < z1 (1−0, 05 )
2 2

− 1,96 < z < 1,96

z1 (1−α )
dari daftar distribusi normal baku dengan peluang 1 (1 − α ) .
2 2
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)
x1 + x2 150 + 162
p= = = 0,5673
n1 + n2 250 + 300

2011


q = 1 − p = 1 − 0,5673 = 0,4327
x1 − x2
n1 n2
150 − 162
z= = 250 300 = 1,43
⎧1 1⎫ ⎧ 1 1 ⎫
pq ⎨ + ⎬ (0,5673)(0,4327 )⎨ + ⎬
⎩ n1 n2 ⎭ ⎩ 250 300 ⎭

5. Kesimpulan: karena −1,96 < z hitung = 1,43 <1,96 maka H 0 diterima.

Jadi, π 1 = π 2 . Artinya tidak ada perbedaan yang signifikan kesukaan
matematika di kecamatan Semarang Barat maupun di kecamatan Gunungpati.

13. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan
⎧H : π = π 2
⎩H 1 : π 1 > π 2
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α dan Terima H 0 jika z < z 0,5−α .


(0,5 − α ) .

Uji Pihak Kiri
⎧H 0 : π 1 = π 2
⎩H 1 : π 1 < π 2

2011

Statistika inferensial 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Statistika inferensial 1

Similar to Statistika inferensial 1 (20)

More from Muhamad Husni Mubaraq

More from Muhamad Husni Mubaraq (17)

Statistika inferensial 1