Statistika inferensial 1

Bahan ajar Statistika Inferensial

BAHAN AJAR

STATISTIKA INFERENSIAL
KODE MATA KULIAH
MAT 201

ROMBEL 410140-03
410140-04
410140-05
410140-06
410140-07

Semester Gasal 2011/2012

Disusun Oleh
Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.

Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Semarang
2011

Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 0
2011


DAFTAR ISI

BAB I PENAKSIRAN PARAMETER
1. Pengertian Penaksiran
2. Menaksir Rata-rata µ
3. Menaksir Proporsi π
4. Menaksir Simpangan Baku σ
5. Menaksir Selisih Rata-Rata
6. Menaksir Selisih Proporsi

BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Pendahuluan
2. Dua Macam Kekeliruan
3. Langkah Pengujian Hipotesis
4. Uji Hipotesis Rata-Rata
5. Uji Hipotesis Proporsi
6. Uji Hipotesis Varians
7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata
8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi
9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians
10. Uji Homogenitas Varians Populasi

BAB III ANALISIS VARIANS

BAB IV ANALISIS REGRESI

BAB V ANALISIS KORELASI

2011


BAB I
PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran
Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi.
Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara
sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk
menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian
berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai
populasi dibuat.
Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi
dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilai-
nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai statistik
dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.
Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan cara-
cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak
diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang
diambil dari populasi yang bersangkutan.
Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata,
simpangan baku dan proporsi.

Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ (baca: theta). Jadi θ
bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya.

Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θ (baca: theta topi), maka
ˆ

θˆ dinamakan penaksir.

Sangat diharapkan θ = θ , yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ
ˆ

yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal.
Kenyataan yang sering terjadi adalah:
a. menaksir θ oleh θ terlalu tinggi, atau
ˆ

2011


b. menaksir θ oleh θ terlalu rendah.
ˆ

Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians
minimum dan konsisten.
a. penaksir θ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θ yang
ˆ ˆ

()
mungkin akan sama dengan θ , ditulis E θ = θ . Penaksir yang tidak
ˆ

takbias disebut penaksir bias.
b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil
diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika θ1 dan θ 2 dua
ˆ ˆ

penaksir untuk θ , jika varians θ1 < varians θ 2 , maka θ1 merupakan
ˆ ˆ ˆ

penaksir bervarians minimum.
c. Misalkan θ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel
ˆ

acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran
populasi menyebabkan θ mendekati θ , maka θ disebut penaksir
ˆ ˆ

konsisten.
d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir
terbaik.

Jika harga parameter θ ditaksir oleh θ tertentu, maka θ dinamakan penaksir
ˆ ˆ

atau tepatnya titik taksiran (estimasi titik).

Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes.
Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu
dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x = 160 cm. Jika 160 cm ini
digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika
Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa
matematika Unnes.
Secara umum x adalah penaksir atau titik taksiran untuk µ .

2011


Titik taksiran untuk suatu parameter µ , harganya akan berlainan tergantung
pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya
kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval
taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas
dua harga.
Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat
kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut
koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ (baca: gamma), maka
0 < γ < 1 . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi
dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang
biasa digunakan adalah γ = 0,95 atau γ = 0,99 .

Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien
kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang
diperlukan.
Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah:
(I.1) P( A < θ < B ) = γ
Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi
tidak tergantung pada θ .

Bentuk (I.1) dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak
antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel,
maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas
menjadi: kita merasa 100 γ % percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam
interval (A, B).

2011


2. Menaksir Rata-rata µ
Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan
baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ . Untuk itu
ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu
x dan s . Titik taksiran untuk rata-rata µ adalah x . Dengan kata lain,
nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.
Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan
interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang
dikehendaki.

a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal
Rumus (I.1) menjadi:
⎛ σ σ ⎞
(I.2) P⎜ x − z 1 γ .
⎜ < µ < x + z1 γ . ⎟=γ
⎟
⎝ 2 n 2 n⎠
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan z 1 γ = bilangan z dari tabel normal
2

baku untuk peluang 1 γ .
2
Untuk memperoleh 100 γ % interval kepercayaan parameter µ dapat
digunakan rumus:
σ σ
(I.3) x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n 2 n

b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal
Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus (I.2) diganti
⎛ s s ⎞
(I.4) P⎜ x − t p .
⎜ < µ < x + tp . ⎟=γ
⎟
⎝ n n⎠
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan t p = nilai t dari daftar distribusi

Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan dk = (n-1).
2

2011


Untuk interval kepercayaannya:
s s
(I.5) x − tp . < µ < x + tp .
n n
s s
Bilangan x − t p . dan x + t p . masing-masing merupakan batas bawah
n n
dan batas atas kepercayaan.

Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N
n
yakni > 5 % , maka rumus (I..3) dan rumus (I.5) menjadi:
N
σ N −n σ N −n
(I.6) x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n N −1 2 n N −1

s N −n s N −n
(I.7) x −tp . < µ < x + tp .
n N −1 n N −1

c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi
normal
Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit
pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian (b) di atas dapat
digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil.
Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel
kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi
asli dari populasi yang bersangkutan.
Hal ini tidak dibicarakan di sini.

Contoh
Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku
5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:
a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30
b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80
dengan menggunakan kepercayaan 95% .

2011


Penyelesaian
Diketahui x = 68,6
σ = 5,75
γ = 95% = 0,95
1
γ = 0,475 z 0, 475 = 1,96
2
n 30
a. Sampel n = 30 = ≤ 5%
N 1000
σ σ
x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n 2 n

68,6 − (1,96 ). < µ < 68,6 + (1,96 ).
5,75 5,75
30 30
66,54 < µ < 70,66
Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
66,54 < µ < 70,66 .
Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66.
n 80
b. Sampel n = 80 = ≥ 5%
N 1000
σ N −n σ N −n
x − z1 γ . < µ < x + z1 γ .
2 n N −1 2 n N −1

5,75 1000 − 80 5,75 1000 − 80
68,6 − (1,96 ). < µ < 68,6 + (1,96 ). .
30 1000 − 1 30 1000 − 1
68,6 − a < µ < 68,6 + a
Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
68,6 − a < µ < 68,6 + a .
Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas 68,6 − a dan 68,6 + a .

2011


3. Menaksir Proporsi
Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial
berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam
populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk

peristiwa A = x . Jadi titik taksiran untuk π adalah x .
n n
Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran
sampel n cukup besar.

Rumus 100 γ % keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah

pq pq
(I.8) p − z1 γ . < π < p + z1 γ .
2 n 2 n

dengan p = x dan q = 1 − p sedangkan z 1 γ
adalah bilangan z yang
n 2

diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang 1 γ .
2

Contoh
Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan
mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60
orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan
berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut.
Penyelesaian
Diketahui γ = 95% = 0,95
1
γ = 0,475 z 0, 475 = 1,96
2
60
p= = 0,6 q = 0,4
100
Interval kepercayaan π adalah

pq pq
p − z1 γ . < π < p + z1 γ .
2 n 2 n

2011


0,6 − (1,96 ).
(0,6)(0,4) < π < 0,6 + (1,96). (0,6)(0,4)
100 100
0,504 < π < 0,696
50,4 % < π < 69,6 %
Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan
berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval
dengan batas 50,4 % dan 69,6 %.

4. Menaksir Simpangan Baku σ
Untuk menaksir varians σ 2 dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel
varians s 2 berdasarkan sampel acak berukuran n.

∑ (x − x)
2

s2 =
i
(I.9)
n −1
Varians s 2 adalah penaksir takbias untuk varians σ 2 , tetapi simpangan baku
s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ . Jadi titik taksiran s
untuk σ adalah bias.

Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians σ 2 , maka 100 γ %

interval kepercayaan untuk σ 2 ditentukan dengan menggunakan distribusi
chi-kuadrat.

(I.10)
(n − 1)s 2 <σ2 <
(n − 1)s 2
χ1
2
(1+γ )
χ1
2
(1−γ )
2 2

dengan n ukuran sampel sedangkan χ 1
2
(1+γ )
dan χ 1
2
(1−γ )
diperoleh dari daftar
2 2

chi-kuadrat berturut-turut untuk p = 1 (1 + γ ) dan p = 1 (1 − γ ) dengan
2 2
dk = (n − 1) .
Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan
akar ketidaksamaan dalam rumus (I.10).

2011


Contoh
Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif
dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan
koefisien kepercayaan 99%, taksirlah interval dari simpangan baku populasi.
Penyelesaian
Diketahui n = 31
s=6
γ = 99 % = 0,99
χ1
2
(1+γ ),dk
= χ1
2
(1+ 0, 99 ),(31−1)
= χ (20,995 ),(30 ) = 53,7
2 2

χ1
2
(1−γ ),dk
= χ1
2
(1−0, 99 ),(31−1)
= χ (20,005 ),(30 ) = 13,8
2 2

Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah
(n − 1)s 2 < σ 2 < (n − 1)s 2
χ1 2
(1+γ )
2
χ1 (1−γ )
2 2

(31 − 1)(6)2 <σ2 <
(31 − 1)(6)2
53,7 13,8

(31 − 1)(6)2 <σ <
(31 − 1)(6)2
53,7 13,8
4,4846 < σ < 8,8465
Jadi, kita merasa 99% yakin (percaya) bahwa simpangan baku populasi tersebut
akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.

5. Menaksir Selisih Rata-Rata
Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ1 dan σ 1 untuk populasi
pertama, µ 2 dan σ 2 untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah
sampel acak dengan ukuran n1 dan n2 dari masing-masing populasi. Rata-rata
dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x1 , s1 dan x 2 , s 2 .

2011


Akan ditaksir selisih rata-rata ( µ1 − µ 2 ) .
Titik taksiran untuk adalah ( µ1 − µ 2 ) adalah ( x1 − x2 ) .
Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:

a. Dalam hal σ 1 = σ 2
Jika kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ yang besarnya
diketahui, maka 100 γ % interval kepercayaan untuk ( µ1 − µ 2 ) adalah

1 1 1 1
(I.11) ( x1 − x2 ) − z 1 γ σ + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + z 1 γ σ +
2 n1 n2 2 n1 n2

dengan z 1 γ
2 2

Jika kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ tetapi besarnya tidak
diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan
dengan s 2 .

(I.12) s2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s2 2
n1 + n2 − 2
Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student.
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan ( µ1 − µ 2 ) adalah

1 1 1 1
(I.13) ( x1 − x2 ) − t p .s + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + t p .s +
n1 n2 n1 n2

dengan s diperoleh dari rumus (I.12) dan t p diperoleh dari daftar distribusi

Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan dk = n1 + n2 − 2 .
2

b. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2
Untuk populasi normal dengan σ 1 ≠ σ 2 teori di atas tidak berlaku dan teori
yang ada hanya bersifat pendekatan.

2011


Dengan memisalkan s1 = σ 1 dan s 2 = σ 2 untuk sampel-sampel acak
berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal.
Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:

s12 s 2
2
s12 s 2
2
(I.14) ( x1 − x 2 ) − z 1 γ
+ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + z 1 γ +
2 n1 n2 2 n1 n2

dengan z 1 γ
2 2

c. Observasi berpasangan
Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua
dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing µ x dan µ y . Diambil

sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama, n1 = n2 = n .
Diperoleh data sampel (x1 , x2 ,K, xn ) dan ( y1 , y 2 ,K, y n ) , dan bila data

observasi ini berpasangan maka
x1 berpasangan dengan y1
x2 berpasangan dengan y 2
M
xn berpasangan dengan y n

Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata
µ B = µ x − µ y , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu

B1 = x1 − y1 , B2 = x 2 − y 2 ,…, Bn = xn − y n .

Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari B1 , B2 ,…, Bn , dihitung

rata-rata B dan simpangan baku s B dengan menggunakan

∑B n∑ B12 − (∑ Bi )
2

B= dan s B =
i

n n(n − 1)
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan µ B adalah
sB sB
(I.15) B − tp. < µB < B + t p .
n n

2011


dengan t p diperoleh dari daftar distribusi Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan
2
dk = (n − 1) .
Contoh (Sudjana)
Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I
dilakukan 50 kali yang menghasilkan x 1 = 60,2 dan s12 = 24,7. Cara II dilakukan
2
60 kali dengan x 2 = 70,4 dan s2 = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95%
mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x 1 = 60,2 ; s12 = 24,7
2
x 2 = 70,4 ; s2 = 37,2
Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.

p = 1 (1 + γ ) = 1 (1 + 0,95) = 0,975 ; dk = 50 + 60 − 2 = 108
2 2
Karena kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ tetapi besarnya tidak
diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah

s2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s2 2 = (50 − 1)(24,7 ) + (60 − 1)(37,2) = 31,53
n1 + n2 − 2 50 + 60 − 2
Maka interval kepercayaan

1 1 1 1
( x1 − x2 ) − t p .s + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + t p .s +
n1 n2 n1 n2

31,53 31,53 31,53 31,53
(70,4 − 60,2) − t 0,975;108 . + < µ1 − µ 2 < (70,4 − 60,2) + t 0,975;108 . +
50 60 50 60
(70,4 − 60,2) − (1,984 ). (1,08) < µ1 − µ 2 < (70,4 − 60,2) + (1,984 ). (1,08)

8,06 < µ1 − µ 2 < 12,34

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa selisih rata-rata pengukuran dari
kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.

6. Menaksir Selisih Proporsi
Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa
yang sama masing-masing π 1 dan π 2 . secara independen dari tiap populasi

2011


diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dan n2 . Proporsi untuk peristiwa
x1 x
yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah p1 = dan p 2 = 2 dengan
n1 n2

x1 dan x2 menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.

Akan ditentukan interval taksiran untuk (π 1 − π 2 ) dengan menggunakan
pendekatan oleh distribusi normal asalkan n1 dan n2 cukup besar.
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan selisih (π 1 − π 2 ) adalah
(I.16)

p1 q1 p2 q2 p1 q1 p2 q2
( p1 − p2 ) − z 1 γ + < π 1 − π 2 < ( p1 − p 2 ) + z 1 γ
+
2 n1 n2 2 n1 n2

dengan q1 = 1 − p1 dan q 2 = 1 − p 2 sedangkan z 1 γ
diperoleh dari daftar
2

normal baku untuk peluang 1 γ .
2

Contoh (Sudjana)
Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700
pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325
pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95%
mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran
dan menyukainya.
Penyelesaian
Diketahui
x1 325
persentase pemudi yang menyukai pameran p1 = = ×100% = 65%
n1 500
x2 400
persentase pemuda yang menyukai pameran p2 = = × 100% = 57%
n2 700

Jadi, q1 = 1 − p1 = 1 − 65% = 35% dan q 2 = 1 − p 2 = 1 − 57% = 43%
Maka interval kepercayaan

2011


p1 q1 p2 q2 p1 q1 p2 q2
( p1 − p2 ) − z 1 γ + < π 1 − π 2 < ( p1 − p 2 ) + z 1 γ
+
2 n1 n2 2 n1 n2

(0,65 − 0,57 ) − z 1 .0,95 (0,65)(0,35) + (0,57 )(0,43) < π − π 2 < (0,65 − 0,57 ) + z 1
(0,65)(0,35) + (0,57)(0,43)
1 .0 , 95
2 500 700 2 500 700
(0,65 − 0,57) − (1,96) (0,0284) < π 1 − π 2 < (0,65 − 0,57) + (1,96) (0,0284)
0,024 < π 1 − π 2 < 0,136
Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan
pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval
yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.

LATIHAN
1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan
kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika:
a. diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan
kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien
kepercayaan 95%.
b. diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan
kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ;
63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99%.

2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138,
175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal,
tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata berat tomat.

3. Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi.
Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45
Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63
Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 %, jika:
a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5.
b. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak
diketahui nilainya.

2011


c. simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.

4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi
tanaman padi sbb:
Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9.
Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2.
Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 %,,
taksirlah selisih rata-ratanya.

5. Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin
produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran
100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah
lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk selisih kedua
perbandingan.

2011


BAB II
PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan
Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil
kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan
kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis.
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk
menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan
pengecekannya.
Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya
mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis
statistik.
Contoh hipotesis
a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5.
b. 25 % masyarakat termasuk golongan A.
c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian
sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk
menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian
hipotesis.

2. Dua Macam Kekeliruan
Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti
bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya
menerima atau menolak hipotesis saja.
Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat
terjadi, yaitu:

2011


a. Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,
b. Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.
Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis
Keadaan Sebenarnya
Kesimpulan
Hipotesis Benar Hipotesis Salah
Terima Hipotesis BENAR SALAH
(Kekeliruan tipe II)
Tolak Hipotesis SALAH BENAR
(Kekeliruan tipe II)

Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat
kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α (alpha) maka disebut pula
kekeliruan α dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β
(beta) dikenal dengan kekeliruan β .
α disebut taraf signifikan (level of significan) atau taraf arti atau sering
disebut taraf nyata.
Jika α diperkecil, maka β menjadi besar dan demikian sebaliknya.
Harga α yang biasa digunakan adalah α = 0,01 atau α = 0,05 .
Misalnya, dengan α = 0,05 atau sering disebut taraf nyata (taraf signifikansi)
5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak
hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin
bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan
bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah
dengan peluang 0,05.

3. Langkah Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau
menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan
perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan
di antara dua pilihan tersebut.

2011


Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat
dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua
pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya
berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan (alternatif) yang
dinyatakan dengan A.
Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan
kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan
hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis.

Bila menguji parameter θ ( θ dapat berupa rata-rata µ , proporsi π ,
simpangan baku σ , dll), maka:
a. Hipotesis mengandung pengertian sama
Pengujian sederhana lawan sederhana
1) H : θ = θ 0

A : θ = θ1
dengan θ 0 ,θ1 dua nilai berbeda yang diketahui.

Pengujian sederhana lawan komposit
2) H : θ = θ 0

A : θ ≠ θ0

3) H : θ = θ 0

A : θ > θ0

4) H : θ = θ 0

A : θ < θ0

b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum (pengujian komposit lawan
komposit)
H : θ ≤ θ0

A : θ > θ0

2011


c. Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan
komposit)
H : θ ≥ θ0

A : θ < θ0

Berikut hanya akan dipelajari pengujian terhadap hipotesis yang
perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan,
disebut hipotesis nol H 0 melawan hipotesis tandingannya H 1 , yang

mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. H 1 harus
dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.
Pasangan H 0 dan H 1 yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut.

⎧H 0 : θ = θ 0
⎨ atau
⎩H 1 : θ ≠ θ 0

⎧H 0 : θ = θ 0
⎨ atau
⎩H 1 : θ > θ 0

⎧H 0 : θ = θ 0
⎨
⎩H 1 : θ < θ 0
Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t, χ 2 , F
atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data
sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf
nyata α atau disebut ukuran daerah kritis.

Peran hipotesis tandingan H 1 dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai
berikut:
1) Jika H 1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung
distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah

2011


1 α . Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis
2
dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah dibatasi oleh d1 dan d2 (pada contoh gambar d1 dinyatakan
dengan nilai z = -1,96 dan d2 dinyatakan dengan z = 1,96) yang harganya
diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan
oleh α .
Kriteria yang digunakan: terima H 0 jika harga statistik yang dihitung

berdasarkan data penelitian terletak diantara d1 dan d2, selain itu tolak H 0 .

2) Jika H 1 mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .

2011


Harga d (pada contoh gambar d dinyatakan dengan nilai z = 1,96) diperoleh
dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α ,
menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H 0 .

Kriteria yang digunakan: tolak H 0 jika statistik yang dihitung berdasarkan

sampel tidak kurang dari d, selain itu terima H 0 .

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3) Jika H 1 mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .
Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2)
di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri.
Kriteria yang digunakan: terima H 0 jika statistik yang dihitung berdasarkan

penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak H 0 .

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri.

Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah:
1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan.
2. Tentukan besarnya taraf nyata α .
3. Tentukan kriteria pengujian.
4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang
diambil.
5. Menarik kesimpulan menerima atau menolah H 0 berdasarkan hasil 3 dan 4.

4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ
dan simpangan baku σ . Untuk menguji parameter rata-rata µ , diambil
sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik x dan s .

2011


a. Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
⎧H : µ = µ 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 dengan µ 0 sebuah harga yang
⎩H 1 : µ ≠ µ 0
diketahui.
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H 0 jika − z 1 (1−α )
< z < z1 (1−α )
, selainnya tolak H 0 .
2 2

Dengan z 1 (1−α )
diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
2

peluang 1 (1 − α ) .
2
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
x − µ0
(II.1) z=
σ
n
dengan x adalah rata-rata sampel, µ 0 nilai yang diketahui, σ adalah

simpangan baku populasi.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh
Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar
800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah.
Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata
diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan
baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan
95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ; σ = 60

2011


⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 800
1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨ 0
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H1 : µ ≠ 800
2. Taraf signifikansi α = 5%.
< z < z1 (1−α )
2 2

− z1 (1−0, 05 )
< z < z1 (1−0, 05 )
− 1,96 < z < 1,96
2 2

diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
2

1 (1 − α ) .
2
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
x − µ0 792 − 800
z= = = −0,94
σ 60
n 50
5. Kesimpulan : karena z hitung = −0,94 terletak dalam daerah penerimaan

H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ = 800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu
masih 800 jam.

b. Dalam hal σ tidak diketahui
Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .
⎧H : µ = µ 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0
⎩H 1 : µ ≠ µ 0
− t1− 1 α < t < t1− 1 α
Terima H 0 jika 2 2 , selainnya tolak H 0 .

2011


Dengan t1− 1 α
diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)
2

dengan peluang 1 − 1 α dan dk = n − 1 .
2
x − µ0
(II.2) t=
s
n

(II.3) s2 =
∑ (x i − x)
n −1
dengan x adalah rata-rata sampel, µ 0 nilai yang diketahui, s adalah

simpangan baku sampel.

Contoh
Untuk contoh sebelumnya (kasus masa hidup lampu pijar), dimisalkan simpangan
baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah
dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah
atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ; s = 55
⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 800
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H1 : µ ≠ 800
− t1− 1 α < t < t1− 1 α
Terima H 0 jika 2 2 dengan dk = 50 - 1 = 49

− t1 (1−0, 05 )
< t < t1 (1−0, 05 )
− 2,01 < t < 2,01
2 2


2011


x − µ 0 792 − 800
t= = = −1,029
s 55
n 50
5. Kesimpulan : karena t hitung = −1,029 terletak dalam daerah penerimaan

H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ = 800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu
masih 800 jam.

5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Satu Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah
sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik x dan s .

Uji Pihak Kanan
⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ > µ 0
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α , selainnya H 0 diterima.

Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang (0,5 − α ) .
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).

Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .

2011


⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ > µ 0
Tolak H 0 jika t ≥ t1−α , selainnya H 0 diterima.

Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang 1 − α dan dk = n − 1 .
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).

Contoh
Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi
memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika
rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan
apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata
rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko
5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan
labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?
Penyelesaian
Diketahui x = 16,9 ; n = 20 ; σ = 2,3 , µ 0 =16

⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 16
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H1 : µ > 16
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α z 0,5−α = z0,5−0,05 = 1,64

2011


x − µ0 16,9 − 16
z= = = 2,65
σ 2,3
n 20
5. Kesimpulan : karena z hitung = 2,65 > z 0,5−α = 1,64 terletak pada daerah kritis

maka H 0 ditolak. Jadi, µ > 16 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan

risiko 5% metode baru dapat menggantikan metode lama.

Uji Pihak Kiri
⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ < µ 0
Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , selainnya H 0 diterima.

Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang (0,5 − α ) .

⎧H : µ = µ 0
⎩H 1 : µ < µ 0
Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α .

Terima H 0 jika t > −t1−α .

2011


Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang

1 − α dan dk = n − 1 .

Contoh
Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak
sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,
23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat rata-
rata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5%, bagaimanakah
pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x = 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; µ 0 = 5

Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui:
⎧H : µ = µ 0 ⎧H : µ = 5
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 yaitu ⎨ 0
⎩H 1 : µ ≠ µ 0 ⎩H 1 : µ < 5
Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat
tidak akan mengeluh.
Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α − t1−α = −t1−0,05 = −1,72 dengan dk = 23 - 1 = 22

x − µ 0 4,9 − 5
t= = = −2, ,398
s 0,2
n 23
5. Kesimpulan : karena t hitung = −2,398 < −t1−α = −1,72 terletak pada daerah kritis

maka H 0 ditolak. Jadi, µ < 5 . Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut

menguatkan keluhan masyarakat mengenai berat makanan kaleng yang kurang
dari berat yang tertera pada kemasan yaitu 5 ons.

2011


6. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π .
Untuk menguji parameter proporsi π , diambil sebuah sampel acak berukuran
x
n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar .
n
⎧H : π = π 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 dengan π 0 sebuah harga yang diketahui.
⎩H 1 : π ≠ π 0
< z < z1 (1−α )
2 2

2

2
x −π
(II.4) z = n 0

π 0 (1 − π 0 )
n

dengan x adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan π 0 adalah
n
proporsi yang diuji.

Contoh
Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah
sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki.
Dalam taraf nyata 5%, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah
sama.
Penyelesaian
Diketahui x = 2.458; n = 4800 ; µ 0 = 0,5

2011


⎧H 0 : π = π 0 ⎧H : π = 0,5
⎩H 1 : π ≠ π 0 ⎩H1 : π ≠ 0,5
< z < z1 (1−α )
2 2

− z1 (1−0, 05 )
< z < z1 (1−0, 05 )
− 1,96 < z < 1,96
2 2

x −π 2458 − 0,5
z= n 0
= 4800 = 1,68
π 0 (1 − π 0 ) 0,5(1 − 0,5)
n 4800
5. Kesimpulan : karena z hitung = 1,68 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka

H 0 diterima. Jadi, µ = 0,5 . Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin

tersebut adalah sama.

7. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan
⎧H : π = π 0
⎩H 1 : π > π 0
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α .

Terima H 0 jika z < z 0,5−α .

Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(0,5 − α ) .

2011



Uji Pihak Kiri
⎧H : π = π 0
⎩H 1 : π < π 0
Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , selainnya terima H 0 .


(0,5 − α ) .

Contoh
Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60% nya suka
menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran
berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah
diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan α =
5%, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita
suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60%.
Penyelesaian
Diketahui x = 40 n = 100
π 0 = 60% = 0,6
Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri:
⎧H 0 : π = π 0 ⎧H : π = 0,6
⎩H1 : π < π 0 ⎩H1 : π < 0,6

2011


Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α z ≤ − z 0,5−0,005 z ≤ − z 0, 45 z ≤ −1,64

Terima H 0 jika z > − z 0,5−α z > −1,64

z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5 − α ) .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)
x −π 40 − 0,6
z= n 0
= 100 = −4,08
π 0 (1 − π 0 ) 0,6(1 − 0,6 )
n 100
5. Kesimpulan: karena z hitung = −4,08 < − 1,64 = − z 0,5−α maka H 0 ditolak.

Jadi, π < π 0 . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita

menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.

8. Uji Hipotesis Varians σ 2 : Uji Dua Pihak
Pada pengujian rata-rata µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana
simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan
untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan
populasi berdistribusi normal dengan varians σ 2 dan daripadanya diambil
sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya s 2 dihitung
dengan rumus:

∑ (x − x) n∑ xi − (∑ xi )
2 2 2

= atau s =
2 i 2
s
n −1 n(n − 1)
⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪
1. Hipotesis pengujian ⎨
⎪H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2
⎩
Terima H 0 jika χ 1 α < χ 2 < χ12− 1 α , selainnya tolak H 0 .
2
2 2

2011


Dengan χ 1 α dan χ12− 1
2
α
diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat
2 2

dengan dk = n − 1 dan masing-masing peluang 1 α dan 1 − 1 α .
2 2
( )

(II.5) χ 2 =
(n − 1)s 2
σ 02

(II.6) s 2 =
∑ (x i − x)
2

atau
n −1

n∑ xi − (∑ xi )
2 2

(II.7) s 2 =
n(n − 1)

Contoh
Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan
ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi
normal, benarkah σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%.
Penyelesaian
Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam
⎧
⎪H 0 : σ = σ 0
2 2
⎧
⎪H 0 : σ = 3600
2

1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨
⎪H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2
⎩ ⎪H1 : σ 2 ≠ 3600
⎩
Terima H 0 jika χ 1 α < χ 2 < χ12− 1
2
α
dengan dk = n − 1 = 50 − 1 = 49
2 2

χ 1 .0, 05 < χ 2 < χ12− 1 .0,05
2
χ 02, 025 < χ 2 < χ 02,975
2 2

32,4 < χ 2 < 71,4

χ2 =
(n − 1)s 2 =
(50 − 1)(3,025) = 41,174
σ 2
0 3600

2011


5. Kesimpulan : karena χ 2 = 41,174 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka

H 0 diterima. Jadi, σ 2 = 3600 . Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata

5%.

9. Uji Hipotesis Varians σ 2 : Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan
⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪
⎪H 1 : σ 2 > σ 0 2
⎩
Tolak H 0 jika χ 2 ≥ χ12−α , selainnya terima H 0 .

Dengan χ12−α diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan

dk = n − 1 dan peluang (1 − α ) .
menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

Uji Pihak Kiri
⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪
⎪H 1 : σ 2 < σ 0 2
⎩
Tolak H 0 jika χ 2 ≤ χ α , selainnya terima H 0 .
2

Dengan χ α diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan dk = n − 1
2

dan peluang α .

2011


menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

Contoh (Walpole)
Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi
hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel
acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf
nyata 5% untuk menguji apakah σ > 0,81 tahun!
Penyelesaian
Diketahui σ 0 = 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun

⎧H 0 : σ 2 = σ 0 2
⎪ ⎧H 0 : σ 2 = 0,81
⎪
1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨
⎪H 1 : σ > σ 0
⎩
2 2
⎪H1 : σ 2 > 0,81
⎩
Tolak H 0 jika χ 2 ≥ χ12−α , selainnya terima H 0 .

χ 1 .0,05 = 16,919 dengan dk = n − 1 = 10 − 1 = 9
2
2


χ2 =
(n − 1)s 2 =
(10 − 1)(31,44) = 16,0
σ 2
0 0,81

5. Kesimpulan : karena χ 2 = 16 < χ 1
2
.0 , 05
= 16,919 terletak dalam daerah
2

penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, σ 2 = 0,81 . Artinya, tidak ada alasan

meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.

10. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak
Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi.
Misalnya membandingkan hasil belajar, daya kerja suatu obat, dsb. Maka

2011


akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya
selisih rata-rata dan selisih proporsi.
Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ1 dan σ 1 untuk populasi
pertama, µ 2 dan σ 2 untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah
sampel acak dengan ukuran n1 dan n2 dari masing-masing populasi. Rata-rata
dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x1 , s1 dan x 2 , s 2 .
Akan diuji tentang rata-rata µ1 dan µ 2 .

a. Dalam hal σ 1 = σ 2 = σ dan σ diketahui
⎧H 0 : µ1 = µ 2
a. Hipotesis pengujian ⎨
⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2
b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c. Kriteria pengujian.
− z 1 (1−α ) < z < z 1 (1−α )
Terima H 0 jika 2 2 , selainnya tolak H 0 .
2

2
d. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
x1 − x 2
(II.8) z=
1 1
σ +
n1 n2

e. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ 1 = σ 2 = σ tetapi σ tidak diketahui
⎧H : µ = µ 2
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1
⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2

2011


Terima H 0 jika − t1− 1 α
< t < t1− 1 α , selainnya tolak H 0 .
2 2

Dengan t1− 1 α
diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)
2

dengan peluang 1− 1 α dan dk = n1 + n2 − 2 .
2
x1 − x2
(II.9) t=
1 1
s +
n1 n2

(II.10) s2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2

Contoh (Sudjana)
Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk
jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam.
Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi
makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam (ons) sebagai berikut
Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7
Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5%, apakah kedua
makanan tersebut sama baiknya atau tidak!
Penyelesaian
2 2
Diketahui dari data di atas x A = 3,22 ; x B = 3,07 ; s A = 0,1996 ; s B = 0,1112.
Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar.
Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ 1 = σ 2 = σ tetapi σ tidak diketahui

⎧H : µ = µ 2
⎩H1 : µ1 ≠ µ 2

2011


< t < t1− 1 α
dengan dk = n1 + n2 − 2 = 11 + 10 − 2 = 19
2 2

− t1− 1 α
< t < t1− 1 α
− t1− 1 .0 , 05
< t < t1− 1 .0 , 05
− 2,09 < t < 2,09
2 2 2 2


Simpangan baku gabungan s 2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 diperoleh s = 0,397.
n1 + n2 − 2

x1 − x2 3,22 − 3,07
t= = = 0,862
s
1
+
1
(0,397 ) +1 1
n1 n2 11 10

5. Kesimpulan : karena − 2,09 < t hitung = 0,862 < 2,09 terletak dalam daerah

penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ1 = µ 2 . Artinya, kedua macam

makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama,
sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.

c. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2 dan keduanya tidak diketahui
Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan.
Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik
t′ .
⎧H : µ = µ 2
⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2
w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2
Terima H 0 jika − < t′ < 1 1 , untuk harga t yang
w1 + w2 w1 + w2

lain H 0 ditolak.

s12 s2
Dengan w1 = ; w2 = 2
n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1)
2 1 2 2

2011


t β ,m diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan

dk = m .
x1 − x2
(II.11) t′ =
2
s12 s 2
+
n1 n2


Contoh (Sudjana)
Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah
kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari rata-
rata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing
dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi x1 = 9,25 kg ; x2 =
10,4 kg ; s1 = 2,24 kg ; s2 = 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan
varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5%, ujilah bagaimana
hasilnya!
Penyelesaian
Diketahui x1 = 9,25 kg ; x2 = 10,4 kg ; s1 = 2,24 kg ; s2 = 3,12 kg.
Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar.
Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ 1 ≠ σ 2 dan keduanya tidak diketahui
1. Hipotesis pengujian
⎧H 0 : µ1 = µ 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan
⎪
⎪ kualitas rata - rata daya tekan yang sama
⎨
⎪H1 : µ1 ≠ µ 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan
⎪
⎩ kualitas rata - rata daya tekan yang berbeda

w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2
Terima H 0 jika − < t′ < 1 1
w1 + w2 w1 + w2

2011


s12 5,0176 s 2 9,7344
w1 = = = 0,2509 ; w2 = 2 = = 0,4867
n1 20 n2 20

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) == t (1− 1 .0,05 ),(20−1) = t 0,975;19 = 2,09
2 1 2

t 2 = t (1− 1 α ),(n −1) = t (1− 1 .0,05 ),(20−1) = t 0,975;19 = 2,09
2 2 2

w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2
Sehingga − < t′ < 1 1
w1 + w2 w1 + w2

−
(0,2509)(2,09) + (0,4867 )(2,09) < t ′ < (0,2509)(2,09) + (0,4867 )(2,09)
(0,2509) + (0,4867 ) (0,2509) + (0,4867 )
− 2,09 < t ′ < 2,09
x1 − x2 9,25 − 10,4
t′ = = = 1,339
s12 s2
2
5,0176 9,7344
+
+
n1 n2 20 20

5. Kesimpulan : karena − 2,09 < t ′ = 1,339 < 2,09 terletak dalam daerah
penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ1 = µ 2 . Artinya, kedua proses

menghasilkan barang dengan kualitas yang sama baiknya.

d. Observasi berpasangan
Untuk observasi berpasangan, maka diambil µ B = µ x − µ y .

Jika B1 = x1 − y1 , B2 = x2 − y 2 ,…, Bn = xn − y n , maka data B1 , B2 ,…,

Bn menghasilkan rata-rata B dan simpangan baku s B .

⎧H : µ = 0
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 B
⎩H 1 : µ B ≠ 0
< t < t1− 1 α , selainnya tolak H 0 .
2 2

2011


Dengan t1− 1 α
diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang
2

1 − 1 α dan dk = n − 1 .
2
B
(II.12) t=
sB
n

11. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak
Serupa dengan uji dua pihak, pada uji satu pihak juga dimisalkan dipunyai dua
buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing
µ1 dan µ 2 dan simpangan baku σ 1 dan σ 2 .

Uji Pihak Kanan
a. Dalam hal σ 1 = σ 2
⎧H : µ = µ 2
1) Hipotesis pengujian ⎨ 0 1
⎩ H 1 : µ1 > µ 2
2) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3) Kriteria pengujian.
Terima H 0 jika t < t1−α , dan tolak H 0 untuk harga t yang lain.

Dengan dk = n1 + n2 − 2 dan peluang (1 − α ) dari daftar distribusi t.
4) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).
5) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik
t′ .

2011


⎧H : µ = µ 2
a) Hipotesis pengujian ⎨ 0 1
⎩ H 1 : µ1 > µ 2
b) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c) Kriteria pengujian.
w1t1 + w2 t 2
Tolak H 0 jika t ′ ≥ , dan terima H 0 jika terjadi sebaliknya.
w1 + w2

s12 s2
n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1)
2 1 2 2

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah (1 − α ) sedangkan
derajat kebebasannya masing-masing (n1 − 1) dan (n2 − 1) .
d) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t ′ yang sama dengan rumus (II.11).
e) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

⎧H : µ = 0
⎩H 1 : µ B > 0
Tolak H 0 jika t ≥ t1−α , selainnya terima H 0 .

Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang 1 − α

dan dk = n − 1 .

2011


Uji Pihak Kiri
a. Dalam hal σ 1 = σ 2 dan keduanya tidak diketahui
⎧H : µ = µ 2
⎩ H 1 : µ1 < µ 2
Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α , dan terima H 0 untuk harga t yang lain.

Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan dk = n1 + n2 − 2

dan peluang (1 − α ) .
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).

Pendekatan yang diggunakan adalah statistik t ′ .
⎧H : µ = µ 2
⎩ H 1 : µ1 < µ 2
w1t1 + w2 t 2
Tolak H 0 jika t ′ ≤ − , dan terima H 0 jika terjadi
w1 + w2
sebaliknya.
s12 s2
n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1)
2 1 2 2

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah (1 − α ) sedangkan
derajat kebebasannya masing-masing (n1 − 1) dan (n2 − 1) .

2011


menggunakan statistik t ′ yang sama dengan rumus (II.11).

⎧H : µ = 0
⎩H 1 : µ B < 0
Tolak H 0 jika t ≤ −t (1−α ),(n −1) , dan terima H 0 untuk t > −t (1−α ),(n−1) .


12. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai dua populasi binomial yang di dalamnya didapat proporsi
peristiwa A sebesar π 1 dan π 2 . Secara independen dari tiap populasi diambil
sebuah sampel acak berukuran n1 dan n2 . Proporsi untuk peristiwa yang
x1 x
diperhatikan pada sampel tersebut adalah dan 2 .
n1 n2
⎧H : π = π 2
⎩H 1 : π 1 ≠ π 2
< z < z1 (1−α )
2 2

2

2

2011


menggunakan pendekatan distribusi normal.
x1 − x2
n1 n2
(II.13) z=
⎧1 1 ⎫
pq ⎨ + ⎬
⎩ n1 n2 ⎭
x1 + x2
dengan p = dan q = 1 − p
n1 + n2

Contoh
Di kecamatan Semarang Barat dari 250 siswa SD, 150 orang suka matematika.
Di kecamatan Gunungpati dari 300 siswa SD, 162 orang suka matematika.
Dengan α = 5%, ujilah adakah perbedaan yang signifikan tentang kesukaan
matematika di kedua kecamatan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x1 = 150 n1 = 250
X2 = 162 n2 = 300
⎧H : π = π 2
⎩H 1 : π 1 ≠ π 2
< z < z1 (1−α )
2 2

− z1 (1−0, 05 )
< z < z1 (1−0, 05 )
2 2

− 1,96 < z < 1,96

z1 (1−α )
dari daftar distribusi normal baku dengan peluang 1 (1 − α ) .
2 2
x1 + x2 150 + 162
p= = = 0,5673
n1 + n2 250 + 300

2011


q = 1 − p = 1 − 0,5673 = 0,4327
x1 − x2
n1 n2
150 − 162
z= = 250 300 = 1,43
⎧1 1⎫ ⎧ 1 1 ⎫
pq ⎨ + ⎬ (0,5673)(0,4327 )⎨ + ⎬
⎩ n1 n2 ⎭ ⎩ 250 300 ⎭

5. Kesimpulan: karena −1,96 < z hitung = 1,43 <1,96 maka H 0 diterima.

Jadi, π 1 = π 2 . Artinya tidak ada perbedaan yang signifikan kesukaan
matematika di kecamatan Semarang Barat maupun di kecamatan Gunungpati.

13. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan
⎧H : π = π 2
⎩H 1 : π 1 > π 2
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α dan Terima H 0 jika z < z 0,5−α .


(0,5 − α ) .

Uji Pihak Kiri
⎧H 0 : π 1 = π 2
⎩H 1 : π 1 < π 2

2011


Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , dan terima H 0 jika z > − z 0,5−α .


(0,5 − α ) .

Contoh (Sudjana)
Terdapat dua kelompok A dan B, masing-masing terdiri atas 100 pasien yang
menderita suatu penyakit. Kepada kelompok A diberika obat tertentu sedangkan
pada kelompok B tidak. Dalam waktu 1 bulan, terdapat 80 orang yang sembuh
dari kelompok A dan 68 orang yang sembuh dari kelompok B. Dengan α = 1%,
ujilah adakah penelitian dengan pemberian obat ini membantu menyembuhkan
penyakit!
Penyelesaian
Diketahui xA = 80 nA = 100
xB = 68 nB = 100
⎧H : π = π B
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 A
⎩H1 : π A > π B
Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α dan Terima H 0 jika z < z 0,5−α .

z 0,5−α = z 0,5−0,05 = 1,64

x A + xB 80 + 68
p= = = 0,74
n A + nB 100 + 100
q = 1 − p = 1 − 0,74 = 0,26

2011


xA − xB
nA nB
80 − 68
z= = 100 100 = 1,94
⎧1 1⎫ ⎧ 1 1 ⎫
pq ⎨ + ⎬ (0,74)(0,26)⎨ + ⎬
⎩ n A nB ⎭ ⎩100 100 ⎭

5. Kesimpulan: karena z hitung = 1,94 > 1,64 maka H 0 ditolak.

Jadi, π A > π B . Artinya, pada taraf 5%, pemberian obat dapat membantu
penyembuhan penyakit.
Bagaimanakah bila penelitian ini diuji dengan taraf nyata 1%, apakah masih
memberikan hasil yang sama dengan kesimpulan di atas!

14. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Dua Pihak
Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan atau perbedaan dua
rata-rata ditekankan asumsi bahwa kedua populasi memiliki varians yang
sama agar menaksir dan menguji bisa dilakukan. Dalam hal varians yang
berbeda, hingga saat ini hanya digunakan cara pendekatan. Oleh karena itu,
maka perlu dilakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih.
Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi
dengan varians yang homogen. Bila populasi tersebut memiliki varians yang
berbeda disebut populasi dengan varians yang heterogen.

Berikut akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi.
Misalkan dipunyai dua populasi normal dengan varians σ 1 dan σ 2 .
2 2

⎧H : σ 2 = σ 2 2
⎪
1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 2
⎪H1 :: σ 1 ≠ σ 2 2
⎩
Terima H 0 jika F(1− 1 α ),(n −1,n −1) < F < F1 (n −1,n −1) , selainnya tolak H 0 .
2 1 2 2α 1 2

Dengan Fβ (m,n ) diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan

dk pembilang m dan dk penyebut n.

2011


4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil jika
sampel dari populasi pertama berukuran n1 dengan variansi s12 dan sampel
2
dari populasi kedua berukuran n2 dengan variansi s 2 .
2
s1
(II.14) F= 2
s2

Statistik lain yang digunakan
Varians terbesar
(II.15) F=
Varians terkecil
Kriteria pengujian.
Tolak H 0 jika F ≥ F1 α (v1 ,v2 )
.
2

Dengan F1 α (v1 ,v2 )
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang 1 α
2 2
dan derajat kebebasan v1 dan v2.

Contoh
Dari dua populasi siswa diukur hasil prestasi belajar siswa. Dari populasi pertama
2
diukur 10 orang siswa ternyata s1 = 24,7. Dari populasi kedua diukur 13 siswa

ternyata s2 = 37,2. Dengan α = 10%, ujilah apakah kedua populasi tersebut
2

homogen.
Penyelesaian
2
Diketahui s1 = 24,7 n1 = 10
2
s2 = 37,2 n2 = 13
⎧
⎪H 0 : σ 1 = σ 2
2 2

⎪H1 :: σ 12 ≠ σ 2 2
⎩

2011


Terima H 0 jika F(1− 1 α ),(n −1,n −1) < F < F1 (n −1,n −1)
2 1 2 2α 1 2

F(1− 1 (0,1)),(10−1,13−1)
< F < F1 (0,1),(10−1,13−1)
2 2

F0,95,(9,12 ) < F < F0,05,(9,12 )

1
< F < F0,05,(9,12 )
F0, 05,(9,12 )

1
< F < 2,80
3,07
0,3257 < F < 2,80
Dengan Fβ (m,n ) diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan

dk pembilang m dan dk penyebut n.
2
s1 24,7
F= 2
= = 0,664
s2 37,2

5. Kesimpulan: karena 0,3257 < Fhitung = 0,664 < 2,80 maka H 0 diterima.

Jadi, σ 1 = σ 2 . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi
2

tersebut homogen.

Bila digunakan statistik lain
Varians terbesar 37,2
F= = = 1,506
Varians terkecil 24,7
Kriteria pengujian.
Tolak H 0 jika F ≥ F1 α (v1 ,v2 )
F ≥ F1 (0,1)(12, 9 )
= 3,07 .
2 2

Dengan F1 α (v1 ,v2 )
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang 1 α dan
2 2
derajat kebebasan v1 dan v2.
Kesimpulan: karena Fhitung = 1,506 < 3,07 maka H 0 diterima.

Jadi, σ 1 = σ 2 . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi tersebut
2

homogen.

2011


15. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan
⎧H 0 : σ 1 2 = σ 2 2
⎪
⎪H1 :: σ 1 2 > σ 2 2
⎩
Tolak H 0 jika F ≥ Fα (n1 −1,n2 −1) , selainnya terima H 0 .

menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14)

Uji Pihak Kiri
⎧H 0 : σ 1 2 = σ 2 2
⎪
⎪H1 :: σ 1 2 < σ 2 2
⎩
Tolak H 0 jika F < F(1−α )(n1 −1,n2 −1) , selainnya terima H 0 .

menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14).

16. Uji Homogenitas Varians Populasi
Berikut merupakan perluasan untuk menguji kesamaan k buah (k ≥ 2) varians
populasi yang berdistribusi normal.
Misalkan dipunyai k (k ≥ 2) buah populasi berdistribusi independen dan

normal massing-masing dengan varians σ 12 , σ 2 ,K, σ k2 .
2

2011


Akan diuji hipotesis
⎧H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 = K = σ k 2
⎨
⎩H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku
berdasarkan sampel acak yang diambil dari setiap populasi.
Terdapat beberapa metode untuk melakukan pengujian homogenitas varians
populasi, antara lain uji Bartlett.

LATIHAN
1. Pengusaha ban mobil X mengatakan bahwa produksi bannya tahan pakai
dalam pemakaian mobil sejauh 80.000 km. Timbul dugaan bahwa masa pakai
ban telah berubah, untuk menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan cara
menguji 50 ban dan diperoleh rata-rata pemakaian 79.200 km. Dari
pengalaman diketahui simpangan baku mas apakai ban 6000 km dengan taraf
nyata 5%. Selidiki apakah kualitas ban tersebut telah berubah atau belum!

2. Diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa FMIPA dengan nilai matematika
sbb: 65, 66, 67, 60, 62, 64, 70, 72, 60, 62, 63, 64, 65, 65, 66, 65, 64, 64, 63,
65. Dengan menggunakan taraf signifikansi α = 5% dan α = 1%, ujilah
hipotesis yang mengatakan bahwa rata-rata penguasaan matematika
mahasiswa FMIPA adalah 65.

3. Ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan (berarti) dari prestasi hasil
belajar siswa dengan penerapan dua metode pembelajaran yang berbeda yaitu
Metode A dan Metode B. Diketahui informasi dari sampel yang diberi Metode
A yaitu n = 30 dan x = 60. Sedangkan dari sampel yang diberi Metode B
dengan n = 32 dan x = 62. Dan diketahui dari pengalaman bahwa σ 1 = σ 2 =6
dan α = 5%.

4. Dua jenis makanan ternak A dan B diberikan pada sapi secara terpisah dalam
jangka waktu tertentu. Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik
untuk ternak tersebut, untuk itu diambil sampel 11 ekor sapi diberi makanan A

2011


dan 10 ekor sapi lain diberi makanan B. Setelah pemberian makanan ternak
tersebut dalam waktu 1 minggu, dicatat pertambahan berat sapi (dalam kg)
sbb:
Makanan A : 3,4 4,0 3,8 2,7 3,6 3,0 2,6 2,9 3,3 3,0 3,1
Makanan B : 3,7 2,6 3,0 3,0 2,9 3,3 3,2 3,4 2,9 2,7
Dengan α = 5%, tentukan apakah kedua jenis makanan ternak tersebut sama
baiknya jika diasumsikan:
a. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi sama tapi
tidak diketahui.
b. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi tidak sama
tidak diketahui.

5. Dilakukan penelitian untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan
kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika. Berdasarkan
sampel yang diambil secara acak, dan setelah ditest diperoleh kemampuan
pegawai pria (X1) dan kemampuan pegawai wanita (X2) sebagai berikut:
X1 : 70 80 76 40 80 70 90 99 60 50 76 41 72 90 50
X2 : 70 70 90 40 90 80 70 40 50 90 70 40 72 80 42
Buktikan hipotesis tersebut dengan α = 5%!

6. Diadakan eksperimen pembelajaran matematika dengan Model I dan Model
II. Digunakan sampel berpasangan sejumlah 12 pasang. Setelah dilakukan
eksperimen diperoleh hasil tes matematika sbb:
Model I 60 64 52 70 53 100 20 40 30 45 66 65
Model II 58 62 54 70 50 96 22 38 35 42 65 66
Dengan α = 5%, ujilah apakah rata-rata hasil belajar dari kedua populasi
tersebut sama atau berbeda secara signifikan!

2011


BAB III
ANALISIS VARIANS

Analisis varians (ANAVA) atau analysis of variance (ANOVA) adalah suatu
teknik statistik yang memungkinkan untuk mengetahui apakah dua atau lebih
mean populasi bernilai sama dengan menggunakan sampel dari masing-masing
populasi yang diuji. Analisis varians merupakan teknik analisis yang fungsinya
hampir sama dengan teknik t-tes, yaitu untuk menguji perbedaan mean (rata-rata)
dari sampel. Kelebihan analisis varians dibandingkan dengan uji-t dalam
rancangan penelitian eksperimen adalah dalam menguji beda mean analisis
varians tidak hanya terbatas pada mean dua sampel namun dapat digunakan untuk
menguji kesamaan atau perbedaan antar rata-rata dari k buah (k > 2) populasi
yang berdistribusi normal.

Dasar pemikiran penggunaan analisis varians adalah bahwa varians total semua
subjek dalam suatu eksperimen dapat dianalisis dari dua sumber, yaitu variansi
antar kelompok dan variansi di dalam kelompok.

Asumsi dasar dari analisis varians adalah sebagai berikut:
Populasi yang diamati memiliki distribusi normal.
Pengambilan sampel dilakukan secara acak dan setiap sampel independen/tidak
terikat sampel yang lain.
Populasi-populasi dimana nilai sampel diperoleh memiliki varians populasi yang
sama atau dapat ditulis σ 12 , = σ 2 = K = σ k2 dengan k jumlah populasi.
2

Dikenal beberapa jenis varians sampel s 2 , salah satunya dihitung dengan rumus

∑ (x − x)
2

s 2
=
i
dan varians populasi adalah σ 2 .
n −1
Varians untuk sekumpulan data ini melukiskan derajat perbedaan atau variansi
nilai data individu yang ada dalam kelompok atau kumpulan data tersebut.

2011


Variansi ini dihitung dari nilai rata-rata kumpulan data. Selain itu dikenal pula
varians sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang σ x , untuk
2

proporsi dengan lambang σ x , dan sebagainya.
2
n

Langkah-langkah Analisis varians adalah sebagai berikut:
1. Rumuskan hipotesis nol ( H 0 ) dan hipotesis tandingannya ( H 1 ).

H 0 : mean k populasi (k > 2 ) yang berdistribusi normal adalah sama.

H 1 : diantara k populasi (k > 2 ) terdapat mean populasi yang berbeda.
(minimum ada satu tanda sama dengan tidak berlaku)
Atau secara matematis
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 =K = µ k

H 1 : µ1 ≠ µ 2 = µ 3 =K = µ k
µ1 = µ 2 ≠ µ 3 =K ≠ µ k
µ1 ≠ µ 2 ≠ µ 3 ≠ K ≠ µ k
2. Ambil sampel acak dari k buah (k > 2 ) populasi sbb:
Sampel I Sampel II Sampel III ... Sampel k
x11 x12 x13 ... x1k
x 21 x 22 x 23 ... x 2k
x 31 x 32 x 33 ... x 3k
M M M ... M
x n1 x n2 x n3 ... x nk
x1 x2 x3 ... xk

4. Gunakan statistik F (Fisher)
VAM var ians antar means
Fhitung = =
VDK var ians dalam kelompok

n∑ (x j − x )
k
2

j =1
VAM = σ 2 = nS x2 = , dk = k − 1
k −1

2011


∑∑ (x − xj )
n k
2
ij
i =1 j =1
VDK =
k (n − 1)
Dengan x mean dari semua mean sampel
x j mean sampel ke-j, j = 1, 2, ..., k

xij nilai data observasi ke-i dari sampel ke-j

Terima H 0 jika Fhitung ≤ Fα ;(k −1,k (n−1)) .

Tolak H 0 jika Fhitung > Fα ;(k −1,k (n−1)) .

6. Mengambil kesimpulan berdasarkan hasil 4 dan 5.
7. Jika H 0 diterima maka pengujian berakhir.

Jika H 0 ditolak, analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut salah satunya

dengan menggunakan Uji LSD 1 (Least Significant Different).
α
2

LSD 1 = t1− 1 α ,k ( n −1)
. Sd
1− α 2
2

s2 s2
Sd = + , s 2 = VDK
ni n j

Kriteria pengujian Uji lanjut LSD 1
1− α
2

Bandingkan antara xi dan x j : xi ≠ x j jika d ij = xi − x j > LSD 1 .
1− α
2

Contoh
Diterapkan model pembelajaran dengan 3 metode, kemudian dilakukan tes dan
diperoleh skor hasil tes sbb:
Sampel Metode I Metode II Metode III
ke-
1 25 22 22
2 29 25 21
3 28 24 26
4 30 25 23

2011


a. Dengan anava selidikilah apakah ada perbedaan diantara tiga mean skor
hasil belajar dengan ketiga metode tersebut.
b. Bila terdapat perbedaan, dengan uji lanjut selidikilah model pembelajaran
yang manakah yang terbaik. Gunakan α = 5%.
Penyelesaian
Diketahui x1 = 28 x2 = 24 x3 = 23

x = 25
Langkah-langkah Analisis varians:
Merumuskan hipotesis uji
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3

H 1 : paling sedikit ada satu tanda sama dengan tidak berlaku.
Sampel acak dari 3 buah populasi seperti tertera pada soal di atas.
Taraf signifikansi α = 5%..
Gunakan statistik F (Fisher)

n∑ (x j − x )
k

{ }
2

4 (28 − 25) + (24 − 25) + (23 − 25)
2 2 2
j =1
VAM = = = 28
k −1 3 −1

∑∑ (x − xj )
n k
2
ij
i =1 j =1
VDK =
k (n − 1)
⎧⎡(25 − 28)2 + (29 − 28)2
⎪ + ⎤ ⎡(22 − 28) + (25 − 28)
2 2
+ ⎤ ⎡(22 − 28) + (21 − 28) + ⎤ ⎫
2 2
⎪
⎨⎢ ⎥+⎢ ⎥+⎢ ⎥⎬
⎪⎢(28 − 28) + (30 − 28) ⎥ ⎢(24 − 28) + (25 − 28) ⎥ ⎢(26 − 28) + (23 − 28) ⎥ ⎪
2 2 2 2 2 2

= ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭
3(4 − 1)
1
= = 3,78
9

VAM 28
Fhitung = = = 7,41
VDK 3,78
Kriteria pengujian.
Terima H 0 jika Fhitung ≤ Fα ;(k −1,k (n−1))

Tolak H 0 jika Fhitung > Fα ;(k −1,k (n−1))

2011


Fα ;(k −1,k (n−1)) = F0,05;(3−1,3(4−1)) = F0,05;(2,9 ) = 4,26

Kesimpulan : karena Fhitung = 7,41 > Fα ;(k −1,k (n−1)) = 4,26 maka H 0 ditolak.

Artinya, ada perbedaan diantara ketiga mean skor hasil belajar dengan
ketiga metode tersebut.
Karena H 0 ditolak, maka analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut menggunakan

Uji LSD 1
1− α
2

s2 s2 3,78 3,78
Sd = + = + = 1,3748 , s 2 = VDK = 3,78
ni n j 4 4

LSD 1 = t1− 1 α , k ( n −1)
. S d = t1− 1 (0 , 05 ),3( 4−1)
. (1,3748)
1− α 2 2
2

= t (0,975 ),9 . (1,3748)
= (2,26 ). (1,3748) = 3,11
Kriteria pengujian Uji lanjut LSD 1
1− α
2

Bandingkan antara xi dan x j : xi ≠ x j jika d ij = xi − x j > LSD 1 .
1− α
2

d12 = x1 − x2 = 28 − 24 = 4 > LSD 1 = 3,11 . Berarti x1 > x2 .
1− α
2

d13 = x1 − x3 = 28 − 23 = 5 > LSD 1 = 3,11 . Berarti x1 > x3 .
1− α
2

d 23 = x2 − x3 = 24 − 23 = 1 < LSD 1 = 3,11 . Berarti x2 = x3 .
1− α
2

Kesimpulan : Metode pembelajaran yang paling efektif adalah model
pembelajaran I, yang paling berbeda diantara ketiga metode tersebut.

LATIHAN
1. Dilakukan penelitian tentang produksi susu sapi dari 3 lokasi. Diambil 10 sapi
sebagai sampel dari masing-masing lokasi. Penelitian selama 3 bulan tercatat
hasil seperti pada data berikut.

2011


Jawa Madura Bali
341 360 302
323 300 304

Produksi susu (liter)
356 296 286
289 223 245
343 250 235
335 296 216
361 284 287
298 200 296
300 208 264
309 231 259
Dengan taraf signifikansi α = 5%, selidiki apakah ada perbedaan
perbandingan produksi susu sapi di 3 lokasi tersebut? Jika ada perbedaan
manakah yang paling berbeda!

2. Dilakukan pengamatan terhadap hasil tes UAN siswa SMA. Para siswa itu
dikelompokkan dalam 3 kategori (1) SMA Favorit, (2) SMA Negeri, dan (3)
SMA Swasta. Diperoleh data pengamatan sebagai berikut:
No SMA Nilai No SMA Nilai No SMA Nilai
1 favorit 4,25 8 negeri 4,00 15 swasta 4,00
Selidiki apakah ketiga kelompok tersebut memiliki nilai rata-rata UAN yang
sama dengan taraf signifikansi α = 5%.

3. Dilakukan penelitian mengenai berat badan mahasiswa berdasarkan sarapan
yang dimakan dari 4 kelompok sampel dan diperoleh data berat badan (dalam
kg) sbb:
Sampel Mie Nasi Roti Singkong
ke- instan
1 45 46 47 43
2 55 54 58 52
3 40 45 44 40
4 65 64 65 48
5 60 62 63 58
6 58 59 62 60
7 57 54 59 55

2011


Dengan taraf signifikansi α = 5%, selidiki sarapan manakah yang membuat
berat badan mahasiswa lebih tinggi dari yang lain!

2011


BAB IV
ANALISIS REGRESI

1. Pendahuluan
Metode analisis yang telah dibahas sebelumnya adalah analisis terhadap data
mengenai sebuah karakteristik atau atribut (data kualitatif) dan mengenai
sebuah variabel, diskrit maupun kontinu (data kuantitatif). Namun, kenyataan
yang terjadi, banyak persoalan yang meliputi lebih dari sebuah variabel.
Misalkan, hasil belajar siswa tergantung pada waktu belajar, hasil produksi
padi tergantung pada cuaca serta penggunaan pupuk, dan lain sebagainya.
Oleh karena itu perlu untuk mempelajari analisis data yang terdiri atas banyak
variabel.

Jika dipunyai data yang terdiri atas dua atau lebih variabel, maka dapat
dipelajari bagaimana variabel-variabel tersebut berhubungan. Hubungan yang
diperoleh umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang
menyatakan hubungan fungsional antara variabel. Studi yang mmempelajari
hubungan antar variabel ini dikenal dengan analisis regresi.

Tujuan dari bab ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau
persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel.
Yang akan dibahas adalah regresi garis sederhana, dimana akan dibahas
mengenai hubungan antara dua variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan
dalam suatu garis lurus. Selanjutnya tujuan dari penggunaan persamaan
regresi adalah memperkirakan nilai dari suatu variabel pada nilai tertentu dari
variabel lain dengan kata lain persamaan regresi digunakan untuk peramalan.

2. Hubungan Fungsional Antara Variabel
Dalam analisis regresi, variabel akan dibedakan menjadi dua, yaitu variabel
bebas (variabel prediktor) dan variabel takbebas (variabel respon). Variabel
yang mudah diperoleh atau tersedia dapat digolongkan ke dalam variabel

2011


bebas sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas, merupakan
variabel takbebas. Dalam analisis regresi, variabel bebas akan dinyatakan
dengan X 1 , X 2 , K , X k (k ≥ 1) sedangkan variabel takbebas dinyatakan

dengan Y.

Telah diketahui bahwa statistika bertujuan untuk menyimpulkan populasi
dengan menggunakan hasil analisis data sampel. Untuk analisis regresi juga
akan ditentukan hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi
berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
Hubungan fungsional ini akan dituliskan dalam bentuk persamaan matematik
yang disebut dengan persamaan regresi yang akan bergantung pada
parameter-parameter.

Secara umum model atau persamaan regresi untuk populasi dapat ditulis
dalam bentuk
(IV.1) µ y. x , x ,K, x = ( X 1 , X 2 , K , X k θ1 , θ 2 , K , θ m )
1 2 k

Dengan θ1 , θ 2 , K ,θ m parameter-parameter yang ada dalam regresi.

Model regresi sederhana untuk populasi dengan sebuah variabel bebas yang
biasa dikenal dengan regresi linier sederhana adalah
(IV.2) µ y. x = θ 1 + θ 2 X

Dalam hal ini parameternya adalah θ 1 dan θ 2 .
Berdasarkan sebuah sampel, akan ditentukan atau ditaksir persamaan regresi
populasi pada rumus (IV.1). Hal ini dapat dilakukan dengan jalan menaksir
parameter-parameter θ 1 , θ 2 , K , θ m .

Untuk kasus regresi linier sederhana, perlu ditaksir parameter θ 1 dan θ 2 . Jika
θ 1 dan θ 2 ditaksir oleh a dan b , maka persamaan regresi berdasarkan
sampel adalah
(IV.3) Y = a + bX
ˆ

2011


Regresi dengan X merupakan variabel bebas dan Y variabel takbebasnya
dinamakan regresi Y atas X.

Model regresi populasi pangkat dua atau parabola untuk sebuah variabel bebas
dengan parameter θ 1 , θ 2 dan θ 3 adalah

(IV.4) µ y . xx = θ 1 + θ 2 X + θ 3 X 2
2

Dan berdasarkan sampel acak, parameter-parameter θ1 , θ 2 dan θ 3 perlu

ditaksir dengan persamaan berikut
(IV.5) Y = a + bX + cX 2
ˆ

Dengan a , b dan c masing-masing diperoleh dari perhitungan berdasarkan
data penelitian yang berturut-turut merupakan taksiran untuk θ1 , θ 2 dan θ 3 .

Berikut cara menentukan persamaan regresi, apabila dimiliki data
pengamatan.

3. Metode Tangan Bebas
Metode ini merupakan metode kira-kira dengan menggunakan diagram pencar
(scatter diagram) dengan data yang diperoleh berdasarkan hasil pengamatan.
Jika variabel yang diamati meliputi variabel bebas X dan variabel takbebas Y,
maka data pengamatan yang diperoleh digambarkan pada sebuah diagram
dengan X dinyatakan pada sumbu mendatar dan Y pada sumbu tegak sehingga
terbentuk diagram pencar yang menunjukkan titik-titik tertentu.

Ada dua manfaat dari penggunaan diagram pencar ini yaitu: (1) Membantu
menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variabel,
(2) Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan
antara kedua variabel tersebut. Seperti yang tertulis dalam manfaat yang
kedua, dari letak titik-titik pada diagram pencar, dapat diperkirakan bentuk
regresinya. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar garis lurus, maka
dapat diduga terjadi regresi linier. Namun, hubungan yang terbentuk tidak

2011


selalu harus berupa garis lurus. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar
garis lengkung, maka dapat diduga terjadi regresi nonlinier.

Hubungan yang tergambar pada diagram pencar dapat berupa hubungan
positif (atau langsung) antar dua variabel yaitu jika variabel bebas meningkat
maka variabel takbebas juga meningkat. Namun, adapula kemungkinan pada
variabel tertentu terdapat hubungan yang negatif (atau berlawanan) yaitu jika
variabel bebas meningkat maka variabel takbebas akan menurun. Atau bahkan
tidak ada hubungan sama sekali antara variabel (titik-titik yang terbentuk pada
diagram pencar tidak menunjukkan pola tertentu).

4. Metode Kuadrat Terkecil Untuk Regresi Linier
Metode ini berdasarkan pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua (kuadrat)
dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus
sekecil mungkin.
Untuk pengamatan yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan variabel
takbebas Y di mana model regresi linier untuk populasi seperti rumus (IV.2)
telah dapat diduga, maka perlu ditaksir parameter-parameter regresi sehingga
diperoleh persamaan seperti rumus (IV.3). Jadi untuk populasi, model regresi
linier adalah
µ y. x = θ 1 + θ 2 X

Harga parameter θ 1 dan θ 2 ditaksir oleh a dan b , sehingga persamaan
regresi menggunakan data sampel adalah
Y = a + bX
ˆ

Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung
dengan rumus

2011


(∑ Y )(∑ X ) − (∑ X )(∑ X Y )
2

a=
i i i i i

n∑ X − (∑ X ) 2 2
i i

n∑ X Y − (∑ X )(∑ Y )
(IV.6)
b=
i i i i

n∑ X − (∑ X ) 2 2
i i

Jika terlebih dahulu dihitung koefisien b , maka koefisien a dapat pula
ditentukan dengan rumus
(IV.7) a = Y − bX

dengan X dan Y masing-masing adalah rata-rata untuk variabel X dan Y.

Dalam regresi linier, koefisien b berarti perubahan rata-rata Y untuk setiap
perubahan satu unit variabel X. Perubahan nilai Y bertambah apabila nilai b
bertanda positif dan berkurang untuk tanda b negatif.

Contoh (Supranto)
Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan
X : persentase kenaikan biaya iklan
Y : persentase kenaikan hasil penjualan
X 1 2 4 5 7 9 10 12
Y 2 4 5 7 8 10 12 14
Berapakah besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya
iklan dinaikkan menjadi 15 %.

Penyelesaian
X Y X2 XY
1 2 1 2
2 4 4 8
4 5 16 20
5 7 25 35
7 8 49 56
9 10 81 90

2011


10 12 100 120
12 14 144 168

∑X i = 50 ∑Y i = 62 ∑X i
2
= 420 ∑X Y i i = 499

X = 6,25 Y = 7,75

Untuk menghitung ramalan presentase kenaikan penjualan, terlebih dahulu
dicari persamaan regresi dari data tersebut.
n∑ X i Yi − (∑ X i )(∑ Yi ) 8(499 ) − (50 )(62 ) 892
b= = = = 1,04
n∑ X − (∑ X i ) 8(420 ) − (50 )
2 2
i
2 860

a = Y − bX = 7,75 − 1,04(6,25) = 1,25

Sehingga diperoleh persamaan Y = a + bX = 1,25 + 1,04 X
ˆ

Nilai koefisien b =1,04 artinya setiap ada kenaikan 1% biaya iklan, maka
hasil penjualan akan naik sebesar 1,04 %.
Persamaan Y = a + bX = 1,25 + 1,04 X selanjutnya dapat digunakan untuk
ˆ

meramalkan presentase kenaikan penjualan apabila terjadi perubahan
(kenaikan atau pengurangan) biaya iklan.
Jika biaya iklan dinaikkan menjadi 15 %, maka ramalan presentase kenaikan
penjualan adalah
Y = 1,25 + 1,04 X dengan X = 15 % diperoleh Y = 1,25 + 1,04 (15) = 16,85 .
ˆ ˆ

Jadi besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya iklan
dinaikkan menjadi 15 % adalah 16,85.

5. Berbagai Varians Sehubungan dengan Regresi Linier Sederhana
Untuk analisis selanjutnya tentang regresi linier sederhana, terdapat beberapa
asumsi yang harus diambil.
Asumsi pertama, mengenai kekeliruan prediksi atau galat prediksi atau
perbedaan e = Y − Y yang terjadi, mengingat hasil pengamatan variabel
ˆ
ˆ
takbebas Y belum tentu sama nilainya dengan harga yang diharapkan yaitu Y
yang diperoleh dari regresi hasil pengamatan (sampel). Dalam populasi, galat

2011


prediksi dimisalkan berbentuk variabel acak yang mengikuti distribusi normal
dengan rata-rata nol dan varians σ 2 .
Asumsi kedua, untuk setiap harga X yang diberikan, variabel takbebas Y
independen dan berdistribusi normal dengan rata-rata (θ1 + θ 2 X ) dan varians

σ Y . X . Varians σ Y . X dimisalkan sama untuk setiap X maka dapat dinyatakn
2 2

( )
oleh varians kekeliruan taksiran σ ε2 dan kekeliruan baku taksiran σ y. x .

5.1. Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana
Kesalahan baku atau selisih taksir standar merupakan indeks yang
digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi dan koefisien regresi
atau mengukur variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi. Dengan
kesalahan baku, batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam
meramalkan data dapat diketahui (Hasan, 2010). Apabila semua titik
observasi berada tepat pada garis regresi maka kesalahan baku akan bernilai
sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa perkiraan yang dilakukan
pada data pengamatan sesuai dengan data yang sebenarnya.
Berikut rumus yang digunakan untuk menghitung kesalahan baku regresi
dan koefisien regresi.
a. Kesalahan baku untuk regresi

Se =
∑Y 2
− a ∑ Y − b∑ XY .
n−2
b. Kesalahan baku untuk koefisien regresi a (parameter a )

Sa =
∑X −S 2
e

n∑ X − (∑ X )
2 2

c. Kesalahan baku untuk koefisien regresi b (parameter b )
Se
Sb =
(∑ X ) 2

∑X 2
−
n

2011


Coba Anda hitung kesalahan baku regresi, koefisien regresi a dan
koefisien regresi b dengan data dari contoh soal sebelumnya!

5.2. Pendugaan Interval Koefisien Regresi

6. Regresi Non Linier
Seringkali regresi linier tidak dapat digunakan pada beberapa data karena
hipotesis kelinieran telah ditolak. Hal ini juga dapat dilihat dari bentuk
diagram pencar yang tidak menunjukkan bentuk garis lurus, sehingga model
regresi linier akan menyimpang dari letak titik-titik dalam diagram pencar.
Hal ini perlu diperbaiki dengan menggunakan regresi nonlinier.

Beberapa model regresi nonlinier yang mudah dan sering digunakan, antara
lain:
6.1. Model Parabola kuadratik
Persamaan umum model ini ditaksir oleh
(IV.8) Y = a + bX + cX 2
ˆ

Dengan koefisien-koefisien a , b, c harus ditentukan berdasarkan data
hasil pengamatan. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka
a , b, c dapat dihitung dengan sistem persamaan:

∑ Y = na + b∑ X + c∑ X
i i i
2

∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X
i i i i
2
i
3

∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X
2
i i i
2
i
3
i
4

6.2. Model Parabola Kubik
(IV.9) Y = a + bX + cX 2 + dX 3
ˆ

2011


Dengan koefisien-koefisien a , b, c, d dihitung dari data pengamatan.
Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk menentukan a , b, c, d
adalah:

∑ Y = na + b∑ X + c∑ X + d ∑ X
i i i
2
i
3

∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X + d ∑ X
i i i i
2
i
3
i
4

∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X + d ∑ X
2
i i i
2
i
3
i
4
i
5

∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X + d ∑ X
3
i i i
3
i
4
i
5
i
6

Semakin tinggi pangkat X dalam persamaan regresi, maka semakin
banyak pula sistem persamaan yang harus diselesaikan.

6.3. Model Eksponen
(IV.10) Y = abX
ˆ

Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier apabila diambil
logaritmanya. Dalam logaritma persamaannya akan menjadi
(IV.11) log Y = log a + (log b ) X
ˆ

Apabila diambil Y ′ = log Y , a ′ = log a , dan b′ = log b , maka diperoleh
ˆ ˆ

model Y ′ = a ′ + b ′ X yang adalah model linier seperti pada rumus (IV.3).
ˆ

dengan rumus (IV.6), maka a ′ dan b ′ dapat dihitung, selanjutnya karena
a ′ = log a dan b′ = log b , maka a dan b juga dapat dihitung.
Dalam logaritma, maka a dan b dapat dicari dari rumus

(IV.12) log a =
∑ log Y − (log b )⎛ ∑ X
⎜
i i ⎞
⎟
n ⎜ n ⎟
⎝ ⎠
n(∑ X i log Yi ) − (∑ X i )(∑ log Yi )
log b =
n∑ X i2 − (∑ X i )
2

2011


Model eksponensial dalam rumus Y = a b X sering pula disebut model
ˆ

pertumbuhan karena sering digunakan dalam menganalisis data hasil
pengamatan yang berhubungan dengan fenomena yang sifatnya tumbuh.
Dalam hal ini, model persamaannya menjadi
(IV.13) Y = a e bX
ˆ

dengan e adalah bilangan pokok logaritma asli.

6.4. Model Geometrik
(IV.14) Y =aXb
ˆ

Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier dan apabila diambil
logaritmanya, maka
(IV.15) log Y = log a + b log X
ˆ

Bentuk ini merupakan model linier dalam log X dan log Y . Koefisien a
dan b dapat dihitung dari:

(IV.16) log a =
∑ log Y i ⎛ ∑ log X i
− b⎜
⎞
⎟
n ⎜ n ⎟
⎝ ⎠
n(∑ log X i log Yi ) − (∑ log X i )(∑ log Yi )
b=
n(∑ log 2 X i ) − (∑ log X i )
2

6.5. Model Logistik
Model paling sederhana model logistik dapat ditaksir oleh
1
(IV.17) Y= X
ˆ
ab
ˆ
Untuk Y yang tidak sama dengan nol, maka bentuk di atas dapat pula
1
ditulis sebagai = ab X .
Yˆ
Jika diambil logaritmanya, diperoleh

2011


⎛1⎞
(IV.18) log⎜ ⎟ = log a + (log b ) X
⎝Y ⎠
ˆ

⎛1⎞
Yang merupakan model linier dalam variabel-variabel X dan log⎜ ⎟ .
⎝Y ⎠
Koefisien-koefisien a dan b dapat dicari dengan menggunakan rumus

(IV.19) log a =
∑ log Y − (log b )⎛ ∑ X
⎜ i i ⎞
⎟
n ⎜ n ⎟
⎝ ⎠
n(∑ X i log Yi ) − (∑ X i )(∑ log Yi )
log b =
n∑ X i2 − (∑ X i )
2

⎛1⎞
Dengan log Y diganti oleh log⎜ ⎟ .
⎝Y ⎠

6.6. Model Hiperbola
Persamaan umum yang sederhana untuk model hiperbola dapat dituliskan
dalam bentuk
1
(IV.20) Y=
ˆ
a + bX
ˆ
Atau jika tidak ada Y berharga nol dapat ditulis menjadi
1
(IV.21) = a + bX
Yˆ
1
Yang merupakan bentuk linier dalam variabel-variabel X dan .
Y
Koefisien-koefisien a dan b dapat dihitung dengan rumus

(∑ Y )(∑ X ) − (∑ X )(∑ X Y ) 2

a=
i i i i i
(IV.22)
n(∑ X ) − (∑ X ) 2 2
i i

n(∑ X Y ) − (∑ X )(∑ Y )
b=
i i i i

n(∑ X ) − (∑ X ) 2 2
i i

1
Apabila variabel Y diganti oleh .
Y

2011


7. Regresi Linier Ganda
Sebelumnya telah dibahas hubungan linear dari dua variabel X dan Y dengan
menggunakan persamaan regresi linier Y = a + bX .
ˆ

Dalam kenyataan, banyak data pengamatan yang terjadi dengan melibatkan
lebih dari dua variabel. Misalnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi oleh
penggunaan pupuk ( X 1 ), luas sawah ( X 2 ) dan curah hujan ( X 3 ). Secara

umum, data hasil pengamatan Y dapat terjadi atau dipengaruhi oleh variabel-
variabel bebas X 1 , X 2 , K , X k .

Akan ditentukan hubungan antara Y dan X 1 , X 2 , K , X k sehingga diperoleh

regresi antara Y dan X 1 , X 2 , K , X k . Yang akan ditinjau hanyalah garis regresi

sederhana yang dikenal dengan nama regresi linier berganda. Model regresi
linier ganda atas X 1 , X 2 , K , X k akan ditaksir oleh

(IV.23) Y = a + b1 X 1 + b2 X 2 + K + bk X k
ˆ

dengan a, b1 , b2 , K , bk merupakan koefisien-koefisien yang harus ditentukan

berdasarkan data pengamatan. Perhatikan bahwa regresi linier Y = a + bX
ˆ

merupakan hal istimewa dari rumus (IV.23) untuk a = b1 = b2 = K = bk = 0 .

Koefisien-koefisien a, b1 , b2 , K , bk ditentukan dengan menggunakan metode

kuadrat terkecil (Least Square Method) yang menghasilkan persamaan normal
sebagai berikut
(IV.24) an + b1 ∑ X 1 + b2 ∑ X 2 + K + bk ∑ X k = ∑ Y

a ∑ X 1 + b1 ∑ X 1 + b2 ∑ X 1 X 2 + K + bk ∑ X 1 X k = ∑ X 1Y
2

a ∑ X 2 + b1 ∑ X 2 X 1 + b2 ∑ X 2 + K + bk ∑ X 2 X k = ∑ X 2Y
2

M
a ∑ X k + b1 ∑ X k X 1 + b2 ∑ X k X 2 + K + bk ∑ X k = ∑ X k Y
2

Bila persamaan tersebut diselesaikan, maka akan diperoleh nilai
a, b1 , b2 , K , bk . Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi berganda.

2011


Apabila persamaan regresi telah diperoleh, maka dapat diramalkan nilai Y
dengan syarat bila nilai X 1 , X 2 , K , X k sebagai variabel bebas sudah

diketahui.

Sama halnya dengan regresi linier, dalam regresi linier ganda perubahan rata-
rata Y memperhatikan nilai dan tanda koefisien dari masing-masing variabel
X. Pada rumus (IV.23) maka koefisien b1 menyatakan perubahan rata-rata Y
untuk setiap perubahan satu unit variabel X 1 apabila X 2 , X 3 , K , X k

semuanya dianggap tetap. Koefisien b2 menyatakan perubahan rata-rata Y
untuk setiap perubahan satu unit variabel X 2 apabila X 1 , X 3 , K , X k

semuanya dianggap tetap, demikian seterusnya. Jelas bahwa setiap koefisien
hanya memberikan gambaran parsial apa yang terjadi pada Y untuk perubahan
X yang berhubungan dengan koefisien yang bersesuaian. Oleh karena itu
koefisien-koefisien a, b1 , b2 , K , bk disebut pula koefisien regresi parsial.

Contoh (Supranto)
Perhatikan file PDF

LATIHAN

1. Dengan menggunakan persamaan garis regresi Y = a + bX , hitunglah ramalan
ˆ
nilai Y jika X = 16 dari kedua data berikut
a.
X 2 4 3 8 9 10 15 13
Y 1 2 5 7 8 11 13 14
b.
X 1 3 4 7 9 11 13
Y 12 11 9 8 6 5 4

2. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes
X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes

2011


Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes
X 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3
Y 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4
a. Dengan menggunakan persamaan regresi, berapakah nilai ujian Statistika
jika nilai ujian Kalkulus yang diperoleh sebesar 8,5.
b. Tuliskan persamaan regresi linier sederhana, berapakah besarnya nilai
koefisien regresi? Jelaskan arti dari nilai-nilai tersebut!
c. Tentukan kesalahan baku regesi, koefisien regresi a dan koefisien regresi
b.
d. Dalam soal ini bolehkan variabel Y memiliki nilai negatif? Berikan alasan
Anda!

3. Dipunyai kumpulan data berikut
X X1, X 2 , K, X i ,K, X n

Y Y1 , Y2 , K , Yi , K , Yn

Jika b =
∑ (X − X )(Y − Y )
i i
dan a = Y − bX
∑ (X − X )
2
i

1 1
dengan X =
n
∑ X i dan Y = n ∑ Yi
Tunjukkan bahwa:
n∑ X iYi − (∑ X i )(∑ Yi )
a. b =
n∑ X i2 − (∑ X i )
2

∑ (Y − a − bX ) = 0
n
b. i
i =1

4. Sebuah perusahaan mencatat hasil penjualan dari tahun ketahun sebagai
berikut.
Tahun 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Hasil 83 60 54 21 22 13 13
Penjualan
(jutaan Rp)

2011


Terlihat adanya kemunduran dalam hasil penjualan tersebut. Dengan
menggunakan trend parabola Y = a + bX + cX 2 , hitung berapa ramalan hasil
ˆ
ˆ
penjualan untuk tahun 1987 dan 1988? Gambarkan grafik Y dan Y dalam satu
gambar!

5. Perhatikan data berikut
X : harga barang perunit dalam ribuan rupiah
Y : hasil penjualan barang X dalam jutaan rupiah
X 20 35 60 100 150 300 500 800
Y 150 125 105 100 92 77 62 58

Dengan menggunakan trend eksponensial Y = a b X , berapakah ramalan hasil
ˆ

penjualan jika X = 900!

6. Perkembangan jumlah pabrik pada suatu daerah selama 6 tahun adalah
sebagai berikut.
Tahun 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Banyaknya pabrik 4 8 12 18 18 20
1
Dengan menggunakan trend logistik Y = X , hitung ramalan banyaknya
ˆ
ab
pabrik yang dibangun pada tahun 1987?

7. PT ANGIN MOBAT MABIT menerapkan stategi promosi untuk
meningkatkan pendapatan penjualan mesin jahit. Akan dilihat pengaruh iklan
melalui televisi dan koran terhadap pendapatan. Berikut data mingguan yang
tercatat:
Iklan TV Iklan Koran Pendapatan
(juta rupiah) (juta rupiah) (juta rupiah)
1 2 1
2 4 3
4 5 6
6 7 8
7 8 9
9 10 11

Dengan menggunakan persamaan regresi linier berganda, berapakah
ramalanpendapatan penjualan mesin jahit jika promosi dengan Iklan TV
sebesar 10 juta rupiah dan promosi dengan Iklan koran sebesar 12 juta rupiah!

2011


BAB V
ANALISIS KORELASI

1. Pendahuluan
Jika data hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, maka hal yang perlu
diketahui berikutnya adalah seberapa kuat hubungan antara variabel-variabel
tersebut terjadi. Dengan kata lain, perlu ditentukan derajat hubungan antara
variabel-variabel. Studi yang membahas tentang derajat hubungan antara
variabel dikenal dengan nama analisis korelasi. Sedangkan ukuran yang
digunakan untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data
kuantitatif, dinamakan koefisien korelasi.

Adanya hubungan (korelasi) antara variabel yang satu dengan variabel lainnya
dapat dinyatakan dengan perubahan nilai variabel. Dalam bab ini hanya akan
dibahas mengenai hubungan linier antara dua variabel X dan Y .
Apabila dua variabel X dan Y mempunyai hubungan, maka nilai variabel X
yang sudah diketahui dapat digunakan untuk memperkirakan/menaksir atau
meramalkan Y. Ramalan pada dasarnya merupakan perkiraan/taksiran
mengenai terjadinya suatu kejadian (nilai suatu variabel) untuk waktu
mendatang, misalnya ramalan harga beras bulan depan, ramalan jumlah
penduduk 10 tahun mendatang, dan lain sebagainya.
Serupa dengan analisis regresi, variabel Y yang nilainya akan diramalkan
disebut variabel takbebas, sedangkan variabel X yang nilainya digunakan
untuk meramalkan nilai Y disebut variabel bebas atau variabel peramal
(predictor) atau sering disebut variabel yang menerangkan (explanatory).

2. Koefisien Korelasi

2011


Hubungan dua variabel dapat merupakan hubungan positif maupun negatif.
Hubungan X dan Y dikatakan positif apabila kenaikan (penurunan) X pada
umumnya diikuti oleh kenaikan (penurunan) Y. Sebaliknya dikatakan negatif
jika kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh penurunan
(kenaikan) Y.

Jika antara variabel X dan Y ada hubungan, bentuk diagram pencarnya akan
mulus/teratur. Apabila terdapat hubungan positif, maka diagram pencar akan
bergerak dari kiri bawah ke kanan atas, sedangkan apabila terdapat hubungan
negatif, maka diagram pencar akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.
Bila bentuk diagram pencar tidak teratur, artinya kenaikan/penurunan X pada
umumnya tidak diikuti oleh naik turunnya Y, dikatakan X dan Y tidak
berkorelasi. Atau dengan kata lain, X dan Y dikatakan saling bebas
(independent) jika naik dan turunnya varianel X tidak mempengaruhi Y atau
antara X dan Y tidak ada hubungan atau hubungnnya sangat lemah sehingga
dapat diabaikan.

Apabila hubungan X dan Y dapat dinyatakan dengan fungsi linier, maka kuat
hubungan antara X dan Y diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien
Korelasi. Nilai koefisien korelasi.ini paling sedikit -1 dan paling besar 1. Jika
r adalah koefisien korelasi,maka nilai r dapat dinyatakan sebagai

2011


−1 ≤ r ≤ 1
Jika
r = 1 , hubungan X dan Y sempurna dan positif (mendekati 1, hubungan sangat
kuat dan positif)
r = −1 , hubungan X dan Y sempurna dan negatif (mendekati -1, hubungan
sangat kuat dan negatif)
r = 0 , hubungan X dan Y lemah sekali atau tidak ada hubungan.

X dikatakan mempengaruhi Y, jika perubahan nilai X menyebabkan adanya
perubahan nilai Y, artinya naik turunnya nilai X akan mengakibatkan naik
turunnya nilai Y, sehingga nilai Y akan bervariasi. Namun, naik turunnya nilai
Y tidak hanya disebabkan oleh variabel X, karena masih ada faktor lain yang
menyebabkannya. Misalnya naik turunnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi
oleh penggunaan pupuk ( X 1 ), namun juga dapat dipengaruhi faktor-faktor
lain misalnya luas sawah, curah hujan dan lain-lain. Selanjutnya dapat
dihitung besar kontribusi dari X terhadap naik turunnya nilai Y dengan suatu
koefisien yang disebut koefisien penentuan/koefisien determinasi (coefficient
of determination).
Jika koefisien determinasi ditulis KD, maka untuk menghitung KD sebagai
berikut
KD = r 2
Besar koefisien determinasi menunjukkan besarnya sumbangan variabel bebas
terhadap variabel takbebas. Total nilai koefisien determinasi sebesar 100 %,
jika koefisien determinasi bernilai kurang dari 100 % maka sisanya
dipengaruhi oleh faktor lain.

Cara menghitung r adalah sebagai berikut
n

∑x y i i
Rumus 1 r= i =1
n n

∑ xi ∑y
2 2
i
i =1 i =1

2011


1 n
xi = X i − X X = ∑ Xi
n i =1
1 n
y i = Yi − Y Y = ∑ Yi
n i =1
atau
n n n
n∑ X i Yi − ∑ X i ∑ Yi
Rumus 2 r= i =1 i =1 i =1
2 2
n
⎛ n ⎞ n
⎛ n ⎞
n∑ X i − ⎜ ∑ X i ⎟ n∑ Yi − ⎜ ∑ Yi ⎟
2 2

i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎠

Contoh (Supranto)
Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan
X : persentase kenaikan biaya iklan
Y : persentase kenaikan hasil penjualan
X 1 2 4 5 7 9 10 12
Y 2 4 5 7 8 10 12 14
Hitunglah r!

Penyelesaian
Untuk menghitung r, dibuat tabel berikut
Dengan rumus 1

X Y X −X Y −Y x2 y2 xy
(x ) (y)
1 2 - 5,25 - 5,75 27,5625 33,0625 30,1875
2 4 - 4,25 - 3,75 18,0625 14,0625 15,9375
4 5 - 2,25 - 2,75 5,0625 7,5625 6,1875
5 7 - 1,25 - 0,75 1,5625 0,5625 0,9375
7 8 0,75 0,25 0,5625 0,0625 0,1875
9 10 2,75 2,25 7,5625 5,0625 6,1875
10 12 3,75 4,25 14,0625 18,0625 15,9375

2011


12 14 5,75 6,25 33,0625 39,0625 35,9375

∑X i = 50 ∑Y i = 62 ∑x i =0 ∑y i =0 ∑x 2
i = 107,5 ∑y 2
i = 117,5 ∑x y i i = 111,5

X = 6,25 Y = 7,75

n

∑x y i i
111,5 111,5
r= i =1
= = = 0,99
n n
107,5 117,5 112,389
∑x ∑y
2 2
i i
i =1 i =1

Hubungan antara X dan Y sebesar 0,99 yang menunjukkan hubungan yang
sangat kuat dan positif, artinya kenaikan biaya iklan pada umumnya
menaikkan hasil penjualan.

Koefisien determinasi KD = r 2 = 0,9801 = 98% artinya sumbangan iklan
terhadap variasi Y (naik turunnya hasil penjualan) adalah 98 %, dan 2 %
sisanya disebabkan oleh faktor-faktor lainnya.

Dengan rumus 2

X Y X2 Y2 XY
1 2 1 4 2
2 4 4 16 8
4 5 16 25 20
5 7 25 49 35
7 8 49 64 56
9 10 81 100 90
10 12 100 144 120
12 14 144 196 168

∑X i = 50 ∑Y i = 62 ∑X i
2
= 420 ∑Y i
2
= 598 ∑X Y i i = 499

2011


8 8 8
8∑ X i Yi − ∑ X i ∑ Yi
r= i =1 i =1 i =1
2 2
8
⎛ 8
⎞ 8
⎛ 8 ⎞
8∑ X i − ⎜ ∑ X i ⎟ 8∑ Yi − ⎜ ∑ Yi ⎟
2 2

i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎠
8(499 ) − (50 )(62 )
r=
8(420 ) − (50 ) 8(598) − (62 )
2 2

892 892
= = = 0,99
860 940 899,075

3. Korelasi Rank (Peringkat)
Misalkan ada dua orang Adi dan Bayu yang sama-sama minuman ringan
dalam kemasan. Kedua orang tersebut diminta untuk memberikan penilaian
terhadap 10 merk minuman ringan dalam kemasan. Minuman ringan yang
paling digemari diberi nilai 1 dan seterusnya sampai minuman ringan yang
tidak disenangi diberi nilai 10. Sehingga dalam hal ini Adi dan Bayu
memberikan rank (peringkat) terhadap merk minuman ringan tersebut.
Pemberian peringkat ini dapat juga dibalik, minuman ringan yang paling
digemari diberi nilai 10 dan seterusnya sampai yang tidak disenangi diberi
nilai 1. Diperoleh hasil pemberian rank sebagai berikut
No Merk Minuman Ringan Rank dari Adi Rank dari Bayu
1 Coca Cola 9 8
2 Fanta 5 3
3 Sprite 10 9
4 Frestea 1 2
5 Mizone 8 7
6 Pulpy Orange 7 10
7 Teh Sosro 3 4
8 Pepsi Blue 4 6
9 Fruittea 2 1
10 Tebs 6 5

Untuk menghitung koefisien korelasi antara rank dari Adi dan Bayu terhadap
10 merk minuman ringan dalam kemasan tersebut digunakan Koefisien
Korelasi Rank (Rank Spearman).

2011


6∑ d i2
rrank = 1 −
(
n n2 −1 )
dimana
d i = selisih dari pasangan rank ke-i

n = banyaknya pasangan rank (dalam hal ini n = 10)

Contoh
Carilah koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10
merk minuman ringan.
Penyelesaian
Rank Adi 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5
Rank Bayu 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6
Selisih Rank (d) -1 -2 -1 1 -1 3 1 2 -1 -1
d2 1 4 1 1 1 9 1 4 1 1
Sehingga
6∑ d i2 6(1 + 4 + 1 + K + 1)
rrank = 1 − = 1− = 1 − 0,1455 = 0,8545 = 0,85
(
n n −1
2
) 10(100 − 1)
Jadi, koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10 merk
minuman ringan sebesar 0,85.

Contoh (Supranto, 1992: 159)
Ada 10 calon sales yang diuji mengenai teknik penjualan. Setelah mereka
selesai diuji kemudian ditugaskan untuk melakukan penjualan. Diperoleh data
hasil ujian (X) dan hasil penjualan tahun pertama (Y). Nilai X dan Y dari 10
sales termasuk rank-nya adalah sebagai berikut.
Sales Nilai Rank Hasil Rank Selisih d2
Ujian Penjualan Rank
( X) (Y) ( d)
A 48 3 312 2 1 1
B 32 6 164 8 -2 4
C 40 5 280 4 1 1
D 34 7 196 7 0 0

2011


E 30 8 200 6 2 4
F 50 1,5 288 3 -1,5 2,25
G 26 9 146 10 -1 1
H 50 1,5 361 1 0,5 0,25
I 22 10 149 9 1 1
J 43 4 252 5 -1 1

Karena F dan H memiliki nilai yang sama maka rank mereka harus sama yaitu
1+ 2
= 1,5 . Mula-mula F diberi nilai 1 dan H diberi nilai 2 (atau sebaliknya,
2
kemudian dirata-rata). Apabila terdapat 3 objek yang memiliki nilai yang
sama, maka diurutkan dan dicari rata-ratanya.
Sehingga
6∑ d i2 6(1 + 4 + 1 + K + 1)
rrank = 1 − = 1− = 1 − 0,0939 = 0,9061
(
n n −1 2
) 10(100 − 1)
Jadi, koefisien korelasi rank antara rank nilai ujian dan hasil penjualan sebesar
0,9061.

LATIHAN

1. Berikan contoh pasangan variabel yang memiliki hubungan positif dan
negatif.

2. Tentukan apakah hubungan variabel X dan Y berikut positif atau negatif.
Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian
interpretasikan hasilnya.
a.
X 2 4 3 8 9 10 15 13
Y 1 2 5 7 8 11 13 14
b.
X 1 3 4 7 9 11 13
Y 12 11 9 8 6 5 4

2011


3. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes
X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes
Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes
X 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3
Y 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4
Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian
interpretasikan hasilnya.

4. Amat dan Budi diminta untuk memberikan rank berdasarkan suka dan
tidaknya terhadap merk rokok tertentu. Rokok yang paling disenangi diberi
nilai 10 dan yang paling tidak disenangi diberi nilai 1. Diperoleh hasil rank
sebagai berikut.
No Merk Rokok Rank dari Amat Rank dari Budi
1 AAA 2 9
2 BBB 10 4
3 CCC 8 3
4 DDD 3 6
5 EEE 4 5
6 FFF 1 7
7 GGG 5 8
8 HHH 2 6

Hitung koefisien korelasi rank berdasarkan data tersebut!

5. Tabel berikut menunjukkan nilai 10 mahasiswa yang telah berbentuk rank,
yang diperoleh dari hasil ujian kuliah Statistika dan Praktikum. Carilah
korelasi ranknya.
Praktikum 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5
Statistika 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

2011


DAFTAR PUSTAKA

Hasan, I. 2001. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Edisi Kedua.
Bumi Aksara. Jakarta.

Sudjana. 1996. Metoda Statistika Edisi ke 6. Penerbit Tarsito. Bandung.

Sugiyono. 2005. Statistik Untuk Penelitian. Penerbit Alfabeta. Bandung.

Supranto, J. 1992. Statistik Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Erlangga. Jakarta.

Walpole, R & Myers, R. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan
Ilmuan. Terjemahan. Penerbit ITB. Bandung.

2011

Statistika inferensial 1

More Related Content

What's hot

Similar to Statistika inferensial 1

More from Muhamad Husni Mubaraq

Statistika inferensial 1