ゼータ関数と任意の正の数への収束

1. (1)Σn=1
∞ −1 n−1
2n−1
=π/4を示せ。
(2)Σn=1
∞ 1
n
は収束しないことを示せ。
(3) αを任意の正の実数とする。この時、次の不等式を同時に満たすよう
な自然数k1>k2が存在することを示せ。
α≦Σn=1
k1 1
n
≦α+1
Α-1/2≦Σn=1
k1 1
n
− Σn=k1+1
k2 1
n
≦α
(4)任意の正の実数αに対して1か-1の数列{an}を適当に選ぶことにより
Σn=1
∞ an
n
は実数αに収束することを示せ。

2. (1) Σn=1
∞ −1 n−1
2n−1
=π/4を示せ。
証明 難問克服 解いてわかるガロア理論
(2)Σn=1
∞ 1
n
は収束しないことを示せ。
証明 [杉浦]解析入門1p369

3. (3) αを任意の正の実数とする。この時、次の不等式を同時に満たすような自然数k1>k2が存在することを示せ。
α≦Σn=1
k1 1
n
≦α+1
α-1/2≦Σn=1
k1 1
n
− Σn=k1+1
k2 1
n
≦α
証明
(2)よりΣn=1
∞ 1
n
は単調増加でn→∞のとき∞に発散する。
全てのαに対してある整数Nが存在してα≦Σn=1
N 1
n
となる。
これを満たす最小のNをk1とすればΣn=1
𝑘1−1 1
n
≦αである。
またk1≧1であることからα+1≧Σn=1
𝑘1−1 1
n
＋
1
𝑘1
= Σn=1
𝑘1 1
n
したがって𝛼 ≦ Σn=1
𝑘1 1
n
≦α+1
またf(𝑛)Σn=k1+1
𝑛 1
n
は単調増加であり発散するからΣn=1
𝑘1 1
n
− Σn=k1+1
𝑁′ 1
n
≦α を満たす整数N‘が存在する。
このような整数のうち最小のものをk2とるとΣn=1
𝑘1 1
n
− Σn=k1+1
𝑘2−1 1
n
≧α
K2>k1≧１よりk2≧2 だから
α-1/2≦Σn=1
𝑘1 1
n
− Σn=k1+1
𝑘2−1 1
n
-1/2≦Σn=1
𝑘1 1
n
− Σn=k1+1
𝑘2−1 1
n
-1/k2=Σn=1
𝑘1 1
n
− Σn=k1+1
𝑘2 1
n
となる。
よってα-1/2≦Σn=1
k1 1
n
− Σn=k1+1
k2 1
n
≦α
(4)任意の正の実数αに対して1か-1の数列{an}を適当に選ぶことにより
Σn=1
∞ an
n
は実数αに収束することを示せ。
証明
(3)を同様に繰り返すと全てのαに対してある整数mが存在して
mが偶数のときα-1/m≦Σn=1
k1 1
n
− Σn=k1+1
k2 1
n
+…+ Σn=𝑘 𝑚−2+1
k 𝑚−1 1
n
− Σn=km−1+1
k 𝑚
1/𝑛≦α
mが奇数のとき α≦Σn=1
k1 1
n
− Σn=k1+1
k2 1
n
+…+ Σn=𝑘 𝑚−2+1
k 𝑚−1 1
n
− Σn=km−1+1
k 𝑚
1/𝑛≦α-1/m
Mが奇数ならばan=
1 (1 ≦ 𝑛 ≦ 𝑘1 𝑘2 < 𝑛 ≦ 𝑘3, … 𝑘𝑚 − 1 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚)
−1(𝑘1 < 𝑛 ≦ 𝑘2 𝑘3 < 𝑛 ≦ 𝑘4, … 𝑘𝑚 − 2 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚 − 1)
とすればα-1/m≦Σn=1
k 𝑚 an
n
≦α
Mが偶数ならばan=
1 (1 ≦ 𝑛 ≦ 𝑘1 𝑘2 < 𝑛 ≦ 𝑘3, … 𝑘𝑚 − 2 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚 − 1)
−1 (𝑘1 < 𝑛 ≦ 𝑘2 𝑘3 < 𝑛 ≦ 𝑘4, … 𝑘𝑚 − 1 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚)
とすればα-1/m≦Σn=1
k 𝑚 an
n
≦α
mを無限大に飛ばせばどちらも大いを満たす。