３つの球体の合体

1. R3 内の互いに接する半径 1 の 3 つの球面 S1, S2, S3 を
S1 = {(x,y,z) ∈ R3 | (x−1)^2 +y^2 +z^2= 1}
S2 = {(x,y,z) ∈ R3 | (x+1)^2 +y^2 +z^2 = 1}
S3 = {(x,y,z) ∈ R3 | x^2 +(y−√3)^2 +z^2 = 1}
とし,I={(x,0,0)∈R3 |0≦x≦2}とする.
(1) X = S1 ∪ I の整係数ホモロジー群を求めよ.
(2) Y = S1 ∪ S2 ∪ S3 の整係数ホモロジー群を求めよ.

2. R3 内の互いに接する半径 1 の 3 つの球面 S1, S2, S3 を
S1 = {(x,y,z) ∈ R3 | (x−1)^2 +y^2 +z^2= 1}
S2 = {(x,y,z) ∈ R3 | (x+1)^2 +y^2 +z^2 = 1}
S3 = {(x,y,z) ∈ R3 | x^2 +(y−√3)^2 +z^2 = 1}
とし,I={(x,0,0)∈R3 |0≦x≦2}とする.
(1) X = S1 ∪ I の整係数ホモロジー群を求めよ.
S1∩I=1点になっていることに注意するとマイヤービートリスの完全定理から、S1=A I=Bとすると
H2(A∩B)→H2(A)+H2(B)→H2(X)→H1(A∩B)→H1(A)+H1(B)→H1(X)→H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)→H0(X)→0
0 Z 0 0 0 0 Z Z Z
H0(X)=Z H1(X)=0 H2(X)=Z
(2) Y = S1 ∪ S2 ∪ S3 の整係数ホモロジー群を求めよ.
S1∩S2=1点になっていることに注意するとマイヤービートリスの完全定理から、S1=A S2=Bとすると
H2(A∩B)→H2(A)+H2(B)→H2(X)→H1(A∩B)→H1(A)+H1(B)→H1(X)→H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)→H0(X)→0
0 Z Z 0 0 0 Z Z Z
H0(S1US2)=Z H1(S1US2)=0 H2(S1US2)=Z+Z
(S1US2)∩S3=２つの連結でない円になっていることに注意するとマイヤービートリスの完全定理から、
S1US2=A S3=Bとすると
H2(A∩B)→H2(A)+H2(B)→H2(Y)→H1(A∩B)→H1(A)+H1(B)→H1(Y)→H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)→H0(Y)→0
0 Z+Z Z Z+Z 0 0 Z+Z Z Z
H2(Y)→H1(A∩B)は全射でありImH2(Y)はZ+Zで、ImH2(A)+H2(B)の元でないことから、 H2(Y)=Z+Z+Z+Z+Z
H1(Y)→H0(A∩B)は単射であり任意のH1(Y)の元(点(0,0,0)とA∩Bを含む元)i＋iに移されるから H1(Y)=Z
H0(Y)=Z