大きい行列の問題

1. nを2以上の自然数,a,bは実数の定数(α≠0)とする.n次正方行列
M=
𝑎 𝑏 … 𝑏
𝑏 𝑎 … 𝑏
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑎
を考え,線形写像F:R“→E”をF(x)=Mxで定義する.以下の問に答えよ。
(1)α=6のとき,核KerFの次元を求めよ。
(2)行列式detMを求めよ。

2. nを2以上の自然数,a,bは実数の定数(α≠0)とする.n次正方行
列
M=
𝑎 𝑏 … 𝑏
𝑏 𝑎 … 𝑏
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑎
を考え,線形写像F:R“→E”をF(aj)=Mx(xeW)で定義する.以
下の問に答えよ。
(1)α=6のとき,核KerFの次元を求めよ。
x∈KerFつまりMx＝０つまりa(x1+x2+…+xn)=0
よってkerFはn-1次元であり、
t(-1,1,0…,0),t(-1,0,1…,0),t(-1,0,0…,1)ではられる。

3. nを2以上の自然数,a,bは実数の定数(α≠0)とする.n次正方行列
M=
𝑎 𝑏 … 𝑏
𝑏 𝑎 … 𝑏
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑎
を考え,線形写像F:R“→E”をF(aj)=Mx(xeW)で定義する.以下の問に答えよ。
(2)行列式detMを求めよ。
det
𝑎 𝑏 … 𝑏
𝑏 𝑎 … 𝑏
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏
={a+(n-1)b} det
1 1 … 1
𝑏 𝑎 … 𝑏
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏
={a+(n-1)b} det
1 1 1 … 1
0 𝑎 − 𝑏 0 … 𝑏
0 0 𝑎 − 𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 ⋯ 𝑏
={a+(n-1)b}(a−b)
𝑛−1
det
1 1 1 … 1
0 1 0 … 0
0 0 1 ⋯ 𝑏
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 ⋯ 𝑏
={a+(n-1)b}(a−b)
𝑛−1