1. The Untyped
Lambda-Calculus
Types and Programming Languages
5 章
λ！
@rf0444

2. 5.1
Basics

3. λ？
ラムダ計算 (lambda-calculus)
関数定義 と 関数適用 だけ
全て関数

4. Syntax
項 (term)
t ::=
x
λx.t
t t
＊ x: 任意の変数、t: 任意の項

5. Syntax
項 (term)
t ::=
変数
x (variable)
λx.t
t t
＊ x: 任意の変数、t: 任意の項

6. Syntax
項 (term)
t ::=
x
ラムダ抽象
λx.t (abstraction)
t t
＊ x: 任意の変数、t: 任意の項

7. Syntax
項 (term)
t ::=
x
λx.t 関数適用
(application)
t t
＊ x: 任意の変数、t: 任意の項

8. Syntax
優先順位
ラムダ抽象 - 右から
例: λx.λy.t = λx.(λy.t)
関数適用 - 左から
例: λx.a b c = λx.(a b) c

9. Scope
束縛変数 (bound variable)
λx.t で t の中にある x のこと
例: λx.x y での、x

10. Scope
自由変数 (free variable)
項の中で、外側のラムダ抽象の変数部に現れな
い変数のこと
例: λx.x y での、y

11. Scope
閉項 (closed term)
自由変数を含まない項のこと
コンビネータ (combinator) ともいう
例: λx.x
恒等関数 (identity function)

12. Operational
Semantics
関数適用
(λx.a) b ! [x!b]a
a の中の x を b に置き換える
例: (λx.x) y ! y

13. Operational
Semantics
簡約基 (redex)
(λx.a) b という形をした項のこと
β簡約 (beta-reduction)
簡約基を、先のルールに従って書き換えること

14. Operational
Semantics
簡約戦略
full beta-reduction
normal order strategy
call-by-name strategy
call-by-value strategy

15. Operational
Semantics
full beta-reduction
任意の簡約可能式を、任意のタイミングで簡
約できる

16. Operational
Semantics
normal order strategy
最左最外簡約 (leftmost, outermost)
左側、外側の項から順番に簡約していく

17. Operational
Semantics
call-by-name strategy
ラムダ抽象の中は簡約しない
それ以外は normal order strategy
call-by-need strategy
評価結果を保存して、再計算しない版

18. Operational
Semantics
call-by-value strategy
関数適用の前に、右側を先に簡約する
それ以外は call-by-name strategy

19. Operational
Semantics
call-by-value strategy
正格 (strict)
関数内で引数が使われなくでも、引数を評
価する
call-by-name/need は 遅延 (lazy)

20. 5.2
Programming in the
Lambda-Calculus

21. Multiple Arguments
2引数関数
λ(a,b).t 的な
λa.λb.t でできるよ！

22. Multiple Arguments
高階関数 (higher-order function)
関数を引数に受け取ったり、関数を返したり
する関数のこと
例: λa.λb.t
a をとって「b をとって t を返す関数」
を返す関数

23. Multiple Arguments
カリー化 (currying)
多引数の関数を、高階関数の形に変換するこ
と
例: λ(a,b).t ! λa.λb.t

24. Church Booleans
tru = λt.λf.t
fls = λt.λf.f

25. Church Booleans
tru = λt.λf.t
t: 真を表すもの
f: 偽を表すもの
fls = λt.λf.f

26. Church Booleans
and = λb.λc.b c fls
or = λb.λc.b tru c
not = λb.b fls tru

27. Church Booleans
and = λb.λc.b c fls
b が真なら c
偽なら fls
or = λb.λc.b tru c
not = λb.b fls tru

28. Church Booleans
and = λb.λc.b c fls
b が真なら tru
or = λb.λc.b tru c
偽なら c
not = λb.b fls tru

29. Church Booleans
and = λb.λc.b c fls
or = λb.λc.b tru c
not = λb.b fls tru
b が真なら fls
偽なら tru

30. Church Booleans
例:
and tru fls
! (λb.λc.b c fls) tru fls
! (λc.tru c fls) fls
! tru fls fls

31. Church Booleans
例:
and tru fls
! tru fls fls
! (λt.λf.t) fls fls
! (λf.fls) fls
! fls

32. Pairs
pair = λf.λs.λb.b f s
fst = λp.p tru
snd = λp.p fls

33. Pairs
pair = λf.λs.λb.b f s
fst = λp.p tru f が返る
snd = λp.p fls
s が返る

34. Pairs
例:
fst (pair tru fls)
! fst ((λf.λs.λb.b f s) tru fls)
! fst ((λs.λb.b tru s) fls)
! fst (λb.b tru fls)
! (λp.p tru) (λb.b tru fls)

35. Pairs
例:
fst (pair tru fls)
! (λp.p tru) (λb.b tru fls)
! (λb.b tru fls) tru
! tru tru fls
! (λt.λf.t) tru fls ! tru

36. Church Numerals
c0 = λs.λz.z
c1 = λs.λz.s z
c2 = λs.λz.s (s z)
c3 = λs.λz.s (s (s z))
...

37. Church Numerals
z: 0 を表すもの
c0 = λs.λz.z
c1 = λs.λz.s z s: 次を取得するもの
c2 = λs.λz.s (s z)
c3 = λs.λz.s (s (s z))
...

38. Church Numerals
scc = λn.λs.λz.s (n s z)

39. Church Numerals
n の
scc = λn.λs.λz.s (n s z)
次

40. Church Numerals
plus = λm.λn.λs.λz.m s (n s z)

41. Church Numerals
n から始めて
plus = λm.λn.λs.λz.m s (n s z)
m 個
次

42. Church Numerals
plus = λm.λn.λs.λz.m s (n s z)
plus = λm.λn.m scc n

43. Church Numerals
plus = λm.λn.λs.λz.m s (n s z)
plus = λm.λn.m scc n
m 回 n から始めて
scc

44. Church Numerals
times = λm.λn.m (plus n) c0

45. Church Numerals
0 から始めて
times = λm.λn.m (plus n) c0
m 回
n を足す

46. Church Numerals
iszro = λm.m (λx.fls) tru

47. Church Numerals
tru から始めて
iszro = λm.m (λx.fls) tru
次は常に fls

48. Church Numerals
prd = λm.fst (m ss zz)
ss = λp.pair (snd p) (scc (snd p))
zz = pair c0 c0

49. Church Numerals
prd = λm.fst (m ss zz)
ss = λp.pair (snd p) (scc (snd p))
zz = pair c0 c0
(0, 0) から始めて

50. Church Numerals
prd = λm.fst (m ss zz)
ss = λp.pair (snd p) (scc (snd p))
zz = pair c0 c0
(_, x) ! (x, x + 1)
(0, 0) から始めて

51. Church Numerals
m 回やると、
m = 0 の時は
(m - 1, m) (0, 0)
prd = λm.fst (m ss zz)
ss = λp.pair (snd p) (scc (snd p))
zz = pair c0 c0
(_, x) ! (x, x + 1)
(0, 0) から始めて

52. Enriching the
Calculus
λNB
NB (3章) に λ を加える
NB (Real) と λ (Church) は、
両方とも boolean と numeral を
持っている

53. Enriching the
Calculus
Church ! Real
realbool = λb.b true false
realnat = λm.m (λx.succ x) 0
Real ! Church
churchbool =
λb.if b then tru else fls

54. Enriching the
Calculus
振る舞い同値 (behaviorally equivalent)
どんな引数に対しても、2つの評価結果が同じ
例: call-by-value での scc c1
(λs.λz.s ((λs’.λz’.s’ z’) s z))
(λs.λz.s (s z)) と “振る舞い同値”

55. Recursion
正規形 (normal form)
これ以上評価できない項のこと
発散 (diverge)
正規形にならない項のこと
例: (λx.x x) (λx.x x) - omega

56. Recursion
不動点 (fixed-point)
fix = λf.
(λx.f (λy.x x y))
(λx.f (λy.x x y))
Z-combinator / call-by-value Y-combinator
Y-combinator: λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x))

57. Recursion
不動点 (fixed-point)
例: factorial = fix (λf.λn.
(iszro n) c1
(times n (f (prd n))))

58. Recursion
Real ! Church
churchnat = fix (λf.λn.
if iszero n then c0
else scc (f (pred n))

59. 5.3
Formalities

60. Syntax
項集合
V を変数の可算集合とする
項集合は、次を満たす最小の集合 T

61. Syntax
項集合 T
x ∈ V ! x ∈ T
t ∈ T かつ x ∈ V ! λx.t ∈ T
s ∈ T かつ t ∈ T ! s t ∈ T

62. Syntax
自由変数集合
項 t の自由変数集合 FV(t)
FV(x) = {x}
FV(λx.t) = FV(t) - {x}
FV(s t) = FV(s) ∪ FV(t)

63. Substitution
α変換 (alpha-conversion)
束縛変数の名前を変えること
例: λy.x y ! λw.x w

64. Substitution
置き換え
[x!s]x = s
[x!s]y = y
[x!s](λy.t) = λy.[x!s]t
[x!s](t u) = ([x!s]t) ([x!s]u)

65. Operational
Semantics
Syntax
項 (term) 値 (value)
t ::= v ::=
x λx.t
λx.t
t t

66. Operational
Semantics
評価 (evaluation) (call-by-value)
t1 ! t1’
E-APP1
t1 t2 ! t1’ t2
t ! t’
E-APP2
v t ! v t’
(λx.t) v ! [x!v]t E-APPABS