発散と収束の証明

1. a,bを実数、{𝑎 𝑛}, 𝑏 𝑛 を実数列とする。
1 命題 数列 𝑎 𝑛 はaは収束する とその否定命題をε-N論法で求めよ。
(2) lim
n→∞
𝑎 𝑛 = a lim
n→∞
𝑏 𝑛 = b の時、 lim
n→∞
𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑏を証明せよ。
(3) lim
n→∞
𝑎 𝑛 =+∞の時、 lim
n→∞
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛
𝑛
=+∞を証明せよ。

2. a,bを実数、{𝑎 𝑛}, 𝑏 𝑛 を実数列とする。
1 命題 数列 𝑎 𝑛 はaは収束する とその否定命題をε-N論法で求めよ。
命題 全てのε>0にたいしある整数Nが存在しn≧Nならば|an-a|<ε
否定 あるε>0が存在して全ての整数Nにたいしてn≧Nが存在し、かつ|an-a|≧ε
(2) lim
n→∞
𝑎 𝑛 = a lim
n→∞
𝑏 𝑛 = b の時、 lim
n→∞
𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑏を証明せよ。
証明 [杉浦]解析入門１p14
(3) lim
n→∞
𝑎 𝑛 =+∞の時、 lim
n→∞
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛
𝑛
=+∞を証明せよ。
証明 lim
n→∞
𝑎 𝑛 =+∞より全てのMに対しあるNが存在してn≧Nならばan≧M
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛
𝑛
=
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1
𝑛
+
𝑎 𝑁+⋯+ 𝑎 𝑛
𝑛
>=
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1
𝑛
+
𝑁−𝑁+1
𝑛
𝑀 =
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1
𝑛
+ 1 −
𝑁+1
𝑛
𝑀
>
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1
𝑛
+ 1 −
𝑁+1
𝑁
𝑀=
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1
𝑛
+
1
𝑁
𝑀
また全てのε1>0に対してある整数N0が存在し全てのn≧N0に対して|1/n|<ε1 となる
ε1をε1=|
1
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1
|とすると
>-ε1 (𝑎1 + ⋯ + 𝑎 𝑁−1)+
1
𝑁
𝑀=-1+
1
𝑁
𝑀
よって全てのMに対してあるNが存在してn≧Nならば
𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛
𝑛
≧Mより発散する。