1. Хатуу биеийн эргэх хөдөлгөөнийдинамик
Хичээл - 5 , лекц-3
Боловсруулах асуудлууд:
Эргэх хөдөлгөөн динамик, хүчний момент
Импульсийн момент түүний өөрчлөгдөх хууль
Эргэх хөдөлгөөний динамик тэгшитгэл, инерцийн момент,
Штейнерийн теорем
Хөдөлгөөний кинетик энерги
Статик биеийн тэнцвэрийн нөхцөл , тэнцвэрийн төрлүүд
Бие даан уншиж судлах асуудлууд
Штейнерийн теоремийн баталгаа, янз бүрийн хэлбэр хэмжээ бүхий биесийн
инерцийн моментийг тодорхойлох нь
Гироскоп түүний ажиллагаа, Фукогийн дүүжин.
1. Хатуу биетэй бат бэх холбоотой оо’ шулууны дагуух бүх цэг хөдөлгөөнгүй
байх үеийн хатуу биеийн хөдөлгөөнийг үл хөдлөх оо’ тэнхлэгтэй харьцангуй эргэх
хөдөлгөөн гэнэ. Биеийг үл хөдлөх 0 цэгээс F хүч үйлчлэх M цэгрүү татсан радиус
вектор r-ийг энэхүү хүчээр үржүүлсэн вектор үржвэрийг үл хөдлөх 0 цэгтэй
харьцуулсан хүчний момент (M) гэнэ.
M [rF ] - хүчний момент. M Fr sin Fl ;
l r sin -хүчний мөр. r F
0 цэгээс (тулах) F хүчний векторын шулуун дээр буулгасан перпендикулярын
уртыг хүчний мөр гэнэ.
2. Хатуу биеийн үл хөдлөх 0 цэгээс татсан материал цэгийн радиус вектор r
–ийг энэхүү материал цэгийн импульс P mi i -ээр үржүүлсэн вектор
үржвэрийг 0 цэгтэй харьцуулсан импульсын момент (L) гэнэ.

2. Li [ri Pi ] [ri mi i ]
Нийт системийн импульсын момент нь:
n n
L Li [ri Pi ]
i 1 i 1
Дифференциал авбал:
n n n n n
dL d d d dP гад
Li [ri Pi ] [ri Pi ] [ri i ] [ri Fi ]
dt dt i 1 dt i 1 i 1 dt i 1 dt i 1
dL
M гад - үүнийг импульсын момент өөрчлөгдөх хууль гэнэ.
dt
Үл хөдлөх цэгтэй харьцуулсан механик системийн импульсын моментоос
хугацаагаар авсан уламжлал нь уг системд үйлчлэх гадны хүчний моменттой
тэнцүү байна. ТӨКС-д OZ тэнхлэгийг тойрон ω өнцөг хурдтай эргэж буй биеийн
импульсын моментыг L z гэе.
гад dLz
Mz ; ri oo Ri
dt
o -эргэх Ri радиустай тойргийн төв, o -координатын төв

3. 3. Координатын эхтэй харьцуулсан импульсын момент нь:
n n n
L [ri mi i ] [ oo mi i ] [ Ri mi i ] ;
i 1 i 1 i 1
[ Ri mi i ] -OZ тэнхлэгийн дагуу чиглэх вектор байна.
Иймд OZ харьцангуй харьцангуй импульсын момент
n n n
2
Lz [ Ri mi i ] [ Ri mi [ Ri ]] mi Ri
i 1 i 1 i 1
болно.
2
I mi Ri -гэдгийг тооцвол: Lz Iz болно.
I z - Z тэнхлэгтэй харьцангуй инерцийн момент
Дифференциал авбал:
d d
(I z ) Mz ба эндээс Iz Mz болно.
dt dt
d
z -өнцөг хурдатгал гэдгийг тооцвол:
dt
Mz Iz z -болно. Үүнийг эргэх хөдөлгөөний динамик тэгшитгэл гэнэ.
Iz нь энэхүү тэнхлэгийг тойрон эргэх биеийн инерцит чанарын хэмжүүр буюу
илэрхийлэх хэмжигдэхүүн юм.
Механик системийг үүсгэж буй бүх материал цэгийн масс mi -ийг эдгээрээс
эргэлтийн тэнхлэг хүртлэх хамгийн бага зайн квадратаар харгалзуулан үржүүлсэн
үржвэрүүдийн нийлбэртэй тэнцэх хэмжигдэхүүнийг энэхүү тэнхлэгтэй харьцангуй
системийн инерцийн момент гэнэ. Си системд инерцийн моментыг кг м2 нэгжээр
хэмжинэ.

4. n
2
I mi Ri
i 1
Хэрэв биеийн масс нь эзэлхүүнээрээ жигд тархсан (систем) гэж үзвэл
инерцийн момент нь:
2 2
I Ri dm Ri dV
болно. dm –жижиг хэсгийн масс, r – цэгийн байршлын функц болно. Одоо R
радиустай h өндөртэй цул тнэгэн төрөл цлиндрийн массын төвийг дайрсан
тэнхлэгтэй харьцангуй инерцийн моментыг тодорхойльѐ. Цлиндрээ r дотоод r+dr
гадаад радиустай dr зузаантай, dm масстай, нэг төвтэй олон жижиг хөндий
цлиндрүүдэд хуваая. Цлиндр бүрийн инерцийн момент j r 2 dm (dr<<r тул
тэнхлэгээс тухайн жижиг хэсэг хүртлэх зай r –тэй тэнцүү байна.) ба жижиг
цлиндрийн эзэлхүүн dv 2 rhdr , масс нь dm 2 rhdr болно. Иймд инерцийн
R
1 1
момент нь J dJ 2 h r 3dr R4 mR2 гэх мэтчилэн төвийн тэгш хэмт
0
2 2
нгэн төрлийн ямарч биетийн массын төвийн тэнхлэгтэй харьцангуй инерцийн
моментыг тодорхойлж болно. Зарим биетийн инерцийн моментыг доор хүснэгтээр
харууллаа.
№ Биет Инерцийн момент
1. R радиустай цул цлиндр 1
òR 2
2
2. R радиустай нимгэн хөндий цлиндр mR 2
3. R1 гадаад, R2 дотоод радиустай 1 2 2
нимгэн хөндий цлиндр m( R1 R2 )
2
4. R радиустай диск буюу зээрэнцэг 1
mR2
4
5. L урттай нарийн саваа 1
mL2
12
6. R радиустай бөмбөрцөг 2
mR2
5
Ямарваа биеийн инерцийн момент нь түүний хэлбэр, хэмжээ, материалын
шинж чанараас гадна эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцангуй биеийн байрлалаас
хамаарна. Ямар ч тэнхлэгтэй харьцангуй биеийн инерцийн моментыг Штейнерийн
теоремыг ашиглан тодорхойлж болно.

5. Аль нэг а тэнхлэгтэй харьцуулсан биеийн инерцийн
момент I a нь массын төв С-г дайрах ас тэнхлэгтэй
параллель тэнхлэгтэй харьцуулсан инерцийн момент
Ic дээр уг биеийн массыг хоѐр тэнхлэгийн
хоорондох зайн квадратаар үржүүлж нэмсэн
нийлбэртэй тэнцүү байна.
Ia Ic md 2 Ia R 2 dm -ба
m
2
R2 Rc d 2 2dRc cos -гэдгийг тооцвол:
2
Ia R 2 dm Rc dm d 2 dm 2d Rc cos dm
болох ба Rc cos -биеийн массын төв координатын эхтэй давхцах тул массын
төвийн тодорхойлолт ѐсоор тэгтэй тэнцүү байна.
2
Ia R 2 dm Rc dm d 2 dm
болно. Нөгөө талаас: Ia Ic md 2 тул тэнцүүлбэл:
2 2
Rc dm d 2 dm I c md 2 эндээс Ic Rc dm болно.
4. Үл хөдлөх ОО’ тэнхлэгтэй харьцангуй эргэж буй абсолют хатуу биеийг авч үзье.
Уг биеийг эргэлтийн тэнхлэгээс r1, r2,…..rn зайд орших өчүүхэн бага m1,m2,….mn
масстай, маш бга эзэлхүүнтэй хэсгүүдээс тогтсон гэж үзвэл лү хөдлөх тэнхлэгтэй
хатуу бие эргэхэд түүний жижиг хэсэг бүр янз бүрийн шугман хурдтай болно.
Гэхдээ биеээ деформацилагдахгүй абсолют хатуу бие гэж авч үзэж бйагаа учраас

6. жижиг хэсгүүдийн өнцөг хурдууд ижил байна. 1 2
.......... . n
Эргэж буй
r1 r2 rn
хатуу биеийн кинетик энерги нь жижиг хэсгүүдийн кинетик энергийн нийлбэртэй
2 2 2 n 2
m1 1 m2 2 m mi i
Ek ý ð ....... n n ; i ri
2 2 2 i 1 2
тэнцүү байна. болно.
n
mi ( ri ) 2 2 n
2 J 2
Ek ý ð mi ri
i 1 2 2 i 1 2
Үл хөдлөх тэнхлэгийг тойрон эргэх биеийн кинетик энерги нь биеийн
инерцийн моментыг өнцөг хурдны квадратаар үржүүлсэн үржвэрийн хагастай
тэнцүү.
Үүнийг давших хөдөлгөөний кинетик энергитэй харьцуулан үзвэл эргэх
хөдөлгөөний инерцийн момент нь биеийн инерцит чанарын хэмжүүр гэдэг нь
харагдаж байна.
Хэрэв хатуу бие эргэх хөдөлгөөнөөс гадна давших хөдөлгөөн хийж байвал
нийт кинетик энерги нь давшихба эргэх хөдөлгөөний кинетик энергийн нийлбэртэй
m 2 J 2
тэнцүү байна. Ek
2 2
Үл хөдлөх тэнхлэгийг тойрон хатуу бие альфа өнцгөөр эргэх үед хүчний
2 2
d 2 J J
хийх ажил нь: A Md J d J d dt J d . Эргэх
0 0 0
dt 0
2 2 0
хөдөлгөөний үед хүчний хийх ажил нь эргэх хөдөлгөөний кинетик энергийн
өөрчлөлтэй тэнцүү байна.