Учебники

1. Серія «Усі уроки»
Заснована 2006 року
С. П. Бабенко
У с
Академічний рівень
• уроки
АЛГЕБРИ
11клас
II семестр
Книга скачана с сайта ИНр://е kniaa.in.ua
Издательская группа «Основа» —
«Электронные книги»
Харків
Видавнича група «Основа»
2011

2. УДК 512
ББК 22.14
Б12
Бабенко С. П.
Б12 Усі уроки алгебри і початків аналізу. 11 клас. II се­
местр. Академічний рівень. — X.: Вид. група «Основа»,
2011. — 253, [3] с. — (Серія «Усі уроки»).
ЕЗВК 978-617-00-1126-8.
Докладні розробки уроків до вивчення алгебри і початків аналізу
в 11 класі (академічний рівень).
Цікаві методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи із за­
вданнями, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевір­
ки знань, використання ігрових моментів на уроці, грамотне урахуван­
ня вікових особливостей — усе це вигідно відрізняє посібник від тради­
ційних планів-конспектів уроків.
Посібник для вчителя нового покоління.
УДК 512
ББК 22.14
© Бабенко С. П., 2011
ISBN 978-617-00-1126-8 © TOB «Видавнича група “Основа” », 2011

3. ЗМІСТ
Вступ .......................................................................................... 6
Орієнтовне календарне планування
(І семестр — 48 годин (3 години на тиждень)
II семестр — 57 годин (3 години на тиждень),
усього — 105 годин .................................................................. 7
Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей
і математичної статистики ........................................................... 11
Урок № 49. Поняття сполуки. Правило суми і добутку.
Впорядковані множини. Розміщення ................................. 11
Урок № 50. Перестановки (без повторень) .......................... 18
Урок № 51. Комбінації (без повторень) ................................ 23
Урок № 52. Розв’язування комбінаторних задач ............... 28
Урок № 53. Поняття випадкової події і випадкового
експерименту. Статистичне означення ймовірності ........ 33
Урок № 54. Класичне означення ймовірності .................... 40
Урок № 55. Розв’язування задач на обчислення
ймовірності із застосуванням комбінаторних схем ........... 48
Урок № 56. Поняття про статистику. Генеральна
сукупність та вибірка .............................................................. 53
Урок № 57. Вибіркові характеристики ................................ 59
Урок № 58. Графічне подання інформації про
вибірку ........................................................................................ 65
Урок № 59. Підсумковий урок із теми «Елементи
комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної
статистики» ............................................................................... 71
Урок № 60. Контрольна робота № 5 ..................................... 75
Тема 4. Інтеграл і його застосування .......................................... 77
Урок № 61. Поняття первісної. Основна властивість
первісних. Невизначений інтеграл ...................................... 77
Урок № 62. Поняття первісної. Основна властивість
первісних. Невизначений інтеграл ...................................... 83

4. 4 Алгебра та початки аналізу. 11 клас. II семестр. Академічний рівень
Урок № 63. Правила знаходження первісних. Таблиця
первісних .................................................................................... 87
Урок № 64. Правила знаходження первісних. Таблиця
первісних .................................................................................... 93
Урок № 65. Правила знаходження первісних. Таблиця
первісних ................................................................................... 98
Урок № 66. Геометричний зміст і означення визначеного
інтеграла. Формула Ньютона—Лейбніца ............................101
Урок № 67. Геометричний зміст і означення визначеного
інтеграла. Формула Ньютона—Лейбніца ............................107
Урок № 68. Геометричний зміст і означення визначеного
інтеграла. Формула Ньютона—Лейбніца ............................113
Урок № 69. Властивості визначеного інтеграла.
Означення визначеного інтеграла через інтегральні
суми ............................................................................................. 117
Урок № 70. Властивості визначеного інтеграла ................122
Урок № 71. Розв’язування вправ на знаходження
визначених інтегралів ............................................................ 126
Урок № 72.Розв’язування вправ на знаходження
визначених інтегралів ............................................................ 129
Урок № 73. Обчислення площ плоских фігур .................. 134
Урок № 74. Обчислення площ плоских фігур .................. 141
Урок № 75. Обчислення площ плоских фігур .................. 145
Урок № 76. [Обчислення об’ємів тіл] .................................. 150
Урок № 77. [Обчислення об’ємів тіл] .................................. 155
Урок № 78. Розв’язування прикладних задач ...................159
Урок № 79. Підсумковий урок із теми «Інтеграл
і його застосування» ................................................................ 164
Урок № 80. Контрольна робота № 6 .....................................167
Тема 5. Повторення курсу алгебри і початків аналізу ............170
Уроки № 81, 82. Функції, рівняння, нерівності ................170
Уроки № 83, 84. Степенева функція .....................................182
Уроки № 85, 86. Тригонометричні функції ........................191
Уроки № 87, 88. Тригонометричні рівняння
і нерівності ................................................................................201
Уроки № 89, 90. Похідна та її застосування ...................... 211

5. Зміст 5
Уроки № 91-93. Показникова і логарифмічна
функції .........................................................................................222
Уроки № 94, 95. Елементи теорії ймовірності
та математичної статистики ....................................................234
Уроки № 96, 97. Інтеграл і його застосування .....................242
Урок № 98. Підсумковий урок ................................................ 250
Урок № 99. Контрольна робота № 7 (підсумкова) ............... 252
Уроки 100-105. Резервний час ...............................................253
Література ................................................................................... 254

6. ВСТУП
Матеріали посібника призначені для вчителів загальноосвіт­
ніх навчальних закладів, які викладають алгебру і початки аналізу
в 11 класі (академічний рівень).
Посібник містить детальні розробки уроків. У наведених кон­
спектах подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис об­
ладнання, яке необхідне для проведення уроку.
Розробляючи плани уроків, автор дбав про те, щоб систематич­
но закріплювався матеріал, вивчений на попередніх уроках. У роз­
робках передбачено різноматнітні форми організації роботи учнів
під час уроку, зокрема самостійні роботи навчаючого і контролю­
ючого характеру, математичні диктанти, фронтальне опитування,
розв’язання задач за готовими кресленнями.
Змістова частина конспектів уроків має заголовок «Хід уро­
ку». Тут відображено: етапи уроку; зміст навчального матеріалу,
що виноситься на урок; система завдань, необхідна для досягнення
дидактичної мети; методи, форми і засоби, які доцільно використа­
ти на уроці; домашнє завдання.
До окремих фрагментів уроку подаються докладні методичні
рекомендації. Більша частина завдань також супроводжується ме­
тодичними коментарями (у тексті вони позначаються які допо-
можутьучителю врахувати особливості розв’язування цих вправ.
Детальні методичні рекомендації, різноманітні прийоми робо­
ти, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки
знань, урахування вікових особливостей учнів — усе це відрізняє
пропонований посібник від традиційних планівконспектів та дає
можливість його використання також учителями, які працюютьза
різними підручниками.
Автор сподівається, що вчителі не формально використову­
ватимуть рекомендації цього посібника, а візьмуть їх за основу
й складатимуть свої поурочні плани, враховуючи особливості кож­
ного класу.

7. АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ. 11 КЛАС.
АКАДЕМІЧНИЙ РІВЕНЬ
ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
(І семестр — 48 годин (3 години на тиждень)
II семестр — 57 годин (3 години на тиждень),
усього — 105 годин
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
Тема 1. Похідна та її застосування 26
1 Повторення. Дійсні числа та їх властивості 1
2 Повторення. Модуль дійсного числа та його
властивості
1
3 [Поняття границі функції в точці] 1
4 Поняття приросту аргумента та приросту
функції. Означення похідної
1
5 Похідні деяких елементарних функцій 1
6 Геометричний зміст похідної. [Рівняння до­
тичної до функції в точці]
1
7 Механічний зміст похідної 1
8 Правила обчислення похідних 1
9 [Похідна складеної функції] 1
10 Похідні елементарних функцій 1
11 Розв’язування задач на обчислення похідних
поданих функцій
1
12 Підсумковий урок 1
13 Контрольна робота № 1 1
14 Монотонність і сталість функції. Критичні
точки функції
1
15 Розв’язування вправ 1
16 Екстремуми функції. Необхідна і достатня
умови екстремуму
1
17 Розв’язування вправ 1

8. 8 Алгебра та початки аналізу. 11 клас. II семестр. Академічний рівень
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
18 Загальна схема дослідження функції [для по­
будови її графіка]
1
19, 20 Розв’язування вправ на дослідження функції
[для побудови її графіка]
21 Найбільше і найменше значення функції 1
22, 23 Розв’язування задач на знаходження найбіль­
шого та найменшого значень функції
24 Розв’язування найпростіших прикладних за­
дач
1
25 Підсумковий урок 1
26 Контрольна робота № 2 1
Тема 2. Показникова та логарифмічна функції 22
27 Степінь із довільним дійсним показником та
його властивості
1
28 Показникова функція, її властивості та графік 1
29 Застосування властивостей показникової
функції до розв’язування вправ
1
ЗО Найпростіші показникові рівняння 1
31 Зведення деяких показникових рівнянь до
найпростіших
1
32 Розв’язування більш складних показникових
рівнянь
1
33 Розв’язування систем рівнянь, що містять по­
казникові функції
1
34 Розв’язування найпростіших показникових
нерівностей
1
35 Розв’язування більш складних показникових
нерівностей
1
36 Розв’язування показникових рівнянь, нерівно­
стей та систем. Підсумковий урок
1
37 Контрольна робота № 3 1
38 Логарифм числа. Основна логарифмічна то­
тожність.
1
39 Основні властивості логарифмів. Формула пе­
реходу від однієї основи логарифмів до іншої
1

9. Орієнтовне календарне планування 9
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
40 Логарифмування та потенціювання 1
41 Логарифмічна функція , її властивості та гра­
фік. Застосування властивостей логарифмічної
функції до розв’язування вправ
1
42 Розв’язування найпростіших логарифмічних
рівнянь
1
43 Розв’язування більш складних логарифмічних
рівнянь
1
44 Розв’язування систем рівнянь, що містять
логарифмічні функції
1
45 Розв’язування найпростіших логарифмічних
нерівностей
1
46 Розв’язування більш складних логарифмічних
нерівностей
1
47 Підсумковий урок 1
48 Контрольна робота № 4 1
Тема 3. Елементи теорії ймовірностей
і математичної статистики
12
49 Поняття сполуки. Правило суми і добутку.
Впорядковані множини. Розміщення
1
50 Перестановки (без повторень) 1
51 Комбінації (без повторень) 1
52 Розв’язування комбінаторних задач 1
53 Поняття випадкової події і випадкового експе­
рименту. Статистичне означення ймовірності
1
54 Класичне означення ймовірності 1
55 Розв’язування задач на обчислення ймовірнос­
ті із застосуванням комбінаторних схем
1
56 Поняття про статистику. Генеральна сукуп­
ність та вибірка
1
57 Вибіркові характеристики 1
58 Графічне подання інформації про вибірку 1
59 Підсумковий урок 1
60 Контрольна робота № 5 1

10. 10 Алгебра та початки аналізу. 11 клас. II семестр. Академічний рівень
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
Тема 4. Інтеграл і його застосування 20
61,62 Поняття первісної. Основна властивість пер­
вісних. Невизначений інтеграл
2
63-65 Правила знаходження первісних. Таблиця
первісних.
3
66-68 Геометричний зміст і означення визначеного
інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца
3
69, 70 Властивості визначеного інтеграла. Означення
визначеного інтеграла через інтегральні суми
2
71, 72 Розв’язування вправ на знаходження визначе­
них інтегралів
2
73-75 Обчислення площ плоских фігур 3
76, 77 Обчислення об’ємів тіл 2
78 Розв’язування прикладних задач 1
79 Підсумковий урок 1
80 Контрольна робота № 6 1
Тема 5. Повторення курсу алгебри і початків
аналізу
19
81,82 Функції, рівняння, нерівності 2
83,84 Степенева функція 2
85,86 Тригонометричні функції 2
87, 88 Тригонометричні рівняння і нерівності 2
89, 90 Похідна та її застосування 2
91-93 Показникова і логарифмічна функції 3
94, 95 Елементи теорії ймовірності і математичної
статистики
2
96, 97 Інтеграл і його застосування 2
98 Підсумковий урок 1
99 Контрольна робота № 7 (підсумкова) 1
100-
105
Резерв навчального часу 6

11. ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ,
ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
УРОК № 49
ПОНЯТТЯ СПОЛУКИ. ПРАВИЛО СУМИ І ДОБУТКУ.
ВПОРЯДКОВАНІ МНОЖИНИ. РОЗМІЩЕННЯ
Мета: працювати над формуванням в учнів уявлення про мно­
жини та впорядковані множини, про зміст поняття сполуки. Пра­
цювати над засвоєнням учнями правил суми і добутку та способів
їх використання під час розв’язування комбінаторних задач. Сфор­
мувати в учнів уявлення про поняття розміщення.
Розпочати роботу з формування вмінь:
S відтворювати вивчені поняття;
S застосовувати ці поняття до розв’язування задач на обчислен­
ня кількості сполук у найпростіших комбінаторних задачах.
Типуроку: засвоєння знань; формування первинних умінь.
Наочність та обладнання: конспект «Поняття множини та її еле­
ментів. Схема розв’язування комбінаторних задач».
Хід уроку
I.Організаційний етап
1. Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
2. Оголошення результатів виконання контрольної роботи.
II. Перевірка домашнього завдання
Збираємо зошити з виконаною корекційною роботою.
III. Формулювання мети й завдань уроку
На цьому етапі уроку проводимо з учнями бесіду, під час
якої наводимо приклади задач, для розв’язування яких до­
водиться вибирати з певної сукупності об’єктів елементи,
що мають відповідні властивості, та розміщувати ці елемен­
ти в певному порядку і т. ін. Таким чином формуємо в учнів
уявлення про певну групу задач, розв’язування яких потре­
бує вивчення нових понять та навичок володіння новими
c m

12. 12 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
способами дій. Отже, створюємо мотивацію навчальної ді­
яльності учнів, окресливши коло задач, розв’язування яких
і є основною метою уроку.
IV.Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконання усних вправ
1. Виконайте дії: 1) -2,4:0,8+ 1,6; 2) 3) —л/б4;
2 4 8
4) 5) ! в) (л/3-і)2+ 27з .
2. Розв’яжіть рівняння: 1) —# + 5 = 0; 2) х2=х; 3) 1 6 -х 2=0;
4
і------ х2 1
4) 2х2- х -1 = 0; 5) у/х+ 7 =4; 6 ) ------ = -------.
х —1 х -1
V. Засвоєння нових знань
План вивчення матеріалу
1. Уявлення про множини. Основні поняття (елемент множини,
види множин, позначення множин).
2. Уявлення про комбінаторні задачі та комбінаторику (як розділ
математики).
3. Поняття сполуки.
4. Правило суми.
5. Правило добутку.
6. Поняття впорядкованої множини.
7. Розміщення (без повторень). Як визначити, що під час
розв’язування комбінаторної задачі слід вибрати формулу чис­
ла розміщень (без повторень)?
8. Приклади задач.
Конспект 29
Поняття множини та її елементів
Множину можна уявити собі як
сукупність деяких об’єктів, що
об’єднані за певною ознакою.
У математиці множини — це одне
з основних неозначуваних понять.
Об’єкт, що входить до множини А,
називають елементом цієї множини.
Множину, що не містить жодного
елемента, називають порожньою
множиною і позначають 0
Елемент Ь не нале­
жить множині А
<=> ЪёА
У множині немає
елементів
о 0
Елемент а належить
множині А
о а єА

13. Урок № 49. Поняття сполуки. Правило суми і добутку... 13
Комбінаторика
Комбінаторика — розділ математики, в якому вивчають способи вибору
і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось
умов. Вибрані (або вибрані і розміщені) групи елементів називають спо­
луками.
Якщо всі елементи одержаних сполук різні, то маємо сполуки без повто­
рень, а якщо в одержаних сполуках елементи повторюються, то дістане­
мо сполуки з повтореннями
Схема розв’язування комбінаторних задач
Вибір правила
Правило суми Правило добутку
Якщо елемент А можна вибрати
т способами, а елемент В —
п способами, то А або В можна
вибрати (т+ п) способами
Якщо елемент А можна вибрати т
способами, а після цього елемент
В — п способами, то А і Б можна
вибрати (т п) способами
Розміщення
Розміщенням із п елементів по к називають будь-яку впорядковану
множину з 1г елементів, складену з елементів я-елементної множини
Формула числа розміщень ( А^) Приклад
Ak П‘
n~ (n -k)l
Кількість різних тризначних чи­
сел, які можна скласти з цифр 1,2,
3, 4, 5, 6, якщо цифри не можуть
повторюватися, дорівнює:
з 6! 6! 1-2-3-4-5-6
~ (6—3)! ~ 3! ~ 1-2-3
= 4 5-6 = 120
Приклад 1. На змагання з легкої атлетики приїхала команда
з 12 спортсменок. Скількома способами тренер може визначити,
хто з них побіжить в естафеті 4x100 м на першому, другому, тре­
тьому і четвертому етапах?
Розв'язання. Кількість способів вибрати з 12 спортсменок чоти­
рьох для участі в естафеті дорівнює кількості розміщень із 12 еле­
ментів по 4 (без повторень), тобто
Af2=12 11-10-9 = 11 880.
Приклад 2. Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна
скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри в числі не повторю­
ються.

14. 14 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
Розв'язання. Кількість трицифрових чисел, які можна скласти із
семи цифр 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, дорівнює числу розміщень із 7 елемен­
тів по 3, тобто А!} = 7-6-5 = 210.
Приклад3.Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна склас­
ти із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, якщо цифри в числі не повторюються.
Розв'язання. Кількість трицифрових чисел, які можна скласти із
семи цифр (серед яких немає цифри 0), дорівнює числу розміщень
із 7 елементів по 3, тобто = 7-6-5 = 210.
Але серед поданих цифр є цифра 0, з якої не може починатися
трицифрове число. Тому з розміщень із 7 елементів по 3 необхідно
вилучити ті розміщення, першим елементом яких є цифра 0. їх
кількість дорівнює числу розміщень із 6 елементів по 2, тобто
= 6 •5. Отже, шукана кількість трицифрових чисел дорівнює:
Тоді х = 0 або х = 5.
Але до ОДЗ входить тільки х = 5.
Відповідь. 5.
Зауваження. Під час розв’язування найпростіших комбінатор­
них задач важливо правильно вибрати формулу, за якою будуть
проводити обчислення кількості сполук. Для цього слід з’ясувати:
^ чи враховується порядок слідування елементів у сполуці;
^ чи всі елементи поданої множини входять до сполуки;
^ чи можуть елементи в сполуці повторюватися.
Якщо на перше питання відповідь ствердна, а на два остан­
ніх — заперечна, то застосовують формулу числа розміщень без по­
вторень.
Вивчення теоретичного матеріалу уроку проводимо у формі
бесіди за планом, записаним вище. Зміст бесіди відтворює
відповідний навчальний матеріал, що поданий у підручни­
ку, та супроводжується прикладами розв’язання відповід­
них задач.
Приклад4. Розв’яжіть рівняння —§- = 6.
А
Розв'язання.ОДЗ: х є □ , х > 4. Тоді маємо:
-А % = 7 -6-5-6-5 = 180.
. . А* „
х(х - і)(х - 2)(х - 3)
-----------7------ ---------—6
х (х -1 )
На ОДЗ це рівняння рівносильне рівнянням:
(х -2 )(х -3 ) = 6, х2-5 х = 0, х (х -5 ) = 0.

15. Урок № 49. Поняття сполуки. Правило суми і добутку... 15
Підбиваючи підсумки бесіди, звертаємо увагу учнів на такі
моменти:
^ предмет вивчення комбінаторики — способи обчислення
кількості сполук, а тому у відповіді до таких задач можуть
бути тільки натуральні числа;
^ синонім слова сполука — множина (підмножина поданої
множини, з елементів якої утворено сполуку);
^ правило суми та правило добутку є основними правилами
комбінаторики, застосування яких дає змогу вивести деякі
формули для числа сполук (зокрема формулу числа розмі­
щень);
^ оскільки далі буде вивчено ще кілька формул для числа спо­
лук (перестановок та комбінацій), то бажано відразу визна­
чити, що для розв’язування задачі буде використано саме
формулу числа розміщень.
VI. Формування первинних умінь
Виконання усних вправ
1. Обчисліть значення виразів: А%; А?; А%-А%.
2. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1,2,
З, 4, 5, якщо жодна цифра не повторюється?
3. У шаховому турнірі брали участь 10 гравців, кожен з яких зі­
грав одну партію з кожним із решти. Скільки всього партій
було зіграно?
4. Група складається з п’яти чоловіків і п’яти жінок. Скількома
способами можна обрати делегацію із п’яти осіб, до якої входи­
ло б три жінки?
5. Маємо чотири різних конверти без марок і три різні марки.
Скількома способами можна вибрати конверт і марку для від­
правки листа?
6. У коробці знаходиться десять білих і шість чорних кульок.
1) Скількома способами з коробки можна витягнути одну кульку
будь-якого кольору?
2) Скількома способами з коробки можна витягти дві різнокольо­
рові кульки?
Виконання письмових вправ
1. У кошику лежать 12 яблук і 9 апельсинів (усі різні). Петрик
вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надійка вибирає
з тих фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин. Скільки
можливо таких виборів? За якого вибору Петрика у Надійки
більше можливостей вибору?

16. 16 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
2. Скількома способами може розміститися родина з трьох осіб
у чотиримісному купе за відсутності інших пасажирів?
3. Скількома способами можуть посісти перше, друге і третє міс­
ця вісім учасників фінального забігу на дистанції 100 м (усі по­
казали різний час)?
4. На площині позначено п’ять точок. Скількома способами мож­
на позначити їх латинськими буквами (у латинському алфавіті
26 букв)?
5. Скільки різних трицифрових чисел (без повторення цифр)
можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб одержані числа були
парними?
6. Розв’яжіть рівняння А 2= 20.
Виконання вправ на повторення
9 _ 2 1
1. Розв’яжіть нерівність 5 “ >
125
2. Розв’яжіть нерівність (і - 2х) > -2 .
5
2
25 5-5
3. Чому дорівнює значення виразу-------—?
12515
Я к усні, так і письмові вправи, запропоновані для обов’яз­
кового розв’язування на етапі первинного закріплення
знань та формування вмінь, описують стандартні ситуації
на застосування правил добутку і суми та формули числа
розміщень без повторень. Обчислювальна частина таких
задач є досить простою, тому основні зусилля під час
розв’язування задач спрямовуємо на аналіз умови з метою
визначення способу її розв’язування. При цьому відпрацьо­
вуємо таку схему: спочатку проводимо вибір формули, а по­
тім записуємо формулу та виконуємо обчислення. Додаткові
вправи (розв’язування рівняння із застосуванням формули
числа розміщень із п елементів по к без повторень) сприя­
ють більш глибокому розумінню формули.
Вправи на повторення є додатковими (їх розв’язують на уро­
ці, якщо дозволяє час), сприяють подальшому вдосконален­
ню навичок розв’язування показникових і логарифмічних
нерівностей та обчислень значень виразів і мають на меті
підготовку учнів до ЗНО та ДПА з математики.

17. Урок № 49. Поняття сполуки. Правило суми і добутку... 17
VII. Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Наведіть приклади множин; укажіть декілька елементів кож­
ної множини.
2. Сформулюйте та поясніть на прикладах правило суми та пра­
вило добутку для розв’язування комбінаторних задач.
3. Поясніть відмінність впорядкованої множини від невпорядко-
ваної множини.
4. Поясніть, що називається розміщенням із п елементів по k без
повторень.
5. Запишіть формулу для числа розміщень із п елементів по k
без повторень. Наведіть приклади її застосування.
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект № 29).
Виконати вправи.
1. Учень повинен скласти чотири екзамени протягом восьми днів.
Скількома способами можна скласти розклад його екзаменів,
якщо одного дня він може складати тільки один екзамен?
2. Із ЗОучасників зборів слід вибрати голову і секретаря. Скілько­
ма способами це можна зробити?
3. Скількома способами можна виготувати триколірний прапор
із горизонтальними смугами, якщо є матеріал семи різних ко­
льорів?
4. Скількома способами організатори конкурсу можуть визна­
чити, хто з 15 його учасників буде виступати першим, другим
і третім?
5. Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 2, 4,
6, 8, якщо цифри в числі не повторюються?
6. Скільки різних трицифрових чисел (без повторення цифр)
можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб одержані числа були
кратними 5?
А 5
7. Розв’яжіть рівняння ^з“= 6.
Виконати вправи на повторення.
1. При яких значеннях х виконується нерівність 2І0Є2^~Х^<8?
2. Розв’яжіть нерівність 1§2л:-1 § л:< 0.

18. 18 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
УРОК № 50
ПЕРЕСТАНОВКИ (БЕЗ ПОВТОРЕНЬ)
Мета: працювати над засвоєнням учнями поняття перестано­
вок із п елементів та формули обчислення числа перестановок із п
елементів без повторень.
Закріпити вивчені поняття та формули.
Формувати вміння учнів розв’язувати найпростіші комбіна­
торні задачі із використанням правил суми та добутку, а також
формул для обчислення числа розміщень із п елементів по k без
повторень та перестановок із п елементів без повторень.
Типуроку: засвоєння знань, формування вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Перестановки».
Хід уроку
I.Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Збираємо зошити учнів, які потребують особливої педагогічної
уваги.
Фронтально перевіряємо виконання вправ за зразком з обгово­
ренням.
III. Формулювання мети й завдань уроку
Пропонуємо учням виконати завдання.
Завдання. Порівняйте умови задач.
Задача 1. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з них не повторюється?
Задача 2. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з них не повторюється?
(Очікувані відповіді. Відмінність задач у тому, що в першій за­
дачі не всі елементи входять до сполуки, а в другій — усі; схожість
у тому, що в обох задачах важливий порядок розміщення елементів
у сполуці та елементи не можуть повторюватися.)
Зрозуміло, що найшвидше в першій учні впізнають задачу на
знаходження числа розміщень без повторень (можна запропону­
вати учням розв’язати цю задачу). Далі можна запропонувати по­
міркувати над способом розв’язання другої задачі (можливо, учні
здогадаються застосувати правило добутку). У будь-якому разі учні
мають усвідомити, що існують задачі, в яких ідеться про впоряд­
ковані сполуки, які не є розміщеннями. Таким чином підводимо
учнів до формулювання мети уроку.

19. Урок № 50. Перестановки (без повторень) 19
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконання усних вправ
1. Знайдіть значення виразу: 1) (-6+ 1,2): (-0,8); 2) (>/з -2)(-/з + 2);
3) ^ - 4 ) 2; 4)
2. Знайдіть значення виразу: 1) А%; 2) А^; 3) А%-Л£; 4) А£+А%.
3. Скількома способами можна:
1) трьом подругам вибрати чашки із сервізу на шість персон,
якщо всі чашки в сервізі різного кольору;
2) у комісії із семи осіб вибрати голову та його заступника;
3) розподілити перше, друге та третє місця між 230-ма учасника­
ми змагань із боротьби;
4) вибрати комплект зі светра та брюк, якщо маємо п’ять светрів
та чотири пари брюк?
V. Засвоєння нових знань
План вивчення матеріалу
1. Означення перестановок із п елементів. Позначення.
2. Формула обчислення числа перестановок із п елементів.
3. Поняття факторіала. Запис формули числа перестановок із п
елементів та числа розміщень із п елементів по к без повто­
рень за допомогою факторіала.
4. Як визначити, що в поданій задачі слід використати формулу
для числа перестановок із п елементів?
5. Приклади задач.
Конспект ЗО
Перестановки
Перестановкою з п елементів називають будь-яку впорядковану множи­
ну з п елементів.
Інакше кажучи, це така множина, для якої указано, який елемент
знаходиться на першому місці, який — на другому..., який — на тг-му
Формула числа перестановок (Рп) Приклад
(* ,)= » і.
де п! = 1-2-3-...тг (читається: «Ен
факторіал»)
Кількість різних шестицифрових
чисел, які можна скласти з цифр
1,2 ,3, 4, 5, 6, не повторюючи їх
в одному числі, дорівнює:
Рб=6! = 1-2-3-4-5-6 = 720

20. 20 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
Приклад 1. Скількома способами можна вісім учнів вишикувати
в колону по одному?
Розв'язання. Кількість способів дорівнює числу перестановок із
восьми елементів.
Тобто Р8=8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40 320.
Приклад 2. Знайдіть кількість різних чотирицифрових чисел, які
можна скласти з цифр 0, 3, 7, 9 (цифри в числі не повторюються).
Розв'язання. З чотирьох цифр 0, 3, 7, 9 можна одержати Р4 пере­
становок. Але ті перестановки, які починаються з цифри 0, не бу­
дуть записом чотирицифрового числа — їх кількість Р3. Тоді шука­
на кількість чотирицифрових чисел дорівнює:
Р4-Р 3=4! = 1-2-3-4-1-2-3 = 18.
Приклад 3. Скількома способами можна поставити на полицю де­
сять книг, чотири з яких — підручники, так щоб усі підручники
стояли разом?
Розв'язання. Спочатку будемо розглядати підручники як одну
книгу. Тоді на полиці потрібно розставити не десять, а сім книг. Це
можна зробити Р7 способами. У кожному з одержаних наборів книг
ще можна виконати Р4 перестановок підручників. За правилом до­
бутку шукана кількість способів дорівнює:
Р7 Р4=7! 4! = 5040 254 = 120 960.
Зауваження. Щоб вибрати формулу, за якою розв’язують комбі­
наторну задачу, слід з’ясувати:
^ чи враховується порядок слідування елементів у сполуці;
^ чи всі елементи поданої множини входять до сполуки;
^ чи можуть елементи в сполуці повторюватися.
Якщо на перші два запитання відповідь ствердна, а на останнє
запитання відповідь заперечна, то застосовують формулу числа пе­
рестановок без повторень.
Зміст теоретичного матеріалу можна викласти у формі бесі­
ди за планом або організувати самостійне вивчення за наве­
деним планом, за підручником або за конспектом ЗО.
У будь-якому випадку бажано після розгляду матеріалу ви­
ділити основні нові моменти, а саме:
^ розміщення як і перестановки — впорядковані множини;
^ формули як розміщень, так і перестановок ґрунтуються на
застосуванні правила добутку;
^ відмінність розміщень і перестановок у тому, що не всі еле­
менти входять до сполуки;

21. Урок № 50. Перестановки (без повторень) 21
S формули числа перестановок і розміщень без повторень
можна записати як за допомогою правила добутку, так і за
допомогою факторіала.
VI.Формування первинних умінь
Виконанняусних вправ
6! 6!—5!
1. Обчисліть значення виразу: 1) Р3; 2) Р5-Р 4; 3) —; 4) —— -.
4! З!
2. Скількома способами чотири особи можуть розміститися на чо­
тиримісному ослоні?
Виконання письмових вправ
1. Кур’єр повинен рознести пакети до семи різних установ. Скіль­
ки маршрутів може він вибрати?
2. Скільки існує виразів, тотожно рівних добутку abcde, які одер­
жують із нього перестановкою множників?
3. Скільки шестицифрових чисел (без повторення цифр) можна
скласти з цифр 0, 2, 5, 6, 7, 8?
4. Скільки серед чотирицифрових чисел, складених із цифр 3,5,7,
9 (без повторення цифр), є таких, що починаються з цифри З?
5. У розкладі на понеділок шість уроків: алгебра, геометрія, іно­
земна мова, історія, фізкультура, хімія. Скількома способами
можна скласти розклад уроків на цей день так, щоб два уроки
математики стояли поряд?
6. Скільки можна скласти різних правильних дробів, викорис­
товуючи у чисельнику і знаменнику числа 2, 3, 5, 7, 11, якщо
в запису кожного дробу використовувати два числа?
Р А З5
7. Обчисліть значення виразу: 1) — 2) А^А% +А%А%.
^ 2 0 ^ 2 0
Виконання вправ на повторення
1. Розв’яжіть нерівність log7(4л; - 6) > log7(2х - 4) .
X
2. Розв’яжіть рівняння log2Ах •log2—= 5.
3. Чому дорівнює значення виразу log27log8^32 ?
Як усні, так і письмові вправи, запропоновані для обов’яз­
кового розв’язування на етапі первинного закріплення
знань та формування вмінь, описують стандартні ситуації
на застосування формули числа перестановок без повторень.
Як і на попередньому уроці, відпрацьовуємо схему: спочат­
ку проводимо вибір формули (використовуємо орієнтир для

22. 22 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
вибору формули числа розміщень та числа перестановок),
а потім записуємо формулу та виконуємо обчислення.
Виконання вправи 7 сприяє більш глибокому розумінню
поняття факторіала та запису формул числа розміщення
та числа перестановок без повторень, а також формуванню
вмінь виконувати перетворення виразів із застосуванням
поняття факторіала (це завдання не є обов’язковим).
Вправи на повторення є додатковими (розв’язуються на
уроці, якщо вистачить часу) і сприяють подальшому вдо­
сконаленню навичок розв’язувати логарифмічні рівняння
та обчислювати значення виразів, що містять логарифми.
Виконання цих вправ має на меті підготовку учнів до ЗНО
та ДПА з математики.
VII. Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Поясніть, що називають перестановками з п елементів (без по­
вторень). Наведіть приклади.
2. Як записати формулу для обчислення числа перестановок із п
елементів без повторень? Наведіть приклади її застосування.
3. Як записати формулу для числа розміщень із п елементів по k
без повторень за допомогою факторіала?
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект № ЗО).
Виконати вправи.
1. Ольга пам’ятає, що телефон подруги закінчується цифрами 5,
7, 8, але забула, у якому порядку ці цифри розміщено. Укажіть
найбільше число варіантів, що їй доведеться перебрати, щоб
зателефонувати подрузі.
2. Скільки шестицифрових чисел (без повторення цифр) можна
скласти з цифр 1, 2, 5, 6, 7, 8?
3. Скільки серед чотирицифрових чисел, складених із цифр 3,5,
7, 9 (без повторення цифр), є таких, що кратні 5?
4. Знайдіть суму цифр усіх чотирицифрових чисел, які можна
скласти з цифр 1, 3, 5, 7 (без повторення цифр у числі).
Виконати вправи на повторення.
1. Знайдіть область визначення функції f{x) = Jlog06х + ^ .
V ’ х —З
2. Розв’яжіть рівняння 5•4х - 7 •10х + 2 •25* = 0.

23. Урок №51. Комбінації (без повторень) 23
УРОК №51
КОМБІНАЦІЇ (БЕЗ ПОВТОРЕНЬ)
Мета: працювати над засвоєнням учнями поняття комбінації без
повторень та формули обчислення числа комбінацій без повторень.
Розпочати роботу з формування вмінь:
^ відтворювати зміст вивчених понять;
^ застосовувати ці поняття до розв’язування задач на обчислен­
ня числа комбінацій без повторень.
Продовжити роботу з формування вмінь розв’язувати найпро­
стіші комбінаторні задачі на обчислення числа розміщень та пере­
становок без повторень за вивченими раніше формулами.
Типуроку: засвоєння знань, формування вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Комбінації».
Хід уроку
I.Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Ретельно перевіряємо зошити учнів, які потребують додатко­
вої педагогічної уваги.
Якість засвоєння матеріалу, вивченого на попередніх уроках,
перевіряємо шляхом виконання тестових завдань.
Тестоваробота
Варіант 7
1. Скількома способами можна обрати голову і секретаря зборів із
26 осіб, присутніх на зборах?
А Б В Г Д
325 52 15 600 2 600 650
2. Скількома способами можна розкласти сім різних листів у сім
конвертів, якщо в кожний конверт кладуть тільки один лист?
А Б В Г Д
5 040 49 720 28 343
3. Із цифр 0, 2, 4, 6, 8 склали всі можливі п’ятицифрові числа так,
що в кожному числі цифри не повторюються. Скільки дістали
чисел?
А Б В Г Д
24 120 96 25 116

24. 24 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
4. Розв’яжіть рівняння А гх = 56#.
А Б В Г Д
12 15 18 6 9
Варіант 2
1. Необхідно скласти розклад шести уроків на день. Скількома
способами це можна зробити, якщо учні класу вивчають вісім
різних предметів?
А Б В Г Д
48 720 5 760 28 56
2. Скількома способами можна розмістити в черзі шість осіб?
А Б В Г Д
720 36 12 620 216
3. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 складені всі можливі п’ятицифрові числа
без повторення цифр. Скільки серед цих п’ятицифрових чисел
таких, що не починаються з 54?
А Б В Г Д
117 118 114 20 60
4. Розв’яжіть рівняння = 90я.
А Б В Г Д
22 11 19 16 8
III. Формулювання мети й завдань уроку
Пропонуємо учням виконати завдання.
Завдання. Порівняйте умови задач.
Задача 1. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з цифр не повторюється?
Задача 2. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з цифр не повторюється?
Задача 3. Скількома способами можна вибрати з п’яти осіб деле­
гацію у складі трьох осіб? (Очікувані відповіді. Відмінність задач
у тому, що в першій і другій задачах порядок елементів має зна­
чення, а у третій — ні; проте у третій задачі, як і в першій, не всі
елементи входять до сполуки.)
Запропонувавши поміркувати над способом розв’язання тре­
тьої задачі, підводимо учнів до усвідомлення того, що є задачі,

25. Урок №51. Комбінації (без повторень) 25
у яких йдеться про невпорядковані сполуки без повторень, тобто
такі сполуки, які не є ні розміщеннями, ні перестановками. Ви­
вчення цього питання становить мету уроку.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконання усних вправ
1. Учні сьомого класу вивчають 14 предметів. Скількома спосо­
бами можна для них скласти розклад уроків на день, щоб на
кожному з шести уроків цього дня вивчалися різні предмети?
2. У класі 28 учнів. Скількома способами можна вибрати старосту
та його заступника?
3. Скільки різних слів може скласти комп’ютер із букв слова
«море», якщо всі букви в кожному слові різні (під комп’ютер­
ним словом розуміємо будь-який набір букв)?
4. Обчисліть: 1) Р4-Р 5; 2) А%+Р3.
V. Засвоєння нових знань
План вивчення матеріалу
1. Означення комбінації без повторень.
2. Формула для обчислення С*.
3. Як визначити, що в поданій задачі слід використати формулу
для числа комбінацій із п по к елементів?
4. Приклади розв’язування задач.
Конспект 31
Комбінації
Комбінацією без повторень із п елементів по к називають будь-яку
к-елементну підмножину п-елементної множини
Формула числа комбінацій (с*) Приклад
ск- п1
А!(л-Л)!
(за означенням вважають, що
с°п= і)
Із 25 учнів класу можна виділити
п’ять учнів для чергування по
школі С|5 способами, тобто
С5 25! 25!
25 5!(25-5)! 51-20!
21 22-23 24 25
= =53 130 способами
1-2-3-4-5
Деякі властивості числа комбінацій без повторень
С*=СГ* (зокрема, Спп=С
П—П _ ^ _|_^[Й+І _
П ТІ ' Т І П Л+1

26. 26 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
Приклад 1. Із 12 членів туристичної групи необхідно вибрати
трьох чергових. Скількома способами можна здійснити цей вибір?
Розв'язання.Кількість способів вибрати з 12 туристів трьох черго­
вих дорівнює кількості комбінацій із 12 елементів по 3 (без повто-
12! 1211 10
рень), тобто С19= —т------- г- = ------------- = 220.
12 3!(12-3)! 1-2-3
Приклад2.У вазі лежать десять різних яблук і п’ять різних груш.
Скількома способами можна вибрати два яблука і три груші?
Розв'язання. Вибрати два яблука з десяти можна С 20 способами.
Під час вибору кожного з яблук груші можна вибрати С| способа­
ми. Тоді за правилом добутку вибір потрібних фруктів можна здій-
10-9 5-4-Я
снити С,20•С? способами. С,20• = -----------------= 450.10 5 10 5 1 2 1 2 3
Зауваження. Для вибору формули, за якою розв’язують комбіна­
торну задачу, слід з’ясувати:
^ чи враховується порядок слідування елементів у сполуці;
^ чи всі елементи поданої множини входять до сполуки;
^ чи можуть елементи в сполуці повторюватися.
Але якщо в задачі використовують формулу числа комбіна­
цій, достатньо на перше запитання одержати заперечну відповідь.
Якщо на останнє запитання заперечна відповідь, то застосовують
формулу числа комбінацій без повторень.
Зазвичай, якщо учні добре засвоїли означення та способи
обчислення числа перестановок та розміщень без повторень,
вивчення означення комбінації (без повторень) та формули
для обчислення числа комбінацій не становить проблем.
Роботу учнів на етапі засвоєння знань організовуємо як са­
мостійну з вивчення нового матеріалу за планом, поданим
вище. По закінченні учні презентують свої наробки (можна
робити це по групах), далі організовуємо обговорення та ко­
рекцію, учні отримують готові конспекти № 31 (заздалегідь
заготовлені вчителем). Підбиваючи підсумки цього етапу,
зауважуємо, що комбінації не є впорядкованими множина­
ми, тому задачі на застосування відповідної формули дуже
легко впізнати за відповідними орієнтирами.
VI. Формування первинних умінь
Виконання усних вправ
1. З-поміж наведених задач виберіть ту, в якій ідеться про визна­
чення числа комбінацій без повторень.

27. Урок №51. Комбінації (без повторень) 27
1) Серед восьмикласників вибрали групу з п’яти осіб, які знають
математику найкраще у класі. Скількома способами можна ви­
брати з них команду з трьох осіб для участі в районній олімпіа­
ді з математики?
2) Серед восьмикласників вибрали групу з п’яти осіб, які знають
математику найкраще у класі. Скількома способами можна ви­
брати в цій групі капітана та його заступника?
3) Серед восьмикласників вибрали групу з п’яти осіб, які знають
математику найкраще у класі. Скількома способами можна
розставити їх у шеренгу під час фотографування для шкільного
стенду «Ними пишається школа»?
2. Визначте види решти задач та розв’яжіть їх.
Виконання письмових вправ
1. У класі сім учнів успішно вивчають математику. Скількома
способами можна вибрати з них двох для участі в математич­
ній олімпіаді?
2. Учням дали список із десяти книг, що рекомендують прочита­
ти під час канікул. Скількома способами учень може вибрати
з них шість книг?
3. На полиці стоїть 12 книг: англо-український словник i l l ху­
дожніх творів англійською мовою. Скількома способами читач
може вибрати три книги, якщо: 1) словник потрібний йому
обов’язково; 2) словник йому не потрібний?
4. Розв’яжіть рівняння: 1) С_г =21; 2) C + С2= 1 5 (# -l).
5. Скільки перестановок можна зробити з букв слова «Харків»?
6. Бригадир повинен відрядити на роботу бригаду з п’яти осіб.
Скільки бригад по п’ять осіб у кожній можна утворити з 12 осіб?
Виконання вправ на повторення
1. Розв’яжіть рівняння хІ0Є2*+2 = 256.
2. Розв’яжіть нерівність logg log1logx>0.
Мета виконання основної частини вправ уроку — закріпи­
ти поняття комбінацій без повторень, формули обчислен­
ня числа комбінацій без повторень та критеріїв вибору цієї
формули. Завдання 5, 6 закріплюють поняття, вивчені на
попередніх двох уроках. Завдання на повторення мають на
меті повторення та вдосконалення вмінь, набутих учнями
під час вивчення теми «Логарифмічна функція. Логариф­
мічні рівняння та нерівності».
2 З

28. 28 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
VII. Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Поясніть, що називають комбінаціями з п по k елементів без
повторень. Наведіть приклади.
2. Запишіть формулу для обчислення числа комбінацій із п по k
елементів без повторень. Наведіть приклади її використання.
3. Як визначити, що в поданій задачі слід використати формулу
для числа комбінацій із п по k елементів?
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект 31).
Виконати вправи.
1. У магазині «Філателія» продають вісім різних наборів марок
спортивної тематики. Скількома способами можна вибрати
з них три набори?
2. У класі навчаються 16 хлопчиків і 12 дівчат. Для прибирання
території потрібно виділити чотирьох хлопчиків і трьох дівча­
ток. Скількома способами це можна зробити?
3. Скількома різними способами колектив із 40 осіб може обрати
голову зборів, його заступника і секретаря?
„ 5 х(х-3) . 15А 2
4. Розв’яжіть рівняння: 1) С = — ------- 2) С = --------- - .
4 4
Виконати вправи на повторення.
( 71 7іЛ
1. Обчисліть значення виразу log2 log3cos— log3sin—
6 6
2. Розв’яжіть рівняння lg2100#-71g# = 8.
УРОК № 52
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КОМБІНАТОРНИХ ЗАДАЧ
Мета: працювати над закріпленням вивчених на попередніх
уроках означень сполук (розміщення, перестановки, комбінації без
повторень), формул для обчислення їх числа, а також орієнтирів
для вибору відповідної формули для розв’язування комбінаторних
задач. Удосконалити навички розв’язувати задачі, що передбача­
ють застосування цих формул та понять, а також вивчених раніше
правил суми та добутку.
Типуроку: відпрацювання навичок.
Наочність та обладнання: конспекти 29-31.

29. Урок № 52. Розв'язування комбінаторних задач 29
Хід уроку
I.Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Вибірково перевіряємо зошити в учнів, що потребують додат­
кової педагогічної уваги.
Виконання письмових вправ перевіряємо за зразком (розв’я­
зання домашніх вправ подаємо як роздавальний матеріал для са­
моперевірки).
III. Формулювання мети й завдань уроку
Пропонуємо учням обміркувати питання:
1. Скільки різних правил та формул було вивчено для знаходжен­
ня числа певних сполук під час розв’язування комбінаторних
задач?
2. Чи існує певна схема дій за вивченими формулами та прави­
лами, якої слід дотримуватися під час розв’язування довільної
комбінаторної задачі?
Останнє запитання передбачає ствердну відповідь, тож форму­
люємо завдання на урок як пошук (складання) такої загальної схе­
ми дій та відпрацювання навичок її використання.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Фронтальне опитування
1. Як записати формулу для обчислення числа перестановок із п
елементів без повторень? Наведіть приклади її застосування.
2. Як записати формулу для обчислення числа розміщень із п
елементів по k без повторень за допомогою факторіала?
3. Як записати формулу для обчислення числа комбінацій із п по
k елементів без повторень? Наведіть приклади її використання.
4. Як визначити, що в поданій задачі слід використати формулу
для числа: 1) розміщень із п по k елементів; 2) перестановок із
п елементів; 3) комбінацій із п по k елементів?
Виконання усних вправ
1. Друзі Сашко, Дмитро, Оксана, Наталя часто відвідують кафе.
Щоразу вони сідають за стіл по-різному. Скільки днів друзі
зможуть робити це без повторень?
2. У змаганнях з фігурного катання брали участь українці, росі­
яни, італійці, німці, японці і французи. Скількома способами
можна розподілити місця по завершенні змагань?

30. зо Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
3. На виборах перемогли дев’ять кандидатів — Саєнко, Дмитрен-
ко, Петренко, Коваленко, Михайличук, Гуско, Волошко, Охри-
менко, Павленко. З-поміж них потрібно обрати голову, заступ­
ника і помічника. Скількома способам це можна зробити?
4. Скількома способами можна утворити триколірний прапор зі
смуг різної ширини, якщо є тканина восьми кольорів?
5. З-поміж учнів п’яти одинадцятих класів необхідно вибрати
двох чергових. Скільки пар чергових можна скласти (у парі не
повинно бути учнів з одного класу)?
6. У класі найкраще знають математику п’ять учнів: Вадим, Дми­
тро, Тарас, Марія і Ганна. Для участі в олімпіаді з математики не­
обхідно відрядити пару, що складається з одного хлопця та однієї
дівчини. Скількома способами вчитель може вибрати цю пару?
V. Узагальнення знань
На цьому етапі уроку учні працюють над складанням загаль­
ної схеми дій під час розв’язування комбінаторних задач, за­
нотовують у зошити у вигляді доповнення до конспекту 31.
Також можна запропонувати історичну довідку про похо­
дження символів сполук.
Історична довідка
Комбінаторика зародилася ще в давнину. Окремі комбінаторні
задачі розв’язували давньогрецькі вчені й математики Сходу. У ки­
тайських рукописах ХІІ-ХІІІ ст. зустрічаються питання, близькі
до комбінаторних. Основоположниками комбінаторики як науки
вважають французьких математиків Б. Паскаля (1623-1662)
і П. Ферма (1601-1665). Завдяки працям цих учених, а також
Г. Лейбніца і Л. Ейлера, комбінаторика у XVIII ст. стає самостій­
ною галуззю знань, яка бурхливо розвивається і знаходить широке
застосування в практичній діяльності людини. З розвитком комбі­
наторики зароджується і поширюється її символіка. Символи для
позначення сполук мають таке походження: А є першою буквою
французького слова arrangement — розміщення; С є першою бук­
вою слова combinatio — поєднання. Знак А* зустрічається у фран­
цузькій математичній літературі вже на початку XX ст. Символ Рп
(від німецького permutatonen — перестановка) запровадив 1904 р.
німецький математик Е. Нетто.
VI. Відпрацювання вмінь і навичок
Виконання письмових вправ
1. Скільки прямих ліній можна провести через вісім точок, з яких
жодні три не лежать на одній прямій?

31. Урок № 52. Розв'язування комбінаторних задач 31
2. Визначте кількість усіх діагоналей правильного: 1) п’ятикут­
ника; 2) восьмикутника; 3) дванадцятикутника; 4) п’ятна-
дцятикутника.
3. Серед перестановок із цифр 1, 2, 3, 4, 5 скільки таких, що не
починаються цифрою 5? Числом 12? Числом 123?
4. Серед комбінацій із десяти букв а , Ь, с ... по чотири скільки
таких, що не містять букви а? Букв а і Ь?
5. Скільки потрібно взяти елементів, щоб число розміщень із них
по чотири було у 12 разів більшим, ніж число розміщень із них
по два?
6. Розв’яжіть рівняння: 1) 5Сх = С *+2; 2) * 3 * =43.
А 5Х+ А І
Виконання вправ на повторення
1. Розв’яжіть нерівність 5*+1+ 2•5*_1>27.
х
2. Обчисліть значення виразу
log72 8 -lo g 74
31og63 + log68
3. Знайдіть область визначення функції
5
f(x) = lg(l8 + Зх - х2) ■
х - 4
Як і на попередніх уроках, виконання письмових вправ має
на меті закріплення знань формул та відпрацювання нави­
чок системного застосування правил та формул комбінато­
рики до розв’язування комбінаторних задач. Окрім цього,
виконання вправ передбачає відпрацювання навичок засто­
совувати загальну схему дій (слід вимагати від учнів свідо­
мих міркувань під час вибору формул та правил). Вправами
на повторення продовжуємо підготовку до ДПА та ЗНО з ма­
тематики за попередньою темою.
VII. Діагностика рівня засвоєння знань і вмінь
Самостійна робота (залежно від рівня досягнень учнів може
бути проведена на початку наступного уроку)
Варіант 1 Варіант 2
1. Скільки різних перестановок
можна утворити із букв слова «по­
хідна»?
1. Скільки різних перестановок
можна утворити із букв слова «до­
тична»?
2. Обчисліть: 2. Обчисліть:
3.Скількома способами можна роз­
поділити три однакові путівки між
десятьма робітниками?
3. Скількома способами можна
розподілити три різні путівки між
десятьма робітниками?

32. 32 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
Варіант 1 Варіант 2
4. У вазі стоять десять білих та
п’ять червоних троянд. Визначте,
скількома способами з цих квітів
можна вибрати букет, що склада­
ється з: 1) двох білих і однієї черво­
ної троянди; 2) трьох троянд, серед
яких не менше ніж дві білі троянди
4. У вазі стоять десять білих та п’ять
червоних троянд. Визначте, скіль­
кома способами з цих квітів можна
вибрати букет, що складається з:
1) двох червоних і однієї білої тро­
янди; 2) трьох троянд, серед яких не
менше ніж дві червоні троянди
5. При яких натуральних п
виконується нерівність
(Л+4|'і 56?
(п +2)!
5. При яких натуральних п
виконується нерівність
і " - 1!1<72?
(п-3)!
Відповіді
Варіант 1 Варіант 2
1. Р7=7! = 5 040 1. Р7=7! = 5 040
2.360 2. 15
3. Cf0= 10! =120
10 3!-7!
3. Л3о= 10!= 720~і° 7,
4. 1) С120 Сд=225 (способів);
2) Cf0•С+Cf0= 225+ 120= 375
(способів)
4. 1) Cfo-C?! =100 (способів);
2) Сі, •С52+С53= 100+ 10= 110
(способів)
5. 1,2,3, 4, 5 5. 1,2,3, 4, 5,6, 7, 8,9
VIII. Підсумки уроку
Рефлексія (після виконання та перевірки самостійної роботи).
IX. Домашнє завдання
Повторити теоретичний матеріал розділу «Комбінаторика».
Виконати вправи.
1. Під час зустрічі 16 осіб потисли один одному руки. Скільки
всього зроблено рукостискань?
2. Група учнів із ЗО осіб вирішила обмінятися фотокартками.
Скільки всього фотокарток потрібно для цього?
3. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна записати за допо­
могою цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без їх повторень?
4. Скільки різних триколірних прапорів можна зробити, комбі­
нуючи синій, червоний і білий кольори?

33. Урок № 53. Поняття випадковоїподіїі випадкового експерименту... 33
5. Скільки різних площин можна провести через 10 точок, якщо
жодні три з них не лежать на одній прямій і жодні чотири точ­
ки не лежать на одній площині?
6. Серед розміщень із 12 букв а, Ь, с ... по п’ять скільки таких,
що не містять букви а ? Букв а і Ь?
А 4Р
7. Розв’яжіть рівняння—* *~4 =42.
^х-2
8. Скільки існує парних чотирицифрових чисел, що не містять
у десятковому записі цифри 0?
9. Математична енциклопедія складається із п’яти томів. Скіль­
кома способами їх можна розставити на полиці так, щоб томи
не стояли один за одним у порядку зростання їх номерів?
10.У шаховому турнірі брало участь 10 гравців. При цьому кожен
гравець зіграв із кожним із решти гравців одну партію. Скіль­
ки всього було зіграно партій у турнірі?
Повторити: елементи теорії ймовірності (9 клас).
УРОК № 53
ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ
І ВИПАДКОВОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ. СТАТИСТИЧНЕ
ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ
Мета: повторити, узагальнити та систематизувати знання уч­
нів про основні поняття теорії ймовірності та види подій, набуті
ними у 6 та 9 класах; працювати над засвоєнням учнями змісту
понять: випадковий експеримент, випадкова подія, частота та від­
носна частота випадкової події, статистичне означення ймовірності
випадкової події та відповідної символіки.
Розпочати роботу з формування вмінь відтворювати зміст ви­
вчених понять, а також застосовувати ці поняття до розв’язування
задач на визначення видів подій, обчислення відносної частоти та
статистичної ймовірності випадкової події.
Типуроку: засвоєння знань, формування первинних умінь.
Наочність та обладнання: конспект «Випадкові експерименти
і випадкові події».
Хід уроку
І.Організаційний етап
1. Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
2. Оголошення результатів виконання самостійної роботи.

34. 34 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
II. Перевірка домашнього завдання
Збираємо зошити з виконаною домашньою роботою, оцінюємо
якість її виконання як домашню самостійну роботу.
III. Формулювання мети й завдань уроку
Пропонуємо учням розглянути завдання зі збірника ДПА
з математики за 9 клас.
1. У шухляді лежать 36 карток, занумерованих числами від 1 до
36. Яка ймовірність того, що номер навмання взятої картки
буде кратним числу 36?
2. У коробці лежать шість зелених та кілька синіх кульок. Скіль­
ки синіх кульок у коробці, якщо ймовірність того, що навман-
. . . . . у . ..................— ...................І ,
5
3. Яка ймовірність того, що за одного підкидання грального куби­
ка випаде не більше ніж чотири очки?
Порівнявши умови, учні вказують на спільне поняття — ймо­
вірність. Саме про це поняття буде йти мова найближчі три уроки.
Далі формулюємо завдання на урок.
IV.Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконання усних вправ
1. Визначте, які з подій є випадковими, неможливими, вірогід­
ними:
1) улучення в ціль за пострілу в мішень;
2) перетворення води на лід у результаті нагрівання;
3) з коробки, у якій містяться білі кульки, витягнули білу куль-
2. Оцініть шанси настання подій:
1) випадання трьох очок за одного підкидання грального кубика;
2) випадання не більше ніж трьох очок за підкидання кубика;
3) випадання парної кількості очок за підкидання кубика;
4) випадання більше ніж семи очок за підкидання кубика.
V. Засвоєння нових знань
План вивчення матеріалу
1. Поняття випадкової події і випадкового експерименту.
2. Частота і відносна частота випадкової події.
3. Статистичне означення ймовірності випадкових подій.
4. Імовірності вірогідних, неможливих і довільних випадкових
подій. Рівноможливі події.
5. Приклади розв’язування задач.
ку

35. Урок № 53. Поняття випадковоїподіїі випадкового експерименту... 35
Конспект 32
Випадкові експерименти і випадкові події
Поняття Приклади
Експериментами з випадковими
результатами, тобто з випадковими
експериментами, називають різні
експерименти, досліди, випро­
бування, спостереження, виміри,
результати яких залежать від ви­
падку і які можна повторити багато
разів в однакових умовах
Постріли по мішені, участь у ло­
тереї, багаторічні спостереження
за погодою того самого дня, у тому
самому місяці, досліди з рулеткою,
з підкиданням грального кубика,
монети, кнопки і т. ін.
Подію, яка може відбутися, а може
й не відбутися в процесі спостере­
ження або експерименту за одних
і тих самих умов, називають випад­
ковою подією.
Будь-який результат випадкового
експерименту є випадковою
подією. Випадкові події познача­
ють великими латинськими
літерами А , В, С, Б...
Випадання «герба», випадання
«числа» за підкидання монети;
виграш у лотерею, випадання пев­
ної кількості очок за підкидання
грального кубика і т. ін.
Частота і відносна частота випадкової події
Якщо за незмінних умов випадко­
вий експеримент проведено п разів
і в ті(А) випадків відбулася подія
А, то число п[А) називають
частотою події А .
Відносною частотою випадкової
події називають відношення числа
появ цієї події до загального числа
проведених експериментів, тобто
п(А)
відношення
п
Подія А — випадання «герба» за
підкидання монети
Експери­
ментатори
Учні Бюф-
фон
Пірсон
Кількість
експери­
ментів п
8 000 4 040 24 000
Частота
71(а )
3 962 2 048 12 012
Відносна
частота
0,4953 0,5069 0,5005
Статистичне означення ймовірності
Якщо під час проведення великої
кількості випадкових експеримен­
тів, у кожному з яких може
відбутися або не відбутися подія А,
значення відносної частоти близькі
до деякого певного числа, то це
Подія А — випадання «герба» за
підкидання монети.
Р(А) = 0,5