11 алг бабенко_2_пособ_2011_укр

Серія «Усі уроки»
Заснована 2006 року
С. П. Бабенко
У с
Академічний рівень
• уроки
АЛГЕБРИ
11клас
II семестр
Книга скачана с сайта ИНр://е kniaa.in.ua
Издательская группа «Основа» —
«Электронные книги»
Харків
Видавнича група «Основа»
2011

УДК 512
ББК 22.14
Б12
Бабенко С. П.
Б12 Усі уроки алгебри і початків аналізу. 11 клас. II се
местр. Академічний рівень. — X.: Вид. група «Основа»,
2011. — 253, [3] с. — (Серія «Усі уроки»).
ЕЗВК 978-617-00-1126-8.
Докладні розробки уроків до вивчення алгебри і початків аналізу
в 11 класі (академічний рівень).
Цікаві методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи із за
вданнями, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевір
ки знань, використання ігрових моментів на уроці, грамотне урахуван
ня вікових особливостей — усе це вигідно відрізняє посібник від тради
ційних планів-конспектів уроків.
Посібник для вчителя нового покоління.
УДК 512
ББК 22.14
© Бабенко С. П., 2011
ISBN 978-617-00-1126-8 © TOB «Видавнича група “Основа” », 2011

ЗМІСТ
Вступ .......................................................................................... 6
Орієнтовне календарне планування
(І семестр — 48 годин (3 години на тиждень)
II семестр — 57 годин (3 години на тиждень),
усього — 105 годин .................................................................. 7
Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей
і математичної статистики ........................................................... 11
Урок № 49. Поняття сполуки. Правило суми і добутку.
Впорядковані множини. Розміщення ................................. 11
Урок № 50. Перестановки (без повторень) .......................... 18
Урок № 51. Комбінації (без повторень) ................................ 23
Урок № 52. Розв’язування комбінаторних задач ............... 28
Урок № 53. Поняття випадкової події і випадкового
експерименту. Статистичне означення ймовірності ........ 33
Урок № 54. Класичне означення ймовірності .................... 40
Урок № 55. Розв’язування задач на обчислення
ймовірності із застосуванням комбінаторних схем ........... 48
Урок № 56. Поняття про статистику. Генеральна
сукупність та вибірка .............................................................. 53
Урок № 57. Вибіркові характеристики ................................ 59
Урок № 58. Графічне подання інформації про
вибірку ........................................................................................ 65
Урок № 59. Підсумковий урок із теми «Елементи
комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної
статистики» ............................................................................... 71
Урок № 60. Контрольна робота № 5 ..................................... 75
Тема 4. Інтеграл і його застосування .......................................... 77
Урок № 61. Поняття первісної. Основна властивість
первісних. Невизначений інтеграл ...................................... 77
Урок № 62. Поняття первісної. Основна властивість
первісних. Невизначений інтеграл ...................................... 83

4 Алгебра та початки аналізу. 11 клас. II семестр. Академічний рівень
Урок № 63. Правила знаходження первісних. Таблиця
первісних .................................................................................... 87
первісних .................................................................................... 93
первісних ................................................................................... 98
Урок № 66. Геометричний зміст і означення визначеного
інтеграла. Формула Ньютона—Лейбніца ............................101
Урок № 69. Властивості визначеного інтеграла.
Означення визначеного інтеграла через інтегральні
суми ............................................................................................. 117
Урок № 70. Властивості визначеного інтеграла ................122
Урок № 71. Розв’язування вправ на знаходження
визначених інтегралів ............................................................ 126
Урок № 72.Розв’язування вправ на знаходження
визначених інтегралів ............................................................ 129
Урок № 73. Обчислення площ плоских фігур .................. 134
Урок № 76. [Обчислення об’ємів тіл] .................................. 150
Урок № 77. [Обчислення об’ємів тіл] .................................. 155
Урок № 78. Розв’язування прикладних задач ...................159
Урок № 79. Підсумковий урок із теми «Інтеграл
і його застосування» ................................................................ 164
Урок № 80. Контрольна робота № 6 .....................................167
Тема 5. Повторення курсу алгебри і початків аналізу ............170
Уроки № 81, 82. Функції, рівняння, нерівності ................170
Уроки № 83, 84. Степенева функція .....................................182
Уроки № 85, 86. Тригонометричні функції ........................191
Уроки № 87, 88. Тригонометричні рівняння
і нерівності ................................................................................201
Уроки № 89, 90. Похідна та її застосування ...................... 211

Зміст 5
Уроки № 91-93. Показникова і логарифмічна
функції .........................................................................................222
Уроки № 94, 95. Елементи теорії ймовірності
та математичної статистики ....................................................234
Уроки № 96, 97. Інтеграл і його застосування .....................242
Урок № 98. Підсумковий урок ................................................ 250
Урок № 99. Контрольна робота № 7 (підсумкова) ............... 252
Уроки 100-105. Резервний час ...............................................253
Література ................................................................................... 254

ВСТУП
Матеріали посібника призначені для вчителів загальноосвіт
ніх навчальних закладів, які викладають алгебру і початки аналізу
в 11 класі (академічний рівень).
Посібник містить детальні розробки уроків. У наведених кон
спектах подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис об
ладнання, яке необхідне для проведення уроку.
Розробляючи плани уроків, автор дбав про те, щоб систематич
но закріплювався матеріал, вивчений на попередніх уроках. У роз
робках передбачено різноматнітні форми організації роботи учнів
під час уроку, зокрема самостійні роботи навчаючого і контролю
ючого характеру, математичні диктанти, фронтальне опитування,
розв’язання задач за готовими кресленнями.
Змістова частина конспектів уроків має заголовок «Хід уро
ку». Тут відображено: етапи уроку; зміст навчального матеріалу,
що виноситься на урок; система завдань, необхідна для досягнення
дидактичної мети; методи, форми і засоби, які доцільно використа
ти на уроці; домашнє завдання.
До окремих фрагментів уроку подаються докладні методичні
рекомендації. Більша частина завдань також супроводжується ме
тодичними коментарями (у тексті вони позначаються які допо-
можутьучителю врахувати особливості розв’язування цих вправ.
Детальні методичні рекомендації, різноманітні прийоми робо
ти, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки
знань, урахування вікових особливостей учнів — усе це відрізняє
пропонований посібник від традиційних планівконспектів та дає
можливість його використання також учителями, які працюютьза
різними підручниками.
Автор сподівається, що вчителі не формально використову
ватимуть рекомендації цього посібника, а візьмуть їх за основу
й складатимуть свої поурочні плани, враховуючи особливості кож
ного класу.

АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ. 11 КЛАС.
АКАДЕМІЧНИЙ РІВЕНЬ
ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
(І семестр — 48 годин (3 години на тиждень)
II семестр — 57 годин (3 години на тиждень),
усього — 105 годин
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
Тема 1. Похідна та її застосування 26
1 Повторення. Дійсні числа та їх властивості 1
2 Повторення. Модуль дійсного числа та його
властивості
1
3 [Поняття границі функції в точці] 1
4 Поняття приросту аргумента та приросту
функції. Означення похідної
1
5 Похідні деяких елементарних функцій 1
6 Геометричний зміст похідної. [Рівняння до
тичної до функції в точці]
1
7 Механічний зміст похідної 1
8 Правила обчислення похідних 1
9 [Похідна складеної функції] 1
10 Похідні елементарних функцій 1
11 Розв’язування задач на обчислення похідних
поданих функцій
1
12 Підсумковий урок 1
13 Контрольна робота № 1 1
14 Монотонність і сталість функції. Критичні
точки функції
1
15 Розв’язування вправ 1
16 Екстремуми функції. Необхідна і достатня
умови екстремуму
1
17 Розв’язування вправ 1

№
уроку
Кількість
годин
18 Загальна схема дослідження функції [для по
будови її графіка]
1
19, 20 Розв’язування вправ на дослідження функції
[для побудови її графіка]
21 Найбільше і найменше значення функції 1
22, 23 Розв’язування задач на знаходження найбіль
шого та найменшого значень функції
24 Розв’язування найпростіших прикладних за
дач
1
Тема 2. Показникова та логарифмічна функції 22
27 Степінь із довільним дійсним показником та
його властивості
1
28 Показникова функція, її властивості та графік 1
29 Застосування властивостей показникової
функції до розв’язування вправ
1
ЗО Найпростіші показникові рівняння 1
31 Зведення деяких показникових рівнянь до
найпростіших
1
32 Розв’язування більш складних показникових
рівнянь
1
33 Розв’язування систем рівнянь, що містять по
казникові функції
1
34 Розв’язування найпростіших показникових
нерівностей
1
35 Розв’язування більш складних показникових
1
36 Розв’язування показникових рівнянь, нерівно
стей та систем. Підсумковий урок
1
38 Логарифм числа. Основна логарифмічна то
тожність.
1
39 Основні властивості логарифмів. Формула пе
реходу від однієї основи логарифмів до іншої
1

Орієнтовне календарне планування 9
№
уроку
Кількість
годин
40 Логарифмування та потенціювання 1
41 Логарифмічна функція , її властивості та гра
фік. Застосування властивостей логарифмічної
функції до розв’язування вправ
1
42 Розв’язування найпростіших логарифмічних
рівнянь
1
43 Розв’язування більш складних логарифмічних
рівнянь
1
44 Розв’язування систем рівнянь, що містять
логарифмічні функції
1
45 Розв’язування найпростіших логарифмічних
1
46 Розв’язування більш складних логарифмічних
1
Тема 3. Елементи теорії ймовірностей
і математичної статистики
12
49 Поняття сполуки. Правило суми і добутку.
Впорядковані множини. Розміщення
1
50 Перестановки (без повторень) 1
51 Комбінації (без повторень) 1
52 Розв’язування комбінаторних задач 1
53 Поняття випадкової події і випадкового експе
рименту. Статистичне означення ймовірності
1
54 Класичне означення ймовірності 1
55 Розв’язування задач на обчислення ймовірнос
ті із застосуванням комбінаторних схем
1
56 Поняття про статистику. Генеральна сукуп
ність та вибірка
1
57 Вибіркові характеристики 1
58 Графічне подання інформації про вибірку 1

№
уроку
Кількість
годин
Тема 4. Інтеграл і його застосування 20
61,62 Поняття первісної. Основна властивість пер
вісних. Невизначений інтеграл
2
63-65 Правила знаходження первісних. Таблиця
первісних.
3
66-68 Геометричний зміст і означення визначеного
інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца
3
69, 70 Властивості визначеного інтеграла. Означення
визначеного інтеграла через інтегральні суми
2
71, 72 Розв’язування вправ на знаходження визначе
них інтегралів
2
73-75 Обчислення площ плоских фігур 3
76, 77 Обчислення об’ємів тіл 2
78 Розв’язування прикладних задач 1
Тема 5. Повторення курсу алгебри і початків
аналізу
19
81,82 Функції, рівняння, нерівності 2
83,84 Степенева функція 2
85,86 Тригонометричні функції 2
87, 88 Тригонометричні рівняння і нерівності 2
89, 90 Похідна та її застосування 2
91-93 Показникова і логарифмічна функції 3
94, 95 Елементи теорії ймовірності і математичної
статистики
2
96, 97 Інтеграл і його застосування 2
99 Контрольна робота № 7 (підсумкова) 1
100-
105
Резерв навчального часу 6

ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ,
ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
УРОК № 49
ПОНЯТТЯ СПОЛУКИ. ПРАВИЛО СУМИ І ДОБУТКУ.
ВПОРЯДКОВАНІ МНОЖИНИ. РОЗМІЩЕННЯ
Мета: працювати над формуванням в учнів уявлення про мно
жини та впорядковані множини, про зміст поняття сполуки. Пра
цювати над засвоєнням учнями правил суми і добутку та способів
їх використання під час розв’язування комбінаторних задач. Сфор
мувати в учнів уявлення про поняття розміщення.
Розпочати роботу з формування вмінь:
S відтворювати вивчені поняття;
S застосовувати ці поняття до розв’язування задач на обчислен
ня кількості сполук у найпростіших комбінаторних задачах.
Типуроку: засвоєння знань; формування первинних умінь.
Наочність та обладнання: конспект «Поняття множини та її еле
ментів. Схема розв’язування комбінаторних задач».
Хід уроку
I.Організаційний етап
1. Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
2. Оголошення результатів виконання контрольної роботи.
II. Перевірка домашнього завдання
Збираємо зошити з виконаною корекційною роботою.
III. Формулювання мети й завдань уроку
На цьому етапі уроку проводимо з учнями бесіду, під час
якої наводимо приклади задач, для розв’язування яких до
водиться вибирати з певної сукупності об’єктів елементи,
що мають відповідні властивості, та розміщувати ці елемен
ти в певному порядку і т. ін. Таким чином формуємо в учнів
уявлення про певну групу задач, розв’язування яких потре
бує вивчення нових понять та навичок володіння новими
c m

12 Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
способами дій. Отже, створюємо мотивацію навчальної ді
яльності учнів, окресливши коло задач, розв’язування яких
і є основною метою уроку.
IV.Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконання усних вправ
1. Виконайте дії: 1) -2,4:0,8+ 1,6; 2) 3) —л/б4;
2 4 8
4) 5) ! в) (л/3-і)2+ 27з .
2. Розв’яжіть рівняння: 1) —# + 5 = 0; 2) х2=х; 3) 1 6 -х 2=0;
4
і------ х2 1
4) 2х2- х -1 = 0; 5) у/х+ 7 =4; 6 ) ------ = -------.
х —1 х -1
V. Засвоєння нових знань
План вивчення матеріалу
1. Уявлення про множини. Основні поняття (елемент множини,
види множин, позначення множин).
2. Уявлення про комбінаторні задачі та комбінаторику (як розділ
математики).
3. Поняття сполуки.
4. Правило суми.
5. Правило добутку.
6. Поняття впорядкованої множини.
7. Розміщення (без повторень). Як визначити, що під час
розв’язування комбінаторної задачі слід вибрати формулу чис
ла розміщень (без повторень)?
8. Приклади задач.
Конспект 29
Поняття множини та її елементів
Множину можна уявити собі як
сукупність деяких об’єктів, що
об’єднані за певною ознакою.
У математиці множини — це одне
з основних неозначуваних понять.
Об’єкт, що входить до множини А,
називають елементом цієї множини.
Множину, що не містить жодного
елемента, називають порожньою
множиною і позначають 0
Елемент Ь не нале
жить множині А
<=> ЪёА
У множині немає
елементів
о 0
Елемент а належить
множині А
о а єА

Урок № 49. Поняття сполуки. Правило суми і добутку... 13
Комбінаторика
Комбінаторика — розділ математики, в якому вивчають способи вибору
і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось
умов. Вибрані (або вибрані і розміщені) групи елементів називають спо
луками.
Якщо всі елементи одержаних сполук різні, то маємо сполуки без повто
рень, а якщо в одержаних сполуках елементи повторюються, то дістане
мо сполуки з повтореннями
Схема розв’язування комбінаторних задач
Вибір правила
Правило суми Правило добутку
Якщо елемент А можна вибрати
т способами, а елемент В —
п способами, то А або В можна
вибрати (т+ п) способами
Якщо елемент А можна вибрати т
способами, а після цього елемент
В — п способами, то А і Б можна
вибрати (т п) способами
Розміщення
Розміщенням із п елементів по к називають будь-яку впорядковану
множину з 1г елементів, складену з елементів я-елементної множини
Формула числа розміщень ( А^) Приклад
Ak П‘
n~ (n -k)l
Кількість різних тризначних чи
сел, які можна скласти з цифр 1,2,
3, 4, 5, 6, якщо цифри не можуть
повторюватися, дорівнює:
з 6! 6! 1-2-3-4-5-6
~ (6—3)! ~ 3! ~ 1-2-3
= 4 5-6 = 120
Приклад 1. На змагання з легкої атлетики приїхала команда
з 12 спортсменок. Скількома способами тренер може визначити,
хто з них побіжить в естафеті 4x100 м на першому, другому, тре
тьому і четвертому етапах?
Розв'язання. Кількість способів вибрати з 12 спортсменок чоти
рьох для участі в естафеті дорівнює кількості розміщень із 12 еле
ментів по 4 (без повторень), тобто
Af2=12 11-10-9 = 11 880.
Приклад 2. Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна
скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри в числі не повторю
ються.

Розв'язання. Кількість трицифрових чисел, які можна скласти із
семи цифр 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, дорівнює числу розміщень із 7 елемен
тів по 3, тобто А!} = 7-6-5 = 210.
Приклад3.Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна склас
ти із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, якщо цифри в числі не повторюються.
Розв'язання. Кількість трицифрових чисел, які можна скласти із
семи цифр (серед яких немає цифри 0), дорівнює числу розміщень
із 7 елементів по 3, тобто = 7-6-5 = 210.
Але серед поданих цифр є цифра 0, з якої не може починатися
трицифрове число. Тому з розміщень із 7 елементів по 3 необхідно
вилучити ті розміщення, першим елементом яких є цифра 0. їх
кількість дорівнює числу розміщень із 6 елементів по 2, тобто
= 6 •5. Отже, шукана кількість трицифрових чисел дорівнює:
Тоді х = 0 або х = 5.
Але до ОДЗ входить тільки х = 5.
Відповідь. 5.
Зауваження. Під час розв’язування найпростіших комбінатор
них задач важливо правильно вибрати формулу, за якою будуть
проводити обчислення кількості сполук. Для цього слід з’ясувати:
^ чи враховується порядок слідування елементів у сполуці;
^ чи всі елементи поданої множини входять до сполуки;
^ чи можуть елементи в сполуці повторюватися.
Якщо на перше питання відповідь ствердна, а на два остан
ніх — заперечна, то застосовують формулу числа розміщень без по
вторень.
Вивчення теоретичного матеріалу уроку проводимо у формі
бесіди за планом, записаним вище. Зміст бесіди відтворює
відповідний навчальний матеріал, що поданий у підручни
ку, та супроводжується прикладами розв’язання відповід
них задач.
Приклад4. Розв’яжіть рівняння —§- = 6.
А
Розв'язання.ОДЗ: х є □ , х > 4. Тоді маємо:
-А % = 7 -6-5-6-5 = 180.
. . А* „
х(х - і)(х - 2)(х - 3)
-----------7------ ---------—6
х (х -1 )
На ОДЗ це рівняння рівносильне рівнянням:
(х -2 )(х -3 ) = 6, х2-5 х = 0, х (х -5 ) = 0.

Підбиваючи підсумки бесіди, звертаємо увагу учнів на такі
моменти:
^ предмет вивчення комбінаторики — способи обчислення
кількості сполук, а тому у відповіді до таких задач можуть
бути тільки натуральні числа;
^ синонім слова сполука — множина (підмножина поданої
множини, з елементів якої утворено сполуку);
^ правило суми та правило добутку є основними правилами
комбінаторики, застосування яких дає змогу вивести деякі
формули для числа сполук (зокрема формулу числа розмі
щень);
^ оскільки далі буде вивчено ще кілька формул для числа спо
лук (перестановок та комбінацій), то бажано відразу визна
чити, що для розв’язування задачі буде використано саме
формулу числа розміщень.
VI. Формування первинних умінь
1. Обчисліть значення виразів: А%; А?; А%-А%.
2. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1,2,
З, 4, 5, якщо жодна цифра не повторюється?
3. У шаховому турнірі брали участь 10 гравців, кожен з яких зі
грав одну партію з кожним із решти. Скільки всього партій
було зіграно?
4. Група складається з п’яти чоловіків і п’яти жінок. Скількома
способами можна обрати делегацію із п’яти осіб, до якої входи
ло б три жінки?
5. Маємо чотири різних конверти без марок і три різні марки.
Скількома способами можна вибрати конверт і марку для від
правки листа?
6. У коробці знаходиться десять білих і шість чорних кульок.
1) Скількома способами з коробки можна витягнути одну кульку
будь-якого кольору?
2) Скількома способами з коробки можна витягти дві різнокольо
рові кульки?
Виконання письмових вправ
1. У кошику лежать 12 яблук і 9 апельсинів (усі різні). Петрик
вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надійка вибирає
з тих фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин. Скільки
можливо таких виборів? За якого вибору Петрика у Надійки
більше можливостей вибору?

2. Скількома способами може розміститися родина з трьох осіб
у чотиримісному купе за відсутності інших пасажирів?
3. Скількома способами можуть посісти перше, друге і третє міс
ця вісім учасників фінального забігу на дистанції 100 м (усі по
казали різний час)?
4. На площині позначено п’ять точок. Скількома способами мож
на позначити їх латинськими буквами (у латинському алфавіті
26 букв)?
5. Скільки різних трицифрових чисел (без повторення цифр)
можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб одержані числа були
парними?
6. Розв’яжіть рівняння А 2= 20.
Виконання вправ на повторення
9 _ 2 1
1. Розв’яжіть нерівність 5 “ >
125
2. Розв’яжіть нерівність (і - 2х) > -2 .
5
2
25 5-5
3. Чому дорівнює значення виразу-------—?
12515
Я к усні, так і письмові вправи, запропоновані для обов’яз
кового розв’язування на етапі первинного закріплення
знань та формування вмінь, описують стандартні ситуації
на застосування правил добутку і суми та формули числа
розміщень без повторень. Обчислювальна частина таких
задач є досить простою, тому основні зусилля під час
розв’язування задач спрямовуємо на аналіз умови з метою
визначення способу її розв’язування. При цьому відпрацьо
вуємо таку схему: спочатку проводимо вибір формули, а по
тім записуємо формулу та виконуємо обчислення. Додаткові
вправи (розв’язування рівняння із застосуванням формули
числа розміщень із п елементів по к без повторень) сприя
ють більш глибокому розумінню формули.
Вправи на повторення є додатковими (їх розв’язують на уро
ці, якщо дозволяє час), сприяють подальшому вдосконален
ню навичок розв’язування показникових і логарифмічних
нерівностей та обчислень значень виразів і мають на меті
підготовку учнів до ЗНО та ДПА з математики.

VII. Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Наведіть приклади множин; укажіть декілька елементів кож
ної множини.
2. Сформулюйте та поясніть на прикладах правило суми та пра
вило добутку для розв’язування комбінаторних задач.
3. Поясніть відмінність впорядкованої множини від невпорядко-
ваної множини.
4. Поясніть, що називається розміщенням із п елементів по k без
повторень.
5. Запишіть формулу для числа розміщень із п елементів по k
без повторень. Наведіть приклади її застосування.
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект № 29).
Виконати вправи.
1. Учень повинен скласти чотири екзамени протягом восьми днів.
Скількома способами можна скласти розклад його екзаменів,
якщо одного дня він може складати тільки один екзамен?
2. Із ЗОучасників зборів слід вибрати голову і секретаря. Скілько
ма способами це можна зробити?
3. Скількома способами можна виготувати триколірний прапор
із горизонтальними смугами, якщо є матеріал семи різних ко
льорів?
4. Скількома способами організатори конкурсу можуть визна
чити, хто з 15 його учасників буде виступати першим, другим
і третім?
5. Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 2, 4,
6, 8, якщо цифри в числі не повторюються?
6. Скільки різних трицифрових чисел (без повторення цифр)
можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб одержані числа були
кратними 5?
А 5
7. Розв’яжіть рівняння ^з“= 6.
Виконати вправи на повторення.
1. При яких значеннях х виконується нерівність 2І0Є2^~Х^<8?
2. Розв’яжіть нерівність 1§2л:-1 § л:< 0.

УРОК № 50
ПЕРЕСТАНОВКИ (БЕЗ ПОВТОРЕНЬ)
Мета: працювати над засвоєнням учнями поняття перестано
вок із п елементів та формули обчислення числа перестановок із п
елементів без повторень.
Закріпити вивчені поняття та формули.
Формувати вміння учнів розв’язувати найпростіші комбіна
торні задачі із використанням правил суми та добутку, а також
формул для обчислення числа розміщень із п елементів по k без
повторень та перестановок із п елементів без повторень.
Типуроку: засвоєння знань, формування вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Перестановки».
Хід уроку
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
Збираємо зошити учнів, які потребують особливої педагогічної
уваги.
Фронтально перевіряємо виконання вправ за зразком з обгово
ренням.
Пропонуємо учням виконати завдання.
Завдання. Порівняйте умови задач.
Задача 1. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з них не повторюється?
Задача 2. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з них не повторюється?
(Очікувані відповіді. Відмінність задач у тому, що в першій за
дачі не всі елементи входять до сполуки, а в другій — усі; схожість
у тому, що в обох задачах важливий порядок розміщення елементів
у сполуці та елементи не можуть повторюватися.)
Зрозуміло, що найшвидше в першій учні впізнають задачу на
знаходження числа розміщень без повторень (можна запропону
вати учням розв’язати цю задачу). Далі можна запропонувати по
міркувати над способом розв’язання другої задачі (можливо, учні
здогадаються застосувати правило добутку). У будь-якому разі учні
мають усвідомити, що існують задачі, в яких ідеться про впоряд
ковані сполуки, які не є розміщеннями. Таким чином підводимо
учнів до формулювання мети уроку.

Урок № 50. Перестановки (без повторень) 19
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
1. Знайдіть значення виразу: 1) (-6+ 1,2): (-0,8); 2) (>/з -2)(-/з + 2);
3) ^ - 4 ) 2; 4)
2. Знайдіть значення виразу: 1) А%; 2) А^; 3) А%-Л£; 4) А£+А%.
3. Скількома способами можна:
1) трьом подругам вибрати чашки із сервізу на шість персон,
якщо всі чашки в сервізі різного кольору;
2) у комісії із семи осіб вибрати голову та його заступника;
3) розподілити перше, друге та третє місця між 230-ма учасника
ми змагань із боротьби;
4) вибрати комплект зі светра та брюк, якщо маємо п’ять светрів
та чотири пари брюк?
1. Означення перестановок із п елементів. Позначення.
2. Формула обчислення числа перестановок із п елементів.
3. Поняття факторіала. Запис формули числа перестановок із п
елементів та числа розміщень із п елементів по к без повто
рень за допомогою факторіала.
4. Як визначити, що в поданій задачі слід використати формулу
для числа перестановок із п елементів?
Конспект ЗО
Перестановки
Перестановкою з п елементів називають будь-яку впорядковану множи
ну з п елементів.
Інакше кажучи, це така множина, для якої указано, який елемент
знаходиться на першому місці, який — на другому..., який — на тг-му
Формула числа перестановок (Рп) Приклад
(* ,)= » і.
де п! = 1-2-3-...тг (читається: «Ен
факторіал»)
Кількість різних шестицифрових
чисел, які можна скласти з цифр
1,2 ,3, 4, 5, 6, не повторюючи їх
в одному числі, дорівнює:
Рб=6! = 1-2-3-4-5-6 = 720

Приклад 1. Скількома способами можна вісім учнів вишикувати
в колону по одному?
Розв'язання. Кількість способів дорівнює числу перестановок із
восьми елементів.
Тобто Р8=8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40 320.
Приклад 2. Знайдіть кількість різних чотирицифрових чисел, які
можна скласти з цифр 0, 3, 7, 9 (цифри в числі не повторюються).
Розв'язання. З чотирьох цифр 0, 3, 7, 9 можна одержати Р4 пере
становок. Але ті перестановки, які починаються з цифри 0, не бу
дуть записом чотирицифрового числа — їх кількість Р3. Тоді шука
на кількість чотирицифрових чисел дорівнює:
Р4-Р 3=4! = 1-2-3-4-1-2-3 = 18.
Приклад 3. Скількома способами можна поставити на полицю де
сять книг, чотири з яких — підручники, так щоб усі підручники
стояли разом?
Розв'язання. Спочатку будемо розглядати підручники як одну
книгу. Тоді на полиці потрібно розставити не десять, а сім книг. Це
можна зробити Р7 способами. У кожному з одержаних наборів книг
ще можна виконати Р4 перестановок підручників. За правилом до
бутку шукана кількість способів дорівнює:
Р7 Р4=7! 4! = 5040 254 = 120 960.
Зауваження. Щоб вибрати формулу, за якою розв’язують комбі
наторну задачу, слід з’ясувати:
Якщо на перші два запитання відповідь ствердна, а на останнє
запитання відповідь заперечна, то застосовують формулу числа пе
рестановок без повторень.
Зміст теоретичного матеріалу можна викласти у формі бесі
ди за планом або організувати самостійне вивчення за наве
деним планом, за підручником або за конспектом ЗО.
У будь-якому випадку бажано після розгляду матеріалу ви
ділити основні нові моменти, а саме:
^ розміщення як і перестановки — впорядковані множини;
^ формули як розміщень, так і перестановок ґрунтуються на
застосуванні правила добутку;
^ відмінність розміщень і перестановок у тому, що не всі еле
менти входять до сполуки;

Урок № 50. Перестановки (без повторень) 21
S формули числа перестановок і розміщень без повторень
можна записати як за допомогою правила добутку, так і за
допомогою факторіала.
VI.Формування первинних умінь
Виконанняусних вправ
6! 6!—5!
1. Обчисліть значення виразу: 1) Р3; 2) Р5-Р 4; 3) —; 4) —— -.
4! З!
2. Скількома способами чотири особи можуть розміститися на чо
тиримісному ослоні?
1. Кур’єр повинен рознести пакети до семи різних установ. Скіль
ки маршрутів може він вибрати?
2. Скільки існує виразів, тотожно рівних добутку abcde, які одер
жують із нього перестановкою множників?
3. Скільки шестицифрових чисел (без повторення цифр) можна
скласти з цифр 0, 2, 5, 6, 7, 8?
4. Скільки серед чотирицифрових чисел, складених із цифр 3,5,7,
9 (без повторення цифр), є таких, що починаються з цифри З?
5. У розкладі на понеділок шість уроків: алгебра, геометрія, іно
земна мова, історія, фізкультура, хімія. Скількома способами
можна скласти розклад уроків на цей день так, щоб два уроки
математики стояли поряд?
6. Скільки можна скласти різних правильних дробів, викорис
товуючи у чисельнику і знаменнику числа 2, 3, 5, 7, 11, якщо
в запису кожного дробу використовувати два числа?
Р А З5
7. Обчисліть значення виразу: 1) — 2) А^А% +А%А%.
^ 2 0 ^ 2 0
1. Розв’яжіть нерівність log7(4л; - 6) > log7(2х - 4) .
X
2. Розв’яжіть рівняння log2Ах •log2—= 5.
3. Чому дорівнює значення виразу log27log8^32 ?
Як усні, так і письмові вправи, запропоновані для обов’яз
кового розв’язування на етапі первинного закріплення
знань та формування вмінь, описують стандартні ситуації
на застосування формули числа перестановок без повторень.
Як і на попередньому уроці, відпрацьовуємо схему: спочат
ку проводимо вибір формули (використовуємо орієнтир для

вибору формули числа розміщень та числа перестановок),
а потім записуємо формулу та виконуємо обчислення.
Виконання вправи 7 сприяє більш глибокому розумінню
поняття факторіала та запису формул числа розміщення
та числа перестановок без повторень, а також формуванню
вмінь виконувати перетворення виразів із застосуванням
поняття факторіала (це завдання не є обов’язковим).
Вправи на повторення є додатковими (розв’язуються на
уроці, якщо вистачить часу) і сприяють подальшому вдо
сконаленню навичок розв’язувати логарифмічні рівняння
та обчислювати значення виразів, що містять логарифми.
Виконання цих вправ має на меті підготовку учнів до ЗНО
та ДПА з математики.
1. Поясніть, що називають перестановками з п елементів (без по
вторень). Наведіть приклади.
2. Як записати формулу для обчислення числа перестановок із п
елементів без повторень? Наведіть приклади її застосування.
3. Як записати формулу для числа розміщень із п елементів по k
без повторень за допомогою факторіала?
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект № ЗО).
1. Ольга пам’ятає, що телефон подруги закінчується цифрами 5,
7, 8, але забула, у якому порядку ці цифри розміщено. Укажіть
найбільше число варіантів, що їй доведеться перебрати, щоб
зателефонувати подрузі.
2. Скільки шестицифрових чисел (без повторення цифр) можна
скласти з цифр 1, 2, 5, 6, 7, 8?
3. Скільки серед чотирицифрових чисел, складених із цифр 3,5,
7, 9 (без повторення цифр), є таких, що кратні 5?
4. Знайдіть суму цифр усіх чотирицифрових чисел, які можна
скласти з цифр 1, 3, 5, 7 (без повторення цифр у числі).
1. Знайдіть область визначення функції f{x) = Jlog06х + ^ .
V ’ х —З
2. Розв’яжіть рівняння 5•4х - 7 •10х + 2 •25* = 0.

Урок №51. Комбінації (без повторень) 23
УРОК №51
КОМБІНАЦІЇ (БЕЗ ПОВТОРЕНЬ)
Мета: працювати над засвоєнням учнями поняття комбінації без
повторень та формули обчислення числа комбінацій без повторень.
^ відтворювати зміст вивчених понять;
^ застосовувати ці поняття до розв’язування задач на обчислен
ня числа комбінацій без повторень.
Продовжити роботу з формування вмінь розв’язувати найпро
стіші комбінаторні задачі на обчислення числа розміщень та пере
становок без повторень за вивченими раніше формулами.
Наочність та обладнання: конспект «Комбінації».
Хід уроку
Ретельно перевіряємо зошити учнів, які потребують додатко
вої педагогічної уваги.
Якість засвоєння матеріалу, вивченого на попередніх уроках,
перевіряємо шляхом виконання тестових завдань.
Тестоваробота
Варіант 7
1. Скількома способами можна обрати голову і секретаря зборів із
26 осіб, присутніх на зборах?
А Б В Г Д
325 52 15 600 2 600 650
2. Скількома способами можна розкласти сім різних листів у сім
конвертів, якщо в кожний конверт кладуть тільки один лист?
А Б В Г Д
5 040 49 720 28 343
3. Із цифр 0, 2, 4, 6, 8 склали всі можливі п’ятицифрові числа так,
що в кожному числі цифри не повторюються. Скільки дістали
чисел?
А Б В Г Д
24 120 96 25 116

4. Розв’яжіть рівняння А гх = 56#.
А Б В Г Д
12 15 18 6 9
Варіант 2
1. Необхідно скласти розклад шести уроків на день. Скількома
способами це можна зробити, якщо учні класу вивчають вісім
різних предметів?
А Б В Г Д
48 720 5 760 28 56
2. Скількома способами можна розмістити в черзі шість осіб?
А Б В Г Д
720 36 12 620 216
3. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 складені всі можливі п’ятицифрові числа
без повторення цифр. Скільки серед цих п’ятицифрових чисел
таких, що не починаються з 54?
А Б В Г Д
117 118 114 20 60
4. Розв’яжіть рівняння = 90я.
А Б В Г Д
22 11 19 16 8
Пропонуємо учням виконати завдання.
Завдання. Порівняйте умови задач.
Задача 1. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з цифр не повторюється?
Задача 2. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна скласти
з цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо жодна з цифр не повторюється?
Задача 3. Скількома способами можна вибрати з п’яти осіб деле
гацію у складі трьох осіб? (Очікувані відповіді. Відмінність задач
у тому, що в першій і другій задачах порядок елементів має зна
чення, а у третій — ні; проте у третій задачі, як і в першій, не всі
елементи входять до сполуки.)
Запропонувавши поміркувати над способом розв’язання тре
тьої задачі, підводимо учнів до усвідомлення того, що є задачі,

у яких йдеться про невпорядковані сполуки без повторень, тобто
такі сполуки, які не є ні розміщеннями, ні перестановками. Ви
вчення цього питання становить мету уроку.
1. Учні сьомого класу вивчають 14 предметів. Скількома спосо
бами можна для них скласти розклад уроків на день, щоб на
кожному з шести уроків цього дня вивчалися різні предмети?
2. У класі 28 учнів. Скількома способами можна вибрати старосту
та його заступника?
3. Скільки різних слів може скласти комп’ютер із букв слова
«море», якщо всі букви в кожному слові різні (під комп’ютер
ним словом розуміємо будь-який набір букв)?
4. Обчисліть: 1) Р4-Р 5; 2) А%+Р3.
1. Означення комбінації без повторень.
2. Формула для обчислення С*.
для числа комбінацій із п по к елементів?
4. Приклади розв’язування задач.
Конспект 31
Комбінації
Комбінацією без повторень із п елементів по к називають будь-яку
к-елементну підмножину п-елементної множини
Формула числа комбінацій (с*) Приклад
ск- п1
А!(л-Л)!
(за означенням вважають, що
с°п= і)
Із 25 учнів класу можна виділити
п’ять учнів для чергування по
школі С|5 способами, тобто
С5 25! 25!
25 5!(25-5)! 51-20!
21 22-23 24 25
= =53 130 способами
1-2-3-4-5
Деякі властивості числа комбінацій без повторень
С*=СГ* (зокрема, Спп=С
П—П _ ^ _|_^[Й+І _
П ТІ ' Т І П Л+1

Приклад 1. Із 12 членів туристичної групи необхідно вибрати
трьох чергових. Скількома способами можна здійснити цей вибір?
Розв'язання.Кількість способів вибрати з 12 туристів трьох черго
вих дорівнює кількості комбінацій із 12 елементів по 3 (без повто-
12! 1211 10
рень), тобто С19= —т------- г- = ------------- = 220.
12 3!(12-3)! 1-2-3
Приклад2.У вазі лежать десять різних яблук і п’ять різних груш.
Скількома способами можна вибрати два яблука і три груші?
Розв'язання. Вибрати два яблука з десяти можна С 20 способами.
Під час вибору кожного з яблук груші можна вибрати С| способа
ми. Тоді за правилом добутку вибір потрібних фруктів можна здій-
10-9 5-4-Я
снити С,20•С? способами. С,20• = -----------------= 450.10 5 10 5 1 2 1 2 3
Зауваження. Для вибору формули, за якою розв’язують комбіна
торну задачу, слід з’ясувати:
Але якщо в задачі використовують формулу числа комбіна
цій, достатньо на перше запитання одержати заперечну відповідь.
Якщо на останнє запитання заперечна відповідь, то застосовують
формулу числа комбінацій без повторень.
Зазвичай, якщо учні добре засвоїли означення та способи
обчислення числа перестановок та розміщень без повторень,
вивчення означення комбінації (без повторень) та формули
для обчислення числа комбінацій не становить проблем.
Роботу учнів на етапі засвоєння знань організовуємо як са
мостійну з вивчення нового матеріалу за планом, поданим
вище. По закінченні учні презентують свої наробки (можна
робити це по групах), далі організовуємо обговорення та ко
рекцію, учні отримують готові конспекти № 31 (заздалегідь
заготовлені вчителем). Підбиваючи підсумки цього етапу,
зауважуємо, що комбінації не є впорядкованими множина
ми, тому задачі на застосування відповідної формули дуже
легко впізнати за відповідними орієнтирами.
1. З-поміж наведених задач виберіть ту, в якій ідеться про визна
чення числа комбінацій без повторень.

1) Серед восьмикласників вибрали групу з п’яти осіб, які знають
математику найкраще у класі. Скількома способами можна ви
брати з них команду з трьох осіб для участі в районній олімпіа
ді з математики?
математику найкраще у класі. Скількома способами можна ви
брати в цій групі капітана та його заступника?
математику найкраще у класі. Скількома способами можна
розставити їх у шеренгу під час фотографування для шкільного
стенду «Ними пишається школа»?
2. Визначте види решти задач та розв’яжіть їх.
1. У класі сім учнів успішно вивчають математику. Скількома
способами можна вибрати з них двох для участі в математич
ній олімпіаді?
2. Учням дали список із десяти книг, що рекомендують прочита
ти під час канікул. Скількома способами учень може вибрати
з них шість книг?
3. На полиці стоїть 12 книг: англо-український словник i l l ху
дожніх творів англійською мовою. Скількома способами читач
може вибрати три книги, якщо: 1) словник потрібний йому
обов’язково; 2) словник йому не потрібний?
4. Розв’яжіть рівняння: 1) С_г =21; 2) C + С2= 1 5 (# -l).
5. Скільки перестановок можна зробити з букв слова «Харків»?
6. Бригадир повинен відрядити на роботу бригаду з п’яти осіб.
Скільки бригад по п’ять осіб у кожній можна утворити з 12 осіб?
1. Розв’яжіть рівняння хІ0Є2*+2 = 256.
2. Розв’яжіть нерівність logg log1logx>0.
Мета виконання основної частини вправ уроку — закріпи
ти поняття комбінацій без повторень, формули обчислен
ня числа комбінацій без повторень та критеріїв вибору цієї
формули. Завдання 5, 6 закріплюють поняття, вивчені на
попередніх двох уроках. Завдання на повторення мають на
меті повторення та вдосконалення вмінь, набутих учнями
під час вивчення теми «Логарифмічна функція. Логариф
мічні рівняння та нерівності».
2 З

1. Поясніть, що називають комбінаціями з п по k елементів без
повторень. Наведіть приклади.
2. Запишіть формулу для обчислення числа комбінацій із п по k
елементів без повторень. Наведіть приклади її використання.
для числа комбінацій із п по k елементів?
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект 31).
1. У магазині «Філателія» продають вісім різних наборів марок
спортивної тематики. Скількома способами можна вибрати
з них три набори?
2. У класі навчаються 16 хлопчиків і 12 дівчат. Для прибирання
території потрібно виділити чотирьох хлопчиків і трьох дівча
ток. Скількома способами це можна зробити?
3. Скількома різними способами колектив із 40 осіб може обрати
голову зборів, його заступника і секретаря?
„ 5 х(х-3) . 15А 2
4. Розв’яжіть рівняння: 1) С = — ------- 2) С = --------- - .
4 4
( 71 7іЛ
1. Обчисліть значення виразу log2 log3cos— log3sin—
6 6
2. Розв’яжіть рівняння lg2100#-71g# = 8.
УРОК № 52
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КОМБІНАТОРНИХ ЗАДАЧ
Мета: працювати над закріпленням вивчених на попередніх
уроках означень сполук (розміщення, перестановки, комбінації без
повторень), формул для обчислення їх числа, а також орієнтирів
для вибору відповідної формули для розв’язування комбінаторних
задач. Удосконалити навички розв’язувати задачі, що передбача
ють застосування цих формул та понять, а також вивчених раніше
правил суми та добутку.
Типуроку: відпрацювання навичок.
Наочність та обладнання: конспекти 29-31.

Урок № 52. Розв'язування комбінаторних задач 29
Хід уроку
Вибірково перевіряємо зошити в учнів, що потребують додат
кової педагогічної уваги.
Виконання письмових вправ перевіряємо за зразком (розв’я
зання домашніх вправ подаємо як роздавальний матеріал для са
моперевірки).
Пропонуємо учням обміркувати питання:
1. Скільки різних правил та формул було вивчено для знаходжен
ня числа певних сполук під час розв’язування комбінаторних
задач?
2. Чи існує певна схема дій за вивченими формулами та прави
лами, якої слід дотримуватися під час розв’язування довільної
комбінаторної задачі?
Останнє запитання передбачає ствердну відповідь, тож форму
люємо завдання на урок як пошук (складання) такої загальної схе
ми дій та відпрацювання навичок її використання.
Фронтальне опитування
1. Як записати формулу для обчислення числа перестановок із п
елементів без повторень? Наведіть приклади її застосування.
2. Як записати формулу для обчислення числа розміщень із п
елементів по k без повторень за допомогою факторіала?
3. Як записати формулу для обчислення числа комбінацій із п по
k елементів без повторень? Наведіть приклади її використання.
для числа: 1) розміщень із п по k елементів; 2) перестановок із
п елементів; 3) комбінацій із п по k елементів?
1. Друзі Сашко, Дмитро, Оксана, Наталя часто відвідують кафе.
Щоразу вони сідають за стіл по-різному. Скільки днів друзі
зможуть робити це без повторень?
2. У змаганнях з фігурного катання брали участь українці, росі
яни, італійці, німці, японці і французи. Скількома способами
можна розподілити місця по завершенні змагань?

зо Тема 3. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей..
3. На виборах перемогли дев’ять кандидатів — Саєнко, Дмитрен-
ко, Петренко, Коваленко, Михайличук, Гуско, Волошко, Охри-
менко, Павленко. З-поміж них потрібно обрати голову, заступ
ника і помічника. Скількома способам це можна зробити?
4. Скількома способами можна утворити триколірний прапор зі
смуг різної ширини, якщо є тканина восьми кольорів?
5. З-поміж учнів п’яти одинадцятих класів необхідно вибрати
двох чергових. Скільки пар чергових можна скласти (у парі не
повинно бути учнів з одного класу)?
6. У класі найкраще знають математику п’ять учнів: Вадим, Дми
тро, Тарас, Марія і Ганна. Для участі в олімпіаді з математики не
обхідно відрядити пару, що складається з одного хлопця та однієї
дівчини. Скількома способами вчитель може вибрати цю пару?
V. Узагальнення знань
На цьому етапі уроку учні працюють над складанням загаль
ної схеми дій під час розв’язування комбінаторних задач, за
нотовують у зошити у вигляді доповнення до конспекту 31.
Також можна запропонувати історичну довідку про похо
дження символів сполук.
Історична довідка
Комбінаторика зародилася ще в давнину. Окремі комбінаторні
задачі розв’язували давньогрецькі вчені й математики Сходу. У ки
тайських рукописах ХІІ-ХІІІ ст. зустрічаються питання, близькі
до комбінаторних. Основоположниками комбінаторики як науки
вважають французьких математиків Б. Паскаля (1623-1662)
і П. Ферма (1601-1665). Завдяки працям цих учених, а також
Г. Лейбніца і Л. Ейлера, комбінаторика у XVIII ст. стає самостій
ною галуззю знань, яка бурхливо розвивається і знаходить широке
застосування в практичній діяльності людини. З розвитком комбі
наторики зароджується і поширюється її символіка. Символи для
позначення сполук мають таке походження: А є першою буквою
французького слова arrangement — розміщення; С є першою бук
вою слова combinatio — поєднання. Знак А* зустрічається у фран
цузькій математичній літературі вже на початку XX ст. Символ Рп
(від німецького permutatonen — перестановка) запровадив 1904 р.
німецький математик Е. Нетто.
VI. Відпрацювання вмінь і навичок
1. Скільки прямих ліній можна провести через вісім точок, з яких
жодні три не лежать на одній прямій?

Урок № 52. Розв'язування комбінаторних задач 31
2. Визначте кількість усіх діагоналей правильного: 1) п’ятикут
ника; 2) восьмикутника; 3) дванадцятикутника; 4) п’ятна-
дцятикутника.
3. Серед перестановок із цифр 1, 2, 3, 4, 5 скільки таких, що не
починаються цифрою 5? Числом 12? Числом 123?
4. Серед комбінацій із десяти букв а , Ь, с ... по чотири скільки
таких, що не містять букви а? Букв а і Ь?
5. Скільки потрібно взяти елементів, щоб число розміщень із них
по чотири було у 12 разів більшим, ніж число розміщень із них
по два?
6. Розв’яжіть рівняння: 1) 5Сх = С *+2; 2) * 3 * =43.
А 5Х+ А І
1. Розв’яжіть нерівність 5*+1+ 2•5*_1>27.
х
2. Обчисліть значення виразу
log72 8 -lo g 74
31og63 + log68
3. Знайдіть область визначення функції
5
f(x) = lg(l8 + Зх - х2) ■
х - 4
Як і на попередніх уроках, виконання письмових вправ має
на меті закріплення знань формул та відпрацювання нави
чок системного застосування правил та формул комбінато
рики до розв’язування комбінаторних задач. Окрім цього,
виконання вправ передбачає відпрацювання навичок засто
совувати загальну схему дій (слід вимагати від учнів свідо
мих міркувань під час вибору формул та правил). Вправами
на повторення продовжуємо підготовку до ДПА та ЗНО з ма
тематики за попередньою темою.
VII. Діагностика рівня засвоєння знань і вмінь
Самостійна робота (залежно від рівня досягнень учнів може
бути проведена на початку наступного уроку)
Варіант 1 Варіант 2
1. Скільки різних перестановок
можна утворити із букв слова «по
хідна»?
1. Скільки різних перестановок
можна утворити із букв слова «до
тична»?
2. Обчисліть: 2. Обчисліть:
3.Скількома способами можна роз
поділити три однакові путівки між
десятьма робітниками?
3. Скількома способами можна
розподілити три різні путівки між
десятьма робітниками?

4. У вазі стоять десять білих та
п’ять червоних троянд. Визначте,
скількома способами з цих квітів
можна вибрати букет, що склада
ється з: 1) двох білих і однієї черво
ної троянди; 2) трьох троянд, серед
яких не менше ніж дві білі троянди
4. У вазі стоять десять білих та п’ять
червоних троянд. Визначте, скіль
кома способами з цих квітів можна
вибрати букет, що складається з:
1) двох червоних і однієї білої тро
янди; 2) трьох троянд, серед яких не
менше ніж дві червоні троянди
5. При яких натуральних п
виконується нерівність
(Л+4|'і 56?
(п +2)!
5. При яких натуральних п
виконується нерівність
і " - 1!1<72?
(п-3)!
Відповіді
1. Р7=7! = 5 040 1. Р7=7! = 5 040
2.360 2. 15
3. Cf0= 10! =120
10 3!-7!
3. Л3о= 10!= 720~і° 7,
4. 1) С120 Сд=225 (способів);
2) Cf0•С+Cf0= 225+ 120= 375
(способів)
4. 1) Cfo-C?! =100 (способів);
2) Сі, •С52+С53= 100+ 10= 110
(способів)
5. 1,2,3, 4, 5 5. 1,2,3, 4, 5,6, 7, 8,9
VIII. Підсумки уроку
Рефлексія (після виконання та перевірки самостійної роботи).
IX. Домашнє завдання
Повторити теоретичний матеріал розділу «Комбінаторика».
1. Під час зустрічі 16 осіб потисли один одному руки. Скільки
всього зроблено рукостискань?
2. Група учнів із ЗО осіб вирішила обмінятися фотокартками.
Скільки всього фотокарток потрібно для цього?
3. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна записати за допо
могою цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без їх повторень?
4. Скільки різних триколірних прапорів можна зробити, комбі
нуючи синій, червоний і білий кольори?

Урок № 53. Поняття випадковоїподіїі випадкового експерименту... 33
5. Скільки різних площин можна провести через 10 точок, якщо
жодні три з них не лежать на одній прямій і жодні чотири точ
ки не лежать на одній площині?
6. Серед розміщень із 12 букв а, Ь, с ... по п’ять скільки таких,
що не містять букви а ? Букв а і Ь?
А 4Р
7. Розв’яжіть рівняння—* *~4 =42.
^х-2
8. Скільки існує парних чотирицифрових чисел, що не містять
у десятковому записі цифри 0?
9. Математична енциклопедія складається із п’яти томів. Скіль
кома способами їх можна розставити на полиці так, щоб томи
не стояли один за одним у порядку зростання їх номерів?
10.У шаховому турнірі брало участь 10 гравців. При цьому кожен
гравець зіграв із кожним із решти гравців одну партію. Скіль
ки всього було зіграно партій у турнірі?
Повторити: елементи теорії ймовірності (9 клас).
УРОК № 53
ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ
І ВИПАДКОВОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ. СТАТИСТИЧНЕ
ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ
Мета: повторити, узагальнити та систематизувати знання уч
нів про основні поняття теорії ймовірності та види подій, набуті
ними у 6 та 9 класах; працювати над засвоєнням учнями змісту
понять: випадковий експеримент, випадкова подія, частота та від
носна частота випадкової події, статистичне означення ймовірності
випадкової події та відповідної символіки.
Розпочати роботу з формування вмінь відтворювати зміст ви
вчених понять, а також застосовувати ці поняття до розв’язування
задач на визначення видів подій, обчислення відносної частоти та
статистичної ймовірності випадкової події.
Типуроку: засвоєння знань, формування первинних умінь.
Наочність та обладнання: конспект «Випадкові експерименти
і випадкові події».
Хід уроку
І.Організаційний етап
1. Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
2. Оголошення результатів виконання самостійної роботи.

Збираємо зошити з виконаною домашньою роботою, оцінюємо
якість її виконання як домашню самостійну роботу.
Пропонуємо учням розглянути завдання зі збірника ДПА
з математики за 9 клас.
1. У шухляді лежать 36 карток, занумерованих числами від 1 до
36. Яка ймовірність того, що номер навмання взятої картки
буде кратним числу 36?
2. У коробці лежать шість зелених та кілька синіх кульок. Скіль
ки синіх кульок у коробці, якщо ймовірність того, що навман-
. . . . . у . ..................— ...................І ,
5
3. Яка ймовірність того, що за одного підкидання грального куби
ка випаде не більше ніж чотири очки?
Порівнявши умови, учні вказують на спільне поняття — ймо
вірність. Саме про це поняття буде йти мова найближчі три уроки.
Далі формулюємо завдання на урок.
1. Визначте, які з подій є випадковими, неможливими, вірогід
ними:
1) улучення в ціль за пострілу в мішень;
2) перетворення води на лід у результаті нагрівання;
3) з коробки, у якій містяться білі кульки, витягнули білу куль-
2. Оцініть шанси настання подій:
1) випадання трьох очок за одного підкидання грального кубика;
2) випадання не більше ніж трьох очок за підкидання кубика;
3) випадання парної кількості очок за підкидання кубика;
4) випадання більше ніж семи очок за підкидання кубика.
1. Поняття випадкової події і випадкового експерименту.
2. Частота і відносна частота випадкової події.
3. Статистичне означення ймовірності випадкових подій.
4. Імовірності вірогідних, неможливих і довільних випадкових
подій. Рівноможливі події.
ку

Конспект 32
Випадкові експерименти і випадкові події
Поняття Приклади
Експериментами з випадковими
результатами, тобто з випадковими
експериментами, називають різні
експерименти, досліди, випро
бування, спостереження, виміри,
результати яких залежать від ви
падку і які можна повторити багато
разів в однакових умовах
Постріли по мішені, участь у ло
тереї, багаторічні спостереження
за погодою того самого дня, у тому
самому місяці, досліди з рулеткою,
з підкиданням грального кубика,
монети, кнопки і т. ін.
Подію, яка може відбутися, а може
й не відбутися в процесі спостере
ження або експерименту за одних
і тих самих умов, називають випад
ковою подією.
Будь-який результат випадкового
експерименту є випадковою
подією. Випадкові події познача
ють великими латинськими
літерами А , В, С, Б...
Випадання «герба», випадання
«числа» за підкидання монети;
виграш у лотерею, випадання пев
ної кількості очок за підкидання
грального кубика і т. ін.
Частота і відносна частота випадкової події
Якщо за незмінних умов випадко
вий експеримент проведено п разів
і в ті(А) випадків відбулася подія
А, то число п[А) називають
частотою події А .
Відносною частотою випадкової
події називають відношення числа
появ цієї події до загального числа
проведених експериментів, тобто
п(А)
відношення
п
Подія А — випадання «герба» за
підкидання монети
Експери
ментатори
Учні Бюф-
фон
Пірсон
Кількість
експери
ментів п
8 000 4 040 24 000
Частота
71(а )
3 962 2 048 12 012
Відносна
частота
0,4953 0,5069 0,5005
Статистичне означення ймовірності
Якщо під час проведення великої
кількості випадкових експеримен
тів, у кожному з яких може
відбутися або не відбутися подія А,
значення відносної частоти близькі
до деякого певного числа, то це
Подія А — випадання «герба» за
підкидання монети.
Р(А) = 0,5

Поняття Приклади
число називають імовірністю випад
кової події А і позначають Р(А).
0<Р(А)<1
Вірогідні і неможливі події
Вірогідна подія — це подія 17, яка
обов’язково відбувається за кожно
го повторення експерименту.
Р(Е7)= 1
Випадання менше ніж семи очок за
підкидання грального кубика (на
гранях якого позначено від 1 до 6
очок)
Неможлива подія (її часто познача
ють 0 ) — це подія, що у поданому
експерименті відбутися не може.
Р(0) = 0
Випадання семи очок за підкидан
ня грального кубика
Рівноможливі події
Рівноможливі (рівноймовірні) по
дії — це такі події, кожна з яких не
має жодних переваг у появі частіше
від інших за багаторазових експери
ментів, що проводять у приблизно
однакових умовах.
Імовірності рівноможливих подій
однакові
В експериментах за одноразового
підкидання однорідної монети пра
вильної форми рівноможливими
є події:
А — випаде «герб»,
В — випаде «число».
Р(А) = Р(Б) = 0,5
Оскільки основні поняття теорії ймовірності розглядалися
в курсі математики у 6 та у 9 класах, новими для учнів є тіль
ки поняття частоти та відносної частоти випадкових подій
і статистичне означення ймовірності. Тому вивчення матеріа
лу уроку організовуємо як самостійну роботу учнів за підруч
ником. Акцент робимо на нових поняттях (частота, відносна
частота та статистичне означення ймовірності випадкової по
дії) і на понятті рівноможливих подій, яке буде використано
під час вивчення класичного означення ймовірності.
1. Які з наступних подій випадкові, вірогідні, неможливі?
А — «черепаха навчиться говорити»;
В — «вода в чайнику, що стоїть на гарячій плиті, закипить»;
С — «ваш день народження — 1 липня»;
X) — «день народження вашого друга — ЗОлютого»;

Е — «ви виграєте, беручи участь у лотереї»;
— «ви не виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї»;
О — «ви програєте партію в шахи»;
Н — «наступного тижня погіршиться погода»;
К — «ви натиснули на кнопку дзвоника, а він не пролунав»;
Ь — «після четверга буде п’ятниця»;
М — «після п’ятниці буде неділя».
2. Для кожної з поданих подій визначте, яка вона: випадкова, ві
рогідна, неможлива.
А — «улітку в школярів будуть канікули»;
В — «1 жовтня в Харкові буде сонячно»;
С — «після уроків відбудеться прибирання класної кімнати»;
і) — «в 11 класі школярі не будуть вивчати алгебру»;
Е — «узимку випаде сніг»;
.Р — «під час вмикання світла лампочка перегорить»;
G — «ви виходите на вулицю, а вам назустріч іде слон».
3. Укажіть, які з подій у наведених експериментах є вірогідними,
неможливими чи випадковими.
№ Експеримент Подія
1 Виконання пострілу Влучення в ціль
2 Нагрівання води (за звичайних
умов)
Вода перетворилася на лід
3 Участь у лотереї Ви виграєте, беручи участь
у лотереї
4 Участь у безпрограшній лотереї Ви не виграєте, беручи участь
у безпрограшній лотереї
5 Підкидання звичайного грально
го кубика
Випадання п’яти очок
6 Підкидання звичайного грально
го кубика
Випадання менше ніж восьми
очок
7 Перевірка роботи дзвінка Ви натиснули на кнопку дзвінка,
а він не пролунав
8 Витягання кульки з коробки
з білими кульками
Витягли чорну кульку
9 Витягання кульки з коробки
з білими кульками
Витягли білу кульку
10 Витягання двох кульок з короб
ки з десятьма білими і п’ятьма
чорними кульками
Витягли білу і чорну кульки
11 Витягання карти з колоди Витягли туз

4. Яка імовірність того, що сонце зійде на заході?
1. Складіть по три приклади вірогідних, неможливих і випадко
вих подій. Приклади запишіть у вигляді таблиці, як це зробле
но в усній вправі 3.
2. У наведеній таблиці подано результати експериментів із підки
дання ґудзика, проведених учнями однієї зі шкіл, які оціню
вали ймовірність випадкової події — ґудзик впаде вушком для
пришивання донизу.
Число експериментів 10 20 50 100 200 500 1000
Число падань ґудзика
вушком донизу
6 9 24 44 92 232 461
1) Оцініть відносну частоту падінь ґудзика вушком донизу в кож
ному експерименті (запишіть її наближено з точністю до со
тих);
2) оцініть імовірність падінь ґудзика вушком донизу;
3) запишіть частоту і відносну частоту падінь ґудзика кружком
донизу;
4) оцініть імовірність падінь ґудзика кружком донизу.
3. Щоб визначити, який колір волосся у мешканців міста зустрі
чається найчастіше, учні провели такий експеримент. Кожний
вибрав свій маршрут і впродовж однієї години записував по
шляху проходження колір волосся кожного п’ятого зустрічно
го. Результати було записані в таблицю:
Колір
волосся
Брюнети Шатени РУДІ Блондини Усього
Число
людей
198 372 83 212 865
Оцініть імовірність того, що вибраний навмання мешканець
цього міста буде: 1) шатеном; 2) рудим; 3) не рудим.
Відповіді запишіть наближено у вигляді десяткового дробу
з двома знаками після коми.
4. У магазині підрахували, що зазвичай із тисячі телевізорів два
бракованих. Яка ймовірність того, що телевізор, вибраний на
вмання в цьому магазині, буде бракованим?
5. Виберіть навмання одну сторінку з книги будь-якого письмен
ника і підрахуйте, скільки разів на цій сторінці з’являються
букви «о» і «б», а також скільки усього на ній букв. Оцініть
імовірність появи букв «о» і «б» у цьому тексті.

Поясніть, чому на клавіатурах друкарських машинок
і комп’ютерів буква «о» розташована ближче до центра, а бук
ва «б» — ближче до краю. Як ви поясните розташування інших
букв?
1. Розв’яжіть рівняння 6Х+2 - 4-6*+1+ 8-6* =120.
2. Розв’яжіть рівняння log5(2#2+ 3a;-l-l) = log5(2:x;-l-2).
3. Обчисліть: 62-loge9- 25І0Є®3.
Завдання основної частини відповідають середньому рівню
складності та спрямовані на закріплення понять, розгляну
тих в опорному конспекті.
1. Наведіть приклади випадкового експерименту та випадкової
події.
2. Поясніть на прикладі, що називають частотою та відносною
частотою події А .
3. Поясніть зміст статистичного означення ймовірності. Наведіть
приклад.
4. Що ви можете сказати про ймовірності неможливих та вірогід
них подій?
1. Щоб визначити, як часто зустрічаються в лісопарку дерева різ
них порід, учні провели такі експерименти. Кожний вибрав
свою стежинку і, йдучи нею, записував породу кожного деся
того дерева. Результати було записано в таблицю.
Порода
дерева
Сосна Дуб Береза Осика Липа Усього
Число
дерев
315 217 123 67 35 757
Оцініть імовірність того, що обране навмання в цьому парку де
рево буде: 1) сосною; 2) хвойним; 3) листяним.
Відповіді запишіть наближено у вигляді десяткового дробу
з двома знаками після коми.
2. Відомо, що на 100 батарейок зустрічаються три бракованих.
Яка імовірність купити браковану батарейку?

3. За статистикою у місті N за рік із кожної тисячі автомобілістів
два потрапляють в аварію. Яка ймовірність того, що автомобі
ліст у цьому місті впродовж року не потрапить в аварію?
4. Яка ймовірність того, що після 31 грудня наступить 1 січня?
5. У пакеті лежать 20 зелених і 10 жовтих груш. Яка імовірність
вийняти з пакета грушу? Яка імовірність вийняти з пакета
яблуко?
і г, > • 1 2 л1. Розв яжіть рівняння-----------1-----------= 1.
lg# + 3 3 -lg де
2. Розв’яжіть нерівність log8(7 - 6х) < ^ .
2
3. Знайдіть значення виразу 8log,/52.
УРОК № 54
КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ
Мета: працювати над засвоєнням учнями понять: елементарна
подія, сприятлива елементарна подія, класичне означення ймовір
ності.
Розпочати роботу з формування вмінь обчислювати ймовір
ність випадкових подій за класичним означенням із використан
ням вивчених раніше формул комбінаторики.
Працювати над закріпленням змісту понять, вивчених на по
передньому уроці.
Типуроку: засвоєння знань, умінь і навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Простір елементарних
подій».
Хід уроку
Для учнів, які потребують додаткової педагогічної уваги, за
здалегідь готуємо розв’язання вправ домашньої роботи для само
стійного опрацювання вдома.
Фронтально перевіряємо виконання домашнього завдання за
зразком.

Урок № 54. Класичне означення ймовірності 41
Нагадуємо учням, що основна мета вивчення розділу «Еле
менти теорії ймовірності та елементи статистики» — це оволо
діння учнями найпростішими способами розв’язування ймо
вірнісних задач, а також оволодіння способами оцінювання
та подачі інформації про реальні фізичні, соціальні та хімічні
процеси. У цьому контексті стає зрозумілою логіка вивчення
матеріалу розділу: після вивчення питання про основні понят
тя теорії ймовірності (поняття випадкової події і випадкового
експерименту; частота і відносна частота випадкової події;
вірогідні, неможливі і довільні випадкові події) та загальні
підходи до розв’язування задач на знаходження ймовірності
випадкових подій (статистичне означення ймовірності ви
падкових подій), постає питання про вивчення простого та
зручного (без проведення великої кількості випадкових екс
периментів) способу обчислення ймовірності випадкових по
дій. Після цього формулюємо мету уроку: узагальнити та сис
тематизувати знання про ймовірність випадкової події, набуті
учнями у 6 та 9 класах, а також доповнити ці знання способа
ми обчислення ймовірності випадкової події із застосуванням
відповідного матеріалу, вивченого в 11 класі.
Тестоваробота
Варіант 1
1. У гральній колоді 36 карт. Яка ймовірність того, що взята на
вмання карта є пікової масті?
А Б В Г Д
1 1 1 1 1
4 9 36 8 6
2. Із натуральних чисел від 1 до 18 включно учень навмання нази
ває одне число. Яка ймовірність того, що це число є дільником
числа 18?
А Б В Г д
1 5 2 1 1
2 18 9 3 4
3. У шухляді лежать чотири картки, на яких написано числа 1,
2, 3 і 5. Яка ймовірність того, що добуток чисел, записаних на
двох навмання вийнятих картках, є непарним числом?

А Б В Г Д
3 2 1 1 1
4 5 4 2 3
4. Чому дорівнює ймовірність того, що в результаті кидання
грального кубика випаде число більше за 2?
А Б В Г д
1 1 1 2 1
6 3 2 3 4
Варіант 2
1. У гральній колоді 36 карт. Яка ймовірність того, що навмання
взята карта є дамою?
А Б В Г Д
1 1 1 1 1
4 9 36 8 6
2. У коробці 18 карток, занумерованих числами від 1 до 18 включ
но. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того,
що на ній записано число, у запису якого відсутня цифра 1?
А Б В Г Д
1 4 5 1 2
2 9 9 3 9
двох навмання вийнятих картках, є парним числом?
А Б В Г Д
3 2 1 1 1
4 5 4 2 3
4. Чому дорівнює ймовірність того, що в результаті кидання
грального кубика випаде число менше за З?
А Б В Г д
1 1 1 2 1
6 3 2 3 4
V. Формування знань
1. Уявлення про зміст поняття «елементарна подія», «рівномож-
ливі елементарні події у заданому експерименті».

2. Класичне означення ймовірності випадкової події. Формула
обчислення ймовірності випадкової події.
Конспект 33
Простір елементарних подій
Поняття Приклад
Нехай результатом деякого випад
кового експерименту може бути
тільки одна з попарно несуміжних
подій щ,и2,...,ип. Назвемо ці події
елементарними подіями, а множи
ну всіх цих подій
11= {и1,и2,...,ип] — простором
елементарних подій.
Сумою всіх елементарних подій
є вірогідна подія и :
и1+и2+ ... +ип= и (оскільки
в результаті заданого експерименту
обов’язково відбудеться одна
з подій и17и2,...,ип)
1. Для експерименту з підкидання
монети елементарними будуть події:
щ — випадання «герба»,
и2 — випадання «числа».
Тоді простір елементарних подій
складається з двох подій:
17= и1,и2]. (Ці події попарно
несумісні, у результаті експерименту
обов’язково відбудеться одна з них.)
2. Для експерименту з підкидання
грального кубика елементарними
подіями можуть бути події щ, и2,
и3, иА, и5, и6, де ик — випадання
к очок, к= 1,2,3,4,5,6. У цьому
випадку простір елементарних
подій буде складатися з шести
подій:
и = и1,и2,щ,иі,иь,и6
Класичне означення ймовірності (для рівноможливих елементарних подій)
Імовірність події А — це відно
шення числа сприятливих для неї
елементарних подій (тп) до числа
всіх рівноможливих елементарних
подій у заданому експерименті (ті):
р=™
п
Приклад. Знайдіть імовірність ви
падання більше ніж чотирьох очок
за підкидання грального кубика.
Розглянемо як елементарні події
шість рівноможливих результатів
підкидання кубика — випадання 1,
2, 3, 4, 5 або 6 очок (отже, у цій
задачі ге= 6). Подія А — випадан
ня більше ніж чотирьох очок.
Сприятливими для події А є тіль
ки дві елементарні події — випа
дання 5 або 6 очок (тобто т = 2).
и т 2 1
Д1 Р (А )=1 Г Г з

Прикладі.Знайдіть імовірність того, що за підкидання грального
кубика випаде число очок, кратне трьом.
Розв'язання. В експерименті з підкидання кубика існує шість по
парно несумісних рівноможливих елементарних подій — випадан
ня 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 очок (також можна сказати, що простір елементар
них подій складається з шести вказаних попарно несумісних рівно-
можливих подій). Сприятливими для події А є тільки дві
елементарні події: випадання 3 очок і випадання 6 очок. Отже, імо
вірність події А дорівнює: Р(А) = — = —.
6 З
Приклад 2. Петро і Павло кидають білий і чорний гральні кубики
і кожного разу підраховують суму очок, що випали. Вони домови
лися, що у випадку, коли в черговій спробі в сумі випаде 8 очок, то
виграє Петро, а коли в сумі випаде 7 очок, то виграє Павло. Чи є ця
гра справедливою?
Розв'язання. Під час кидання кубиків на кожному з них може ви
пасти 1, 2, 3, 4, 5 чи 6 очок. Кожному числу очок, які випали на
білому кубику (1, 2, 3, 4, 5 чи 6 очок), відповідає шість варіантів
числа очок, які випали на чорному кубику. Отже, всього одержує
мо 36 попарно несумісних рівноможливих елементарних подій —
результатів цього експерименту (див. таблицю).
(1 1) (2;1) (3;1) (4;1) (5;і) (б;і)
(1 2) (2;2) (Зі2) (4;2) (5;2) (Є;2)
(1 з) (2;3) (3;3) (4;3) (5;3) (6;3)
(1 4) (2-А) (3;4) (4;4) (5;4) (б;4)
(1 5) (2;5) (3;5) (4;5) (5;5) (б;5)
(1 6) (2;б) (3;6) (4;б) (5;б) (б;б)
(У кожній парі чисел на першому місці записано число очок,
яке випало на білому кубику, а на другому місці — число очок, яке
випало на чорному кубику.)
Нехай подія А означає, що під час кидання кубиків у сумі ви
пало 8 очок, а подія В — що під час кидання кубиків у сумі випало
7 очок.
Для події А сприятливими є такі п’ять результатів (елемен
тарних подій): (2;б), (3;5), (4;4), (5;3), (б;2).
Для події В сприятливими є такі шість результатів (елемен
тарних подій): (і;б), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (б;і).

Отже, шансів виграти у Павла більше, ніж у Петра. Тобто така
гра не буде справедливою.
Вивчаючи класичне означення ймовірності в 11 класі, учні
мають усвідомити, що зміст означення фактично залиша
ється таким, яким його знають із 6 класу, проте значно під
вищується рівень математичної строгості під час вивчення
цього питання. А саме: вводяться поняття «елементарна по
дія», «рівноможливі елементарні події в заданому експери
менті» та «сприятливі для заданої події елементарні події»
і далі уточнюється, що ймовірність як відношення кількості
сприятливих подій до кількості всіх подій за цього експери
менту обчислюється тільки тоді, якщо йдеться про рівно-
можливі елементарні події у цьому експерименті.
Також слід зауважити, що відповідно до чинної програми
з математики аксіоматичну побудову теорії ймовірності
в 11 класі не вивчають, проте бажано нагадати (без строгого
формулювання) основні властивості ймовірності випадкової
події (незалежно від способу її обчислення): ймовірність
будь-якої події виражають невід’ємним числом у межах від
0 до 1; при цьому ймовірність неможливої події дорівнює 0,
ймовірність вірогідної події дорівнює 1, а ймовірність до
вільної випадкової події виражають дробом у межах (0;і).
Чим ближчий дріб до 0, тим менш імовірна подія; чим дріб
ближчий до 1, тим подія більш імовірна. Також на інтуїтивно
му рівні формулюють властивість імовірності суми несумісних
подій (вона має важливе значення для розв’язування задач).
VI. Формування вмінь
1. Для поданого експерименту вкажіть кілька пар рівноможли-
вих елементарних подій:
^ підкидають гральний кубик;
^ навмання витягують карту з гральної колоди;
у класі вибирають учня для чергування;
^ з букету вибирають квітку.
2. На екзамені 24 білети. Андрій не розібрався в одному білеті
і дуже боїться його витягнути. Яка ймовірність, що Андрію діс
танеться «нещасливий» білет?
3. На питання вікторини було отримано 1 250 листівок із пра
вильними відповідями, у тому числі й вашу. Для визначення
призера ведучий повинен навмання витягти одну листівку.
Яка ймовірність того, що приз дістанеться вам?

4. У лотереї 10 виграшних білетів і 240 білетів без виграшу. Яка
ймовірність виграти в цю лотерею, купивши один білет?
1. Задача Даламбера. Яка ймовірність того, що за двох підкидань
монети хоча б один раз випаде «герб»?
2. За перемогу в телегрі Яна одержить головний приз — подорож,
якщо за одну спробу вгадає, у якому з 12 секторів табло захова
ний приз.
1) Яка ймовірність того, що Яна вирушить у подорож?
2) Відомо, що призи розміщені в чотирьох секторах табло. Які
ймовірності того, що Яна виграє будь-який приз?
3. У кишені лежать 6 монет вартістю 1к., 2 к., 5 к., 10 к., 25 к., 50 к.
Яка імовірність вийняти навмання монету: 1) з парним числом ко
пійок; 2) з непарним числом копійок; 3) менше ніж 20 копійок?
4. У Юрія в коробці 25 білих і 50 червоних кульок, у Наталки в ко
робці 40 білих і 80 червоних кульок. Вони ведуть гру, перемож
цем якої стає той, хто першим навмання вийме білу кульку зі
своєї коробки. Якщо вони виймають білу кульку одночасно —
нічия. Юрій вважає, що ця гра несправедлива, тому що в нього
в коробці менше білих кульок. Чи згодні ви з Юрієм? Поясніть
свою відповідь.
5. Ілля позначив у картці спортлото (6 з 49) номери: 7, 11, 15, 29,
38, 40 — і виграв. Тоді він вирішив, що ця комбінація чисел
щаслива і він буде позначати її у всіх тиражах. Чи дійсно він
збільшить свої шанси на виграш? Поясніть свою відповідь.
6. Ви виграєте, якщо кулька, вийнята навмання з коробки, біла.
Яку з коробок вигідніше вибрати для гри, щоб імовірність ви
грашу була більшою: 1) у коробці 15 білих кульок із 45; 2) у ко
робці 40 білих кульок із 120; 3) у коробці 22 білі кулі і 44 черво
ні; 4) у коробці порівну білих, червоних і чорних куль.
1. Скільки чотирицифрових чисел, кратних 5, усі цифри яких різ
ні, можна записати, використовуючи лише цифри 5,6, 7, 8 і 9?
2. У класі з 18 учнів обирають старосту та його заступника. Скіль
кома способами це можна зробити?
3. У класі з 15 учнів обирають трьох делегатів на шкільну конфе
ренцію. Скількома способами це можна зробити?
4. Розв’яжіть рівняння С^_3=21.
Для кращого засвоєння учнями змісту матеріалу уроку ба
жано під час виконання відповідних вправ неодноразово
повторювати зміст вивчених понять. Важливо відпрацю

вати вміння виконувати дії, що передбачені застосуванням
формули ймовірності: 1) знайти кількість усіх рівноможли-
вих елементарних подій; 2) знайти кількість сприятливих
елементарних подій; 3) знайти відношення кількості спри
ятливих подій до кількості всіх рівноможливих подій. При
цьому під час підрахунку кількості варіантів доречно вико
ристовувати як правила перебору варіантів, так і початкові
відомості з комбінаторики.
1. На прикладах випадкових експериментів із підкиданням мо
нети або грального кубика поясніть зміст понять: елементарна
подія, рівноможливі події; події, сприятливі до появи події А.
2. Сформулюйте класичне означення ймовірності. Наведіть при
клади обчислення ймовірностей за цим означенням.
3. Сформулюйте основні властивості ймовірності випадкової події.
1. У лотереї 100 білетів, із них п’ять виграшних. Яка імовірність
програшу?
2. Данило на картці спортлото (6 з 49) позначив номери: 1, 2, З,
4, 5, 6. Наталя на своїй картці позначила номери: 5,12,17, 23,
35, 49. Як ви думаєте, виграш якого набору чисел більш імовір
ний? Поясніть свою думку.
3. У сумці лежать 12 червоних, 10 зелених і три жовтих яблука.
1) Яке яблуко найімовірніше вийняти із сумки? 2) Яка ймовір
ність вийняти навмання: а) яблуко; б) грушу; в) зелене яблуко;
г) не червоне яблуко?
4. Грані звичайного грального кубика пофарбовано в червоний
і жовтий кольори. Імовірність випадання червоної грані дорів-
1 5
нює —, імовірність випадання жовтої грані — —. Скільки чер-
6 6
воних і жовтих граней у кубика?
1. Знайдіть область визначення функції

УРОК № 55
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ
ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ КОМБІНАТОРНИХ СХЕМ
Мета: працювати над закріпленням вивчених на попередніх
уроках понять: випадкова подія, випадковий експеримент, немож
лива подія, вірогідна подія, рівноможлива подія та елементарна
подія, а також класичного означення ймовірності.
Повторити формули та правила для розв’язування комбінатор
них задач.
Працювати над формуванням умінь використовувати формули
та правила комбінаторики та класичне означення ймовірності під
час розв’язування ймовірнісних задач відповідного змісту. Вдоско
налити навички розв’язувати найпростіші комбінаторні задачі.
Типуроку: застосування знань, умінь, навичок.
Наочність та обладнання: конспекти 32, 33.
Хід уроку
Виконання письмових вправ перевіряємо за зразком (розв’я
зання домашніх вправ подається як роздавальний матеріал для са
моперевірки).
Засвоєння теоретичного матеріалу попереднього уроку переві
ряємо під час виконання тестового завдання.
Варіант 7
1. У ящику п’ять білих і три чорні кульки. Навмання виймають
одну кулю. Що ймовірніше: витягти білу чи чорну кульку?
1) Білу; 2) чорну; 3) однаково ймовірно; 4) даних задачі недостат
ньо, щоб визначити.
2. Підкидають гральний кубик. Які результати цього експери
менту сприяють події А — «випадання парної кількості
очок»?
1) Випадання 1, 2, 3; 2) випадання 2, 4, 6; 3) випадання 3, 4, 5, 6;
4) випадання 4, 5, 6.
3. Чому дорівнює ймовірність події А попереднього завдання?
1 _ 1 _ 2 5

Урок № 55. Розв'язування задач на обчислення ймовірності.. 49
4. Рік складається з 365 днів. Навмання обирають одну зі сторі
нок відривного календаря. Знайдіть ймовірність того, що на
сторінці — число 29.
1} “ а ) « 8 ) » 4 , 1
365 365 365 365
Варіант 2
1. У ящику п’ять білих і п’ять чорних кульок. Навмання виймають
одну кульку. Що ймовірніше: витягти білу чи чорну кулю?
1) Білу; 2) чорну; 3) однаково ймовірно; 4) даних задачі недостат
ньо, щоб визначити.
2. Підкидають гральний кубик. Які результати цього експери
менту сприяють події А — «випадання кількості очок, що не
менше ніж три»?
1) Випадання 1, 2, 3; 2) випадання 2, 4, 6;
3) випадання 3, 4, 5, 6; 4) випадання 4, 5, 6.
3. Чому дорівнює ймовірність події А попереднього завдання?
4. В 11 класі навчається 32 учні, серед яких дівчат на 8 більше,
ніж юнаків. Яка ймовірність того, що навмання вибраний
учень буде чоловічої статі?
Відповіді
№ 1 № 2 № 3 № 4
Варіант 1 1 2 1 1
Варіант 2 3 3 3 3
Створенню мотивації для вивчення питання уроку сприяти
ме розгляд та аналіз низки задач відповідного змісту.
Задача1.Із 20 виготовлених мотоциклів три виявилися з дефек
тами. Яка ймовірність того, що два вибрані навмання мотоцикли
будуть без дефектів?
Задача2.Група туристів, у якій шість юнаків і чотири дівчини,
вибирає за жеребкуванням чотирьох чергових. Яка ймовірність
того, що буде вибрано два юнаки і дві дівчини?
Після обговорення змісту задач формулюємо завдання: навчи
тися використовувати засвоєні раніше правила та формули комбі
наторики для розв’язування задач на обчислення ймовірностей.

1. Учні сьомого класу вивчають 14 предметів. Скількома способа
ми можна для них скласти розклад на один день, щоб на кож
ному із шести уроків цього дня вивчилися різні предмети?
2. У класі 28 учнів. Вони обмінялися рукостисканнями. Скільки
рукостискань було зроблено?
3. Обчисліть: ——— .
9і>8
4. Скількома способами можна розмістити 10 різних книг на
трьох полицях?
5. Скільки різних п’ятицифрових натуральних чисел можна утво
рити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо жодна цифра не повторюється?
6. Необхідно висадити вісім саджанців фруктових дерев, із них
три — яблуні. Скількома способами можна висадити ці дерева
так, щоб усі яблуні росли поряд?
7. Скількома способами із семи членів комісії можна обрати голо
ву комісії, його заступника і секретаря?
8. Скільки різних трицифрових натуральних чисел можна утво
рити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо жодна цифра не повторюється?
9. Маринка і дві її подруги вирішили випити кави. Скількома спо
собами вони можуть вибрати собі набір із сервізу на 12 осіб?
10. На клумбі розквітли 20 троянд. Скількома способами можна
скласти букет із трьох троянд?
11. Група складається із п’яти чоловіків і п’яти жінок. Скількома
способами можна обрати делегацію із п’яти осіб, до якої входи
ло б три жінки?
V. Відпрацювання вмінь та навичок
Приклад 1.3 15 виготовлених велосипедів три виявилися з дефек
тами. Яка ймовірність того, що два вибраних навмання велосипеди
будуть без дефектів?
Розв'язання. Нехай подія А полягає в тому, що два вибраних на
вмання велосипеди будуть без дефектів. З 15 велосипедів вибрати
два можна Сх25 способами (число сполук із 15 по 2). Усі ці події є рів-
номожливими і попарно несумісними. Отже, загальна кількість
рівноможливих результатів (тобто загальна кількість елементар
них ПОДІЙ) дорівнює С12д. Сприятливою подією для події А є вибір
двох бездефектних велосипедів із 12 бездефектних (15 - 3 = 12).
Отже, число сприятливих результатів (подій) для події А дорівнює
СІ2. Звідси одержуємо:

Урок № 55. Розв'язування задач на обчислення ймовірності.. 51
12!
р / с і2 _ 21(12-2)1 _ 1 2 1 1 _ 22
1 151 15 14 35'
21(15-2)!
Приклад 2. Група туристів, у якій шість юнаків і чотири дівчини,
вибирає жеребкуванням чотирьох чергових. Яка ймовірність того,
що буде вибрано два юнаки і дві дівчини?
Розв'язання.Число результатів (елементарних події) під час виби
рання чотирьох чергових із 10 туристів дорівнює С^. Усі ці події
рівноможливі і попарно несумісні.
Нехай подія А полягає в тому, що серед чотирьох чергових
є два юнаки і дві дівчини. Вибрати двох юнаків із шести можна С|
способами, а вибрати двох дівчат із чотирьох можна С| способами.
За правилом добутку вибір і двох юнаків, і двох дівчат можна ви
конати СІ •С способами — це і є кількість сприятливих подій для
події А . Тоді
б! 4! 6 5 4 3
р/ Св 'С І _ 2!( б - 2)! 2!(4 -2 )! _ ]Т2 ]^2 _ З
1 } с,4п Ю! 10-9-8-7 7 ’
4!(10 —4)! 1-2-3-4
Робота на цьому етапі уроку полягає в тому, щоб за наведени
ми розв’язаннями скласти орієнтовну схему дій для розв’язування
ймовірнісних задач із застосуванням комбінаторики.
1. У шухляді лежать вісім червоних, два синіх і 20 зелених олівців.
Ви навмання виймаєте олівець. Яка ймовірність того, що це:
1) червоний олівець; 2) жовтий олівець; 3) не зелений олівець?
Яку найменшу кількість олівців потрібно вийняти, щоб з імо
вірністю, що дорівнює 1, серед них був зелений олівець?
2. Кидають одночасно два гральні кубики. Яка ймовірність того,
що сума очок буде дорівнювати 12?
3. З п’яти карток з буквами М , Р, О, А , Е навмання вибирають
чотири картки. Знайдіть імовірність того, що, поклавши їх
уряд у тому порядку, у якому їх вибрали, ми одержимо слово
«море».
1. Розв’яжіть нерівність 2*2+х+1 - 3 *2+х > Зх2+х-г- 2 ^ +х.

2. Розв’яжіть нерівність 21og04(-я) > log04(10 - 9л:).
Виконання письмових вправ сприяє засвоєнню класичного
означення ймовірності та супутніх понять, а також вивче
них на попередніх уроках формул та правил комбінаторики
в системі, тобто комбінаторна частина задач полягає в об
численні кількості подій, а обчислення ймовірності подій
здійснюється за класичним означенням.
При цьому слід вимагати від учнів дотримуватися пев
ної схеми, яку вони склали під час роботи з готовими
розв’язаннями задач. Окрім цього, виконання вправ на по
вторення передбачає відпрацювання навичок розв’язувати
показникові та логарифмічні нерівності.
VI. Підсумки уроку
VII. Домашнє завдання
Повторити теоретичний матеріал із теми «Елементи комбіна
торики та теорії ймовірностей».
Виконати домашню самостійну роботу.
1. Із 30-томного зібрання творів Л. Толстого учень навмання вибирає
один том. Яка ймовірність того, що:
1) у цьому томі буде роман «Анна
Каренина»;
2) цей том буде мати парний номер?
1) у цьому томі буде роман «Война
и мир»;
2) цей том буде мати непарний
номер?
2. Кидають дві однакові монети. Яка ймовірність того, що
випадуть «герб» і «число»? випадуть два «герби»?
3. 3 літер слова «провал» навмання і
імовірність того, що з вибраних літе
шбирають п’ять літер. Знайдіть
) можна буде скласти
слово «право» слово «повар»
4. 3 28 кісток доміно навмання виби эають одну. Що ймовірніше:
що сума цифр на ній буде дорівню
вати 6 або 8?
що сума цифр на ній буде дорівню
вати 3 або 4?
1. Розв’яжіть нерівність logQ5^ -lo g 05JC-2<0.
Слх
>30.2. Розв’яжіть нерівність І—
1Y
+ І 5

Урок № 56. Поняття про статистику. Генеральна сукупність та вибірка 53
УРОК № 56
ПОНЯТТЯ ПРО СТАТИСТИКУ.
ГЕНЕРАЛЬНА СУКУПНІСТЬ ТА ВИБІРКА
Мета: працювати над формуванням в учнів уявлення про пред
мет вивчення статистики, над засвоєнням учнями змісту основних
понять статистики (вибірка, статистичний ряд, варіанта, варіацій
ний ряд, репрезентативна вибірка, обсяг вибірки).
Сформувати вміння:
S наводити приклади відповідно до вивчених понять;
S виконувати найпростіші завдання на обробку статистичних да
них.
Наочність та обладнання: конспект «Основні поняття матема
тичної статистики».
Хід уроку
Перевіряємо якість виконання домашньої самостійної роботи,
зібравши зошити учнів на перевірку. Правильні розв’язання вправ
самостійної роботи пропонуємо учням для самостійного опрацю
вання вдома.
III. Формулювання мети ізавдань уроку
На цьому етапі уроку можна провести невеличкий екскурс
в історію виникнення математичної статистики як окремого
розділу прикладної математики.
Після переліку основних задач математичної статистики (се
ред яких названо задачу на оцінку ймовірності) учні мають усві
домити, що вивчення деяких питань статистики є логічним продо
вженням матеріалу попередніх уроків. Таким чином формулюємо
завдання на урок.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь
Знайдіть середнє арифметичне:
а) усіх одноцифрових натуральних чисел;
б) усіх непарних натуральних чисел першої двадцятки;
в) усіх дільників числа 24.

1. Уявлення про предмет вивчення статистики.
2. Уявлення про предмет вивчення математичної статистики.
3. Основні задачі математичної статистики.
4. Основні способи подання даних, отриманих у результаті ста
тистичних спостережень (генеральна сукупність, репрезента
тивна вибірка, статистична вибірка, об’єм вибірки, варіанта,
варіаційний ряд). Подання статистичних даних у вигляді час
тотних таблиць.
5. Приклад розв’язування найпростішої задачі вибірковим мето
дом.
Конспект 34
Основні поняття математичної статистики
Часто вжива
ний термін
Зміст терміна
Науковий
термін
Означення
Загальний
ряд даних
Те, звідки вибира
ють
Генеральна
сукупність
Множина всіх
можливих резуль
татів спостережен
ня (вимірювання)
Вибірка Те, що вибирають Статистична
вибірка, ста
тистичний ряд
Множина резуль
татів, які реально
одержані у спосте
реженні (вимірю
ванні)
Варіанта Значення одного
з результатів спо
стереження (вимі
рювання)
Варіанта Одне зі значень
елементів вибірки
Ряд даних Значення всіх
результатів спосте
реження (вимірю
вання), перелічені
по порядку
Варіаційний
ряд
Впорядкована
множина всіх
варіант
Об’ємом вибірки називають кількість об’єктів цієї вибірки.
Наприклад, об’єм вибірки оцінок за контрольну роботу, поданий у ви
гляді таблиці, дорівнює кількості всіх учнів, тобто
1 + 2 + 2 + 5 + 4 + 8 + 3 + 2 + 1 = 28.
Кількість учнів 1 2 2 5 4 8 3 2 1
Оцінка 12 11 10 9 8 7 6 5 4

Урок №56. Поняття про статистику. Генеральна сукупність та вибірка 55
Вибірковий метод визначення кількісного співвідношення виробів різ
ного сорту передбачає обчислення за формулою
Ж1+Ж2+... +Ж^
к
де Ж2, ~¥к — відносна частота появи виробу певного виду з різних
партій, що випробовуються; к — кількість партій, що беруться для
випробування
Приклад. Взуттєвий цех повинен випустити 1 000 пар кросівок
молодіжного фасону. Для визначення того, скільки кросівок і яко
го розміру потрібно випустити, було виявлено розміри взуття у 50
випадковим чином вибраних підлітків. Розподіл виявлених розмі
рів за частотами подано в таблиці:
Розмір ( X ) 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Частота (М ) 2 5 6 12 11 7 4 2 1
^ М = п = 50.
Скільки кросівок різного розміру буде виготовляти фабрика?
Розв'язання. Будемо вважати розглянуту вибірку об’ємом п = 50
підлітків репрезентативною. Тоді в генеральній сукупності (об’ємом
5 = 1000) кількість кросівок кожного розміру пропорційна кіль
кості кросівок відповідного розміру у вибірці (і для кожного розмі
ру знаходиться за формулою ві = 3 ^ - , де 5 — обсяг генеральної
п
сукупності, і — порядковий номер ознаки). Результати розрахун
ків будемо записувати в таблицю:
Розмір ( X ) 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Частота ( М ) 2 5 6 12 11 7 4 2 1
Відносна частота
( Ю
1 1 3 6 11 7 2 1 1
25 10 25 25 50 50 25 25 50
Кількість кросівок
(5 Ж )
40 100 120 240 220 140 80 40 20
£ м = ті = 50. = у£(31 ¥) = 3 = 1000.
Відповідь
Розмір 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Кількість кросівок 40 100 120 240 220 140 80 40 20

Вивчення матеріалу уроку розпочинаємо з формування
загального уявлення учнів про статистику та предмет ви
вчення математичної статистики як розділу прикладної
математики. Після цього формуємо знання про основні за
дачі математичної статистики, а далі розглядаємо питання
про різні види статистичних даних, одержаних у результаті
статистичних спостережень. При цьому слід працювати над
формуванням чіткого уявлення про зміст основних понять та
розуміння того, чим схожі та чим відрізняються ці поняття.
На цьому етапі бажано ілюструвати пояснення достатньою
кількістю прикладів, які можна взяти як із підручника, так
і з періодичної літератури. Особливу увагу звертаємо на по
дання статистичних даних у вигляді частотних таблиць.
Також слід попрацювати над формуванням в учнів уявлен
ня про вибірковий метод розв’язування задач на визначення
співвідношення виробів різного виду, що використовують
у промисловості та сільському господарстві.
Під час вивчення нового матеріалу не слід вимагати від
учнів точного відтворення означень усіх вивчених на уроці
понять: згідно з програмовими вимогами учні мають лише
описувати деякі з понять та наводити приклади, що ілю
струють зміст основних понять математичної статистики.
1. Визначте, яку із запропонованих вибірок в останньому стовп
чику таблиці можна вважати репрезентативною.
№
Мета
обстеження
Вибірка
1° Партія одна
кових деталей
об’ємом 10 000
штук
Визначити числа
бракованих дета
лей у партій
1) П’ять деталей, які лежать
поряд;
2) п’ять деталей, вибраних
навмання з різних частин
партії;
3)400 деталей,вибраних
навмання з різних частин
партії
2° Усі бродячі со
баки міста — об
ласного центру
Визначення
числа собак,
які хворіють на
чумку
1) Одна собача зграя;
2) по декілька навмання
спійманих собак із кожного
району міста

Урок №56. Поняття про статистику. Генеральна сукупність та вибірка 57
№
Мета
обстеження
Вибірка
3° Усі екзамена
ційні роботи
зовнішнього
тестування
з математики ви
пускників шкіл
міста
Виявлення спів
відношення між
числом учнів, які
знаходяться надо
статньому, серед
ньому і високому
рівнях навчаль
них досягнень із
математики
1) П’ять робіт, взятих навман
ня з числа всіх робіт;
2) 350 робіт, взятих навмання
з числа всіх робіт;
3) п’ять робіт випускників од
нієї школи
4° Партія штампо
ваних деталей
обсягом 100 000
штук
Визначення
середньої маси
деталі в партії
1) Дві деталі;
2) 500 деталей, які виготови
ли останніми;
3) 400 навмання вибраних
деталей із партії
5° Бідон молока Визначення
жирності молока
(у відсотках)
1) Ложку молока, яку взяли
з поверхні через 2 год після
надою;
2) склянка молока, налита
з бідону після 2 год охоло
дження молока в погребі;
3) ложка молока, взята після
ретельного перемішування
молока
6° Урожай зерна на
площі 1 000 га
Визначення уро
жайності зерна
на цьому полі
1) Урожай зерна з північного
схилу пагорба площею 1 га;
2) середнє арифметичне уро
жайності зерна з двох сусідніх
ділянок площею 1 га — пів
нічного і східного схилів
пагорба;
3) середнє арифметичне уро
жайності зерна з 10 ділянок,
кожна з яких площею 10
соток і вибрана на полі на
вмання
2. В уривку з художнього твору обсягом 600 слів дієслова зустрі
чаються 72 рази. Визначте орієнтовну кількість дієслів в урив
ку обсягом 2 000 слів цього самого твору.
3. Серед навмання вибраних 100 молодих людей, які влітку но
сять кепки, провели опитування про кольорові переваги для

цього виду головних уборів. Результати опитування відобра
жено в таблиці:
Колір Чорний Червоний Синій Сірий Білий Жовтий Зелений
Частота 32 20 16 14 11 5 2
Вважаючи розглянуту вибірку репрезентативною, запропонуй
те швейній фабриці рекомендації щодо кількості випуску кепок
кожного кольору, якщо фабрика повинна випускати ЗО000 кепок.
Виконання додаткових вправ на повторення
1. Учень має шість різних підручників, по одному з кожного пред
мета. Скількома способами їх можна розмістити на полиці так,
щоб підручники з фізики та хімії не стояли поряд?
2. На шаховому турнірі зіграно 55 партій. При цьому кожен учас
ник зіграв із кожним із решти учасників одну партію. Скільки
шахістів брало участь у турнірі?
3. Розв’яжіть нерівність:
1) lg(3*2+ 7) - lg(3* —l) < 1; 2) log3log4log5x > 0.
Розв’язування задач № 1, 2, 3 за новим матеріалом сприяє
формуванню в учнів уявлення про зміст понять, вивчених на
уроці, особливо про репрезентативну вибірку та спосіб знахо
дження варіанти генеральної вибірки за даними репрезента
тивної. Також проводимо роботу з формування вмінь читати
та записувати статистичну інформацію, що подана у вигляді
статистичної таблиці. Обчислювальна частина задач перед
бачає розв’язування учнями задач на пропорційні величини.
Виконання додаткових вправ має на меті вдосконалення вмінь
знаходити ймовірності випадкової події за класичним озна
ченням та розв’язувати логарифмічні нерівності.
1. Поясніть, які завдання розв’язують статистика та математич
на статистика.
2. Поясніть, як ви розумієте зміст понять: генеральна сукупність,
репрезентативна вибірка, статистична вибірка, об’єм вибірки,
варіанта, варіаційний ряд. Наведіть приклади.
Вивчити теоретичний матеріал. У періодичній літературі
знайти три приклади статистичних даних із різних галузей та за
писати відповідні статистичні таблиці в конспект.

Урок № 57. Вибіркові характеристики 59
1. Молокозавод випускає молоко різної жирності. У продуктових
магазинах міста, для якого завод виробляє молоко, у навмання
вибраних 50 покупців молока було проведено опитування про
те, якої жирності молоко вони споживають. Результати опиту
вання відображено в таблиці:
Жирність молока (у % ) 0 0,5 1 1,5 2,5 3,5 5
Частота 10 6 4 5 12 7 6
Вважаючи розглянуту вибірку репрезентативною, запропонуй
те рекомендації молокозаводу щодо об’єму випуску молока кожно
го виду, якщо молокозавод повинен випускати 2 000 літрів молока
щоденно.
Розв’яжіть нерівність:
1 ) 1о§ 7 (2 - х ) < 1о§7 (За; + 6 ); 2 ) 2о£202х - о £ 02х2> 4 .
УРОК № 57
ВИБІРКОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту основних ста
тистичних характеристик варіаційних рядів даних (ранжируван-
ня ряду даних, розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення та
математичне сподівання випадкової величини).
Розпочати роботу з формування вмінь пояснювати зміст вивче
них понять і наводити відповідні приклади. Працювати над фор
муванням умінь розв’язувати задачі на обчислення різних видів
характеристик статистичних рядів даних.
Типуроку: засвоєння знань, формування первинних умінь.
Наочність та обладнання: конспект «Статистичні характеристи
ки рядів даних».
Хід уроку
Частково перевіряємо виконання домашнього завдання під час
фронтальної бесіди.
Правильність розв’язання логарифмічних нерівностей переві
ряємо за зразком (зразок розв’язання заздалегідь виконано окре
мими учнями або вчителем).

III.Формулювання мети ізавдань уроку
а Пропонуємо учням завдання.
Завдання. Після літніх канікул провели опитування 10 дівчат
та 9 хлопців одного і того самого класу відносно кількості книг, які
вони прочитали за канікули. Результати було записано в порядку
опитування. Дістали такі ряди чисел:
для дівчат: 4, 3, 5, 3, 8, 3, 12, 4, 5, 5;
для хлопців: 5, З, 3, 4, 6, 4, 4, 7, 4.
Порівняйте одержані статистичні дані.
Після обговорення умови задачі та можливих способів її
розв’язання учні мають усвідомити, що для зручності порівняння
статистичних даних необхідна попередня їх обробка. Учні також
мають усвідомити, що порівнювати статистичні ряди даних можна
за різними критеріями.
Проведена бесіда приводить учнів до усвідомлення необхіднос
ті вивчення характеристик статистичних рядів даних та способів
їх обчислення.
Далі формулюємо мету уроку.
IV.Актуалізація опорних знань та вмінь
1. Поясніть, які завдання розв’язують статистика та математич
на статистика.
2. Поясніть, як ви розумієте зміст понять: генеральна сукупність,
репрезентативна вибірка, статистична вибірка, об’єм вибірки,
варіанта, варіаційний ряд. Наведіть приклади.
3. Складіть частотні таблиці до задачі, наведеної на етапі форму-
лювання мети и завдань уроку.
1. Поняття ранжирування ряду даних.
2. Характеристики вибірки: розмах, мода, медіана, середнє зна
чення, математичне сподівання величини.
3. Приклади розв’язування задач на обчислення характеристик
вибірки.
На цьому уроці вивчають лише два нових поняття: ранжи
рування та розмах вибірки. Усі інші поняття (мода, медіана
та середнє значення величини) вивчались учнями у 9 кла
сі. Тому завдання на урок — повторити та систематизувати
знання учнями понять, вивчених у 9 класі, та доповнити
ці знання новими поняттями. Тому роботу на цьому етапі

уроку доцільно провести у формі самостійного опрацюван
ня тексту підручника за планом (використавши спеціальні
прийоми роботи з текстом (див. нижче)).
Конспект 35
Статистичні характеристики рядів даних
Означення Приклад
Ранжирування ряду даних
Під ранжируванням ряду даних
розуміють розташування елементів
цього ряду в порядку зростання
(мається на увазі, що кожне на
ступне число або більше, або не
менше від попереднього)
Якщо ряд даних вибірки має ви
гляд
5, 3, 7 ,4 ,6 , 4, 6, 9, 4,
то після ранжирування він перетво
рюється на ряд
3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 9. (*)
Розмах вибірки ( і?)
Розмах вибірки — це різниця між
найбільшим і найменшим значення
ми випадкової величини у вибірці
Для ряду (*) розмах вибірки:
Д = 9 -3 = 6
Мода (М о)
Мода — це те значення випадкової
величини, яке зустрічається най
частіше
У ряду (*) значення 4 зустрічається
найчастіше, отже, Мо = 4
Медіана ( М е)
Медіана — це так зване середнє
значення упорядкованого ряду зна
чень випадкової величини:
^ якщо кількість чисел у ряду
непарна, то медіана — це число,
записане посередині;
^ якщо кількість чисел у ряду
парна, то медіана — це серед
нє арифметичне двох чисел, що
стоять посередині
Для ряду (*), у якому дев’ять
членів, медіана — це середнє (тобто
п’яте) число 5: Ме = 5.
Якщо розглянути ряд
3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, у якому де
сять членів, то медіана — це серед
нє арифметичне п’ятого і шостого
членів:
„Ж 4 + 5 „ КМе = ------= 4,5
2
Середнє значення ( X ) випадкової величини X
Середнім значенням випадкової
величини X називають середнє
арифметичне всіх її значень.
Якщо випадкова величина X
набуває п значень х1,х2,...,хп, то
Нехай випадкову величину X
задано таблицею розподілу за
частотами М :
X 2 4 5 7
м 3 1 2 2

Х1+Х2"*"•••+ Хп
п
Якщо випадкова величина X
набуває значень х1,х2,..., хк
відповідно з частотами т1,т2,...,т)1
(тоді - п), то середнє арифме
тичне можна обчислювати за
формулою
—_ + х2т2+... + ХьіПь
п
= п = 8 .
Тоді за формулою (**)
— 2+2+2+4+5+5+7+7
Л — —
8
= — = 4,25
8
або за другою формулою
- 2-3 +4-1 +5-2 + 7-2 34
а — — —4*^0
8 8
Під час роботи з текстом учень повинен самостійно:
^ виділяти у тексті основні поняття, терміни, незрозумілі слова;
^ знаходити їх тлумачення у довідниках або підручнику;
^ формувати власне тлумачення поняття, терміна та наводити
аналогічні смислові порівняння;
^ відтворювати текст із коментуванням нової термінології, спи
раючись на власне розуміння.
Послідовність дій під час виділення головного:
^ виділити предмет усвідомлення (про що йде мова);
^ знайти ключові слова і поняття;
^ відокремити головне від другорядного (провести відбір мате
ріалу);
^ виділити в тексті (чи зафіксувати в процесі слухання) змістову
опорну інформацію;
^ за цією змістовою інформацією коротко переказати (чи записа
ти ) головне.
Учням допоможуть виділити головне в тексті такі питання та
поради вчителя:
«Про що йде мова в параграфі?», «Яка, на вашу думку, голов
на ідея?», «Виділіть (підкресліть) ключові слова», «Які положення
є вихідними, другорядними?», «Визначте в зошитах змістову опор
ну інформацію для переказу — кому як зручніше: у вигляді пунктів
плану, тез, рисунків, схем, формул і т. ін.», «Чому саме ці поняття
ви виділили як головні?», «Коротко перекажіть параграф за опор
ною інформацією», «До якої теми належить вивчений матеріал?».
1. Знайдіть середнє значення вибірки: 3, 5, 7, 7, 9, 11, 13, 13.

2. Знайдіть медіану вибірки: 7, 3, 11,9, 5, 7, 3.
3. У результаті опитування навмання відібраних 100 жінок було
з’ясовано, що десять із них полюбляють ромашки, п’ять —
крокуси, сім — волошки, 28 — троянди, 17 — лілеї, 22 — гвоз
дики, 11 — айстри. Знайдіть моду цього розподілу.
1. Знайдіть розмах, моду, медіану і середнє значення ряду даних
деякої випадкової величини X : 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5.
Побудуйте полігон частот значень величини X. Укажіть на ри
сунку розмах, моду і медіану заданого ряду даних.
2. Знайдіть розмах, моду, медіану і середнє значення сукупності
значень випадкової величини X :
X 2 3 4 5
м 3 4 1 3
сунку розмах, моду і медіану заданої сукупності даних.
3. Дівчата одинадцятого класу на уроці фізкультури зі стрибків
у висоту показали такі результати (у см): 90, 125, 125, 130,
130,135,135,135,140,140,140.
Знайдіть розмах, моду, медіану і середнє значення сукупності
даних. Яке з цих значень найкраще характеризує спортивну під
готовку дівчат класу?
4. Виграші (у гривнях), які припадають на один білет у кожній із
двох лотерей, мають такі закони розподілу:
X 0 1 5 10
Р 0,9 0,06 0,03 0,01
X 0 1 5 10
р 0,85 0,12 0,02 0,01
Якій із цих лотерей ви віддали б перевагу?
1) log0з(2 - Зя) > log0з(5х - 1); 2) log2[х2- Зх + 2) < 1+ log2[х - 2).
lg900-2
2. Обчисліть:
21g0,5 + lgl2

Оскільки теоретичний матеріал уроку містить означення
основних характеристик варіаційних рядів та формул, то
розв’язування вправ 1-4 передбачає пряме застосування
цих означень та формул. Основна рекомендація, яку бажано
донести до учнів (якщо це не було зроблено під час вивчен
ня матеріалу на попередньому етапі уроку), — необхідність
попередньої обробки статистичних даних (ранжирування та
складання частотних таблиць) перед визначенням розмаху,
моди, медіани вибірки. Також слід приділяти увагу новій
символіці.
На повторення продовжуємо виконання завдань із теми
«Логарифм числа. Логарифмічні рівняння та нерівності»
з метою підготовки до ЗНО та ДПА з математики.
Контрольне запитання
На прикладі ряду даних 2, 3, 2, 5, 5, 13, 5 поясніть, що таке
ранжирування, розмах, мода, медіана, середнє значення.
1. Знайдіть розмах, моду, медіану і середнє значення ряду даних
деякої випадкової величини X : -3 , -2 , -2 , -1 , 0, 2, 2, 2, 3, 5.
сунку розмах, моду і медіану заданого ряду даних.
2. Знайдіть розмах, моду, медіану і середнє значення сукупності
значень випадкової величини X :
X -1 3 4 5 7
м 2 3 4 4 1
сунку розмах, моду і медіану заданої сукупності даних.
1) 21g1°g| o !gi200; 2) log12(loge43 2 ) + .
2. Розв’яжіть рівняння log02(;x;-i-l) = log02(8-;x;)-log02;x;.
3. Розв’яжіть нерівність log3(х 2- 1) < logg ( х + 1)+ 1.

Урок № 58. Графічне подання інформаціїпро вибірку 65
УРОК № 58
ГРАФІЧНЕ ПОДАННЯ ІНФОРМАЦІЇ ПРО ВИБІРКУ
Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту понять: гісто
грама, полігон частот, криві нормального розподілу.
Провести роботу з формування вмінь пояснювати зміст цих по
нять, а також відрізняти різні способи графічного подання статис
тичних даних. Сформувати вміння читати та будувати гістограми,
полігони частот, будувати криві нормального розподілу за подани
ми статистичними даними.
Наочність та обладнання: конспект «Графічне подання інформа
ції про вибірку».
Хід уроку
Вибірково беремо на перевірку зошити учнів, що потребують
додаткової педагогічної уваги.
Перевірку засвоєння основних понять та способів дій здійснює
мо шляхом виконання тестових завдань.
Тестовізавдання
Варіант 1
1. Середнє арифметичне перших 50 натуральних чисел дорівнює:
А) 100; Б) 25,5; В) 655; Г) 327,5.
2. Дано вибірку 1, 7, 5, 7, 3, 7,1, 8, 3. Яке з чисел є модою цієї ви
бірки? А) 7; Б) 8; В) 3; Г) 5.
3. Дано вибірку 1 ,7 ,5 ,7 ,3 ,7 ,1 ,8 ,3 . Яке з чисел є медіаною цієї
вибірки? А) 4—; Б) 7; В) 42; Г) 5.
З
4. Дано вибірку 1, 7, 5, 7, 3, 7, 1, 8, 3. Яке з чисел є середнім зна-
2
ченням цієї вибірки? А) 42; Б) 4—; В) 5; Г) 8.
З
Варіант 2
1. Середнє арифметичне перших 100 натуральних чисел дорів
нює: А) 101; Б) 100; В) 50,5; Г) 5 050.
2. Дано вибірку 9, 3,8, 7 ,4 ,6 ,8 ,4 ,4 , 6, 7. Яке з чисел є модою цієї
вибірки? А) 6; Б) 14; В) 66; Г) 4.
3. Дано вибірку 9, 3, 8, 7, 4, 6, 8, 4, 4, 6, 7. Яке з чисел є медіаною
цієї вибірки? А) 9; Б) 6; В) 4; Г) 8.

4. Дано вибірку 9, 3, 8, 7, 4, 6, 8, 4, 4, 6, 7. Яке з чисел є середнім
значенням цієї вибірки? А) 3; Б) 4; В) 7; Г) 6.
Відповіді
№ 1 №2 №3 № 4
Варіант 1 Б А Г Б
Варіант 2 В Г Б Г
Нагадуємо учням про можливість «унаочнення» деяких
математичних об’єктів за допомогою побудови відповідних
графіків (наводимо приклади графіків функцій, графіків
рівнянь із двома змінними; графічного розв’язування сис
тем рівнянь із двома змінними та рівнянь з однією змінною).
Далі формулюємо питання про можливість відповідного
«унаочнення» статистичної інформації.
Таким чином формулюємо завдання на урок.
На прикладі ряду даних 5, 6, 2, 4, 7, 8, 3, 5, 6, 6 поясніть, що
таке ранжирування, розмах, мода, медіана, середнє значення.
1. Уявлення про полігон частот.
2. Уявлення про гістограму.
3. Поняття кривої нормального розподілу.
Конспект 36
Графічне подання інформації про вибірку
1. Якщо на осі абсцис прямокутної системи
координат позначити варіанти, а на осі
ординат — відповідні їм частоти, то
дістанемо точки (хп;уп), послідовно
сполучивши які матимемо ламану, яку на
зивають полігоном частот.
Приклад 1 . Для вибірки, поданої у вигляді
статистичної таблиці розподілу полігоном
частот, є ламана, зображена нарисунку.
X 2 3 4 5 6
п 3 5 6 5 1

2. Якщо на осі абсцис прямокутної системи
координат позначити варіанти, а на осі
ординат — відповідні їм частоти, то
дістанемо точки (хп;уп). Якщо через точки
(хп’Уп) провести плавну криву, то дістане
мо криву нормального розподілу.
Приклад 2. Значення розмірів (X) одягу
випадковим чином вибраних тисячі
одинадцятикласниць шкіл міста і розподіл
їх за частотами подано в таблиці:
Нарисунку зображено криву нормального розподілу.
Крива нормального розподілу симетрична відносно вертикальної пря
мої, що проходить через середнє значення розглянутої сукупності
3. Якщо побудувати стовп
часту діаграму для ста
тистичного ряду,заданого
у вигляді послідовності
інтервалів, то таке зобра
ження статистичних даних
називають гістограмою.
Приклад 3.Нарисунку зобра
жено гістограму, яка по
казує розподіл ваги учнів
окремо взятого року.
” г
1 ік
г
1
і
і
1
1
г г
г-РО
1
г
1
1
1
1
1
1
1
1І
1
1
©15
1
1
Ен^
О і
1
1
ТО1
101
1
1
--'-5-1
1
1
1
1
|_ |_ 40
Ю
_______
зо 55 6Р 7Р 7«?
1 1 1 1
І_ І_ І_
1
1
1
1
1
1 вага (зГкґ)
X 40 42 44 46 48 50 52
М 18 79 215 375 213 81 19
Поняття полігону частот та гістограми відомі учням з курсу
алгебри 9 класу. Ці поняття фактично повторюють та систе
матизують. Бажано звернути увагу на відмінність та подіб
ність цих двох видів графічного зображення статистичних
даних вибірки (для побудови діаграми значення варіант по
дають не у вигляді окремих чисел, а задають у вигляді про
міжків значення варіант). Під час введення поняття кривої
нормального розподілу слід обов’язково показати учням,
що ця крива утворюється з полігону частот деякої величини
і має певні переваги перед цим полігоном; також слід звер
нути увагу учнів на те, що крива нормального розподілу має

певні властивості. Оскільки за чинною програмою з мате
матики поняття середнього квадратичного відхилення та
пов’язаного з ним правила трьох сигм не вивчають, то по
няття кривої нормального розподілу вивчають на початко
вому рівні (формують первинне уявлення та загальні влас
тивості на рівні уявлень).
1. Полігон частот показує
розподіл оцінок, одержа
них учнями за контроль
ну роботу.
Знайдіть:
1) моду цього розподілу;
2) кількість учнів, які ма
ють оцінки нижчі від 4;
3) кількість учнів, які ма
ють оцінки вищі від 9;
4) кількість учнів, які писали контрольну роботу;
5) середній бал успішності учнів.
2. Гістограма (див. конспект 36, приклад 3) показує розподіл ваги
учнів окремо взятого року.
1) Скільки учнів мають вагу більшу ніж 70 кг?
2) Скільки учнів мають вагу більшу ніж 50, але меншу ніж 65 кг?
3) Скільки учнів мають вагу меншу ніж 50 кг?
4) Скільки учнів було у піддослідній групі цього року?
1. Побудуйте полігон частот для розмірів взуття 60 навмання ви
браних жінок.
Жінки
22,5 24 23,5 23 24,5 23
23,5 24,5 22,5 23,5 25,5 25
25,5 22 24 25 23,5 21
23 24,5 23 24,5 23 24
25 24 21,5 23,5 24,5 22,5
22 23,5 26,5 23,5 25 26
24,5 23 24 24,5 22,5 24
23,5 24 23 25 24 22
25,5 21,5 24,5 26 25,5 23,5
22,5 24 23 22,5 24 25

Переконайтеся в тому, що розподіл частот близький до нор
мального розподілу. Проведіть на основі побудованого полігону
криву нормального розподілу і перелічіть її властивості. Знайдіть
середнє значення вибірки.
2. Побудуйте полігон частот для заданого статистичного розподі
лу вибірки:
Розмір взуття 38 39 40 41 42 43 44
Кількість пар 2 6 18 16 10 5 3
3. У відділі кадрів заводу підготували перелік деяких даних про
працівників експериментального цеху (див. таблицю).
Порядковий номер
працівника
Професія Освіта
1 Механік Середня технічна
2 Слюсар-складальник Середня технічна
3 Інженер-механік Вища
4 Слюсар Середня
5 Слюсар-кресляр Середня
6 Слюсар-складальник Середня технічна
7 Механік Вища
8 Слюсар-кресляр Середня
9 Інженер-механік Вища
10 Слюсар-складальник Середня
Зробіть статистичне зведення даних, побудувавши ряди розпо
ділу: 1) за професією; 2) за освітою. Порівняйте ці ряди та зробіть
висновки.
1. Розв’яжіть рівняння ogl5x-0,251og0;ix /^=2.
2. Знайдіть область визначення функції:
А __ /
1) У= Іп----- - ; 2 ) у = ^ х+2( 9 - х 2).
ос ^
3. Розв’яжіть нерівність (2х + 5) > -2 .
з
Завдання на закріплення понять, вивчених на уроці, перед
бачають формування вмінь «читати» гістограми та полігони
частот, а також формування вмінь будувати гістограми, по
лігони частот за поданими статистичними таблицями роз
поділу. Також наведені вправи передбачають закріплення

матеріалу попередніх двох уроків та підготовку до конт
рольної роботи № 5.
1. Назвіть величини, які вважають нормально розподіленими.
2. Опишіть схематичний вид кривої нормального розподілу. Які
властивості вона має?
Побудуйте полігон частот для розмірів взуття 60 навмання ви
браних чоловіків.
Чоловіки
26 28,5 27,5 29,5 26,5 30,5
27,5 27 29 27 28,5 27,5
28 25 26 28 ЗО 27
26,5 27,5 28 29,5 26,5 29
28 29 27 26,5 28,5 27,5
27,5 28 28 25,8 29 28
26,5 27,5 29,5 27,5 26 ЗО
29,5 25,5 27 28,5 28 27
27 28,5 29 26 26,5 28,5
28 27,5 28,5 27,5 29 27
Переконайтеся в тому, що розподіл частот близький до нор
мального розподілу. Проведіть на основі побудованого полігону
криву нормального розподілу і перелічіть її властивості. Знайдіть
середнє значення вибірки.
1. Скількома способами можна чотири чорні і вісім білих кульок
розташувати в ряд так, щоб жодні дві чорні кульки не опини
лися поряд?
2. Розв’яжіть рівняння С гх_ь=21.
3. У ящику 14 червоних і шість чорних кульок. Яка ймовірність
того, що навмання витягнута кулька буде червоною?
4. Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри
і набрав їх навмання, пам’ятаючи лише те, що ці цифри парні
й різні. Знайдіть імовірність того, що номер телефону набрано
правильно.

Урок № 59. Підсумковий урок із теми «Елементи комбінаторики.., 71
УРОК № 59
ПІДСУМКОВИЙ УРОК ІЗ ТЕМИ
«ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ, ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ»
Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання осно
вних видів сполук та правил і формул комбінаторики, основних
понять теорії ймовірності та елементів математичної статистики,
а також основних способів розв’язання типових задач комбінатори
ки, теорії ймовірності та математичної статистики.
Систематизувати вміння учнів застосовувати набуті знання до
розв’язування задач, передбачених програмою з математики.
Типуроку: узагальнення та систематизація знань, умінь.
Хід уроку
Збираємо зошити учнів із виконаною домашньою роботою;
учням, що потребують додаткової педагогічної уваги, роздаємо під
готовлені розв’язання задач для самостійного опрацювання вдома.
Самостійнаробота
Варіант 7
Знайдіть центральні тенденції, складіть частотну таблицю ви
бірки та побудуйте відповідну гістограму:
1) для вибірки 2, З, 3, 5, 6, 6, 6, 7, 9;
2) для вибірки 1, 5, 7, 3, 7, 1, 7, 8, 3, 2;
3) за даними таблиці (подано відомості про вік 20 дітей, які при
йшли на сеанс до кінотеатру);
12 14 15 12 16
13 14 16 15 14
14 15 15 16 14
12 13 15 16 14
4) для статистичного дослідження успішності складання учнями
9 класів ДПА з алгебри, якщо вони отримали такі бали: 7, 7, 9,
12, 4, 5, 11, 11, 12, 9, 9, 9, 10, 10, 7, 9, 9, 8, 4, 5, 8, 8, 8, 9, 10,
11, 7, 6, 9, 5, 5, 12, 9, 10, 10, 7, 9, 12, 4, 5, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 7,
6,9, 8, 10, 7, 9, 12, 4, 9, 8, 10, 10, 12, 11, 12, 9, 10, 7, 7, 4, 7.

Варіант 2
Знайдіть центральні тенденції, складіть частотну таблицю ви
бірки та побудуйте відповідну гістограму:
1) для вибірки 1, З, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7;
2) для вибірки 11, 15, 17, 16, 16, 13, 15, 14, 13, 15, 12;
3) за даними таблиці (подано відомості про помилки під час тесту
вання 25 дітей);
2 1 2 2 0
3 4 0 1 5
0 1 2 2 4
4 3 0 2 2
3 3 3 1 2
4) для статистичного дослідження успішності складання учнями
9 класів ДПА з алгебри, якщо вони отримали такі бали: 6, 7, 9,
12, 4, 5,12, 9, 9, 8,10,10, 7, 9, 9, 8, 4, 5, 6, 8, 8, 9,10, 5, 7, 6, 9,
5, 5, 7, 9,10,10, 7, 9,12, 4, 5, 8, 7, 8, 9,10,11, 7, 6,10, 7, 9,11,
4, 9, 8,10,10, 12,11,12, 9,10, 7, 7, 4, 3.
Основна дидактична мета уроку та завдання на урок полягають
у повторенні, узагальненні та систематизації знань та вмінь, набу
тих учнями в ході вивчення теми. Таке формулювання мети ство
рює відповідну мотивацію діяльності учнів.
IV. Повторення та систематизація знань
Організуємо роботу з повторення та систематизації знань
учнів як самостійне опрацювання теоретичного матеріалу
за підручником або конспектами № 29-36.
V. Повторення та систематизація вмінь
"^8^ Цей етап уроку проводимо у формі групової роботи, під
час якої учні самостійно формулюють та випробують уза
гальнену схему дій, якої вони мають дотримуватися під час
розв’язування типових завдань, подібні до яких будуть ви
несені на контроль.
Перед виконанням практичного завдання проводимо роботу
з виділення основних видів задач на застосування вивчених по
нять. Такими видами задач можуть бути задачі на:
^ обчислення числа перестановок, розміщень, комбінацій;
^ обчислення ймовірності статистичної та класичної;

Урок № 59. Підсумковий урок із теми «Елементи комбінаторики.., 73
S обробку статистичних рядів даних (ранжирування, подання
у вигляді статистичних частотних таблиць та обчислення чис
лових характеристик; задачі на побудову та читання гістограм,
полігонів частот).
Після повідомлення про основні види завдань створюємо робо
чі групи учнів (за кількістю видів завдань) і формулюємо завдання:
скласти план розв’язування задачі (кожна з груп отримує індиві
дуальне завдання). Кожній із груп відведено певний час, за який
учасники групи мають: обговорити план розв’язування, записа
ти його у вигляді послідовних кроків, реалізувати та підготувати
презентацію своєї роботи. По закінченні відбувається презентація
виконаної роботи кожною з груп, далі — обов’язкове обговорен
ня складених планів: учитель або учні (інших груп) пропонують
змінити яку-небудь із поданих величин і пояснити, як зміниться
розв’язання задачі. Після обговорення — обов’язкова корекція.
Підсумком уроку, по-перше, є складені учнями узагальнені
схеми дій під час розв’язування типових завдань, а по-друге, здій
снення рефлексії — відображення кожним учнем власного сприй
няття успіхів та проблем, над якими слід ще попрацювати перед
контрольною роботою.
Повторити зміст понять теми «Елементи комбінаторики, теорії
ймовірностей і математичної статистики».
Вивчити складені на уроці схеми дій.
Використовуючи складені схеми, розв’язати задачі домашньої
контрольної роботи № 5.
Умова домашньоїконтрольноїроботи № 5
1. Скільки різних двоцифрових чисел із різними цифрами можна
скласти з цифр 1, 2, З?
2. На шкільному концерті виступають ЗО учнів 10 класу та 20
учнів 11 класу. Яка ймовірність того, що з наступним концерт
ним номером виступить учень 10 класу?
3. Протягом шести днів температура повітря о 8-й годині ранку
була такою: 8°С; 10; 6; 8, 7°С. Знайдіть середнє значення ви
бірки, моду і медіану.
Р + Р
4. Обчисліть значення виразів: 1) —------ ; 2) С%; 3) Af5.
■^4
5. Розв’яжіть рівняння: 1) А х =56#; 2) ЗС 2Х+1 - 2 А 2Х =х.

6. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна скласти з цифр 6,
7, 8, 9, 0 (цифри в одному числі не повинні повторюватися)?
7. З літер слова «апельсин» послідовно вибирають чотири літери.
Знайдіть імовірність того, що вибрані літери в порядку їх ви
бору утворять слово «лиса».
8. На математичній олімпіаді учні отримали такі бали:
Номер учасника
за списком
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Кількість балів 1 2 1 3 2 3 3 7 9 10 11 12
Складіть частотну таблицю та побудуйте відповідну гістогра
му. Обчисліть центральні тенденції вибірки.
9. 1) Скількома способами можна вибрати з семи різних книжок
будь-які три? 2) Визначте ймовірність того, що всі три кни
ги будуть однакового розміру, якщо серед поданих семи книг
п’ять мають однаковий розмір.
Відповіді
ЗО З
1. Ад =6. 2. Р = — = —.3 . Х =
^ 6 + 7+ 8-2 + 10
= 7,8; Мо = 8; Ме = 8.
50 5 5
4. 1)35; 2)35; 3)210. 5.1) х = 9;2) х = 5. 6.4-4-3-2-1 = 96.
1 1
7. Р =
1680
8. Бали 1 2 3 7 9 10 11 12
Кількість учнів 2 2 3 1 1 1 1 1
- 2+ 4 + 9 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12 1„ _„ _
Х = -------------------------------------- = 5 -; Мо = 3; Ме = 3.
12 З
Гістограма (див.рисунок).
>
з
і і і і і і і і і і і і
і і і і і і і і і і і і
і і і і і і і і і і
9
1
і
—
0 1 1I I .
9 1
* і з |7! !9! 10' її; ;і2; X
С3 2
9. 1) =35; 2) Р = -*- = ~.
7 С73 7

Урок № 60. Контрольна робота № 5 75
УРОК № 60
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 5
Мета: перевірити рівень засвоєння учнями знань змісту осно
вних понять теми «Елементи теорії ймовірностей та математичної
статистики», якість сформованих умінь застосовувати зміст осно
вних понять та формул комбінаторики, теорії ймовірностей та ма
тематичної статистики під час розв’язування задач, передбачених
програмою з математики.
Типуроку: контроль рівня засвоєння знань і вмінь.
Хід уроку
Збираємо зошити із виконаною домашньою контрольною робо
тою № 5.
Наголошуємо, що метою контрольної роботи є виявлення на
вчальних досягнень учнів у розв’язуванні програмових задач теми
«Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики».
IV.Умова контрольної роботи № 5
1. Для вибірки, заданої рядом: 4,
5, 3, 2, 1, 2, 0, 7, 2, 7, 8, — знайдіть
моду, медіану та середнє значення
1. Для вибірки, заданої рядом: З,
8, 1, 3, 0, 5, З, 1, 3, 5, 9, — знайдіть
моду, медіану та середнє значення
2. У гральній колоді 36 карт. Яка
ймовірність того, що взята навман
ня карта є пікової масті?
2. У гральній колоді 36 карт. Яка
ймовірність того, що взята навман
ня карта є дамою?
3. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 складено всі
можливі п’ятицифрові числа без
повторення цифр. Скільки серед
цих чисел парних?
3. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 складено всі
можливі п’ятицифрові числа без
повторення цифр. Скільки серед
цих чисел непарних?
А2 +Г310^°10
Л2+С83
5. Вибірку задано статистичним
рядом:
5. Вибірку задано статистичним
рядом:
X 2 4 5 6
п 8 9 10 3
X 1 2 3 4
п 20 15 10 5
Знайдіть середнє значення сукуп
ності значень та побудуйте полігон
частот
Знайдіть середнє значення сукуп
ності значень та побудуйте полігон
частот

6. В урні міститься 12 кульок: чо
тири білі і вісім чорних. Навмання
виймають три кульки. Яка ймовір
ність, що серед вийнятих кульок
усі три — чорні?
6. В урні міститься 12 кульок: чо
тири білі і вісім чорних. Навмання
виймають три кульки. Яка ймовір
ність, що серед вийнятих кульок
усі три — білі?
7. Розв’яжіть рівняння 1 1 = 5 С3 7. Розв’яжіть рівняння
і5 с :;16= 7А«_1
8. 3 28 кісток доміно навмання вий
мають одну. Яка ймовірність того,
що: 1) сума цифр на ній менша ніж
3; 2) обидві цифри на ній парні?
8. 3 28 кісток доміно навмання вий
мають одну. Яка ймовірність того,
що: 1) сума цифр на ній більша ніж
9; 2) обидві цифри на ній непарні?
Розв'язання і відповіді
Варіант 1 Варіант 2 Варіант 1 Варіант 2
1. Мо = 2;
Ме = 3; Х = 3—
11
1. Мо = 3;
Ме = 3; Х = 3—
11
5. Х = 4 5. Х = 2
2. Р = -
4
2. Р = -
9
С3 14
6. Р= 1 =
С?2 55
С3 1
6. Р= і =
С312 55
3.48 3. 72 7. Розв’язків
немає
7. 12
4.210 4. 112
8. 1 )Р = І ;
2) Р = -
4
8. 1 ) р Л ;
2) Р = —
14
V. Підсумки уроку
Як варіант проведення цього етапу уроку можна запропонува
ти (після виконання роботи) оголошення правильних відповідей до
завдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання
вдома (домашній аналіз контрольної роботи) правильні розв’язки
завдань контрольної роботи № 5 (заготовлені вчителем заздалегідь)
у формі роздавального матеріалу.
VI. Домашнє завдання
1. Виконати аналіз контрольної роботи № 5 (за розданими
розв’язаннями).
2. Повторити: зміст понять: похідна функції в точці; форму
ли і правила диференціювання; геометричний та механічний
зміст похідної.

ТЕМА 4. ІНТЕГРАЛ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
УРОК №61
ПОНЯТТЯ ПЕРВІСНОЇ. ОСНОВНА ВЛАСТИВІСТЬ ПЕРВІСНИХ.
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Мета: працювати над:
•S формуванням в учнів уявлення про існування операції, оберне
ної до знаходження похідної функції в точці;
S засвоєнням учнями змісту понять: первісна для функції, основ
на властивість первісної, невизначений інтеграл;
S засвоєнням відповідної символіки.
Розпочати роботу із закріплення зазначених понять та форму
вання вмінь:
•S розв’язувати задачі на доведення того, що деяка функція є пер
вісною для поданої;
S знаходити загальний вигляд первісної для функції.
Повторити та систематизувати знання і вміння знаходити похід
ні функцій із використанням формул та правил диференціювання.
Наочність та обладнання: конспект «Поняття первісної. Основ
на властивість первісних. Невизначений інтеграл».
Хід уроку
Оголошення результатів виконання контрольної роботи.
Збираємо зошити з виконаними корекційними завданнями для
перевірки та оцінювання.
Пропонуємо учням завдання, виконання яких передбачає
«відкриття» учнями того факту, що існує необхідність уве
дення операції, оберненої до диференціювання.
Завдання. 1. Матеріальна точка рухається прямолінійно за зако
ном x = x{t). Як знайти швидкість матеріальної точки в момент
часу t0? Як знайти прискорення точки в момент часу t0? (Виконання

78 Тема 4. Інтеграл і його застосування
завдання передбачає відтворення учнями механічного змісту по
хідної функції в точці.)
2. Матеріальна точка рухається прямолінійно, причому задано
закон v = v(t) для визначення миттєвої швидкості точки. Як
знайти координату точки в момент часу t0?
Після виконання та обговорення завдань формулюємо завдан
ня на урок: ввести поняття, за допомогою яких можна розв’язувати
задачі на знаходження функції за її похідною.
1) f(x) = —х3- х 2+ х - 1 ; 2) f{x) = —— —; 3) f(x) = yj2x + S.
З 2х +1
2. f(x) = x 2- З х + 2. Знайдіть: /(2); / ( - 1); f(a); /(2а); /(х + і);
f{a)-f(b).
3. Заповніть порожні місця в таблиці:
f(x) 2-Зх Зх2- 2 х 2 4 x-sin x 1
совл:+—г-
X
х2-tgx х - 1
х + 2
Ґ(х)
4. Матеріальна точка рухається за законом л;(£) = £3+1 ( х — у ме
трах, £ — у секундах). Визначте швидкість точки в момент £0,
якщо л:(£0) = 9.
V. Засвоєння знань
1. Задачі, що приводять до поняття первісної для функції.
2. Означення первісної для функції. Позначення первісної.
3. Основна властивість первісної.
4. Означення невизначеного інтеграла.
5. Історична довідка.
6. Приклади задач на застосування означення первісної.
Конспект 37
Поняття первісної. Основна властивість первісних. Невизначений інтеграл
Первісна
Функцію називають первіс
ною для функції f(x) на деякому
Для функції f(x) = х3 на інтервалі
(-оо;+оо) первісною є функція

Урок №61. Поняття первісної. Основна властивість первісних... 79
проміжку, якщо для будь-якого X
із цього проміжку F'(x) = f[x) F (х)= , оскіль»
( 4V
тV * У
:и
= —•4л:3= Xs
4
Основна властивість первісної
Властивість Геометричний зміст
Якщо функція Р{х) є первісною
для функції /( х) на поданому
проміжку, а С — довільна стала,
то функція ^(л^+ С також є первіс
ною для функції /(лет), при цьому
будь-яка первісна для функції f(x)
на поданому проміжку може бути
записана у вигляді Р[х) +С, де
С — довільна стала.
х4
Приклад. Оскільки функція Р(х) = —
4
є первісною для функції /(#) = X3
на інтервалі (-оо;+о°), то первісні
для функції /(л:) = я:3 мають
х 4
загальний вигляд: — +С, де
4
С — довільна стала
Графіки первісни
функції одержую'
паралельним пере
осі Оу.
ІП 2/>
х для поданої
гь один з одного
(несенням уздовж
1 1 МІ 1
'їй1 1
1 / /Iі 1
1 / /-Iі 1
1 / і / 1 1
1У1-//.1 1
1/ 1Ґ1 1
4 / / /
_/ /і/ і_1
JГ і і
^ І_//_І__І
і/ / 1 і і
і_//_
/ / і і і
/ 1 1
1--------1
11
1---1
11
Г-Гг
L_'JrL
і і і і
і і і і
Невизначений інтеграл
Сукупність усіх первісних для
функції f[x) називають невизна-
ченим інтегралом і позначають
символом ^ { х ) і х - Р { х ) + С, де
ґ{х) — одна з первісних для
функції f(x), а С — довільна стала
Г з
J х сіх = — + С, оскільки для
функції f(x) = x3 на інтервалі
(-о о;+ оо) усі первісні можна записа-
х 4
ти у вигляді:------ 1- С
4

Приклад.Доведіть, що функція Р(х) = 2у[х є первісною для функ
ції f(x) = ~^= на проміжку (0;-н>°).
у/х
а
Розв'язання
F ’(x) = (2 4 x i =2 ~ =
w v ’ 2-Jx -Jx
це означає, що є первісною для функції /(де) = -^=.
у}Х
Під час вивчення поняття первісної та її властивостей, пра
вил та формул інтегрування широко використовують по
няття похідної. На початку формування уявлення учнів
про зміст задачі на знаходження первісної для функції цю
задачу розглядають як обернену до задачі на знаходження
похідної. Так само означення первісної для функції на про
міжку формулюють через означення похідної. Тому перед
формуванням нових знань повторюємо основні поняття
теми «Похідна та її застосування».
Вивчення нового матеріалу проводимо за опорним конспек
том близько до тексту підручника. При цьому звертаємо
увагу на такі моменти:
поняття первісної для функції пов’язане з певним проміж
ком, тому під час доведення того, що одна з двох функцій
є первісною для другої, слід перевірити, чи визначені на за
даному проміжку обидві функції, а потім порівнювати по
хідну первісної із заданою функцією;
S для будь-якої функції існування однієї первісної на подано
му проміжку означає існування нескінченної кількості пер
вісних виду .Р(л;)+ С, де С = const (сімейства первісних);
S запис F{x) + C рівносильний запису ^f{x)dx, якщо 2?,(л:)+ С
розглядати як сукупність усіх первісних для функції f(x).
Чинною програмою не передбачено введення поняття неви-
значеного інтеграла, проте якщо рівень математичної під
готовки учнів дозволяє, то доцільно розглянути поняття
невизначеного інтеграла, оскільки воно доповнює поняття
первісної для функції. Такий підхід сприяє створенню ці
лісного уявлення учнів про матеріал, що вивчається, і від
повідає принципу науковості навчання.
Залежно від підготовленості учнів та наявності часу можна
додатково розглянути історичну довідку.

Урок №61. Поняття первісної. Основна властивість первісних... 81
Історична довідка
Термін «інтеграл» (від латинського integer — цілий, відновле
ний) увів 1690 року швейцарський математик Я. Бернуллі (1654-
1705). Інтеграл — одне з найважливіших математичних понять.
Символ J позначає операцію, обернену до диференціювання, яка
полягає в тому, щоб за поданою похідною F'{x) = f{oc) знайти (від
новити) функцію -^(#). Цю операцію називають інтегруванням (від
латинського integration — відновлення), а її результат — первіс
ною для функції.
Знак J є видозміненою латинською буквою S , першою буквою
слова Summa — сума. Таке позначення пояснюють тим, що інте
грал має ще одне означення — це границя інтегральної суми (про
це детальніше йтиметься під час вивчення теми «Визначений інте
грал та його властивості»).
1. Для якої з функцій f19 /2, /3, /4 функція ir(jc) = cos3j£:-cos7i
є первісною на проміжку (—ooj+oo), якщо
f1(x) = sinSx, /2(a;) = -sin3:x:-sin7i;, f3(x) = 3sin3x, fA(x) = -3sm3x?
2. Які із заданих функцій F19 F2, F3, F4, F5, F6 є первісними для
x4
функції f(x) = х3на □ , якщо Ft(jc) = х4, F2(x) = — , F3(х) = Зх2,
V4
F 4 ( x ) = — + 2; F5(x) = 3x2-7 , F6(x) = x 4+5?
1. Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції f{x),
якщо:
1) F[x) = x b, f(x) = 5х4, х є (-°°;+°°); 2) F(x) = x ~3, f(x) = -Зх~4,
дс:є(0;+оо); 3) F(x) = ^jx4, f(x) = x6, л:є(-°о;+оо).
2. Доведіть, що при всіх хєП функція F(x) є первісною для
функції f(x), якщо:
1) 2J,(^:) = sin2^:, /(^:) = sin2x; 2) F(x) = ^cos2x, f(x) = -sin2x.

3. Перевірте, що функція -F(я) є первісною для функції /(я).
Знайдіть загальний вигляд первісних для f , якщо:
1) l^je^sinar-arcos:*;, f(x) = xsin#;
2) F(x) = ylx2+1, f(x) = —j=X
уїх2+1
X2 I-
1. Знайдіть похідну функції: 1) f(x) = ------ ; 2) f(x) = yjx -cos2Зле.
x —1
X* г~
2. Чому дорівнює значення похідної функції у = ----1-х —л/2 у точ-
4
ці х0=3?
3. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій
y = yj2 - х і у = х .
Розв’язування запропонованих вправ передбачає передусім
свідоме відтворення означення поняття первісної для функ
ції на поданому проміжку, а також схеми дій для перевір
ки того, чи є подана функція первісною для деякої функції
на проміжку. Тому розв’язування вправ на засвоєння но
вих понять організовуємо так, щоб таке відтворення від
бувалося неодноразово та було основою дій учнів. Під час
розв’язування вправи № 3 із метою засвоєння нової терміно
логії можна запропонувати учням після запису загального
вигляду первісних зробити відповідні записи із використан
ням поняття невизначеного інтеграла.
Метою виконання додаткових вправ на повторення є відтво
рення вивчених раніше формул та правил диференціювання
(особливу увагу звертаємо на правило знаходження похід
ної складеної функції); ці правила та формули допоможуть
учням на подальших уроках, коли мова піде про правила та
формули інтегрування.
1. Поясніть, у якому випадку функцію F [x ) називають первісною
для функції f[x) на заданому проміжку. Наведіть приклади.
2. Сформулюйте основну властивість первісних і проілюструйте
її на прикладах.
3. Сформулюйте означення невизначеного інтеграла. Наведіть
приклади.

Урок № 62. Поняття первісної. Основна властивість первісних... 83
1. Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції /(я), якщо
F(x) = f(x) = x ~7, jce(0;+o°).
2. Доведіть, що функція F ( x ) є первісною для функції f(x),
якщо:
1 ) 2г (л£:) = 8 Іп З л :, / ( j c ) = 3 c o s 3 j c , х є П ;
ОС 1
2) F(a;) = 3 + tg—, f(x) = -----------, д;є(-7і;7і).
2 2cos2-
2
3. Перевірте, що функція F [ x ) є первісною для функції f(x).
Знайдіть загальний вигляд первісних для / , якщо:
1 1“І-
1) (лет)= cosлг+ лгsinл:, f(x) = arcosa;; 2) F(x) = x , f{x) = — — .
x x
ОС
1. Знайдіть похідну функції: 1) f(x) = sin2a:; 2) /(a:) = 0,5cos—.
2
2. Знайдіть найменше значення функції f(x) = —х3- 2 х 2+ З х - 5
З
на проміжку [2;4].
УРОК № 62
ПОНЯТТЯ ПЕРВІСНОЇ. ОСНОВНА ВЛАСТИВІСТЬ ПЕРВІСНИХ.
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Мета: працювати над закріпленням учнями понять: первісна
функції на заданому проміжку, основна властивість первісної, не-
визначений інтеграл.
Продовжити формування вмінь учнів розв’язувати завдання на
доведення того, що деяка функція є первісною для поданої, а також
знаходити загальний вигляд первісної для функції.
Повторити та систематизувати знання та вміння учнів знахо
дити похідні функцій із використанням формул та правил дифе
ренціювання.
Типуроку: закріплення знань, формування навичок.
Наочність та обладнання: конспект 37.

Хід уроку
Засвоєння матеріалу, що було вивчено на попередньому уроці,
перевіряємо за допомогою гри «Вірю — не вірю».
1. Чи правильно, що якщо функція F(x) є первісною для функції
f(x), то і функції F(jc) + 1 і -F(jc)+ 100 є первісними для функції
/(*)?
2. Чи правильно, що функція .^(лс) є первісною для функції f(x),
якщо:
1) F(x) = x 5, /(х ) = ^д;6; 2) F(x) = 4 x - x z, /( х) = 4 - 3 х 2;
3) іг(л:) = 8Іпл:, f(x) = -cosa;; 4) F[x) = Ібсовлс; /(:x;) = -15sin:x;;
5) F(x)= ^_ + 5; f(x) = yfx; 6) F(x) = — —+ x, f(x) = tgx + l ?
2yjx cos x
Якщо під час виконання домашнього завдання учні припусти
лися типових помилок, то мета уроку — закріпити вивчені на по
передньому уроці поняття та відпрацювати навички їх застосуван
ня під час розв’язування задач — є очевидною. В іншому випадку
проводимо бесіду про необхідність удосконалити знання та вміння,
набуті на попередньому уроці.
Поясніть як перевірити, що функція F(x) є первісною для
функції f[x) на вказаному проміжку:
1) F(x) = x z - 2 х + Ь, f(x) = Зле2- 2 , лгє(-оо;+оо);
2) F(x) = x 4:- З х 2 +9, f(x) = 4:x3-6х, л:є(-°о;+оо);
3) -F(je) = 2sin2jlC+ 2, f(x) = 4C0S2#, ЛСє(-°о;+оо);
4) (лс:)= сов(2л: —4) +10, f(x) = -2sin(2jc-4), x є (-<*>;+°°).

Урок № 62. Поняття первісної. Основна властивість первісних... 85
V. Закріплення знань і вмінь
1. Серед наведених функцій
F1(x) = - 5л;4, F2[x ) = -12л;3, F3(x ) = - ^ x 5, F±(x ) = - 4л;3
виберітьпервіснудля функції f{x) = -З#4.
2. Визначте, для якої із функцій £(л;)= со8л;+л;, /2(л;)=-зіпл;,
f3(x) = віпл;+л; функція F(a:) = cosa:+l єпервісною.
3. З’ясуйте, чи є функція -^(л;) первісною для функції /(л;),
якщо:
1) іг(л;)= 3-8Іпл;, /(лг)= совл;, л;е (-°°;+°°);
2) F(x) = х~2+2, f(x) = - ^ j , х є ( 0;+оо);
х X х
3) F(x) = 2x + cos—, /(л;)= 2-—sin—, хєП ;
4) F(x) = І4 -х 2 , f(x) = — . * , л;є(-2;2);
л/4-л;2
5) і^(л;)= 4л;л/ї, f(x) = 6y/x, л;е(0;+°<>).
4. Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції f(x) на
вказаному проміжку:
1) F(x) = х3-2 х +1, f(x) = 3x2-2, лге(-о°;+оо);
2) і^(л;)= 28іп2л;-2, /(л;)= 4сов2л;, л;е (-<*>;+°о);
3) F(x) = x4-З х 2+ 7, f(x) = 4х3-6 х , Л:е (-°о;+оо);
4) F(a;) = cos(2a;-4)+ l, f(x) = -2sin(2*;-4), л;е (-°о;+оо);
5) f W = 4 - + i- Ф ) = - 4 - > * е (-~ ;0 ).
5. (Додаткове завдання). Перевірте, чи правильні рівності:
1) J(2x-2cos2x)dx=x2-sin2x + C;
х ^ _
1. Знайдіть похідну функції f(x) = -----------.
4 л:+4

2. Знайдіть проміжки зростання функції f(x) =
4х -5
х + 2
Розв’язування як усних, так і письмових вправ передбачає
закріплення понять та схем дій, вивчених на попередньому
уроці. Тому умови їх виконання можуть бути такими сами
ми, як і на попередньому уроці.
Встановіть відповідність між функцією f(x) і первісною для
неї .Р(л;).
1 f(x) = 20+б*3 А F(x) = 5х4+ Зх2
2 /(л:)=20л:+6л:2 Б F(x) = 20x + l,5x4
3 /(#)=20л;3+6л: В F(x) = 4х5+6х
4 /(л:)=20л:4+6 Г F(x) = 10x2+2х3
Д і
F(x) = 40x2+6
Відповідь. 1 — Б; 2 — Г; 3 — А; 4 — В.
VII.Домашнє завдання
Повторити теоретичний матеріал (див. конспект 37).
1. З’ясуйте, чи є функція F (x ) первісною для функції f(x),
якщо:
1) F(x) = 5 - x 4, f(x) = -4 x 3, х є(-°°;+°°);
2) -F(a;) = cos:x;-4, /(jc) = -sinji:, х е(-°°;+<*>);
3) F(x) = ± , f{x) = 1 4 --L *є(0;4~ ).
тЛ/ «/V
2. Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції f(x ) на
вказаному проміжку, якщо:
1) F(x) = -^- + 1, f(x) = --^ -, хє(-°о;0);
х х
2) F(x) = 4^x , f(x ) = ----- я є(-°°;0);
2yJ-x
3) F(x) = yfôc+ л /? - 2 , f(x) = , л:є(0;+оо);
2yjx 2

Урок № 63. Правила знаходження первісних. Таблиця первісних 87
4) ,Р(лг) = лг|л:|, f(x) = 2x, хє(-°о;+оо).
1. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = х3- 5 х
у точці з абсцисою х0 = 2.
2. Обчисліть значення похідної функції f(x) = (Jx + і) у точці
з абсцисою х0 = 1.
УРОК № 63
ПРАВИЛА ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРВІСНИХ. ТАБЛИЦЯ ПЕРВІСНИХ
Мета: працювати над засвоєнням учнями:
S основних правил знаходження первісних;
S основних формул для знаходження первісних (таблиця первіс
них);
S технології комплексного застосування правил та формул зна
ходження первісних.
S відтворювати вивчені формули та правила у словесному та сим
волічному вигляді,
S застосовувати правила та формули для знаходження первісних
до розв’язування задач на знаходження загального виду пер
вісних функцій на заданому проміжку.
Наочність та обладнання: конспект «Правила знаходження пер
вісних. Таблиця первісних».
Хід уроку
Оскільки вправи домашнього завдання аналогічні вправам,
які були розв’язані на попередньому уроці, то правильність їх ви
конання перевіряємо за зразком (зразок розв’язання заздалегідь
виконано окремими учнями або вчителем).
Пропонуємо учням завдання.

Завдання
х 5
1. Перевірте, чи є функція F (x ) = 2 х ------ 1-2 первісною для функ-
ЦІЇ f(x) = 2 - Х 4 на проміжку (-оо;+оо).
(Очікувана відповідь. Так, оскільки на проміжку (-оо;+оо) ви
конується рівність F'{x) = /(я).)
2. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції f(x) = 2 - х 4.
(Очікувана відповідь. Оскільки в попередньому завданні було
х5
доведено, що функція F[x) = 2 x ------+ 2 є первісною для функції
5
f(x) = 2 - х 4 на проміжку то загальний вигляд первісних
х 5
для функції f(x) = 2 - х 4 це F ( x )+ C = 2 x ------+ С.)
5
3. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції
f(x) = 2х - Зх4.
(Очікувана відповідь. Розв’язати завдання на цьому етапі ви
вчення поняття первісної неможливо, оскільки учні не володіють
знаннями та вміннями знаходження первісних; вони можуть тіль
ки перевірити, чи є одна з поданих функцій первісною для іншої на
проміжку.)
Формулюємо проблему: бракує знань щодо способів знахо
дження первісних для поданих функцій на вказаному проміжку.
Розв’язання цієї проблеми — основна мета уроку.
1. Визначте, чи є функція F(x) первісною для функції f(x) на
1) F(x) = — , =х є(-3 ;3 );
X X
2) F[x) = 3x2+cos;r + 3, /(x ) = 6 x -sin x , л:є(-°о;+оо);
3) F (x)= -~ 4 < f(x) = ’А» И/
4) F[x) = 3x2-1 , f(x) = x3- х , х є (—°°;+°°).
2. Обчисліть похідну функції f[x) у точці л;0,якщо:
1) f(x) = З х - 4 х 3, х0 = 1;5; х; х + 2;

2) f(x) = (x + l)^[x, лс0= 2;4; х ; х - 2 ;
Я—2х
3) /(* ) = ---- —, х0 = -4 ; 8; х; * 2-5 .
х + о
3. Обчисліть похідну функції / (я), якщо:
1) /( л;) = (4 -З л:)10(); 2) / ( л:) = 8Іп2л; - со83:х:; 3) /(я ) = 3сов2л;.
1. Уявлення про поняття: правила знаходження первісних; фор
мули для знаходження первісних.
2. Правила знаходження первісних:
^ первісна для суми функцій;
^ первісна для добутку функції на сталий множник;
^ первісна для функції f{kx + b), де к і Ь — сталі, причому кф 0,
а /(# ) має первісну -^(л:).
3. Формули для обчислення первісних (таблиця інтегралів).
4. Застосування правил та формул для обчислення первісних до
знаходження первісних для поданої функції.
Конспект 38
Правила знаходження первісних. Таблиця первісних
Правила знаходження первісних
1. Якщо Р — первісна для /,
а б — первісна для £ , то Р +Є —
первісна для f +g.
Первісна для суми функцій дорів
нює сумі первісних для доданків
1. |(/(л:)+^(л:))<іл:=|/(л:)с?л:+|^(л:)с?л:
Інтеграл від суми дорівнює сумі
інтегралів від доданків
2. Якщо Р — первісна для f
і с — стала, то сР — первісна
для функції cf
2. ^с^ {х)(іх = с ^ { х)сіх, де с —
стала.
Сталий множник можна виносити
за знак інтеграла
3. Якщо Р — первісна для /, а /г
і Ь — сталі (причому кФ0), то
—Р (кх +Ь) — первісна для функції
к
f{kx + b)
3. ^ (к х +Ь)<Іх= —Р{кх+Ь)+С
&

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)
Функція /(#) Загальний вигляд первіс Запис за допомогою неви-
них F[x)+C, де C — стала значеного інтеграла
0 C f o d x = C
1 х + С jdx = x+C
ха (а * -1 )
y.a+1
+c
a +1
jx °
ха+1
dx = ------+С ( a ^ - l )
а + 1
1
X
ln|#|+ C
f ^ = lnH + C
J #
sin# -cos# + C
І sinxdx = - cosx + С
cos# sin# +C |cosxdx = sin# +С
1
cos2#
tgx + C f dx ^= tgx + C
Jcos #
1
sin2#
-c t gx +C
*
. - ctg x +C
sin X
ex ex+ c je xdx = ex+C
ax
a +C
lnа
faxdx = —— hС
Ina
Приклад. Обчисліть: 1) одну з первісних для функції /(# ) = х4 на
□ ; 2) усі первісні для функції f(x) = х4; 3) ^х4йх.
1) Однією з первісних для функції f{x) = x4 на множині □ єфунк-
( „бVх5
ція F(x) = — , оскільки
х
= —•5х4 = х4.
5
2) За основною властивістю первісних усі первісні для функції
х 5
f(x) = x 4 можна записати у вигляді-----І-С, де С — довільна
5
стала.
г хь
3) х4(1х = -----і-С,деС — довільна стала.
•' 5
Вивчення теоретичної частини нового матеріалу проводимо
за опорним конспектом або текстом підручника. При цьо
му наголошуємо на тому, що правила інтегрування певним

чином відповідають правилам диференціювання, проте не
можна їх ототожнювати (не існує правила інтегрування до
бутку та частки функцій у тому вигляді, як для похідних).
1-3. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції (пер
вісна знаходиться на проміжку, що входить до області визначення
функції.)
3) f(x) = sin(l,5x + l) + [х; 4) f(x) = e2x.
4. Для функції f{x) знайдіть первісну F(x), що набуває заданого
)ВИ Х
вправ передбачає передусім свідоме відтворення зауваження:
1. 1) у = 2 ; 2) у = -5х + 3; 3) у - 2(4х + 1); 4) у = 3х.
2. 1) у = х2; 2) у = 3х2+2х; 3) у = х - З х 3;
1. 1) f(x) = 2 - х 4; 2) f(x) = 4x;3) f(x) = x6; 4) f(x) = 1 - —^.
x
2. 1) f(x) = 2 - x 3+ ; 2) f(x) = -^j- sina:; 3) f(x) = (2x - 8)5;
00 ОС
значення у вказаній точці:

під час знаходження первісної для функції (як і похід
ної функції) спочатку використовують правило (якщо це
можливо), а потім відповідні формули. Тому всі вправи на
знаходження загального виду первісної для поданої функ
ції на вказаному проміжку розв’язуємо з коментуванням.
Звертаємо увагу учнів на письмову вправу № 3, яка є підго
товчою до сприйняття схеми розв’язування вправ на скла
дання рівняння первісної, що проходить через задану точку
(такі вправи будуть розв’язані на подальших уроках).
Щоб попередити традиційні помилки учнів, яких вони при
пускаються на перших уроках вивчення правил та формул для
знаходження первісних (учні часто плутають формули інтегру
вання та диференціювання), пропонуємо після знаходження
загального вигляду первісної виконувати перевірку правиль
ності виконання дій із застосуванням означення первісної.
Продовжуючи роботу із закріплення нової символіки, про
понуємо учням виконувати записи знайдених первісних як
із використанням символу -^(#)> так і з використанням сим
волу ^f(x)dx.
1. Сформулюйте правила знаходження первісних. Поясніть їх на
прикладах.
2. Який вигляд мають первісні для функцій:
с; ха(а Ф—і); sin#; cos#; — —?
cos х sin х
3. Опишіть схему знаходження первісної для функції у = / ( х ).
1-2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції.
1. 1) f(x) = х + cos#; 2) f(x) = -8 ; 3) f(x) = -^ --2; 4) f(x) = x3.
x
2
2. 1) f(x) = x — - + cos#; 2) /(#) = 5x2-1 ; 3) /(#) = 3sin2#;
x

іX
6) Г^ = - Ь ^ г т у 7> ^ ) = 5‘ - г -
3. Для функції f{x) знайдіть первісну F(x), щ о набуває заданого
1) /(* ) = — 2) /(a:) = sin;r, F(-jc) = -1 .
cos л: 4:J
х2 4
1. Знайдіть критичні точки функції f{x) = -----1-—- . Які з них є точ-
9 х
ками максимуму, а які — мінімуму?
2. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму
функції f(x) = .
v х -1
УРОК № 64
ПРАВИЛА ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРВІСНИХ. ТАБЛИЦЯ ПЕРВІСНИХ
Мета: працювати над закріпленням:
^ основних правил та формул для знаходження первісних;
^ прийомів їх сумісного застосування для розв’язування вправ
на знаходження загального вигляду первісних (невизначених
інтегралів) для поданих функцій.
Розпочати роботу з формування вмінь знаходити за загальним
виглядом первісних для функції первісну, графік якої проходить
через задану точку.
Наочність та обладнання: конспект «Алгоритм знаходження
первісної для функції, якщо графік первісної проходить через за
дану точку».
Хід уроку
Рівень засвоєння учнями матеріалу, вивченого на попередньо
му уроці, перевіряємо шляхом проведення самостійної роботи з по
дальшою перевіркою та обговоренням.

Варіант 1
1. Знайдіть первісну для функції:
1) f(x) = 4х3- 6х; 2) /(я ) = 0,5sinя:- 5 cosде.
2. Для функції f(x) = Зх2+1 знайдіть первісну F(x), якщо відо
мо, що -F(l) = 3.
Варіант 2
1. Знайдіть первісну для функції:
1) f(x) = 5х2+2х; 2) f(x) = -2 cosде+ 6sin я.
2. Для функції f(x) = 2 x - 3 знайдіть первісну F(x),якщо відомо,
що F(0) = 2.
Проводимо бесіду, в ході якої обговорюємо питання про
основну властивість первісної для поданої функції, а також
можливість знаходження серед усіх первісних для поданої
функції тієї, яка задовольняє певні умови.
Таким чином формулюємо завдання: використовуючи фор
мули та правила знаходження первісних, вивчені на попе
редньому уроці, навчитися знаходити серед усіх первісних
для поданої функції єдину, що задовольняє певні умови;
продовжити роботу з формування сталих умінь знаходити
загальний вигляд первісної для функції.
1. Знайдіть значення функції f(x) = x + — у точках -1, —, 10.
х 2
( яЛf кЛ
2. /(jc) = 3cos х — .Знайдіть: f — , /(0), /(я).
V V
3. При якому значенні х графік функції f(x) = x 2+ 4 проходить
через точку, ордината якої дорівнює 13?
4. Знайдіть значення параметра а, при якому графік функції
/ ( х) проходить через точку М ,якщ о:
1) у = х2+ х + а, М(0;0); 2) у = ^ х 2+2х + а, М (і;3);
3) у = х3- х 2+ а ,м (і;а 2).

1. Знаходження первісної для функції, якщо графік первісної
проходить через подану точку.
координати поданої точки.
4. Розв’язати одержане рівняння відносно сталої С.
5. Записати рівняння первісної, графік якої проходить через подану
точку.
Новим для учнів на цьому уроці є план розв’язування задач
на знаходження первісної функції, графік якої проходить
через точку із заданими координатами. Тож роботу на цьо
му етапі розпочинаємо з вивчення питання про складання
загального плану розв’язування задач подібного виду, а та
кож обґрунтування дій під час його використання. Спочат
ку колективно розв’язуємо задачу (див. приклад), а потім
пропонуємо учням самостійно скласти на чернетці план
розв’язування цієї задачі. Після виконання завдання учні
Конспект 39
Алгоритм знаходження первісної F(x) для функції f{x), якщо графік
функції F(x) проходить через подану точку
1. Знайти область визначення функції /(# ).
2. Знайти загальний вигляд первісних для функції /(я;).
3. Підставити у формулу для загального вигляду первісних і'’(я)
Приклад. Для функції f(x) = у[х знайдіть первісну, графік якої проходить
через точку М(9;10).
і
Розв'язання. -£>(/)= [0;+°°). Запишемо функцію f{x) у вигляді f(x) = x 2.
Знайдемо загальний вигляд усіх первісних для функції f(x):
, ч х 2 _ 2 § _ 2 /“ т 2 /—
F(x) = - ------vС= —х г + С= —^х +C = —xyJx+C.
w 1 , , З З З
2*
За умовою графік первісної проходить через точку М(9;10), отже, при

презентують свої плани, які коригують (за необхідності) та
заносять у конспекти.
Для функції f(x) знайдіть первісну, графік якої проходить че-
(к Л
рез точку М ,якщ о: 1) f(x) = x 2, М ( - 1;2); 2) /(a;) = sina;, М —;-1 ;
3) f(x) = cosx, М(7і;і); 4) f(x) = - x + 1, М (-2;-3); 5) f(x) = l - 4 x ,
М(-1;9);6) f ( x ) = - ^ = , м(^І2;2).
ух —1
1-3. Для функції f(x) знайдіть первісну, графік якої прохо
дить через точку М.
1. 1) f(x) = 2х + 1, М(0;0); 2) f(x) = x + 2, М (і;3).
2. 1) f(x) = 2cosx, М |-^;і];2) f(x) = -r4~r>
2 J sin 4x 24 J
3. 1) f(x) = 4x + , M ( - 1;4); 2) /(x ) = l- 2 x , M(3;2).
л:
З
4. Для функції /(л:) = — ?= —2х знайдіть первісну, графік якої
2yjx
проходить через точку ІУ(9;-8).
1 ОС
5. Для функції f(x) = —sin—+ 4cos4ar знайдіть первісну, графік
3 З
якої проходить через точку А (я;3).
6. Для функції f{x) знайдіть первісну -F(jc) таку, що задовольняє
умову F(a) = b. Побудуйте графік цієї первісної.
(пЛ ( кЛ
1) f(x) = sinх, F — =2; 2) f(x) = cosx, F -
6
= 1.
1. Запишіть рівняння дотичної до графікафункції f{x) = x2- З x + 2,
яка паралельна прямій х - у = 5.
2. Число 60 подайте у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб
сума їх квадратів була найменшою.

Під час розв’язування вправ основної частини передбачити
проведення роботи із закріплення формул та правил знахо
дження первісних, вивчених на попередньому уроці, а та
кож плану розв’язування задач на знаходження серед усіх
первісних для поданої функції рівняння такої первісної, гра
фік якої проходить через точку із вказаними координатами.
Вправи на повторення передбачають роботу з розв’язування
вправ на складання рівняння дотичної до графіка функції
звикористанням геометричного змісту похідної, а також
відтворення схеми дій під час розв’язування задач на най
більше та найменше значення функції на проміжку із вико
ристанням поняття похідної.
прикладах.
2. Який вигляд мають первісні для функцій: с; #“ (а Ф-і); sin#;
1 1 о
cos#; ---- — ; . 2 ?
cos # sin #
3. Опишіть схему знаходження первісної для функції у = /(# ).
4. Опишіть схему знаходження рівняння первісної поданої функ
ції, якщо відомо, що графік цієї первісної проходить через точ
ку з координатами (#0;г/0).
1-3. Для функції /(# ) знайдіть первісну, графік якої прохо
дить через точку М .
1. 1) /(#) = 3#2-2#, М(1;4); 2) /(#) = -# 2+3#, М(2;-і).
2. 1) / ( , ) = ■ * ( ,+ 0 м ( | ; - і ) ; 2) =
3. 1) /(# ) = #2+2, Af(2;15);2) /(# ) = ^ --1 0 # 4+3, М ( 1;5).
#
4. Задайте формулою первісну F(x) для функції /(#), якщо відо
мі координати точки М графіка функції F(#):
1) /(# )= 2 =, М (4;5);2) /(# ) = 2е~х +cos3#, М(0;2).
V3# + 4

1. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції
/(де) = cos(де+ 3) у точці з абсцисою де= -3.
2. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції /(де) = де3- - де2- 4
2
у точці з абсцисою х 0 = 2.
УРОК № 65
ПРАВИЛА ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРВІСНИХ.
ТАБЛИЦЯ ПЕРВІСНИХ
Мета: працювати над закріпленням учнями знань, набу
тих на попередніх уроках; удосконалити знання схем дій під час
розв’язування типових вправ (перевірити, чи є подана функція
первісною для функції на заданому проміжку; знайти загальний
вигляд первісної для функції; серед сімейства первісних для пода
ної функції знайти таку, графік якої проходить через точку із за
даними координатами).
Типуроку: удосконалення знань і вмінь.
Наочність та обладнання: конспекти 38, 39.
Хід уроку
Фронтально розбираємо розв’язання вправ, що можливо ви
кликали утруднення під час виконання вдома.
Наявність помилок під час виконання учнями домашньо
го завдання є умовою для мотивації навчальної діяльності
учнів. Якщо учні припустилися багато помилок, то метою
уроку може бути усунення причин цих помилок та відпра
цювання навичок застосування вивчених понять під час
розв’язування задач.
Якщо домашнє завдання було виконано загалом вдало, то
мету уроку можна сформулювати як відпрацювання нави
чок застосування вивчених схем дій у стандартних і нестан
дартних ситуаціях (зміст завдань для розв’язування допо
внити завданнями відповідного рівня складності).

1. Поясніть, у якому випадку функцію F (x ) називають первісною
для функції /(# ) на заданому проміжку. Наведіть приклади.
2. Сформулюйте основну властивість первісних і проілюструйте
її на прикладах.
3. Сформулюйте означення невизначеного інтеграла. Наведіть
приклади.
прикладах.
5. Який вигляд мають первісні для функцій: с; #“ (а Ф-і); sin#;
1 1 0
cos#; ---- =—; . 2 ?
cos # sin #
6. Опишіть схему знаходження первісної для функції у = /(# ).
7. Як знайти первісну для функції у = f(x), графік якої прохо
дить через точку з координатами (#0;ї/0)?
V. Відпрацювання вмінь
1. Доведіть, що функція F(x) = х2-sin2# + 10 є первісною для
функції /(# ) = 2#-2cos2# на множині дійсних чисел.
2. Визначте, чи є функція іг(#) первісною для функції /(#),
якщо: 1) F(x) = 2#4+cos2# -3 , /(# ) = 8#3+ sin2#-3;
2) F(x) = 3x5-sin 2# + 2, /(# ) = 15#4-sin2#.
3. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції:
f(x )= x + — b r z ~ 1'х cos #
3. Для функції /(# ) знайдіть первісну, графік якої проходить че-
2
рез точку А: 1) /(# ) = — + З#2, А(-1;0);
yjx + 2
2) f(x) = ex - 2cos^, А(0;2к).
4. Швидкість точки, що рухається прямолінійно, задано форму
лою v(t) = t2+ 2 t - l . Запишіть формулу залежності її коорди
нати # від часу t, якщо відомо, що в початковий момент часу
( t = 0) точка знаходиться в початку координат.

5. Швидкість точки, що рухається прямолінійно, задано форму
лою и(*) = 2со8—. Запишіть формулу залежності її координати
2
. п
х від часу, якщо відомо, що в момент £= — с точка знаходила-
3
ся на відстані 4 м від початку координат.
6. Точка рухається прямолінійно з прискоренням а(*) = 12£2+ 4.
Знайдіть закон руху точки, якщо в момент £= 1 с її швидкість
дорівнює 10 м/с, а координата дорівнює 12 м (одиниця вимірю
вання а дорівнює 1 м /с2).
Розв’язування основної частини вправ передбачає, так
само як і на попередніх уроках, свідоме відтворення зміс
ту вивчених понять під час розв’язування вправ на засто
сування означення первісної для функції на заданому про
міжку та правил і формул знаходження первісних. Також
передбачено відтворення та закріплення схеми дій під час
розв’язування вправ на сумісне застосування правил і фор
мул знаходження первісних.
Діагностична робота
1. Визначте, чи є функція -Р’(я) первісною для функції f{x) на множині
дійсних чисел, якщо
и
СО|1-і
к
1
00|ьэ
>•
II
НІ
2. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції
f{x) = xь f(x) = x6
3. Для функції /(де) знайдіть первісну, графік якої проходить через
точку А, якщо
/(л;) = 3л;2, А(0;і) / ( х ) = 4а;3, А(0;1)
4. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції:
1) / ( л г ) = 2 с 0 в 2 л : + 38іп3л:;
4 ' < * > > - *
1 ) / ( * ) ---------------Т ІГ -сов 2х віп х
2) / ( * ) = 2(3-2*)£

Урок № 66. Геометричний зміст і означення визначеного інтеграла.. 101
Повторити теоретичний матеріал (див. конспекти 37-39).
1) f[x) = x 2-sin # ; 2) /(# ) = 4 --^ -;
х
3) /(*) = (3* +2)4--і-;4 ) /’(*) = 2 --^ | г- +6.
X sin X
2. Для функції /(# ) знайдіть первісну F (#), яка набуває поданого
1) f ( x ) = { x - S ) 3, F(8) = l; 2) /(* ) = - ? = , F(9) = 9.
2 yjx
3. Для функції f{x) знайдіть первісну, графік якої проходить че
рез точку А: 1) / ( #) = 4#3----- ^ , А(2;0);
2vjc-1
1 ( 71 7С^
2) f(x) = sin2# + cos2# + -sin 3 # , А .
v ' 3 1,6 б)
4. Швидкість точки, що рухається, задано рівнянням v(t) =
= 312- 2. Знайдіть рівняння руху s, якщо відомо, що s = 54 м
у момент часу t = 2 с.
Повторити: механічний зміст похідної.
УРОК № 66
ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ І ОЗНАЧЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО
ІНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА— ЛЕЙБНІЦА
Мета: працювати над засвоєнням учнями:
понять: визначений інтеграл та формула Ньютона—Лейбніца,
криволінійна трапеція;
•S геометричного змісту визначеного інтеграла.
Розпочати роботу із закріплення змісту вивчених понять та
формул.
Сформувати вміння виконувати:
записи відповідних формул і рисунки, що ілюструють ці фор
мули;
S обчислення визначених інтегралів, використовуючи формулу
Ньютона—Лейбніца, а також вивчені на попередніх уроках
формули та правила інтегрування.

Наочність та обладнання: конспект «Геометричний зміст і озна
чення визначеного інтеграла. Формула Ньютона—Лейбніца».
Хід уроку
Збираємо зошити учнів для перевірки й оцінювання домаш
нього завдання як самостійної домашньої роботи.
Якщо учні мають середній рівень активності пізнавальної
діяльності, то на цьому етапі уроку достатньо стандартним
способом сформулювати мету як вивчення питання про за
стосування первісної для обчислень геометричних величин
(через відповідну формулу).
Якщо ж учні класу мають високий рівень пізнавальної актив
ності, то можна запропонувати задачу (для створення проблемної
ситуації).
Задача. На рисунку зображено фрагмент
графіка функції у = х2 на проміжку [і;3]. Як
знайти площу заштрихованої фігури?
Під час обговорення можливих способів
розв’язання задачі учні мають дійти виснов
ку, що їм бракує знань для розв’язування
цієї задачі.
Таким чином формулюємо завдання на
урок: ввести формулу (та інші супутні по
няття), за допомогою яких можна було б уза
гальнити поставлену задачу та скласти від
повідну схему дій для її розв’язування.
1. Доведіть, що функція є первісною для функції f(x) на
1) F(x) = x &, f(x) = 6х5, Х е (-оо;+оо);
2) F (х ) = х ~4 , f(x) = - 4х~б, хє(0;+оо);

Урок № 66. Геометричний зміст і означення визначеного інтеграла.., 103
3 ) F {х ) = ^ х 7 , / ( # ) = # 6 , # є ( - ° ° ; + ° ° ) ;
4) F (#) = -ід Г 6, f(x) = x~7, #є(0;+°°);
5) F(jc) = sin2#, /(# ) = sin2#, x є (—°o;+°o);
6) F(*) = 3 -c t g —, f(x) = — -— , #e(0;7r).
2 2sin2—
2
2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції f(x):
1) f(x) = 3 - x 5; 2) f(x) = -3; 3) / ( х) = 5х; 4) / ( х) = х~4;
5) f(x) = x + cos#; 6) f(x) = e2x; 7) f(x) = — — ; 8) f(x) = 3x.
cos 2x
3. Знайдіть дві первісні для функції /(#):
1) f(x) = 5#5; 2) /(# ) = l-c o s # ; 3) f(x) = —.L ; f(x)-
yJX
1. Формула Ньютона—Лейбніца. Схема її застосування для об
числення визначених інтегралів. Приклад використання фор
мули Ньютона—Лейбніца для обчислення значення виразу
І= <Г3*.
и
Jf(x)d x.
2. Поняття криволінійної трапеції. Приклади різних видів кри
волінійних трапецій.
3. Площа криволінійної трапеції. Геометричний зміст визначено
го інтеграла.
4. Історична довідка.
Вивчення нового матеріалу проводимо за опорним конспек
том або близько до тексту підручника. Залежно від рівня
підготовленості учнів і наявності часу можна додатково роз
глянути історичну довідку.
ь
Історична довідка. Символ визначеного інтеграла |/(#)<2# увів
а
1819 року французький математик Ж. Фур’є (1768-1830), який ко-
ь
ристувався також символом jydx. Термін «визначений інтеграл»
а
увів 1818 року французький математик і фізик Лаплас (1749-1827).

Конспект 40
Геометричний зміст і означення визначеного інтеграла.
Формула Ньютона—Лейбніца
1. Обчислення визначеного інтеграла (формула Ньютона—Лейбніца)
Формула Приклад
Якщо функція f{x) визначена
і неперервна на відрізку [а;6],
а Р(х) — довільна її первісна на
цьому відрізку (тобто Р'(х) = /(#)),
ь
то ^ [х )й х = РІ^х^а=Р{Ь')-Р{а)
а
Оскільки д
однією з пе
2 „3
хЧх = —
І 3
ля функції /(лс) = х2
тр( х 3рвіснихє Р[х) = — , то
2_ 23 І3_ 8 1 _ 7 _ 2 1
3 3 “ з 3 " 3 " 3
2. Криволінійна трапеція
Означення Ілюстрація
Нехай на відрізку [а;Ь] осі Ох
задано неперервну функцію /(# ),
яка набуває на цьому відрізку
тільки невід’ємних значень.
Фігуру, обмежену графіком
функції і/= /(л:), відрізком [а;Ь] осі
Ох і прямими х - а і х -Ь , назива
ють криволінійною трапецією
і
У
1
у = ґ(х)
Б
X
0 а і
3. Площа криволінійної трапеції
Формула Приклад
ь
8 = ^ { х ^ х
а
Обчр
ної л
Зобр
зада
трап
У>
1-
0
ІСЛІТЬ І
ІНІЯМИ
у = эш:
ажаюч
на фігу
еція.
к
їлощу фігури, обмеже-
п п
с, у = 0, х = —, х = —.
У 3 2
:и ці лінії, бачимо, що
гра — криволінійна
} -
я
3
п
" 3
хйх = -
Тч 1 А ^
п л ' ч У '' х
2
1 п п 1-сова;; = —сов—ьсов—= —
д 2 3 2

ь
1. Чи правильна рівність: 1) ^ {х )й х = 2г(а)-2?,(Ь);
а
Ь Ь
2) І f(x)dx = f { Ь ) 3) ^ [х )й х = Р(р) - .Р(а)?
а а
2. Обчисліть інтеграл:
1 2 х 2 3
1) jxdx; 2) ^— dx 3) ^x2dx; 4) ^ х .
о
1-2. Обчисліть інтеграл:
2 3 2 Л 10н
1. 1) 2) JVcte; 3) J----- — 4) J—
- i l l (2# + l) і я
7Г 71 К К
2 4 3 2
2. 1) fsin#rf#;2) fcos#d#;3) f——?—; 4) f— —dx.
J J J cos x t sin x7Г
4
3. Доведіть правильність рівності:
ТЕ П
ї dx г І ?
1) [-~— = dx 2) [cosjcrf#= x 2dx.
J0 cos х і і J0
3. При яких значеннях а справджується:
2 а
1) рівність J4:xdx = 12; 2) нерівність J*sinxd x> 0?
а 0
1. Для функції f(x) знайдіть первісну, графік якої проходить че
рез точку А .
1) /(# ) = 4x3-2 # -3 ; А (-1;-3); 2) f(x)= -2 х ; А (і;і);
2у/x
3) /(# ) = ic o s ^ + is in ^ ; А — л/2 ; 4) f(x) = x~2+ А(-1;2).
А А А А А J X
Оскільки обсяг теоретичного матеріалу, винесеного на цей
урок, є досить великим, опрацювання його буде відбуватися
поступово протягом декількох подальших уроків. На етапі
закріплення знань та формування первинних умінь розгля
даємо лише задачі на застосування означення визначеного
інтеграла. Розв’язування основної частини як усних, так

і письмових вправ передбачає передусім свідоме відтворен
ня цього означення (тобто формули Ньютона—Лейбніца),
а також закріплення схеми дій під час розв’язування задач
на обчислення визначених інтегралів.
Додаткові вправи на повторення сприяють повторенню правил
обчислення первісних і є підготовчими до роботи на наступно
му уроці (вивчення властивостей визначеного інтеграла).
1. Поясніть на прикладах, що таке криволінійна трапеція.
2. Поясніть на прикладах, як можна знайти площу криволінійної
трапеції.
ь
3. Охарактеризуйте поняття Jf[x)d x. Опишіть схему знаходжен-
ь
І f(x)d x.
ь
ня
Вивчити теоретичний матеріал (див. конспект 40).
Ті Ті 71
г f dx » »
1) cosxdx2) ---- ^—; 3) 3cos—dx4) sin2jecfa;.
o ocos * o 2 І
4
2. Доведіть правильність рівності:
71 1
3- 4 dx 1 2-
-1 )dx.1) jsin xdx = J—j = ; 2) J(2x + 1)dx = J(я3- 1)
0 X Q o
16
1. Для функції f(x) знайдіть первісну, графік якої проходить че
рез точку А :
1) f(x) = 5х4- З х 2-3; А ( 1;2); 2) f(x) = — ^= + Зл;2; А(і;2);
2yjx
3) /(a:) = ^ co s^ -^ sin ^ ; А п ;^ - ; 4) f(x) = - х 2+-^-; А (і;-2 ).
_ А б
2. Знайдіть значення виразу 16-0’76-8 12-48.
Повторити: елементарні функції та їх графіки.

УРОК №67
Мета: працювати над закріпленням знань:
•S формули Ньютона—Лейбніца, схеми її використання для об
числення визначених інтегралів;
S поняття криволінійної трапеції;
•S формули для обчислення площі криволінійної трапеції.
Відпрацьовувати вміння виконувати обчислення визначених
інтегралів за формулою Ньютона—Лейбніца.
Розпочати роботу з формування вмінь обчислювати площі кри
волінійних трапецій за вивченою формулою.
Типуроку: удосконалення знань, формування вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Алгоритм обчислення пло
щі криволінійної трапеції».
Хід уроку
Вибірково перевіряємо зошити в учнів, які потребують додат
Рівень засвоєння матеріалу попереднього уроку перевіряємо
шляхом проведення тестових завдань. Одразу після виконання тес
тової роботи перевіряємо й обговорюємо результати її виконання.
Варіант 1
ь
1. Відомо, що jf(x)dx = F (b )-F (a ), де F(x) — будь-яка первісна
а
для функції f(x). Знаючи, що однією з первісних для функції
X2 є — , виберіть правильне твердження.

2. Яка з наведених рівностей правильна?
П П
f 71 f 71
A) J(-sina;)cfa; = cos—+ cos0; Б) J(-sina:)d^ = cosO -cos—;
В) J(-sina;)<2:x; = cos—; Г) J(-sina:)dx = cos— cosO.
o 2 o 2
4
3. Обчисліть інтеграл j2xdx.
і
A) 15; Б) ЗО; В) -15; Г) -ЗО.
4. Обчислюють площу криволінійної трапеції, зображеної на ри
сунку.
Яке з наведених тверджень правильне?
А) Площу заданої фігури можна обчис
лити за формулою ^x3dx.
0
Б) Площу заданої фігури можна обчис-
2
лити за формулою ^x3dx.
1
В) Площу заданої фігури можна обчис-
2
лити за формулою ^xzdx.
о
Г) Площу заданої фігури можна обчисли-
2 4
ГX
ти за формулою — dx.
і 4
Варіант 2
ь
1. Відомо, що jf(x)dx = F(b )-F(a), де F {x ) — будь-яка первісна
а
для функції f(x). Знаючи, що однією з первісних для функції
х3 є — , виберіть правильне твердження.
4
2 р4 2 л4 -в4
А) I x3dx = — ; Б) I x sdx = -----------;
і
2
4
г ч І4 24 г я 24 І4
В) Где = --------- ; Г) [х dx - — + — .
J 4 4 А. А.
4 4
4 1 4

2. Яка з наведених рівностей правильна?
П К
A) fcos#d# = sin—-s in —; Б) fcos#<i# = sin—+ sin—;
7 J A 9 7 j 9 A
4
n
4
П
71 7C 71
B) fcos#d# = sin— sin—; Г) fcos#rf# = sin—,
J 9 A J 9
%
4
Л.
3. Обчисліть інтеграл ^х2йх.
о
4. Обчислюють площу криволінійної трапеції, зображеної на ри
сунку.
Яке з наведених тверджень правильне?
А) Площу заданої фігури можна обчис-
лити за формулою j x 2dx.
о
Б) Площу заданої фігури можна обчис-
з
2
В) Площу заданої фігури можна обчис-
з
о
Г) Площу заданої фігури можна обчис-
3 -V3
гос
лити за формулою J— dx.
Якщо під час виконання тестової роботи учні припустили
ся помилок, то відповідною мотивацією може бути необхід
ність удосконалення знань означення визначеного інтегра
ла, формули Ньютона—Лейбніца, означення криволінійної
трапеції та формули для обчислення її площі. Якщо біль
шість учнів виконали тестову роботу вдало, то проводимо
бесіду, в якій зазначаємо, що ми тільки розпочали вивчати
означення криволінійної трапеції та формулу для обчислен
ня її площі і завдання на урок — навчитися обчислювати
площі криволінійних трапецій.

Проводимо усне опитування за контрольними запитаннями
попереднього уроку, додавши до них запитання на повторення
про основні види елементарних функції та їх графіки. Наприклад,
такі:
Опишіть вигляд графіка функції у = f{x) та спосіб його побудо
ви, якщо функцію /(х ) задано формулою:
f(x) = x /^; /(х ) = л:2-4 х + 5; /(х ) = 1-л:3; /(х ) = 8Іпл: і т. ін.
V.Удосконалення знань, формування вмінь
1. Алгоритм обчислення площі криволінійної трапеції.
2. Приклад обчислення площі криволінійної трапеції.
Конспект 41
Алгоритм обчислення площі криволінійної трапеції
Нехай криволінійна трапеція обмежена графіком функції у = / (я),
відрізком а;Ь осі Ох і прямими х = а і х = Ь. Для обчислення її площі
необхідно:
1) побудувати графік функції і/ = /(л:) на відрізку [а;Ь, прямі у = 0,
х = а і х = Ь;
2) переконатися, що на цьому відрізку функція у = f(x) неперервна
і набуває тільки невід’ємних значень (тобто побудована фігура є криво
лінійною трапецією);
ь
3) обчислити площу цієї криволінійної трапеції за формулою 5 = |f{x)dx.
Приклад. Обчисліть площу фігури, обмеженої
лініями у = х2+ 1, у = 0, х = 1, х = 4.
Розв'язання. Побудуємо лінії у = х2+1, у = 0,
х = 1, х~ 4 .
Оскільки на відрізку [і;4] функція у = х2+1
неперервна і набуває додатних значень, то
одержана фігура — криволінійна трапеція.
Обчислимо її площу за формулою
4
8 = |(л:2+і)гіл:.

2 Х
Первісна для функції у = х +1 дорівнює — +х , тому
З
з
8 =
( „ г
X
4
( 43 > ( ! 3 Л----- -х = — +4 — — + 1
со
1
со
со
= 24.
Зауваження. Найчастіше в задачах на обчислення за допомогою визна
ченого інтеграла до відповіді записують лише числове значення (24).
Але якщо хочуть підкреслити, що ми одержали саме величину площі, то
відповідь записують так: 24 кв. од. (тобто квадратних одиниць)
Зауважуємо, що з практичної точки зору важливим є питан
ня про схему застосування вивченої на попередньому уроці
формули для обчислення площі криволінійної трапеції.
Залежно від рівня математичної підготовки учнів складан
ня алгоритму для обчислення площі криволінійної трапе
ції можна або запропонувати учням виконати самостійно,
скориставшися прикладом, наведеним у конспекті, або
запропонувати учням готовий алгоритм і, скориставшись
ним, розв’язати задачу на обчислення площі криволінійної
трапеції, або колективно розглянути відповідний приклад,
а потім колективно скласти алгоритм.
VI.Формування вмінь
7С
7 1 5 т 1 і 4 2п
1) 2) |4йл;; 3) 4) 5) |зіпл:йл:; 6) |совхсіх.
2 1 1Х 1Х 0 ті
2. Обґрунтуйте, що фігура, обмежена віссю Ох і лініями y = f(x),
х = а і я = &, є криволінійною трапецією, якщо:
1) у = х2+ 1, х = 0, х = 10; 2) у = л/х, х = 2, х - 5.
л 2 %(ІІ ~с/
1 ) 2<1х; 2 ) 3 ) | ( б и 2 + 2 и - 1 0 ) с £ м .
2^ 4Л/^ _2
6 X
2. Розв’яжіть рівняння ^ {х)й х = /(#), якщо /(#) = —-1 .

3—4. Обчисліть площу криволінійної трапеції:
3. 1) у = х4, у = 0, х = 1, х = 2; 2) у = х2-4 х + 5, у = 0, х = 0, х = 4.
4. 1) у = 1 - х 3, у = 0, х = 0;2) у = - х 2-4 х , у = 0, х = -З, х = -1.
Визначте вид числа:
Розв’язування основної частини як усних, так і письмових
вправ передбачає передусім свідоме відтворення формули
Ньютона—Лейбніца, означення криволінійної трапеції та
формули для обчислення її площі.
Готуючи до складання ДПА з математики, звертаємо увагу на
оформлення розв’язання завдання на обчислення площ криволі
нійних трапецій за допомогою визначеного інтеграла, особливо на
обґрунтування застосування відповідної формули та на запис від
повіді (див. конспект 41, зауваження).
Запишіть у вигляді визначеного інтеграла площу фігури, обме
жену лініями:
1) у - х2, х = 1, х = 3 і у = 0; 2) у = х2+ 1, х = -1 , х = 2 і у = 0.
2 а 4 2
1) j-^ d x; 2) 4zdz;3) J(3*2-4 t + b)dt.
і X j і
2—3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:
2. 1) у = х4, у = 0, х = —1, х = 1;
2) у = х2- 4х + 5, у = 0, х = 1, х = 4.
3. 1) у = х3+ 1, у = 0, х = 0, х = 1;
2) у = - х 2-4 х , і/ = 0, х = -4 , х = 0.
1. Знайдіть значення числового виразу: 1) ^(-7)6; 2) >/9-375.
2. Спростіть вираз: 1) лД/б5 -7 •ІлІ65 + 7; 2) >/а^ - а , де а < 0.
V 3-V 2

УРОК № 68
Мета: працювати над удосконаленням знань учнями означення
визначеного інтеграла та його властивостей; поняття криволінійної
трапеції та формули для обчислення площі криволінійної трапеції,
а також схеми її використання для обчислення площ криволіній
них трапецій.
Працювати над формуванням стійких навичок виконува
ти обчислення визначених інтегралів із застосуванням формули
Ньютона—Лейбніца та обчислення площі криволінійної трапеції.
Типуроку: удосконалення знань, формування вмінь і навичок.
Обладнання: конспекти 40, 41.
Хід уроку
Пропонуємо учням виконати тестове завдання на відтворення
основних умінь попередніх уроків. Виконання завдання перевіря
ється одразу після виконання шляхом само- або взаємоперевірки,
після чого у випадку необхідності учні виконують коригувальне за
вдання або отримують його як домашню коригувальну роботу.
Варіант 7
г 1
1. Обчисліть інтеграл Іх4йх. А) 6; Б) 6,2; В) 6,6; Г) 2—.
і 3
з
2. Обчисліть інтеграл |(4х + і)й х . А) 14; Б) 18; В) 20; Г) 22.
-і
3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 0, у = х2+ 1,
х = 0, * = 1.А ) Б) | ;В )1 ;Г )2 .
Варіант 2
2
1. Обчисліть інтеграл ^хь(1х. А) 75; Б) 12,6; В) 5,5; Г) 10,5.
і
і
2. Обчисліть інтеграл |(х -2 )й х . А) -2 ; Б) -1,5; В) -1 ; Г) 0.
о

3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 0, у = х2- 1,
# = 1, # = 2. А) | ;Б ) | ;В )2 ;Г )3 .
Як і на попередньому уроці, відповідною мотивацією може
бути необхідність удосконалення вмінь і навичок, обумовле
на тим, що під час виконання домашньої роботи та тестових
завдань учні припустилися помилок. Якщо більшість учнів
впоралися з домашнім завданням і тестовою роботою вдало,
то пропонуємо їм завдання підвищеної складності (залежно
від рівня математичної підготовки учнів), як наприклад:
а ^
При яких значеннях а інтеграл Jcos—dx набуває найменшого
о 2
та найбільшого значень?
Тож завдання уроку — вдосконалення знань і вмінь, а також
формування стійких навичок обчислювати визначені інтеграли за
формулою Ньютона—Лейбніца та площу криволінійної трапеції.
1. Спростіть вираз:
1) cos2# -s in 2#; 2) 2sin#cos#; 3) tg#ctgx; 4) 2sin2# + 2cos2#.
71 71 ( 71^
2. Чому дорівнює: 1) sin—; 2) c o s t t ; 3) tg—; 4) sin —
6 4 1 3
5) cos
( 71A
; 4) ctg7c; 5) sin7t; 6) cos7^?
71 371_•__
2 ’ 2
71 7t_•_
2 ’2
3. Чи правильно, що:
1) функція у = sin# на проміжку
значень;
2) функція у = cos# на проміжку
значень?
1) /(# ) = — —+ 1: 2) /(# ) = sin# + -^=;
cos # V#
1
набуває невід’ємних
набуває невід’ємних
3) /(# ) = #s
sin #
; 4) /(# ) = 2#2+ cos#.

^Удосконалення вмінь, формування навичок
2п х ж х
1. Обчисліть інтеграл: 1) J cos—dx; 2) Jsin—dx.
2. Знайдіть площу заштрихованої фігури, зображеної нарисунку
(на дошці):
1)
ї х
1. Обчисліть інтеграл: 1) J—cos—dx; 2) J3sin3a;d:*;;
Z7t
3>J
2nf 2у у
•v ,
cos---- sin—
8 8
n
2
dx; 4) |(зіп2л: + со82л:)2йл:.
о
2. Знайдіть усі значення а , при яких виконується умова:
а а
1) (2 х -Ь ^ х < Ь ;2 ) { ± - 2 х ^ х > г .
о о
3. Знайдіть усі значення а , при яких:
2 а
1) функція /(а )= |(2х + 1 ^ х набуває найменшого значення;
а
а
2) функція f{a) = ^{l-4:x)dx набуває найбільшого значення.
а
2
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = 2віпл:, у = 0; х = —, х = — ;
4 4
71 71
2) у - сов2х, у = 0; х - — , х = —.
4 4

Ґ 1 4 Vі
82-93
1. Знайдіть значення виразу
ґ
2. Спростіть вираз
і і
2 7 9-44
Л
л /а-8 Vâ + 8 І 16л/а______________ ___ ________________ • _____________
л/а + 8 yfcL—8, 6 4 -а
Підсумком уроку може бути відтворення учнями схем дій під час:
•S обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона—
Лейбніца;
S обчислення площі криволінійної трапеції.
Повторити теоретичний матеріал (див. конспекти 40, 41).
Варіант 7
ТС ТС 7С
іч rf 3 ^ , f dx оч }( . 2 х } * л г dx
1) І - + х dx; 2) І---- —; 3) І l-2 s in - dx; 4) І -------------- -.
'1,х ) qcos 3# J0y ЗJ пcos х - 1
~2
4
1) у - , у = 0, х = 1, х = 4; 2) у = sinx + 2, у = 0, х = 0, х - п .
х
Варіант 2
ТС тс
1) t f - - x ) d x ; 2 ) j — ; 3) jfcos2j - sin2^dx; 4) J -—dX .
{ U J ngin2— 0^ 4 4 J ж
4 4
З п
1) у = , у = 0, х = 1, х = 3; 2) у = cosx + 2, у = 0, х = 0, х = —.
х 2
З 1 1
1. Обчисліть значення виразу 0,25 2+3-81 4 -0,0273.
ґ 1 5 Л3
а 4а2 а6
v а12 а 6у

Урок № 69. Властивості визначеного інтеграла.., 117
УРОК № 69
ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА. ОЗНАЧЕННЯ
ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ЧЕРЕЗ ІНТЕГРАЛЬНІ СУМИ
Мета: розпочати роботу над засвоєнням учнями властивостей
визначеного інтеграла та способами їх використання для обчис
лення визначених інтегралів. Працювати над засвоєнням учнями
означення визначеного інтеграла через інтегральні суми.
Формувати вміння учнів виконувати обчислення визначених
інтегралів, використовуючи їх властивості.
Наочність та обладнання: конспект «Властивості визначених ін
тегралів».
Хід уроку
Збираємо зошити учнів для перевірки та оцінювання домаш
ньої самостійної роботи. За необхідності роздаємо учням готові
розв’язання для опрацювання вдома.
3 метою створення відповідної мотивації пропонуємо учням
завдання.
Завдання
1. Опишіть спосіб знаходження первісної для функції:
1) у = 5х4- З х 2-3; 2) у = —cos—- —sin—.
* 3 3 2 2
Які властивості та правила обчислення первісних було вико
ристано?
2. Порівняйте наведені інтеграли із функціями із завдання 1:
Л
1) J*(бх4- Зя2- 3 )dx; 2) J ^ c o s ^ -^ s in ^ dx.
Зробіть припущення.
Після обговорення виконання завдання учні мають усвідомити
необхідність доповнення знань про визначений інтеграл відповід
ними властивостями.
Таким чином формулюємо завдання: вивчити властивос
ті визначеного інтеграла, за допомогою яких можна полегшити

обчислення визначених інтегралів, а також закріпити вивчений на
попередніх уроках матеріал та відпрацювати його застосування під
час розв’язування задач.
Вивчення означення визначеного інтеграла через інтегральні
суми не передбачено чинною програмою. Проте, залежно від рівня
математичної підготовки учнів, доцільно ознайомити учнів із цим
означенням, створивши цілісне уявлення про поняття інтеграла
і закінчивши таким чином формувати уявлення учнів про обчис
лення площ криволінійних трапецій.
IV. Актуалізація опорних знань
1) f(x) = x + 5; 2) f(x) = x 2+2л; + 4;
6 2
3) f(x) = — +
-
-—; 4) /(jc) = 2sinx + cosx;
х sin x
5) f(x) = -j= + x 2 на (0;+°o); 6) f(x) = - — ----- ^=;
yjx X X Xyjx
7) f(x) = ------Л ---r-3 sin (4 -3 * ) + l.
COS ( x - l )
2. Сформулюйте означення парної функції. Наведіть приклади
парних функцій. Які з функцій f(x) = х2+2х, f(x) = x 2+ x 4,
f(x) = sin#, f(x) = cos# є парними?
3. Сформулюйте означення непарної функції. Наведіть приклади
непарних функцій. Які з функцій f(x) = х3-sin#, fix )- cos:r 9
X
f{x) = х5+ 5х є непарними?
Крім того, з метою свідомого засвоєння учнями означення ви
значеного інтеграла через інтегральні суми відповідно до рівня під
готовки учнів учитель може підібрати вправи на повторення таких
базових понять, як властивості точок графіка функції; площа пря
мокутника; властивості площ тощо.
План вивчення теми
1. Властивості визначеного інтеграла (без доведення).
2.* Означення визначеного інтеграла через інтегральні суми.

Конспект 42
Властивості визначених інтегралів
а
1. ^{х)йх = 0.
а
Ъ а
2. |/(#)<2#=-|/(л;)с£л;.
а Ь
Ь Ь Ь
3. ^{f{x)+g{x^jdx-^f{x)dx+^g{x)dx,
а а а
Ъ Ь
4. ^k^f{x)dx = k^f{x)dx, де к= сопе!.
а а
Ь с Ь
5. //(*>*я = |/(;г)й;г + я к щ о f(x) інтегровнана а;Ь і сє[а;Ь.
а а с
а
6. Я кщ о/(#) — непарна неперервна функція, то |/(л;) = 0.
-а
а а
7. Я кщ о/(#) — парна неперервна функція, то |f{x)dx = 2^f{x)dx.
-а 0
3-/4
Приклад. Обчисліть: П— х
іЧ*
з /4 з,.,.. з
- х d x -^ ^ ^ L-^ xd x-4:^ ^ L-^ x d x -
А х ^ і х і і х і
А1 і цз х2
= 4 1 п л :-----Мі 2
І Ч 1
= 4(іп|3|-1п|і|)- у - у ]= 41пЗ-4
Основний акцент під час вивчення теоретичного матеріалу
уроку робимо на тому факті, що визначений інтеграл фак
тично дорівнює різниці значень первісних для однієї і тієї
функції при різних значеннях аргумента. Тому визначе
ний інтеграл має ряд властивостей, що майже такі самі, як
і властивості первісної для функції.
Залежно від рівня підготовки учнів до самостійної роботи
вивчення нового матеріалу можна провести у формі бесіди
за планом або у формі самостійної роботи учнів із текстом
підручника з подальшим коригуванням (у разі необхіднос
ті). У цьому випадку бажано орієнтувати учнів на виконан
ня роботи за алгоритмом порівняння властивостей визначе
ного інтеграла і властивостей первісних для функцій.

У разі вивчення означення визначеного інтеграла через ін
тегральні суми пропонуємо учням цей матеріал опрацювати
самостійно за підручником. Після цього проводимо обгово
рення, відповідаємо на можливі запитання учнів, робимо
необхідні пояснення.
1 З Є ^ 71 71
1) ^хсіх; 2) 12х 2 с і х ; 3) сіх; 4) |совала:; 5) |аіп.х(1х.
е і і ос1
*2
2. Відомо, що Jf{x)dx = 7. Знайдіть: Jf{x)d x.
*і
с
3. Відомо, що ^ ( х ^ х = Ь, |/(л:)йл: = 2. Знайдіть: |/(л;)йл;.
а Ь а
1. Обчисліть інтеграл: 1) |(л;2+4а;-і)с£00у2>
3) f[ . — t З х ‘‘ d x; -1) fico s—d x .
{ { ^ Л ) {2 2
b a a
2. Відомо, що jf(x)dx = 2. Знайдіть: 2jf(x)dx + jf(x)dx.
a
b
3. Відомо, що 3^f{x)dx = -6 , 2^g{x)dx = 4. Знайдіть:
a b
a
J(/(x) + 3g(x))dx.
10 5 5
n
.g * 00
x 4+ lj x 5dx; 2) J—------dx.
-io _5x +9
„ . cos430cosl7°-sin 430sinl7°
1. Обчисліть значення виразу------------------------------------------.
sin37°cos23° + cos37°sin23°
2. Доведіть тотожність (sinа + sin(З)2+ (cos а + cos(З)2= 4cos2——-

Запропоновані вправи є типовими для відпрацьовування
властивостей визначеного інтеграла. З метою свідомого за
своєння учнями цих властивостей доцільно вимагати ро
зуміння, яку саме властивість ми використовуємо під час
розв’язування тієї чи іншої вправи, а також формулюван
ня відповідної властивості. Для розв’язування письмової
вправи № 4 повторюємо означення та властивості парних
та непарних функцій. Розв’язуванням додаткових вправ на
повторення розпочинаємо повторення відомостей із триго
нометрії. Традиційно розв’язування вправ на повторення
сприяє підготовці учнів до ДПА та ЗНО.
Бліцопитування
Установіть відповідність між заданими інтегралами (1-4) та
інтегралами, що їм дорівнюють (А-Д).
1 3
J(-2:r3)fіх
2
А 3 3 3
Jx2dx + 2Jxdx + Jdx
2 2 2
2 3 Б 3
j(:r +l) dx J2x dx
2 0
3 2 В 2
J( я ; + lj dx 2j x3dx
-2 3
4 3 Г 2
Jxsdx 2j(*2+l) dx
-3 0
Д 3
Г Q
2j x dx
-3
Відповідь. 1 — В; 2 — А; 3 — Г; 4 — Б.
VIII.Домашнє завдання
2 2( 2 Л
1. Обчисліть інтеграл: 1) j{Sx2-2 х + 4 ОСу
81 ІКлЬ)
2
6
d x ; 4) J3sinЗяй#.
о

о о а
2. Відомо, що ^f(x)dx = 5. Знайдіть: ^f(x)dx-3^f(x)dx.
а b Ь
Ь а
3. Відомо, що 4:jf(x)dx = 12, ^3g{x)dx = -9 . Знайдіть:
ь
ь
^(%f(x)-lg(x))dx.
1. Обчисліть значення виразу 2cos240° + 3tgl35°,
cos(a + 13)+ sin a sin(З
2. Спростіть вираз-----)---------------------- - .
sin(a - p) - sin a cosp
УРОК № 70
ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
Мета: працювати над закріпленням знань властивостей визна
чених інтегралів.
Відпрацьовувати вміння виконувати обчислення визначених
інтегралів, використовуючи їх властивості.
Типуроку: удосконалення знань, формування вмінь.
Хід уроку
шляхом проведення тестових завдань. Одразу після виконання тес
тової роботи перевіряємо й обговорюємо результати її виконання.
Варіант 1
2/ і е 1 і і
1. Обчисліть: П— - dx. А) -2 3 —; Б) -1 7 - ; В) 1 -; Г) - 1 - .
i V X у
2. Обчисліть: |(x2-4x)<ix. А) -З —; Б) -7 —; В) -7 ;Г ) -3.

Урок № 70. Властивості визначеного інтеграла 123
г 2dx /—
3. Обчисліть: Г---- —. А) 2; Б) -2 ; В) 1; Г) -2V 3.
J cos хп
~4
2
4. Відомо, що J(f(x) - 2}dx = 20. Знайдіть: Jf(x)d x.
-з -з
А) 22; Б) 18; В) 10; Г) ЗО.
Варіант 2
іб
1. Обчисліть: JЗл/xdx. А) 126; Б) 283,5; В) 22; Г) 62.
р 2
2. Обчисліть: J(х2+6x)dx. А) 6—; Б) 12—; В) 18; Г) -6.
3. Обчисліть: f . А) -2 ; Б) 2; В) -2>/3; Г) 4.
J sin X
Якщо під час виконання тестової роботи учні припустилися
типових помилок, то мета уроку — закріпити вивчені на по
передньому уроці властивості визначених інтегралів і від
працювати навички їх застосування під час розв’язування
задач. В іншому випадку проводимо бесіду про необхідність
удосконалити знання та вміння, набуті на попередньому
уроці.
1. Чому дорівнює:
1) sin—; 2) cos—; 3) costc; 4) tg —; 5) ctg —; 6) sin—?
2 4 6 6 3
4 1 “ “ öax
1) |2xdx; 2) j*2x 2dx; 3) J2sinjcd#; 4) Jecosjcdjc; 5) —;
К % К
2 2 2
к к к
3 6 3
6) f(2 x -l)d * ;8 ) 9) -d x 10) fe4xdx.
J C O S X “ X { X J

V. Закріплення знань і вмінь
14 Л
+ 9
dx.
2( і ^ 2
1) П —cosя:-2 sinje dx; 2) J(2sin3jc —Зсовлг)с?л:.
Ttv2 J 0
3. Доведіть, що
r cos2x 7 _r cos
J i— ^ ~ d x ~ 2h — 7_34 —sin x * 4 - si
c o s 2 jc
4 -sin x
dx = 0.
4. Знайдіть похідну функції 2^(я) = |(Зи2- 2и ^ и .
4
5. Знайдіть А і Б, при яких функція ґ(х) = Асоз2пх + В задо
вольняє умови /'^ --^ = -2 і ^ { х ^ х = 5.
6. Доведіть, що якщо Р'(х) = f(x) при х є [а;Ь], то
Я
¥[х) = Р(а) + ^ [ ^ і .
а
Виконання додатковоївправи на повторення
Доведіть тотожність:
(' 9п . (5п ^ 2 (
tg + tg о a +
1 4 J> V
Ї Ї f f 5 і , ,
+ ctg — + ctg (7 i-a ) = —
JJ V 4 ) sisin a
Вправи, запропоновані для розв’язування на уроці, спри
яють свідомому засвоєнню властивостей визначених інте
гралів. Розв’язування цих вправ передбачає закріплення
понять та схем дій, вивчених на попередньому уроці. Тому
умови їх виконання можуть бути такими самими, як і на по
передньому уроці.
Виконуючи додаткову вправу на повторення, продовжу
ємо повторення тригонометрії з метою підготовки до ДПА
ІЗНО.

Урок № 70. Властивості визначеного інтеграла 125
2
1. Обчислюють інтеграл |Зх^сіх. Чи правильно, що сталий множ-
і
ник 3 можна винести за знак інтеграла?
4/ £ Л
2. Обчислюють інтеграл | Зх2— ^ сіх. Чи правильно, що:
/
4( g л 4 4
1) JІЗ х 2— - dx = 3^x2dx - 2^x~3dx ;
Л х У і і
2) J[Зх2— z dx = x
2 Ï . я4 I 4 4
1 jc2 ; 3) II3* 2~ j> ]
dx = 63— ?
16
3. Чи правильно, що:
7Г К К
2 2 2
1) | 2л:4cosdx = 4Jх4cosxdx ; 2) J2л:4sinxdx = 0 ?
п
~2
Повторити теоретичний матеріал.
2 1( 4
1. Обчисліть інтеграл: 1) |(3л:2-6 л :-1 }dx; 2) П ,
і 0у-І&Х+ 1
dx.
7Г
2
1) J(4sin.3c + 2совл:)сїл: ; 2) j*(2сов5л:-38Іпл:)с/л:.
о
3. Знайдіть похідну функції -^(л:) = J(2и -b)du.
и
4. Знайдіть невід’ємні корені рівняння |(Зл:3+ 4л: - 7)<іл: = &3- 3.
о
„ . віпа І + сова
1. Спростіть вираз-------------1-------------.
І + сова віпа
2. Відомо, що 8Іпос = - ^ - , ж а < — . Знайдіть значення виразу
З 2
(
C O S
п
а — і.

УРОК № 71
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ВПРАВ НА ЗНАХОДЖЕННЯ
ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ
Мета: відпрацьовувати вміння учнів використовувати форму
лу Ньютона—Лейбніца та властивості визначених інтегралів для
обчислення визначених інтегралів; розглянути приклади визначе
них інтегралів, для обчислення яких потрібно виконати попереднє
перетворення підінтегральної функції.
Працювати над формуванням навичок обчислення визначених
інтегралів.
Типуроку: застосування знань, формування вмінь і навичок.
Хід уроку
Оскільки вправи домашнього завдання аналогічні вправам,
які були розв’язані на попередньому уроці, то правильність їх ви
конання перевіряємо за зразком (зразок розв’язання заздалегідь
виконано окремими учнями або вчителем).
Для створення відповідної мотивації пропонуємо учням за
вдання.
Завдання. Обчисліть інтеграл
71
2
I (cos2х - sin2x)dx.
71
6
Після обговорення учні доходять висновків:
S поданий інтеграл не є табличним;
S застосування властивостей визначеного інтеграла не сприяє
його обчисленню.
Якщо рівень математичної підготовки учнів достатній, то вони
самі помічають, що підінтегральну функцію можна перетворити.
В іншому випадку пропонуємо учням виконати таке перетво
рення: cos2x -s in 2x = cos2jc.

Урок № 71. Розв'язування вправ на знаходження визначених інтегралів 127
У будь-якому разі учні переконуються, що подібні задачі рані
ше не розглядалися. Отже, мета уроку — обчислювати визначені
інтеграли із попереднім перетворенням підінтегральної функції.
1. Подайте у вигляді степеня з основою х (х > 0 ):
4/„ З 1
1) -----4х-у[х- х 8 ; 3 ) ------ ^— ; 4) 4х •у[х •(а;5) 6.
зс ^ ос ^
2. Розкрийте дужки:
1) (я3+ х2)2; 2) (х - 2 )3; 3) (х -2 )(х 2+2х + 4); 4) (х -5 )(х 2+6лс-3).
V. Застосування знань, формування вмінь і навичок
Які перетворення підінтегральної функції необхідно виконати,
щоб обчислити:
ь ь
1) |сов2Зосйх; 2) І^іпЗясовя + зіпясозЗл;)^;
а а
Ь Ь
3) [зіпягсозхсЯя:; 4) с£г?
1 1 8
1, І( Х‘ + Х Ї сіх; 2) j(S -x )^ x 2+3х + 9^йх; 3) j^^з^-Ï0x + 25dx.
0 - 1 7
2. Обчисліть інтеграл, попередньо подавши підінтегральний ви
раз у вигляді степеня з основою х :
9 2х , _ г х , _ г (їхс £іХ г х с ах
8 1 27 ЗГ ~ 2
4) ^-^=йх; 5) §х%[хйх; 6) |— — сіх.
1УХ2 о 8 Х
п п
~4 і 3 2л/ 2
1) [ -----^ — ; 2) (ї£2х + )(1х; 3) І* сов—-в іп — йх.
х - 1 ^ І І 8 8 )
2
4. При яких значеннях а виконується рівність

a j
J(sinх cos2х + cosх sin2x)dx = —l
sin(30° + а) - cos(60° + а)
1. Спростіть вираз-----;----------т--------;----------г.
sin(30° + а) + cos(60° + а)
sin20°cos70° + sin2110°cos2250° + sin2290°cos2340°.
Вправи, які передбачено для розв’язування на уроці, спря
мовані на формування вміння обчислювати визначені ін
теграли за попереднього перетворення підінтегральної
функції. Виконання цих вправ вимагає від учнів вільного
володіння таблицею первісних для функцій, правилами об
числювання первісних, властивостями визначених інтегра
лів, а також уміння перетворювати алгебраїчні та тригоно
метричні вирази. Під час розв’язування вправ вимагаємо
від учнів обґрунтування своїх дій, а саме:
S чому саме таке перетворення підінтегральної функції слід
виконати;
S якою формулою або правилом обчислення первісних корис
туємося;
S які властивості визначених інтегралів застосовуємо.
VI.Підсумки уроку
1. Чи правильно, що;
2 2 2 4 4
1, J(,+ 2)2dx = ^x2dx + A^dx; 2) j lx 2 + 6x + 9dx = j ( x +3)dx?
4
2. Обчислюють інтеграл Jsin25xdx. Чи правильно, що:
71
5
1) функцію, що стоїть під знаком інтеграла, можна подати у ви-
. 1 + c o s I O jc
г л я д і -
2
4 ^ 4 ^ 4
2) ^sn2bxdx = —^d x— JcoslOxdx;
71 71 К
4 1 4 1 4
2 J 2-
я к я
5 5 5

Урок № 72. Розв'язування вправ на знаходження визначених інтегралів 129
3) Jsin25л: = —л:
4 1
------sinlO*
п 20
5
4 1
; 4) [sin25х < — ?
і 40
0 2 5
1. 1) J(*2 - l) dx; 2) j(x + 2)(x2-2 x + 4t}dx; 3)
-і
4
4>/jc
2. 1) - ^ - d x ; 2) f ^ ï ; 3 ) ^ = d x ;4 ) f — dx.
і x { J x { Л 5 { x
71 71
0 fly- ( X. » ç,
3. 1) [ -------- =— ; 2) [ cos2-----sin2— dx; 3) [(sin2ji£; + cos2;x;) dx.
•U -sin 2* 2 2 J '
a 2tg
я
4. При яких значеннях а виконується рівність [--------— dx = 0?
п 1 , 4 - ^ . 2 #01+ tg
Ґ
1. Спростіть вираз tg —-ос ]ctg(7t + oc).
v2 у
2. Чому дорівнює значення виразу 4sin(7с- ос)+ cos
sina = 0,3?
, якщо
УРОК № 72
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ВПРАВ НА ЗНАХОДЖЕННЯ
ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ
Мета: удосконалити вміння учнів використовувати формулу
Ньютона—Лейбніца та властивості визначених інтегралів для об
числення визначених інтегралів; продовжити розглядання при
кладів визначених інтегралів, для обчислення яких потрібно вико
нати попереднє перетворення підінтегральної функції.
Працювати над удосконаленням навичок обчислення визначе
них інтегралів.
Типуроку: застосування знань, удосконалення вмінь і навичок.

Хід уроку
З метою з’ясування рівня засвоєння матеріалу, що розгляда
ли на попередньому уроці, проводимо самостійну роботу, завдання
якої аналогічні до завдань домашньої роботи.
Одразу після закінчення самостійної роботи організовуємо
само- або взаємоперевірку за готовими розв’язаннями та обгово
рення й коригування результатів роботи.
4 4 2
1. 1) |(л:-3)2^л:; 2) Д2/л;-л;) dx.
і і
г х гбх0’25
2 Л ) І Г ;2) г п г1yjx 1 УІХ1,5
п Я
2 2
3. 1) Jsin2jcd^; 2) 2jsinjccos^da:
0 0
3
1. 1) (x +l)2dx;2)
і
2. 1) dx; 2) J-
I х і
n
2 2n
3 1) Jcos2arete; 2) J
0 0
J^2jc-Vjcj dx.
і
x2'b
'
cos2—-sin 2— dx
{ 4 4 J
Мета і завдання уроку пов’язані з результатами виконання
учнями домашнього завдання і самостійної роботи. Якщо
під час виконання цих робіт в учнів виникли утруднення або
вони припустилися типових помилок, то завданням уроку
є подальше відпрацьовування вмінь і навичок обчислювати
визначені інтеграли із застосуванням формули Ньютона—
Лейбніца та властивостей визначених інтегралів. Якщо
більшість учнів із цими роботами впоралися вдало, то метою
уроку є розв’язування задач підвищеної складності.
1—4. Знайдіть загальний вигляд первісної для функцій:
1. 1) у = 2 ; 2) у = -5х + 3; 3) у = 2(4д: + 1); 4) у = 3х.

Урок № 72.Розв'язування вправ на знаходження визначених інтегралів 131
2. 1) у = х2; 2) у = Зх2+ 2х; 3) у - х - Зл;3; 4) у = —х + х4;
5) у = х2-5л;4; 6) у = ; 7) у = + х.
х х
3. 1) у = б і т і 2 х ; 2) у = Б І п ^ х ; 3) у = совЗл;; 4) ї/ = сов^л;;
5) у = — ; б) у = — 1
сов 2х 21 '
8111 —X
З
4. 1) у = 2&іп2х 2) у = - 5віп
А
Зл;+ —
З
х
; 3) у - -2сов—;
4
2л;+ -
4
V. Удосконалення вмінь і навичок
2сіх
1. Обчисліть: 1) |віпхс£л;; 2) |(л;2+ і)<іл;; 3) |(л;2-2л;)<іл;; 4) =
я 0 -2 1 л/ДС
З
ж я: з
2. Розв’яжіть рівняння: 1) |(2м-і)<2и = 6; 2) | в іп ^ = — ,
о о 2
1—4. Обчисліть інтеграл:
2/ і Л 0
1. 1) |(^2я— і^ л;;2 ) |(0,5л;+ і )5с£л;;
2
3>І;
К
16
(2л;+ 1)
4с£л;
4/
; 4) ПЗу]х — сіх.
ї ї X )
2. 1) [
-
^— ; 2) [сов24л;йл;; 3) [
* р п о Лл г •» *
0
З*. 1) |
і
5
3)|
сов24л;
3Зл;4- 2л;2+ 6
о
+ 2совл;
2віп
сіх.
X 2
ґ 1 +1
л;
<2л;;
Л
[y jll-2 x
(їх.

к 2к
4*. 1) J -(sin2ji£:-cos2x)dx; 2) J-
71
~2
Зтс
~8~
71sin2
X п
2 _ 4
Л
dx;
3) j 12sin
(
к
8
ТЕ
8
Л
- х
п
cos| — X
8
Л 2тс /2
dx; 4) Jcos2 — Jdx; 5) Jctg2xdx.
і ч . х, якщо х < 2,
5. Обчисліть інтеграл ІДх)йх, якщо цл:) = « 2
0 II ОС у ктттоос — 2»
а
6. При якому значенні а значення інтеграла |(4х-12)с/х най-
о
менше?
7. При яких значеннях Ь виконується нерівність:
1) J3x2dx<7;2*) J
rdx
х
<5?
1. Чому дорівнює значення виразу sin(2а —Зтг), якщо sina = -0,6
Зп,
і тс< ос< — ?
2
( cosa sina ^ cos6a-cosl0a
cos4a sin4a sin3a
Зрозуміло, що протягом одного уроку всі запропоновані
вправи учні виконати не встигнуть. Тому обираємо завдан
ня залежно від рівня математичної підготовки учнів та ре
зультатів, які показали учні під час виконання самостійної
роботи на початку уроку. (Це стосується і вправ, запропоно
ваних для домашнього завдання.) Решту вправ можна вико
ристовувати як додаткові завдання або для індивідуальної
роботи з учнями. Оскільки розв’язування запропонованих
вправ передбачає закріплення понять та схем дій, вивчених
на попередньому уроці, то умови їх виконання можуть бути
такими самими, як і на попередньому уроці.
1. Наведіть приклади інтегралів, які можна обчислити:
1) використовуючи формулу Ньютона—Лейбніца та таблицю пер
вісних для функцій;

Урок № 72.Розв'язування вправ на знаходження визначених інтегралів 133
2) використовуючи властивості визначеного інтеграла;
3) попередньо перетворивши підінтегральні вирази.
2. Поясніть, як можна обчислити інтеграл:
Ь Л ь ь
1) [ шХ ;2) [2віпл:йл:; 3) Гвіп2л:с?лет;
" СПТІ ЛГ 4 J
о о
4) |(зіпл: + 8Іп2л:)<2л:; 5) |віп2л:<2л:.
1—4. Обчисліть інтеграл.
2/ о Л 0
1. 1) ПЗл;2— g dx; 2) J(2л:н-1 dx;
iV х ) -і
3 ) l H ^ 4>îf3^ 48'о(2-0,5ж) JA
2. 1) Jsin2xdx; 2) j 2<f* ; 3) j
л:4y
sin 2л:
2віпл: +
2cos
2X
dx.
3*. 1) J
і
3)J(
22л:5- л:3- 8
їв
x
dx;2) J
X
* - 3
4
V
dx;
- 2 dx.
{y2/3x-2
n n
2 6
4*. 1) |віпл:со8л:<іл:; 2) J
4) J
cos 2л:
%
4
dx; 3) J cos f 71^x + —
V 3j
-sin ( я YЛ Н —
v 3y,
sin
2 4
dx; 5) |tg2л:йл:.
&
5. Обчисліть інтеграл |/(л:)с?л:, якщо f{x) =
x 2+ 1, якщо л:< 1,
4л:, якщо х>1.
6. При якому значенні а значення інтеграла J (6 -2 x)dх най-
о
більше?

7. При яких значеннях b виконується нерівність:
Ь Ь Т
1) Ь х Ч х > 1 ;2 *) J - | - 1
о
dx
х2
і
< - ?
8
71
1. Чому дорівнює сова, якщо зіпа = 0,6 і —<а<7і?
2
_ _ . совТа + сова
2. Спростіть вираз------------------ .
8Іп7а-віпа
Повторити: означення криволінійної трапеції та формулу для
обчислення її площі.
УРОК № 73
ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР
Мета: працювати над засвоєнням учнями поняття плоскої
фігури.
Сформувати вміння:
S виконувати рисунки плоских фігур;
S знаходити межі інтегрування у формулі для обчислення площі
фігури.
Розпочати формування вміння обчислювати площі плоских
фігур.
Наочність та обладнання: конспект «Обчислення площ плоских
фігур».
Хід уроку
Збираємо зошити учнів із метою перевірки й оцінювання якос
ті виконання домашнього завдання. У разі необхідності учні отри
мують правильні розв’язання цих вправ для самостійного опрацю
вання вдома.
Для створення відповідної мотивації пропонуємо учням
розв’язати завдання.
Завдання.Обчисліть площу фігури, зображеної нарисунку:

Урок № 73. Обчислення площ плоских фігур 135
у=£(х)
у=к М
Обговорюючи види фігур, зображених на рисунках, учні мають
усвідомити, що жодна з них не є криволінійною трапецією. Про
те площі цих фігур можуть бути виражені як різниці площ деяких
криволінійних трапецій.
Таким чином формулюємо завдання: навчитися обчислюва
ти площі фігур, що можуть бути виражені через суму або різницю
скінченної кількості криволінійних трапецій.
1. Знайдіть проміжки знакосталості функції:
1) f(x) = x + 5; 2) /(х ) = (л :-і)3; 3) f(x) = x2+3x; 4) /( х) = 4 х - х 2.
2. Порівняйте значення функцій /Длс) і /2(я) на відрізку [а;Ь],
якщо: 1) £ (лс)= [х - 2)2, £{х) = х, а = 1, Ь= 4;
2) £{х) = х2>£(х) = у[х, а = 0, Ь= 1.
3. Установіть відповідність між функціями (1-4) та ескізами їх
графіків (А-Д).

4 у = х3+1 Г
VV
0 1 X
Д Уі
1
Ґ
г
X
4. Укажіть правильний вираз для обчис
лення площі фігури, зображеної нари
сунку.
2 0
А) 5 = |/(л;)йл£;; Б) 5 = |f(x)dx;
і
з
-2
З
1
У>* :
і і/
/ -1 і 1У
ф
м
/
X
ю 3
5. Знайдіть площу фігури, обмежену лініями у = х2+ 1, лс= -3 ,
х = 3 та віссю абсцис.
1. Обчислення площ плоских фігур.
Конспект 43
Обчислення площ
плоских фігур
Приклади
1. Якщо функція f[x)
неперервна і невід’ємна
на відрізку а;Ь], то
площу фігури, обмеже
ної графіком цієї функції
та прямими х - а і х = Ь,
обчислюють за форму
лою
Обчисліть площу фігури,
обмеженої графіком функ
ції у = 4 - х 2 та віссю
абсцис.
Розв'язання. Графік функції
у = 4 - х 2 перетинає вісь
абсцис у точках -2 і 2.
Функція у = 4 - х 2 непе
рервнаі невід’ємна на
відрізку [-2; 2].

Приклади
6
5=| [4-х2^йх = 4 х -
хз Л
= 10-
-2
Відповідь. 10-
2. Якщо неперервна
функція /(лс)< 0 на
відрізку [а;Ь], то площу
відповідної криволінійної
трапеції обчислюють за
ь
формулою 5 = -| /(л;)с2л;
Обчисліть площу фігури,
обмеженої графіком
функції у = х2- 4 і віссю
абсцис.
Розв'язання. Графік функції
у = х2- 4 перетинає вісь
абсцис у точках -2 і 2.
Функція у - х2—4 непе
рервна і від’ємна на
відрізку [-2; 2].
&
5 = - | [х 2- 4 ^ сі х = -
гх*
-2
-4 х =10
Відповідь. 10-
3. Якщо функція непе
рервна на відрізку [а;Ь]
і набуває на цьому відрізку
як додатних, так і від’єм
них значень, то відрізок
[а;Ь] слід розбити на такі
частини, на кожній з яких
функція f(x) зберігає свій
знак, потім обчислити
відповідні цим частинам
площі і здобуті результати
додати
Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком
функції у = 1 -х 2, віссю абсцис та прямими
х - 0 , х - 2 .
Розв'язання. На відрізку
[0;2] функція у = 1 -х 2
набуває як додатних,
так і від’ємних значень:
при л;є[0;і] і/>0,при
л ;є[і;2 ] у < 0.
8 =|(і-л:2)с?л:+|-^ {-х 2^йх
( X 3 )
і
Г * 3 1
2
1 8 _ Гі ^
х --- + ---X = 1 — + — 2- — і
1 з і 0 І з 3 3
і
Із }
=2.
Відповідь. 2

Приклади
4. Площу фігури,
обмеженої графіками
двох неперервних
функцій £(*), /2(л;)
і двома прямими х = а,
х = Ь, де Уі(я:)>/2(л;) на
відрізку [а;Ь, обчислю
ють за формулою
Обчисліть площу
фігури, обмеженої
графіками функцій
у1=х2-1-2 і у2= х-1-4.
Розв'язання. Знайдемо
абсциси точок перети
ну графіків поданих
функцій: х2+ 2 =х + 4,
звідки хх= -1 , х2=2.
На відрізку [—1;2]
Уг^Уі-
& &
8= | ((я+4)-(я;2+ ^ й х = І (х +2- х 2)йх =
- і - і
-і
=4 І.
2
Відповідь. 4—
2
Робота з опанування нових способів застосування формули
Ньютона—Лейбніца для обчислення площ фігур, обмежених
графіками кількох неперервних функцій, передбачає розвиток
конструктивного мислення; оволодіння учнями «геометрични
ми» вміннями, тобто вміннями «побачити» фігуру, площу якої
слід виразити через визначені інтеграли як частину більш
складної фігури, що складається з кількох криволінійних тра
пецій. Ця робота буде продуктивною за умови проведення від
повідної пропедевтичної роботи на етапі актуалізації опорних
знань і вмінь та опрацювання на великій кількості різноманіт
них прикладів. Стосовно способу обчислення площі фігури, об
меженої графіком від’ємної напроміжку функції, то для учнів,
які мають високий рівень інтелектуальної активності та відпо
відний рівень математичної підготовки, досить зрозумілою
є теза про неможливість застосування способу обчислення пло
щі в цьому випадку і необхідність виконання геометричного
перетворення графікафункції (симетрії відносно осі О х ) тавід
повідного перетворення її рівняння для обчислення площі (ін
теграл може бути від’ємним, а площа — ні). Зрозуміло, що при
цьому учні усвідомлюють, що під час виконання такого пере-

творення (симетрія є рухом) фігура перетворюється в рівну фі
гуру, тому площа фігури не змінюється.
Під час обчислення площі фігури, обмеженої графіками
функцій, які на відрізку [а;Ь набувають як додатних, так
і від’ємних значень, використовуємо властивості площі, ві
домі учням із курсу геометрії.
Укажіть формулу, за допомогою якої можна обчислити площу
фігури, зображеної нарисунку:
1) 2)
1-2. Обчисліть (попередньо виконавши рисунок) площу фігу
ри, обмеженої заданими лінями.
1. 1) у = х3, у = 8, х = 1;2) у = х2-2 х + 4, у = 3, х = -1.
2. 1) у = 4 х - х2, у = 4 - х ; 2) у = х2, у = 2х.
3. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = 8 х -х 2,
дотичною до цієї параболи в її вершині та прямою х = 0.
1. Побудуйте графік функції у = 2 э т
( п
х + —
4

2. Спростіть вираз sin2oc(tga + ctgoc).
Розв’язування основної частини як усних, так і письмових
вправ передбачає формування вмінь обчислювати площі
фігур, обмежених графіками функцій, за допомогою ви
значеного інтеграла способами, розглянутими вище. Вико
нання письмової вправи № 3 передбачає додаткову роботу зі
складання рівняння однієї із функцій, що обмежує фігуру,
з подальшим обчисленням її площі одним із розглянутих
способів.
Поясніть на прикладах, як можна обчислити площі фігур, об
межених:
1) графіком неперервної і невід’ємної на відрізку [a;b функції;
2) графіком функції, від’ємної на відрізку [a;b];
3) графіками кількох невід’ємних на відрізку a;b функцій;
4) графіками функцій, які на відрізку [a;b] набувають як додат
них, так і від’ємних значень.
1-2. Обчисліть (попередньо виконавши рисунок) площу фігу
ри, обмеженої заданими лінями.
1. 1) у = 2cosx, у - 1, х = - —, х = — ;
З З
04 1 71 571
2) у = sin i, у = —, х = —, х = — .
' * у 2 6 6
2. у = 6 - 2х, у = 6 + х - х 2.
1. Побудуйте графік функції у = -cos
(
х + —
V 3 у
, (п ^ . / ч
tg ^ -сс sin(7i+aj
2. Спростітьвираз — --- --- г--
cos(27t-a)

УРОК № 74
М ет а: працювати над закріпленням знання учнями схеми дій
під час обчислення площ плоских фігур.
Продовжити формування вмінь учнів обчислювати площі плос
ких фігур.
Типуроку: закріплення знань, формування вмінь.
Н аочніст ь т а обладнання: конспект 43.
Хід уроку
Правильність виконання вправ домашнього завдання переві
ряємо за зразком (зразок розв’язання заздалегідь виконано окре
мими учнями або вчителем).
шляхом проведення тестової роботи, яку перевіряємо, обговорює
мо й за необхідності коригуємо одразу після виконання.
Варіант 7
1. Укажіть формулу, за якою можна обчис
лити площу 5 фігури, зображеної нар и -
сунку.
і
А) ^ ( х - х 2 } ( і х ; Б) j(x2- х } с і х ;
0
1
В) j(x 2-Ї)с1х; Г) |х 2сіх.
о о
2. На рисунку зображено графік функції
y = f{x). Укажіть формулу для обчис
лення площі зафарбованої фігури.
2 0 2
A) з|/(х)йл:; Б) ^{х)<1х-2^{х)<1х
0 -2 0
2 0 4
B) 2 ^ (х )й х - ^ [х )й х ; Г) ^ [х )й х .
ук
1
1
1 1 1
р( 1
1
1 і
-1Л)
1
і
і
! 2
і
/
1
1
і
і
-1 0
11 | і
V
1
1
- V
_ / 2 _
Ті
/____
1
1
- А -
і
___і_
і
і
1
___1
к 1
1
1
1 .
1
1 .
і
і
1
1

3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 6х2
х = -1, я; = 0. А) 3; Б) 6; В) 9; Г) 2.
Варіант 2
1. Укажіть формулу, за якою можна обчис
лити площу 5 фігури, зображеної нари-
У = 0,
сунку.
4 , Л
A) J* —+ 5 - х d x; Б) J ----5 - х dx;
В) П 5 -* --| Л е ;Г ) U - - 5 + X

dx.
г
і 11 14і 1 1
Д'2/=t—1 ' '
4 V 1 V і 1 1
1 1 1
уЧ. 1 1 1 1
VsUи=_5-жіA TV ^ 1 1 1
1W 1 1
1 1 11 1 1
1 1 1 1 ^ " 1 -1
1 1 1 1
0 X і X
1 1 1 1 1
і і і 1 1
2. На рисунку зображено графік функції
y = f(x). Укажіть формулу для обчис
лення площі зафарбованої фігури.
4 4 2
А) ^ ( х ^ х ; ! * ) ^ ( х ^ х - ^ ( х ^ х ;
о
2
В) ^f(x)dx-^f{x)dx Г) 2^f(x)dx.
У>
1
1 У - і < 4 “
121
1
1
- t o , 3
1 У
/
X
у 1 2 А
^ - 1
1
і
і
3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 3х2, у = 0,
х = -1, х = 1. А )1 ;Б ) | ; в )3; Г) 2.
Якщо учні припустилися помилок під час виконання до
машнього завдання та тестової роботи, то це є умовою для
мотивації навчальної діяльності учнів. Якщо таких поми
лок було багато, то метою уроку може бути усунення при
чин цих помилок та відпрацювання навичок застосування
вивчених схем дій під час розв’язування задач.
Якщо домашнє завдання та тестова робота були виконані
загалом вдало, то мета уроку може бути сформульована як
відпрацювання навичок застосування вивчених схем дій
у стандартних і нестандартних ситуаціях (зміст завдань для
розв’язування має бути доповнений завданнями відповідно
го рівня складності).
і о ~ •п о 2 п І 1 оч З 3 Л 2 8 1
1. Знайдіть значення виразу: 1) 8 ------ 1+ 1—; 2 ) -----1-1---------1-1.
З 3 3 3 3

2. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій:
1) у = х2- 2 і у = -х ; 2) у = х2- 5х + 3 і у = 3 + 4 х - 2х2;
3) у = — і х + у = 5.
х
1 16 5
3. Обчисліть інтеграл: 1) |[х2+6х}(1х; 2) |л[ х с і х ; 3) |
-2
Ы х
X
V. Формування вмінь
1. Площу якої із фігур 1)-4), зображених на рисунку, можна об-
ь ъ
числити за формулою: 1) ^ (х )й х ; 2) - ^ ( х )сіх1
2. З-поміж формул J(x2-l)d x ; ^{і + х2}йх; ^ { і- х 2^йх; |х2йх
-і -і -і -і
виберіть ту, за допомогою якої можна обчислити площу фігу
ри, зображеної нарисунку.
1) 2)
1-4. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями.
1. 1 )х 2-4 х + 5 , у = 5 - х ; 2 ) у = 8 - х 2, у = 4.
4 7
2. 1) у = , у = 4, х = 4; 2) у = , х + у = 8.
X X
3. 1) у = х2-6 х + 9, у - 5 - х ; 2) у = 4 - х 2, у = х + 2.
4. 1) у = - х 2+2дс + 1, у = х2- 4 х + 5; 2) у = х2, у = 4 х - х2.

5*. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = х 3-4 х
і дотичною до цього графіка в його точці з абсцисою 2 і віссю ор
динат.
1. Знайдіть значення cosа , якщо tga = -3 і — <а<2л.
2
_ . sinЗа + sin а - 2 sin2а
2. Спростіть вираз--------------------------------.
cosЗа + cosа - 2cos2а
Запропоновані вправи передбачають удосконалення вмінь
учнів обчислювати площі плоских фігур, а також обчислю
вати визначені інтеграли за формулою Ньютона—Лейбніца
та використовувати властивості визначених інтегралів.
Крім того, виконуючи ці вправи, учні повторюють елемен
тарні функції та їх графіки, розв’язують рівняння, викону
ють арифметичні обчислення, що сприяє підвищенню їхньої
загальної математичної культури.
З метою свідомого засвоєння формул для обчислення площ
фігур доцільно вимагати від учнів обґрунтованого застосу
вання тієї чи іншої формули в кожному з випадків. Наголо
шуємо на тому, що для розв’язування задач на обчислення
площ фігур необхідним є виконання чіткого й охайного ри
сунка.
Оскільки розв’язування як усних, так і письмових вправ пе
редбачає закріплення схем дій, вивчених на попередньому
уроці, то умови їх виконання можуть бути такими самими,
як і на попередньому уроці.
Контрольнезапитання
Обчислюють площу фігури, обмеженої лініями у = х2- 4х + 4
і у = 4 - х. Чи правильно, що:
1) графіки заданих функцій перетинаються в точках з абсцисами
1 і 4;
2) на відрізку (0;3) графік функції у = 4 - х розташований вище
від графіка функції у = х2- 4х + 4;
3) площу заданої фігури можна обчислити за формулою
з
J((4 - х ) - (х2- 4х + 4)jdx;
о
4) число, яке виражає площу заданої фігури, більше від 5?

1-4. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями.
1. 1) у = х2- Зх + 4, у = 4 - х ; 2) у = 6 - х 2, у = 5.
З 5
2. 1) t/= , у = 3, х = 3; 2) г/= , х + г/= 6.
х х
3. 1) і/ = х2+2х + 1, у = х + 3 ;2 ) г/= 4 - х 2, у - 2 - х .
4. 1) г/= х2+ 2х + 2, г/= 6 - х2; 2) у = х2, у = 2х - х2.
1. Чому дорівнює значення виразу
2sin23oc+ 5 sin ^ 7i: 'о с
2
+ 2cos2За,
якщо cosa = 0,2?
2. Спростіть вираз sin
Ґ 7ГЛ л/З
а + — ------ cosa.
З 2
УРОК № 75
Мета: продовжити роботу з удосконалення знань учнями схеми
дій під час обчислення площ плоских фігур.
Працювати над формуванням сталих умінь і навичок обчислю
вати площі плоских фігур.
Хід уроку
Оскільки вправи домашнього завдання відтворювали ситуації,
розглянуті на попередньому уроці, то перевіряємо тільки правиль
ність обчислень. У разі необхідності відповідаємо на запитання
учнів або роздаємо готові розв’язання для опрацювання вдома.
З метою перевірки рівня засвоєння матеріалу проводимо само
стійну роботу. Одразу після виконання роботи організовуємо само-
або взаємоперевірку за готовими розв’язаннями.

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = х2- 9, у = - 5;
2) у = х 2- 4 х + 3, у = 3 + 2х - х 2
1) у = х2- 16, у = - 7.
2) у = 5 + 3 х - 2 х 2, у = х 2- З х - 4
Мета і завдання уроку пов’язані з результатами виконання
учнями домашнього завдання і самостійної роботи. Якщо
під час виконання цих робіт в учнів виникли утруднення або
вони припустилися типових помилок, то завданням уроку
є подальше відпрацьовування вмінь і навичок обчислювати
площі плоских фігур (розглядаємо ситуації, аналогічні тим,
що були на попередньому уроці, а також обчислення площ
фігур, обмежених графіками тригонометричних функцій
і відповідними прямими). Якщо більшість учнів із цими ро
ботами впоралися вдало, то пропонуємо для розв’язування
нестандартну задачу (вибір задачі залежить від рівня мате
матичної підготовки учнів). Наприклад, таку.
Задача.Обчисліть площу фігури, обмежену лініями
у = 0 і у =
71
4COS#, якщо - —< х < 0,
4 - х 2,якщо 0 < х <2.
Після обговорення учні доходять висновку, що ситуація не
схожа на ті, що були розглянуті на попередніх уроках. Отже, ме
тою уроку є розв’язування нестандартних задач і задач підвищеної
складності.
71 71
1. Знайдіть значення виразу: 1) sin— sin—; 2) sinO + sinTi;
6 З
тс тс ТС тс тс тс
3) sin—+ sin—; 4) cos— cos—; 5) cos—+ cos7c; 6) cos7t-cos—.
4 2 4 3 2 6
2. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій:
1) у = sinx і у = - ; 2) у = 2cos# і у = 1; 3) у = -sin2x і у = ~—.
2 2

71
2
3. Обчисліть інтеграл: 1) |этхс£х; 2) |соэх</х.
V. Формування вмінь і навичок
1. За допомогою якого визначеного інтеграла можна обчислити
площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = х2,х= 2, х = 4, г/= 0; 2) у= х3 -1 , х = 3, х = 9, г/ = 0;
71 7Е 71 71
3) у = віпх, х = —,х = —, у = 0; 4) г/= с о б х , х = — , х = — і віссю
3 2 2 2
абсцис?
і і і і
2. Який із виразів: |(х2-1 )с£х; /(і+ ж 2)^ /(1 - х 2)йх; |х2йх
-і -і -і -і
дорівнює площі фігури, зображеної нарисунку?
1)
V 1
1 ї / >
1 '/
1 /
Г 1
і
1 /
1 /
Д і
1
1 /
1 /
1 і'7
_ 1
0
- 2 /
1
____ 1_____
— х 2-^
1
1
-1-
/ і
і
і
і
1—4. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями.
1. 1) у = у]х + 1, у = /7-х, у = 0; 2) у = 4х, у = 2 - х 2, г/= 0.
д
2. 1) у - х3, у - х , у = -2 ;2 ) у = — , у = х - 2, х = 2.
х
3. 1) у - 2созх, г/ —0, х = - —, х = — ;
7 ’ 6 6
2) і/ = ЗзіпГх + — , у = 0, х = —— , х = — .
^ 4 ^ 4 4
4*. 1) і/ = 2зіпх, г/= -віпх, 0 < х <
271
X
2) у = 2соэ —+ 1, і/ = 0, х = 0, х = 7С.

5. Обчисліть площу фігури, зображеної нарисунку:
1)
2)
6. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = х2
і дотичними, проведеними до графіка цієї функції в точках
х = -1 і х = 2.
7. При якому значенні а пряма х = а ділить фігуру, обмежену
g
графіком функції у = — та прямими у = 0, х = 2, х = 8, на дві
х
рівновеликі частини?
1. Знайдіть найбільше значення виразу 12sin а - 5cos а .
2. Побудуйте графік функції /(x ) = ctgx|sinx|.
'tS k Запропоновані вправи передбачають обчислення площ плос
ких фігур як у стандартних, так і у нестандартних ситуаці
ях. У зв’язку з цим доповнюємо схему дій, яку було засто
совано на попередніх уроках для обчислення площ плоских
фігур. Так для розв’язування письмових вправ № 1, 2 і 5
спочатку знаходимо межі інтегрування; для розв’язування
письмової вправи № 6 спочатку складаємо рівняння дотич
них до графіка функції, проведених у різних точках, а потім
знаходимо межі інтегрування; для розв’язування письмової
вправи № 7 складаємо і розв’язуємо відповідне рівняння,
враховуючи поняття рівновеликих частин.
Як і на попередніх уроках, вимагаємо від учнів обґрунтуван
ня дій під час розв’язування задач та наголошуємо на необ

хідності виконання чіткого й охайного зображення фігури,
площу якої обчислюємо.
Бліцопитування
Установіть відповідність між заданими фігурами (1-4) та фор
мулами для обчислення їхніх площ.
1 Фігура, обмежена параболою
у - х [ х - 2) та прямою у - 3
А 4
j(x 2-2x)dx
2
у = х2- 2 х - 3 та прямою у = - 3
Б 2
j ( 2 x - x 2)dx
0
у = х2- 2 х - 3 та прямою у = 5
В 3
J(З+2x - x 2Jdx
-і
у = х ( х - 2) та прямими х = 4,
у =о
Г 4
j (x2- 2 x - 9Jdx
-2
Д 4
j (8 +2x - x 2Jdx
-2
Умова домашньоїсамостійноїроботи
Варіант 7
1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями
у = 4 х - х 2, у + х - 4 .
2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій
у = (х + 2)2, у = -х + 4 та віссю абсцис.
3. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = sinх ,
71 71 ■ «прямими х = ~—, х = — та віссю абсцис.
4. Знайдіть площу фігури, обмеженою параболою у = 2 х - х 2, до
тичною, проведеною до цієї параболи в точці з абсцисою х0 = 2,
та віссю ординат.

Варіант 2
1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями
у - - х 2-4 х , у - х - 4 .
2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій
у = {х - 2)2, у = х + 4 та віссю абсцис.
3. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = совя;,
71 к ■ «прямими х = ~ — , х = — та віссю абсцис.
4. Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою у = З х - х 2, до
тичною, проведеною до цієї параболи в точці з абсцисою х0 = З,
та віссю ординат.
і г. • 1- cos2а
1. Спростіть вираз---- ~--------- tgocctgoc.
sin a -1
, v smxl
2. Побудуйте графік функції f(x) = L-^
sinx
УРОК № 76
[ОБЧИСЛЕННЯ ОБ'ЄМІВ ТІЛ]
Мета: працювати над засвоєнням формул для обчислення
об’ємів тіл.
Розпочати формування вмінь учнів застосовувати визначений
інтеграл до обчислення об’ємів тіл.
Наочність та обладнання: конспект «Обчислення об’ємів тіл».
Хід уроку
Збираємо зошити учнів для перевірки й оцінювання домаш
ньої самостійної роботи. За необхідності роздаємо учням правильні
розв’язання задач для самостійного опрацювання вдома.
Створюємо відповідну мотивацію через проблемну ситуа
цію, запропонувавши учням практичне завдання.

Урок № 76. [Обчислення об'ємів тіл] 151
Завдання. Обчислити об’єм яблука, яке має неправильну форму,
і тому використати яку-небудь відому формулу для обчислення
об’єму неможливо.
Якщо рівень розумової активності учнів достатньо високий, то,
можливо, вони здогадаються (за аналогією з обчисленням площі
криволінійної трапеції), що яблуко слід розрізати на тоненькі ски
бочки, кожну з яких можна вважати циліндром, виміряти радіус
кожного циліндра й обчислити об’єм за відомою формулою.
Після заслуховування пропозицій, які вискажуть учні, пові
домляємо, що існує спосіб застосування інтеграла до обчислення
об’ємів тіл. Отже, завдання уроку — сформувати вміння викорис
товувати визначений інтеграл для обчислення об’ємів тіл.
1. Що таке об’єм геометричного тіла?
2. Сформулюйте властивості об’єму геометричних тіл.
1. Знайдіть значення виразу:
1) І 4 - І + 2 ; 2 ) 4 Ї + ! + ” - 7 ; 8 ) “ + ^ - » .
2 3 3 3 5 3
2. Подайте у вигляді многочлена:
1) (х2-2 х )2; 2) (х + х2)2; 3) (2 -х 2)2.
2 5 1
1) |с£х; 2) |іОс/х; 3) | (і- х 2^ (їх;
2 , -V г9сіх
4) І (лІ2совх) сіх; 5) | 2 *
1 *
2
1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’єму
будь-якого тіла.
2. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’єму тіла,
одержаного в результаті обертання криволінійної трапеції на
вколо осі Ох.
3. Приклади застосування визначеного інтеграла до обчислення
об’ємів тіл.

Конспект 44
1. Застосування визначеного інтеграла до
обчислення об’єму будь-якого тіла
Якщо тіло вміщене між двома перпендику
лярними до осі Ох площинами, що
проходять через точки х = а і х = Ь,то
ь
V = , де 5(л:) — площа перерізу
тіла площиною, що проходить через точку
л:є[а;б] і перпендикулярна до осі Ох.
2.Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’єму тіла,
одержаного врезультаті обертання криволінійної трапеції навколо
осі Ох
Якщо тіло одержане в результаті обертан
ня навколо осі Ох криволінійної трапе
ції, яка обмежена графіком неперервної
і невід’ємної на відрізку а;Ь] функції
у = f(x) і прямими х = а і х = Ь, то
о
F = яjV2[х)йх
Приклад. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо
осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = 4 - х 2 та у = 0.
Розв'язання.Зобразимо задану фігуру і переко
наємося, що вона є криволінійною трапецією.
У цьому випадку об’єм тіла обертання мож
на обчислити за формулою
о
V = ^ljf2(х)<1х,
Щоб визначити межі інтегрування, знай
демо абсциси точок перетину заданих ліній.
4 - х 2= 0, х1= - 2 , х2=2.
Тоді
& &
V = n j ( 4 - х 2^ йх=ті^ (і6 -8 х 2+ х А}<Іх=%
(
-2
Л^» /у*
1 6 х -8 ---- +—
З 5
= 34— 71.
15
Відповідь. 34— 7Г.
15

Викладення нового матеріалу проводимо лекційним спосо
бом близько до тексту підручника. Зауважуємо, що з понят
тям об’єма тіла та його властивостями учні ознайомилися на
уроках геометрії. Тому з метою свідомого сприйняття ново
го матеріалу повторюємо поняття об’єму геометричного тіла
та властивості об’єму.
Задача обчислення об’єму тіла за допомогою визначеного
інтеграла аналогічна до задачі знаходження площі криволі
нійної трапеції. Повне доведення формули для обчислення
об’єму тіла за допомогою визначеного інтеграла наведено
в курсах математичного аналізу. На уроці зупиняємося на
наочних міркуваннях, що приводять до цієї формули.
Згідно з чинною програмою з математики вивчення цієї
теми не є обов’язковим. Проте розглядання теми надає
можливість ознайомлення учнів із застосуванням єдиного
математичного апарату. З’являється нагода ілюстрації і за
стосування такого математичного апарату, як інтегральне
числення, не тільки в курсі алгебри, а й геометрії.
Ця можливість у кінці вивчення курсу шкільної математики
реалізується як ілюстрація єдності й широкого застосування
математичних методів у різних сферах людської діяльності.
1. Знайдіть значення а і & і побудуйте функцію 5 (я) для обчис-
ь
лення за формулою V = об’єму призми, якщо перері-
а
зом призми площиною, перпендикулярною до осі Ох, є основа
призми площею 6 см2, а висота призми дорівнює 7 см.
(Відповідь. а = 0, Ь= 7, 5(л:) = 6, оскільки всі перерізи призми
площинами, паралельними основі, рівні, тобто мають рівні площі.)
2. Перевірте правильність формул для обчислення із застосуван
ням визначеного інтеграла об’єму:
н
1) призми: V =де 5 — площа основи, Н — висота;
о
н
2) циліндра: V = jn R 2dx, де і? — радіус основи, Н — висота;
о
д
3) кулі: У = § - х 2}йх, де Д — радіус кулі.
-я

1. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис
криволінійної трапеції, обмеженої лініями:
1) у = х2+ 1, х - 0, х - 1, у = 0; 2) у = л/х, х - 1, у = 0.
фігури, обмеженої лініями:
1) у - х2, у - х ; 2) у - х + 2, г/= 1, х = 0, х = 2.
V
3. Обчисліть —, де V — об’єм тіла, утвореного в результаті обер-
п
тання навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями
З
у = , у = 0, х = 1, х = 3.
х
( . 2л^
sin—
З
1. Чому дорівнює значення виразу arccos
V
2. Знайдіть корені рівняння 2sin2х = 1+ cosх .
Вправи, запропоновані для розв’язування на уроці, сприя
ють засвоєнню формул для обчислення об’ємів тіл за допо
могою визначеного інтеграла. Зауважуємо, що схема дій,
яка застосовується для розв’язування задач на обчислення
об’ємів тіл, аналогічна до схеми дій під час розв’язування
задач на обчислення площ плоских фігур.
Звертаємо увагу учнів на необхідність виконання охайного
й чіткого рисунка фігури, яка обертається. Для вибору форму
ли, за якою можна обчислити об’єм заданого тіла обертання,
перевіряємо, чи одержали подане тіло у результаті обертання
криволінійної трапеції. Як і під час розв’язування задач на
обчислення площ фігур, знаходимо межі інтегрування, тобто
абсциси точок перетину заданих ліній.
Найчастіше в задачах на обчислення об’ємів тіл за допомо
гою визначеного інтеграла до відповіді записують числове
значення об’єму, але можна підкреслити, що ми одержали
саме величину об’єму, і записати, наприклад, 10 куб. од.
(кубічних одиниць).
Поясніть, як можна обчислити об’єм тіла за допомогою визна
ченого інтеграла. Наведіть приклади.

криволінійної трапеції, обмеженої лініями:
1) у = 4 х , х = 1, х = 4 , у = 0; 2) у = 1 - х 2, у = 0.
1) у = 2х, у = х + 3, у = 0, х = 1; 2) у = л/х, у - х .
V
3. Обчисліть — , де V — об’єм тіла, утвореного в результаті обер
те2
тання навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями
і— 7171
у - v 2cosx, у - 0 , — < х< —.
* у 2 2
Виконати додаткові вправи на повторення.
( ( nV1. Обчисліть: arccos sin — .
I I 4 JJ
2. Розв’яжіть рівняння 3cos2x + 7 sin x-5 = 0.
УРОК № 77
[ОБЧИСЛЕННЯ ОБ'ЄМІВ ТІЛ]
Мета: закріпити знання формул для обчислення об’ємів тіл за
допомогою визначених інтегралів.
Удосконалити вміння учнів застосовувати визначені інтеграли
до обчислення об’ємів тіл. Працювати над формуванням навичок
обчислювати об’єми тіл за допомогою визначених інтегралів.
Хід уроку
Вправи домашнього завдання відтворювали ситуації, розгля
нуті на попередньому уроці, тому перевіряємо тільки правильність

обчислень. За необхідності роздаємо правильні розв’язання для са
мостійного опрацювання вдома.
Рівень засвоєння матеріалу, розглянутого на попередньому
уроці, з’ясовуємо за допомогою тестових завдань, які перевіряємо
та за необхідності коригуємо відразу після виконання.
Варіант 7
1. Укажіть формулу, за допомогою якої можна обчислити об’єм
V тіла, утвореного під час обертання навколо осі Ох криволі
нійної трапеції, зображеної нарисунку.
7Г
2
А) V = вій2хсіх; Б) V = п§віп.х(1х;
7Г
4
В) V = 7г|э т 2хсіх; Г) V = |віп2хсіх.
2. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криво
лінійної трапеції, обмеженої лініями у = [х, У = о, х -1 , х -4 .
А) 1,5ті; Б) 7,57і ; В) 7 ,5 ; Г) 5тс.
3. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох
фігури, обмеженої лініями у = х - х 2 і у = 0.
2% 7С 7С 271
А ) 2 7 ; Б ) Ї 5 ; В ) 3 6 ; Г ) Т -
Варіант 2
1. Укажіть формулу, за допомогою якої можна обчислити об’єм
V тіла, утвореного під час обертання навколо осі Ох криволі
нійної трапеції, зображеної нарисунку.
А) V = І сов2хсіх; Б) V = п | совятсй:;
71
2
ТЕ
2
71
4
В) V = 711 соэ2ХСІХ Г) V = п І соэ2ХСІХ.
2. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криво
лінійної трапеції, обмеженої лініями у = х4, у = 0, х = 1, х = 2.
А) 6,2; Б) 6,57і; В) 6,2тс; Г) 5,8те.

фігури, обмеженої лініями у = х2+ х і у = 0.
A4 ^ Т} Зтс . 1
А) — ; Б) — 7і; В) — ; Г) — п.
ЗО ЗО 31 15
Відповідною мотивацією може бути необхідність удоскона
лення вмінь застосовувати визначений інтеграл до обчис
лення об’ємів тіл, оскільки під час виконання домашньої
роботи та тестових завдань учні припустилися помилок.
Якщо більшість учнів впоралися з домашнім завданням
і тестовою роботою вдало, то пропонуємо їм завдання підви
щеної складності (залежно від рівня математичної підготов
ки учнів). Наприклад:
Обчисліть об’єм пісочного годинника, бічна поверхня якого
утворена обертанням навколо осі ординат лінії у - arccos#.
(Обертання графіка функції у = arccos# навколо осі ординат
можна замінити обертанням графіка функції у - cos#,
#є[0;я] навколо осі абсцис. Отримаємо той самий годин-
ТС
ник, тільки покладений на бік. Тоді V = TtJcos2xdx.)
о
Тож завдання уроку — удосконалення знань і вмінь, а та
кож формування стійких навичок обчислювати об’єми тіл із
застосуванням визначеного інтеграла.
Обчисліть
9 dx
іть інтеграл: 1) f4#6rf#; 2) f2sin2#rf#;3) [—
о і І 2V#
ТС
~ 2 0
4) I cos#2<2#; 5) j*(#5-3 # 2) dx.
-2
V. Формування вмінь
фігури, обмеженої прямими у - х , # = 1, у = 0.
1) у = х2, # = 1, # = 2, у = 0 ;2 ) у = лІ2х; # = 3, у = 0.

1. Фігура, обмежена лініями у = 2л/я, у = 0, х = 0, х = 4, оберта
ється навколо осі Ох. Знайдіть об’єм тіла, утвореного під час
обертання цієї фігури (вважати п = 3,14).
2. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеже-
ної лініями у = —х і у = sinjc, X
п * !
навколо осі Ох.
3. Обчисліть об’єм тіла, утвореного під час обертання криволіній
ної трапеції, обмеженої лініями у = л[х, х = 4, у = 0 навколо:
1) осі Ох; 2) осі Оу.
фігури, обмеженої параболами у2= х і у = х2.
5. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі орди
нат фігури, обмеженої параболою у = 2х - х2 і віссю абсцис.
. cos(-P )-cos3(-P)
1. Спростіть вираз----- . .------^— -.
sin(-(З)cos р
2. Розв’яжіть рівняння cos2 x -5 co sx -2 = 0.
Розв’язування як усних, так і письмових вправ передбачає
закріплення понять та схем дій, вивчених на попередньому
уроці. Тому умови їх виконання можуть бути такими сами
ми, як і на попередньому уроці.
Обчислюють об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі аб
сцис фігури, обмеженої лініями у = 9 - х 2 і у = 0. Чи правильно, що:
1) задана фігура є криволінійною трапецією;
2) абсциси точок перетину заданих ліній дорівнюють -3 і 3;
3) об’єм заданого тіла можна обчислити за формулою
з
V = 2 n j(9 -x 2)2dx;
о
4) число, що виражає об’єм заданого тіла, менше від 129?

Урок № 78. Розв'язування прикладних задач 159
1. Фігура, обмежена лініями у = -х + 3, у = 0, # = 0, х = 3, оберта
ється навколо осі Ох. Знайдіть об’єм тіла, утвореного під час
обертання цієї фігури (вважати ті= 3,14).
2. Криволінійна трапеція, обмежена графіком функції у = sin#,
# є [0;7с] і віссю абсцис, обертається навколо осі Ох. Знайдіть
об’єм тіла, утвореного в результаті цього обертання
фігури, обмеженої лініями у = хг, у = 1, # = 3.
Виконати додаткові вправи на повторення.
1. Знайдіть значення sin а, якщо ctga = 2 і 7і< а < — .
2
2. Розв’яжіть рівняння cos2#-sin # cos# = 0.
УРОК № 78
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ
Мета: сформувати уявлення учнів про застосування визначено
го інтеграла до розв’язування прикладних задач.
Розглянути приклади застосування визначеного інтеграла до
розв’язування прикладних задач, а саме:
^ знаходження переміщення точки за поданий проміжок часу;
^ обчислення роботи, яку треба виконати для переміщення тіла
із однієї точки в другу;
^ обчислення маси неоднорідного стержня, якщо відомо, як змі
нюється його лінійна густина;
^ обчислення величини заряду, що переноситься за певний про
міжок через переріз провідника.
Працювати над формуванням умінь учнів застосовувати визна
чений інтеграл до розв’язування прикладних задач.
Наочність та обладнання: конспект «Застосування інтеграла до
розв’язування прикладних задач».
Хід уроку

Перевірку правильності виконання вправ домашнього завдан
ня здійснюємо за зразками, заздалегідь записаними на дошці вчи
телем або окремими учнями.
З метою свідомого засвоєння нового матеріалу проводимо бесі
ду, в якій нагадуємо учням, що їм відомі деякі приклади засто
сування визначеного інтеграладо розв’язування геометричних
задач, зокрема обчислення площ плоских фігур і об’ємів тіл.
У цих випадках величини, які знаходять, можна розгляда
ти як функції відрізка.
Повідомляємо, що існують фізичні величини, які також
можна розглядати як функції відрізка. Наприклад, перемі
щення обчислюють залежно від відрізка часу руху, робота
сили під час руху тіла по прямій залежить від пройденого
відрізка шляху, електричний заряд, що проходить через по
перечний переріз провідника, залежить від відрізка часу,
за який проводять вимірювання тощо. Ці та інші величи
ни можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла.
Отже, завдання уроку — розглянути приклади застосуван
ня визначеного інтеграла до обчислення величин.
4 1 3
Обчисліть інтеграл: 1) J—(3t2+2)dt; 2) J(2t2+t}dt;
о8 і
4 2 Я 0,04
3) |(51-34и)^и; 4) jfez3-z-l^jdz; 5) j x ( x - H ) 2dx; 6)J200xdx.
1 0 0 0
1. Застосування визначеного інтеграла до розв’язування при
кладних задач.
2. Приклади розв’язування задач із застосуванням визначеного
інтеграла.
Приклад 1. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) =
=(3+3£2) м/с. Знайдіть шлях, який пройде тіло за перші 5 с.
Розв'язання.За формулою (1) дістаємо:
5 5
s = J(3+ St2)dt = ( з * + t3) =140 (м).
о
Відповідь. 140 м.

Конспект 45
Застосування визначеного інтеграла до розв’язування прикладних задач
1. Знаходження переміщення точки за поданий проміжок часу
Припустимо, що точка рухається по прямій (по осі Ох) і відома швид
кість цієї точки. Знайдемо переміщення в точки за проміжок часу ;£2] •
Розглянемо відрізок часу + А#] і будемо вважати швидкість на цьому
відрізку сталою. Тоді одержимо: Ав(^) = и(і) А^, звідки
ч
8=|и(£)гі£. (1)
ч
2. Обчисленняроботи, яку треба виконати для переміщення тіла
із однієї точки в другу
Нехай тіло рухається по осі О х, у кожній точці якої прикладено деяку
силу Р = Р (я). Обчислимо роботу А , яку необхідно виконати під час
переміщення із точки х1 у точку х2. На малому відрізку шляху від
точки х до точки х +Ах можна вважати силу сталою, яка дорівнює
^(л:). Тоді ДА(л:) = Р[х)Ах. Звідси одержуємо, що всю роботу на відрізку
[лсх;лс2] можна записати у вигляді інтеграла:
*2
А = ^Р{х)йх. (2)
3. Обчислення маси неоднорідного стержня
Обчислимо масу т неоднорідного стержня, якщо відомо, як змінюється
його густина р(х). Розглянемо відрізок х;х + А#]. Вважаючи, що на цьому
відрізку густина стала, маємо: Ат(х) - р(я;)Ах, звідси
*2
т=^р(х)с1х. (3)
*і
4. Обчислення величини заряду, що переноситься за певний проміжок
часу через переріз провідника
Обчислимо величину д заряду, що переноситься за проміжок часу
[^5^] через переріз провідника. Нехай задано закон зміни струму
/ = /(£) залежно від часу. Тоді на малому проміжку часу +А*] можна
вважати силу струму сталою, яка дорівнює І (і), а Ад = І (#)А£. Отже,
ч
q = I(t)dt (4)
*1

Приклад 2. Обчисліть роботу сили Р під час стискування пружи
ни на 0,06 м, якщо для її стискування на 0,01 м потрібна сила 5 Н.
Розв'язання. За законом Гука, сила Р пропорційна розтягу або
стиску пружини, тобто Р = кх, де х — величина розтягу чи стиску
(у метрах), к — стала. З умови задачі знаходимо к. Оскільки при
Р
х = 0,01 м сила і7= 5 Н, то к = — = 500. Отже, Р(х) = 500#. Тоді за
х
0,06 ( х2
формулою (2): А = | ЬООхсІх =
0,06
= 0,9 (Дж).
о
500----
V 2 у
Відповідь. 0,9 Дж.
Викладення нового матеріалу проводимо залежно від рівня
розумової активності та математичної підготовленості учнів.
Якщо рівень розумової активності учнів не достатньо висо
кий, то розглядаємо тільки деякі приклади розв’язування
задач за допомогою визначених інтегралів (див. конспект
45). В іншому випадку не тільки наводимо приклади засто
сування інтеграла до розв’язування практичних задач,
а й пояснюємо, які саме величини можна обчислювати за до
помогою визначеного інтеграла. Тобто проводимо бесіду,
в ході якої домагаємося розуміння, що для обчислення ве
личин за допомогою інтеграла необхідно знати швидкість
зміни цих величин. Так, швидкістю зміни переміщення (або
відстані) є звичайна швидкість. Швидкістю зміни роботи за
лежно від часу є потужність, а залежно від переміщення —
сила. Швидкість зміни маси тіла — це його густина. Якщо
початкову величину задано у вигляді деякої функції, то її
швидкість знаходимо як похідну цієї функції. Інтеграл за
стосовують тоді, коли відома швидкість зміни початкової
величини. Якщо шукану величину подати у вигляді прирос
ту деякої функції .Р, то f є похідною Р і відповідно Р —
первісною для f. Тобто шукана величина є приростом пер
вісної для функції f або інтегралом від функції f.
Наводимо схему застосування інтеграла:
1) записуємо швидкість зміни шуканої величини за допомогою
диференціалів: dF = f(t)dt (або АР = f(t)At);
ч
2) переписуємо значення Р у вигляді інтеграла: Р = jf{t)dt;
ч
3) обчислюємо інтеграл відомими способами.

1. Швидкість руху тіла задано рівнянням и(^) = 2£-3 (м/с). Знай
діть відстань, яку подолало тіло за перші 5 с.
2. Лінійна густина неоднорідного стержня змінюється за законом
р(/) = 8/ + 1 (кг/м). Знайдіть масу стержня, якщо його довжина
дорівнює 50 см.
1. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю и(*) (м/с). Обчисліть
шлях, який пройде тіло за проміжок часу від £= ^ до £= £2, як
що: 1) и(і) = Ш2+ 1, ^ = 0, £2=4; 2) и{і) = 2£2+£, ^ = 1, £2=3.
2. Швидкість руху тіла в момент часу £ (с) задано формулою
и= 15-3£ (м/с). Який шлях подолає тіло від початку руху до
повної зупинки?
3. Яку роботу треба виконати для стискання пружини на 4 см,
якщо відомо, що сила 2 Н стискає цю пружину на 1 см?
4. Обчисліть величину заряду, що переноситься через поперечний
переріз провідника за 20 с, якщо сила струму змінюється за за
коном /(*) = 2£+ 1 (А).
Додаткові вправи
1. Обчисліть роботу, яку необхідно виконати, щоб відкачати
воду із циліндричної цистерни, радіус якої дорівнює і?, а ви
сота — Н І
2. Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно під дією сили
іг(#) = 12£ - 8 (Н). Знайдіть закон його руху, якщо в момент часу
£= 3 с швидкість тіла дорівнює 10 м/с, а координата 21м.
зіп(45° + а) + сов(45° + а)
1. Спростіть вираз-----)----------{--------;----------г.
зіп(45° + а) - соз(45° + а)
2. Розв’яжіть рівняння у / -с о з 2 х = -віпл:.
^ 5^ Як усні, так і письмові вправи є типовими для формування
уявлення учнів про застосування визначеного інтеграла до
розв’язування прикладних задач. Якщо рівень математич
ної підготовки учнів достатньо високий, можна запропону
вати для розв’язування додаткові завдання.

Контрольнезапитання
Наведіть приклади застосування визначеного інтеграла до
розв’язування прикладних задач.
1. Швидкість руху тіла задано рівнянням u(ê) = 1+ 6t2 (м/с). Знай
діть відстань, яку подолало тіло: 1) за перші 10 с; 2) за третю
секунду.
2. Сила 4 Н розтягує пружину на 8 см. Яку роботу потрібно вико
нати, щоб розтягти пружину на 8 см?
3. Лінійна густина неоднорідного стержня змінюється за законом
p(/) = 32Z+ 2 (кг/м). Знайдіть масу стержня, якщо його довжи
на дорівнює 25 см.
4. Обчисліть величину заряду, що переноситься через поперечний
переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за за
коном l(t) = 4.t+ l (А).
( п ^
1. Чому дорівнює значення виразу 3tg7actg7a-2cos
що sinoc = 0,25?
2. Розв’яжіть рівняння (sin # -cos#)2=0,5-sin деcos#.
+ а
v2 у
як-
УРОК № 79
ПІДСУМКОВИЙ УРОК ІЗ ТЕМИ
«ІНТЕГРАЛ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ»
Мета: повторити, систематизувати та узагальнити відомості про:
означення первісної для функції;
^ основну властивість первісних;
^ правило знаходження первісних;
^ таблицю первісних;
^ геометричний зміст і означення визначеного інтеграла;
^ формулу Ньютона—Лейбніца;
^ властивості визначеного інтеграла.

Урок № 79. Підсумковий урок із теми «Інтеграл і його застосування» 165
Типуроку: узагальнення та систематизація знань, умінь.
Хід уроку
Збираємо зошити учнів із виконаною домашньою роботою;
учням, які потребують додаткової педагогічної уваги, роздаємо під
готовлені розв’язання задач для самостійного опрацювання вдома.
Рівень засвоєння знань, набутих на попередньому уроці, пере
віряємо шляхом проведення самостійної роботи.
Варіант 7
1. Швидкість тіла задано рівнянням v(t) = 3t2+ 2 t -l. Знайдіть
шлях, який пройде тіло за 2 с від початку руху.
2. Яку роботу необхідно виконати, щоб розтягнути пружину на
0,06 м, якщо відомо, що сила в 1 Н розтягує її на 0,01 м?
3. Лінійна густина неоднорідного стержня довжиною 20 см змі
нюється за законом p(Z) = 4Z+1 (кг/м). Знайдіть масу стержня.
Варіант 2
1. Швидкість тіла задано рівнянням v (t) = 612+ 21. Знайдіть шлях,
який пройде тіло за 5 с від початку руху.
2. Сила В ІН розтягує пружину на 0,03 м. Яку роботу вона при
цьому виконує?
3. Лінійна густина неоднорідного стержня довжиною 10 см змі
нюється за законом p(Z) = 6Z+ 2 (кг/м). Знайдіть масу стержня.
Основна дидактична мета уроку та завдання на урок поля
гають у повторенні, узагальненні та систематизації знань та
вмінь, набутих учнями під час вивчення теми. Таке формулю
вання мети створює відповідну мотивацію діяльності учнів.
IV. Повторення та систематизація знань
Організуємо роботу з повторення та систематизації знань
учнів як самостійне опрацювання теоретичного матеріалу
за підручником або конспектами № 37-45.

V. Повторення та систематизація вмінь
Цей етап уроку проводимо у формі групової роботи, під
час якої учні самостійно формулюють та випробують уза
гальнену схему дій, якої вони мають дотримуватися під час
розв’язування типових завдань, подібні до яких будуть ви
несені на контроль.
Перед виконанням практичного завдання проводимо роботу
з виділення основних видів задач на застосування вивчених
понять. Такими видами задач можуть бути задачі на:
S обчислення первісних для функцій;
S обчислення визначених інтегралів;
•S застосування визначеного інтеграла до обчислення площ
плоских фігур.
Після повідомлення про основні види завдань, створюємо
робочі групи учнів (за кількістю видів завдань) і формулю
ємо завдання: скласти план розв’язування задачі... (кожна
з груп отримує індивідуальне завдання). Кожній із груп від
ведено певний час, за який учасники групи мають: обговори
ти план розв’язування, записати його у вигляді послідовних
кроків, реалізувати та підготувати презентацію своєї роботи.
По закінченні відбувається презентація виконаної роботи
кожною з груп, далі — обов’язкове обговорення складених
планів: учитель або учні (інших груп) пропонують змінити
яку-небудь із поданих величин і пояснити, як зміниться
розв’язання задачі. Після обговорення — обов’язкова ко
рекція.
Підсумком уроку, по-перше, є складені учнями узагальнені
схеми дій під час розв’язування типових завдань, а по-друге, здій
снення рефлексії — відображення кожним учнем власного сприй
няття успіхів та проблем, над якими слід ще попрацювати перед
контрольною роботою.
Повторити зміст понять теми «Інтеграл і його властивості».
Вивчити складені на уроці схеми дій.
Використовуючи складені схеми, розв’язати задачі домашньої
контрольної роботи № 6.
Умова домашньоїконтрольноїроботи № б
f(x) = х3+х.

Урок № 80. Контрольна робота № б 167
2. Знайдіть первісну функції f(x) = 4 + графік якої проходить
х
через точку К -2;—
2
3. Обчисліть: 1) §(3х2+і)с?л:; 2) л/з|
б?#
сов2я;
4. Обчисліть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями
у = х3, у = 0, х = 1, х - 2.
г 14
5. Обчисліть: , йх.
{їІЧх + 1
6. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = Зх3, у = Зу/х .
7. Точка рухається вздовж прямої зі швидкістю
и= 3 + — 3— (м/с).
2>/£+ З
Знайдіть шлях, який пройде точка в проміжок часу [і;б] (час
вимірюється в секундах).
8. Підберіть функцію f{x), яка при будь-якому значенні а задо-
а
вольняє рівність ^ (х )й х =7а2-5а.
о
Відповіді
1 2 3 4 5 6 7 8
х4 х2
— +— + С
4 2
1 0
4х-----1-8
X
1)8 ; 2) л/З-1
со
|СО
9 1,25 16 м /(л;) = 14л;-5
УРОК № 80
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 6
Мета: перевірити рівень засвоєння учнями знань змісту основ
них понять теми «Інтеграл і його застосування», якість сформова
них умінь застосовувати зміст основних понять та формул під час
Типуроку: контроль рівня засвоєння знань і вмінь.
Хід уроку
І.Організаційний етап

Збираємо зошити із виконаною домашньою контрольною робо
тою № 6.
Наголошуємо, що метою контрольної роботи є перевірка рівня
навчальних досягнень учнів у розв’язуванні програмових задач із
теми «Інтеграл і його властивості».
IV.Умова контрольної роботи № б
2. Знайдіть первісну для функції
f i x ) - — - 1, графік якої
2уїх
проходить через точку Б(9;10)
2. Знайдіть первісну для функції
f[x) = Зл/х+ 1, графік якої прохо
дить через точку А (і; 2)
Ау п.
1) J— ; 2) J(-sin#)cta:
-2Х ж
2
Зя
-і т
1) j 4xsdx; 2) уі2 J cosxdx
-2 ти
2
4. Обчисліть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями:
у = х2+1, у = 0, х = 1, х = 3 у = х2+3, у = 0, х = 1, х = 2
}( іЛsin2# — dx
2)
4
п
2
Jsin#cosxd#
It
3
у = х2-5 х + 4, у = -5 + 4 х - х 2 у = х2-Зх + 4, у = 4+ З х - х 2
7. Точка рухається вздовж прямої зі швидкістю V = . Знайдіть шлях,
який пройде точка в проміжок часу , якщо:
” W = 2 + ^ 7 2 (м/с)’
і г = 2 с, #2= 7 с
v(t) = 4 (м/с),
іг= 2 с, #2= 5 с
8. Для функції f(x) знайдіть первісну, графік якої має тільки одну
спільну точку з прямою у, якщо:
f(x) = 4x + 8, у = 3 f(x) = 3 - х , у = 7

Урок № 80. Контрольна робота № б 169
Відповіді
з
1. — Ї 2 Х + С
2
1 . ------СІ 2 Х + С
4 3
2. у і х - х +16 2. Р(х) = 2у/х^+ х-1
3. 1)-0,375; 2) -1 3. 1) -15; 2) 1-л/2
2 1
4. 10- 4. 5 -
3 3
5.0,25 5.0,125
6. 1,125 6.9
7. 12 м 7. 8 м
8. Р[х) = 2х2+8х + 11 V 2
8. Р(х) = 3х----- + 2,5
к ' 2
V. Підсумки уроку
Як варіант проведення цього етапу уроку можна запропонува
ти (після виконання роботи) оголошення правильних відповідей до
завдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання
вдома (домашній аналіз контрольної роботи) правильні розв’язання
завдань контрольної роботи № 6 (заготовлені вчителем заздалегідь)
у формі роздавального матеріалу.
VI. Домашнє завдання
1. Виконати аналіз контрольної роботи № 6 (за розданими
розв’язаннями).
2. Повторити: поняття функції, властивості та графіки основних
видів функцій; алгебраїчні рівняння та нерівності.

ТЕМА 5. ПОВТОРЕННЯ КУРСУ АЛГЕБРИ
І ПОЧАТКІВ АНАЛІЗУ
Методику проведення уроків повторення, систематизації та
узагальнення знань і вмінь учнів описано вище (див. підсумкові
уроки з вивчених тем). За бажання учитель може урізноманітнити
форму проведення цих уроків. Задачі вчитель підбирає відповід
но до рівня навчальних досягнень учнів, але, незалежно від цього,
бажано пропонувати учням різного рівня складності цікаві задачі.
Як і на попередніх, на уроках повторення бажано приділяти увагу
усній роботі учнів, а також слід мати засіб проведення діагностики
роботи учнів. Тому пропонуємо матеріал для підготовки та прове
дення вчителем уроків повторення та систематизації знань у ви
гляді набору опорних конспектів, усних вправ, завдань на встанов
лення відповідностей, вправ для письмового виконання та тестових
завдань для підсумкової діагностики.
УРОКИ № 81,82
ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ
Мета: повторити:
означення та властивості функцій;
^ означення, властивості та основні способи розв’язання алге
браїчних рівнянь і нерівностей.
Опорний конспект 1
Властивості функцій Приклади
1. Область визначення функції
V= f(x)
Область визначення функції
(позначається D(f)) — це множина
тих дійсних значень аргумента х,
при яких аналітичний вираз f{x)
не втрачає змісту і набуває тільки
дійсних значень (проекція графіка
функції на вісь Ох)
1) Знайдемо область визначення
функції /(# ), якщо:
а) f{x) — многочлен:
f[x) = Зх5+ X і - 2х2+5х +1,
-0(/)= (-оо;+о°);
б) f(x) — дріб:
f(x) = —---- ; хг- 4 *0 , хф±2,
4 ' х‘ -4
В (/) = (-»о; -2) У(-2; 2)У(2;+°°);
1 7 0

Уроки №81,82. Функції, рівняння, нерівності 171
Властивості функцій
2. Множина значень функції
у = ґ(х)
Множина значень функції (познача
ється -Е(/)) — це множина, яка
складається з усіх чисел /(# ),
таких, що х належить області
визначення функції у = /(#) (проек
ція графіка функції на вісь Оу)
3. Парні та непарні функції
Функція y = f(x) — парна, якщо
для будь-якого х є і)(/) виконуєть
ся рівність /(-я ) = / (я). (Графік
парної функції симетричний
відносно осі Оу.)
Функція y = f(x) — непарна, якщо
для будь-якого лгєХ)(/) виконуєть
ся рівність /(-* ) = -/(:*:). (Графік
непарної функції симетричний
відносно осі початку координат)
Приклади
в) /(#) — корінь парного степеня:
f(x) = ^]x2- 5 x +6 ; х2-5л; +6>0,
Я ( / ) = (-°о ;2 ]и [3 ;-Н > о );
г) /(#) — вираз у нульовому
степені:
/(л:) = (Зл;-6)0; З я -6 ^ 0 , х * 2 ,
І)(/) = (-оо;2)и(2;+оо);
д) f{x) — логарифм:
/ (л:)=Іо^^ (4—л:2);
ґ
х -1 > 0, х > 1,
< * -1* 1, <х*2, !>(/) =(1;2)
4-л;2>0, * є (-2;2).
Знайдемо множину значень
функції f(x), якщо:
а) / X = 2х +5 ; £ (/) = (-оо;+оо);
б) / X = х2+1; Я (/) = [1;-Нх>);
в) / X = у[х; £ (/) = [0;+°°);
г) / X = З х -2 ; £ (/) = [0;+°°);
д) / X = віпх; £ (/) = [-!; і]
1) Функція /(* ) = х4- х2 парна,
оскільки для всіх хєП
f(-*) =(-я)4- (-х)2=х4- х 2= f(x).
2) Функція f{x) = xь- x 3 непарна,
оскільки для всіх хєП
f(-x) = (-х)5- ( - * ) 3= - Х 5+ х3= -/(*)•
3) Функція f(x) = x2+х не є ні
парною, ні непарною, оскільки для
всіх х є □
f(-x) = (~х)2+(-#) = х2- х ;
f(-x)фf(x), f(-x) = -f(x)

172 Тема 5. Повторення курсу алгебри і початків аналізу
4. Нулі функції
Нулі функції — це корені рівняння
/(#) = 0 (точки перетину графіка
функції з віссю Ох)
Нулі функції /( х) - х2+ 2х - 3 — це
числа -3 і 1, оскільки
х2+2х-3 = 0, якщо: ^ = -3 , х2=1
5. Проміжки знакосталості функції
Проміжки знакосталості функції —
це проміжки, на яких функція
додатна (від’ємна) або розв’язки
нерівності /(л;)>0 (/(я;)<0).
(Відрізки осі Ох, які відповідають
точкам графіка функції, розташо
ваним вище (нижче) від осі Ох)
Знайдемо проміжки знакосталості
функції f ( x ) - x 2+ 2х-3.
/(я;)>0,якщ о х2+ 2х-3 > 0 , тобто
х є (—°°;-3) и (і; +°°);
/(я:)<0,якщ о х2+ 2х-3 < 0 , тобто
я є(-3 ;і)
6. Проміжки монотонності
Проміжки монотонності функції —
це проміжки, на яких функція
зростає (спадає). (Відрізки осі Ох,
де графік функції «іде» вгору
(вниз)).
Функцію !/ = /(#) називають:
^ зростаючою на множині X , якщо
більшому значенню аргумента
з цієї множини відповідає більше
значення функції:
хгє Х , х2е Х , х2>х1 =>
f{x2)>f(x1);
^ спадною на множині X , якщо
більшому значенню аргумента
з цієї множини відповідає менше
значення функції:
хгє Х , х2є Х , х2>X! =>
1) Функція у = х3 зростає на
множині □ .
2) Функція у = х2 спадає, якщо
х є (-°°;0], зростає, якщо х є [0;+°о).
04 ^ • 2
3) Функція у = — спадає, якщо
X
яє(-°о;0)и(0;+°°)
7. Періодичність функцій
Функцію г/= /(л;) називають
періодичною, якщо для будь-якого
х є -0(/) виконується рівність:
/(*) = /(* +Т) = /(* -Т ),
1) Функції /(л:) = зіпл:
і /(я) = соє я; — періодичні, Т = 2п;
функції /(л;) = tgл; і /(л;) = ctgя; —
періодичні, Т = п.

Т * 0 — період функції. (Графік
функції «повторюється» на кожно
му відрізку осі Ох, який має
довжину 7і.)
Якщо функція y = f{x) періодична
і має період Т, то функція
у = Аї(кх + Ь), де А , к, Ь — сталі
величини, к * 0, також періодична,
............ . Т
1 11 період дорівнює Т—Г
к
2) Періодом функції
( яЛ
/(я) = Звій -5х +—
V 3)
2л; 2 . ,
є число |— г= —п ; періодом функції
|—5| 5
/(*) = - 2іЄ( * + ± )
к ’ и 12)
71 ає число —= 4п
4
8. Обернені функції
Функція називається оборотною,
якщо кожного свого значення вона
набуває в єдиній точці області ви
значення.
Функція £ називається оберненою
до функції f, якщо функція £
у кожній точці х множини значень
оборотної функції f набуває такого
значення у, що /(г/) = л;. (Графіки
функції f(x) і оберненої до неї
функції #(*) симетричні відносно
прямої у = х.)
Алгоритм знаходження формули
для функції, оберненої до поданої:
1) знайти проміжки області ви
значення, на яких існує функція,
обернена до поданої;
2) розв’язати рівняння y = f{x)
відносно х (знайти функцію
* = #(*/));
3) поміняти місцями позначення
змінних: дістанемо функцію
у = я{х), обернену до функції
У= Ґ(х) у загальноприйнятих
позначеннях
1) Функція у = 2х +5 є оборотною
на множині □ ;
функція у = х2+5 не є оборотною
на множині □ .
2) Функція у = -у[х є оберненою до
функції у - х 2 на множині (-°°;0];
функція у = 4 х є оберненою до
функції у = х2 на множині [0;+°°).
3) Знайдемо функцію, обернену до
функції у - З х + 2.
Функція, обернена до поданої,
ІСНУЄ Н а П Р О М ІЖ К У (-°°;+оо).
Розв’язавши рівняння у = 3х + 2
відносно х , дістанемо: Зх = у - 2 ,
х = ^у —^. Перейдемо до загально-
1 2
приинятих позначень: у = —х --------
3 3
функція, обернена до функції
у = Зх +2

Вправи дляусного розв'язування
1. Знайдіть область визначення функції f{x) = 4х + л/4-я.
2. Функція y = f{x) зростає на проміжку [—4;б]. Порівняйте:
' ї ї . / п
vlOy
1) / ( 2 ) і / ( - 3 ) ; 2 ) / у У i f
3. Функція y = g(x) спадає на проміжку [—10;2]. Порівняйте:
1) ї(-б ) і ї ( і ) ; 2) g f-l-( f Л Ї
- І — і g - 1—
1 4, , 3J
4. Знайдіть проміжки монотонності функції:
1) /( х) = 3 -5 х ; 2) f(x) = x 2- 2 х - 4 3) f(x) = 5 - х 2.
5. Відомо, що графік функції f(x) = х2+ 3х + а проходить через
точку А(0;9). Знайдіть а.
Вправи для письмового розв'язування
1. Знайдіть область визначення функції: 1) fix )= y jx -l + — ;
х - 4х
оч ,/ ч 5 3 . v y j5 -4 x -x 2
2) /(Ж) = ^ Ї + Ї ^ ; 3> Г{Х)= х + 2 •
2. Зобразіть графік функції, визначеної на відрізку [—1;6], яка
набуває значення - 2 < у < 5 , спадає на відрізку [—1;2], зростає
на відрізку [2;б], причому на відрізку (0;3) вона від’ємна, а на
відрізках (—1;0) і (3;б) додатна. Знайдіть нулі цієї функції.
3. Знайдіть нулі функції fix ) = Х +
x-l
4. Дослідіть на парність функцію f(x), якщо:
1) f(x) = ( x - l) 2+(x + lf ; 2 ) /(jc) = s in x -x 3.
(х —і )3
5. Побудуйте графік функції /(де) = , +1.
6. При якому значенні а найменше значення функції
f(x)=x2-2 x + a
дорівнює 2?

1. Знайдіть нулі функції у = 7х2-9 х .
2 7 7 2
А) 0; -1 —; Б) 0; — ; В) 0; —; Г) 0; 1 -.
’ 7 9 9 7
2. Графіком якої із наведених функцій є парабола?
А) у = - ; Б) у = 6х;В ) у = ^ ; Г) у = х2+ 6.
х 6
3. Знайдіть множину значень функції у = х2+ 2 х .
А) (—°°;—і]; Б) (-1;-°°); В) [ - 1;+<*>); Г) [1;+ -).
4. Графіком якої із наведених функцій є парабола, вітки якої на
прямлені вниз?
А) у = 2х2—Зх; Б) у = -2х + 3 ;В ) у = 2 х - Зх2; Г) у = х2- 2 х - 3 .
5. Яка з наведених функцій зростає на всій своїй області визна-
« 6
чення? А) y = logl х; Б) у = 6х; В) у - х ; Г) у - .
в х
6. Яка геометрична фігура не може бути графіком деякої функції?
А) Пряма; Б) точка; В) парабола; Г) коло.
7. Графіку якої з наведених функцій належить точка А (8;2)?
2
А) у = х 3; Б) у = ї[х; В) у = я3; Г) ^ = 1о^2л:.
8. Областю визначення якої з наведених функцій є проміжок
(-оо;4)?А) у = л /4 -х; Б) у = ^ (4 -х ); В ) у = —^— ;Т) г/= — 1— г.
4 - х ^ (4 -х )
9. Яка з наведених функцій не є лінійною?
А) у = 7*+ 3;Б ) у = ^ + 3;В) у = —+3; Г) у = ^ - .
7 x 7
Варіант 2
1. Для функції у = 4х знайдіть значення у, яке відповідає зна
ченню х = 9. А) 3; Б) 81; В) 0; Г) неможливо визначити.
2. Знайдіть абсцису вершини параболи, яка є графіком функції
у = х2- 4 х - 5 . А ) -4 ; Б) 4; В) 2; Г) -2 .
3. Графіком якої з наведених функцій є пряма?
А) у = х2+ 3;Б) у = ~ ; В) у = ^ ;Г ) у = Зх3.
х З
4. Графік якої з наведених функцій проходить через точку А (2;і) ?
х _ 3
А) у = ^ (х -1 ); Б ) у = созпх; В) у = ------ ; Г) у = х+ і.
х —1

5. Яка з наведених функцій є парною?
А) у = 4л;; Б) у = 4х + 3; В) у - 4х2-3 ; Г) у - .
х
6. Яка з наведених функцій є зростаючою?
А) = 0,1*; Б) |,= 10‘ ;В ) у = 10; Г) г/ = — .
X
7. Областю визначення якої з наведених функцій є проміжок
(-°°;2)? А) у = ^ (2 -х );Б ) у = ^ (х -2 );В ) у = л іх - 2 ; Г) у = у/2 - х .
8. Графіком якої з наведених функцій є гіпербола?
X _ X2 ^ 6 _
А) у = - ; Б) у = — ;В ) у = - ; Т ) у = 6х.
6 О X
9. Графік якої з наведених функцій не перетинає вісь ординат?
( і У
чЗу
А) у = Зх; Б) у = - ; В) у = х3;Т) у = о£~х.
Рівняння та нерівності Приклади
І. Рівняння. Корені рівняння.
Рівносильні рівняння
1. Рівняння — рівність, яка міс
тить змінну (одну або декілька).
2. Корені (розв’язки) рівняння —
це значення змінних, які пере
творюють рівняння на правильну
числову рівність.
3. Область допустимих значень
рівняння — це значення змінних,
при яких вирази в обох частинах
рівняння є визначеними.
4. Рівносильні рівняння — це
рівняння, які мають одні й ті самі
розв’язки (або не мають жодних
розв’язків)
1) Число 29 — корінь рівняння
у]х-4 =5,
оскільки
л/29-4 = л/25 = 5;
пара чисел (-3;7) — один із
розв’язків рівняння х + у = 4,
оскільки -3 +7=4.
2) Областю допустимих значень
рівняння
у]х-4-і— = 0
х -5
є всі значення х , які задовольня
ють умову:
Х~ ^ або л:є[4;5)и(5;+°°),
х "Ф-о
оскільки вираз 4х —4 визначений,
якщо л ;-4>0, л;>4,авираз ^
х -5
визначений, якщо х Ф5

II. Лінійні рівняння та системи
лінійних рівнянь
1. Лінійне рівняння 3однією змін
ною — це рівняння виду
ах +Ь= 0.
2. Системи лінійних рівнянь
а1х + Ь1у = с1,
з двома змінними:
[а2х +Ь2у = с2.
Розв’язок системи рівнянь із двома
змінними — це пара чисел, яка пе
ретворює кожне рівняння системи
на правильну рівність.
Способи розв’язання систем рів
нянь із двома змінними
1. Спосіб підстановки:
1) з одного з рівнянь виразити одну
із змінних через другу;
2) підставити цей вираз у друге
рівняння;
3) розв’язати одержане рівняння
з однією змінною;
4) підставити знайдене значення
змінної у вираз для першої змінної
і знайти її значення;
5) записати відповідь.
2. Спосіб додавання:
1) помножити почленно рівняння
системи на такі числа, щоб дістати
протилежні коефіцієнти при одній
із змінних;
2) додати почленно рівняння систе
ми, виключивши одну зі змінних;
3) розв’язати одержане рівняння
з однією змінною;
4) підставити знайдене значення
змінної в будь-яке рівняння сис
теми і, розв’язавши його, знайти
значення другої змінної;
5) записати відповідь
1) Розв’яжемо рівняння
4 -5 * = 6 -2 (* -2 ).
Виконавши рівносильні перетво
рення, дістанемо:
4 -5 х = 6 -2 х + 4,
-5х +2* = 6+ 4 - 4,
-Зх = 6, х = —2.
2) Розв’яжемо систему рівнянь
Гл:+ Зг/= 15,
[Зх-4у = 6
способом підстановки.
3 першого рівняння: * = 15-3у.
Підставивши вираз для * у друге
рівняння, розв’яжемо ЙОГО ВІДНОС
НО у:
3(і5-3у)-4у = 6 , 4 б -9 у -4 у = 6,
—1Зі/ = -39, у = 3.
Тоді х = 15-3 3 = 6.
Відповідь. (6;3).
3) Розв’яжемо систему рівнянь
ГЗ*+ 2і/ = 5,
[5х-3у = 2
способом додавання.
Помноживши перше рівняння сис
теми на 3, а друге — на 2,
дістанемо:
Г9л:+6г/= 15,
l0x-6y - 4
19* = 19
Звідки * = 1.
Підставивши значення * у перше
рівняння системи, дістанемо:
31 + 2г/ = 5, звідки у = 1.
Відповідь, (і;і)

III. Квадратні рівняння
1. Квадратні рівняння — це рівнян
ня виду
ах2+Ьх + с = 0, аф0.
2. Формули для знаходження коре
нів квадратного рівняння:
-Ь - лЦ5 -Ь +уЦ5
ХЛ у Хп— 9
1 2а 2 2а
де И = Ь2- 4ас — дискримінант
рівняння.
3. Теорема Вієта
Якщо х1 і х2 — корені рівняння
х2+рх +д = 0 , то хг+ х2= -р ,
хх х2=д.
Теорема, обернена до теореми Вієта
Якщо хг+х2= - р , хг■х2= ^, то х1
і х2 — корені рівняння
х2+рх + д = 0
1) При яких значеннях т рівнян
ня х2+ тх - 0,5т = - 2 має один
корінь?
Перепишемо рівняння у вигляді
х 2+ тх - 0,5т+ 2 = 0. Квадратне
рівняння має один корінь, якщо
його дискримінант дорівнює нулю.
Тобто Б = т2-4 (-0 ,5 т +2) = 0 ,
77і2+ 2т -8 = 0. Розв’язавши це
рівняння, дістанемо: 77г1= -4 ,
772-2= 2. Отже, задане рівняння має
ОДИН корінь, Я К Щ О 771= -4 або
771= 2.
2) Відомо, що хг і х2 — корені
рівняння х2+6# -14 = 0 . Знайдіть
значення виразу Зл^+ Зх2- 4хгх2.
Оскільки за теоремою Вієта
х1+х2= -6,
то
[хг■х2= -14,
ЗХ|+Зх2- 4ххх2=3 •(- 6)- 4■(-14)=38
IV. Дробово-раціональні рівнян
ня — це рівняння виду f{x) = g{x),
де f{x) і g(x) — раціональні
дроби.
Розв’язання дробово-раціональних
рівнянь:
1) звести всі дроби, що входять до
рівняння, до спільного знаменника;
2) замінити подане рівняння цілим,
помноживши обидві його частини
на спільний знаменник;
3) розв’язати одержане ціле рівнян
ня і виключити з його коренів ті,
які перетворюють на нуль спільний
знаменник;
Розв’яжемо рівняння
6 2 3 ,
2 ' — 1*X - 1 х - 1 х +1
Зведемо всі дроби, що входять до
рівняння, до спільного знаменника:
6 2(* + і) 3(*-1)
л;2-1 л:2—1 л;2-1
Тоді
і6 -2 (х +і )+3(л; - і )=л:2-1,
[я2-1 *1 ,
їх2- х - 2 = 0, [х1= 2, х2= —1,
[л:2-1 * 0 , хф±1,
звідки х = 2 .
Відповідь. 2

V. Лінійні нерівності та системи
лінійних нерівностей
1. Лінійні нерівності 3 однією змін
ною — це нерівності видул
алг+Ь>0, ах +Ь<0,
ах +Ь>0, ах + Ь<0.
2. Системи лінійних нерівностей
з однією змінною — це системи
виду
а1х>Ь1,
а2х>Ь2.
3. Щоб розв’язати систему нерівно
стей, треба розв’язати кожну нерів
ність окремо і знайти розв’язок сис
теми як переріз множин розв’язків
Розв’яжемо систему нерівностей
Г3*+6<9,
[4 - 2 х <8.
Розв’язуючи першу нерівність
системи, дістанемо: Зл:< 3, х < 1.
Розв’язуючи другу нерівність
системи, дістанемо: - 2х <4, х > - 2 .
Зобразимо множини розв’язків цих
нерівностей на числовій прямій
і знайдемо їх переріз.
'//////////////////* *
_*^^
Відповідь. (-2;і]
VI. Метод інтервалів розв’язування
нерівностей виду / (я) > 0, / (я) < 0,
де
(* )(х 0>2)'•••'(* &т) ^
{Х- ат+і){Х- ат+2У - ( Х- апУ
1) знайти нулі функції /(* ) та
точки, в яких функція /(я) не
визначена;
2) зобразити ці точки на числовій
прямій і визначити знак функції
/(* ) на кожному з утворених
проміжків;
Розв’яжемо методом інтервалів
нерівність
( # - і )(л:2-8л; + 7)
(л;+4)(л:-5)
Знайдемо нулі функції
. . ( х- ї) ( х 2-8 х +7)
f(x) = --- ---- Г-:---------г—-:
(л:+ 4)(л:-5)
х -1 = 0,якщ о х = 1; х2- 8х +7 = 0,
якщо х1= 1, х2= 7.
Знайдемо точки, в яких функція
. ( # - і )(я;2-8 л;+7)
'(*>= ( Д ( , - 5 )
невизначена:
(л:+4)(л:-5) = 0,
якщо х1= -4 , л:2=5.
-4 1 5 7 х
Відповідь. (-°°;4)и(5;7)

1. Розв’яжіть рівняння:
1) 2х + 3 = 4 -2 х ;2 ) - - —= 5; 3) - * - - = 0,3; 4) ( х - 7 ? = х 2-4 9 .
3 4 5 2 '
2. Укажіть значення параметрів а , при яких рівняння не має ко-
х —2
ренів: 1) (а -і)х = а + 2; 2 ) -------- = 0.
х + а
3. Укажіть значення параметра а, при яких рівняння має безліч
коренів: 1) 2 а х -х = 1 -2 а ; 2) ах = а2-2а.
іх + 2у = 1, {х + у = 3,
4. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) < 2) <
[ х - у = 4; [3* - у = 5.
1) -2 * > -6 ;2 ) * + 2 > 2 ,5 * -1 ;3 ) 3 < 2 * -5 < 7 .
1. Розв’яжіть нерівність Зх2- 5х + 2 > 0.
2. Складіть зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа
-2 ІЗ.
3. Розв’яжіть нерівність І*- 1|> -2 .
4. Розв’яжіть систему рівнянь:
фс + у - ф с ^ у = 2,
1)
х + у + у/х+ у = 20,
я2+ ї/2=136; УІх + у - ^ х - у = 8.
1. Знайдіть розв’язок системи рівнянь
к „ , . . х 2 +5х + 7 _
5. Розв яжіть нерівність . = > 0.
V*2-4* +З
6. Укажіть найбільший цілий розв’язок нерівності х + х > о .
4-*
Варіант 7
у - х = 3,
х —2у = 2.
А) ( - 8;-5 ); Б) (-2;-5); В) (-5 ;-8); Г) (-5;-2).
2. Чому дорівнює сума коренів рівняння х2- 2х - 3 = 0 ?
А) -2 ; Б) -3 ; В) 3; Г) 2.
3. Яке з чисел є розв’язком нерівності х2+ 2х - 3 > 0 ?
А) -3 ; Б) -2 ; В) -1 ; Г) 0.
4. Розв’яжіть рівняння -9 * + 1,5 = - ^ х + 5.

А) 0,6; Б) - і ; В) -0,4; Г) -0,6.
4
Гх + у = 6,
5. Яка пара чисел є розв’язком системи рівнянь <
х - у - 2 1
А) (4;2); Б) (2;4); В) (5;1); Г) (4;-2).
6. Розв’яжіть рівняння 5 х ~ — х 2=0.
А)І ;Б)ЇІ;В)0;ІІ;Г)0;І -
7. Розв’яжіть нерівність х 2 -9 > 0 .
А) (3;+°°); Б) (-=»;3)ІІ(3;+~); В) (-3;3); Г) (-~;-3]ІІ[3;-к»).
8. Яке з рівнянь є лінійним?
А) 7л:2=14; Б) 7х = 14;В) 7 + х = х2;Т) х2=7.
9. Розв’язком якої нерівності є число 1?
А) х2+ х < 0; Б) х2+ х - 1< 0; В) х2- х +1 < 0; Г) х2- х > 0.
10. Розв’яжіть рівняння (2# + 3) - (4я; - 1) = 4.
А) -2 ; Б) 0; В) 1; Г) -1 .
11. Якщо 2 < а < 3 , то...
А) -2 < а < -3; Б) -3 < -а < -2; В) -З < а < -2; Г) -2 < -а < -З.
12. Розв’яжіть рівняння Зх2- 2 х -5 = 0.
А) 1,5; -2,5; Б) 1§; -1 ; В) - і| ; -1 ; Г) і| ; 1.
О и и
Варіант 2
1. Розв’яжіть нерівність 6- 2х < 4.
А) х > 1; Б) х < 1; В) х > - 5 ; Г) х > -1 .
2. Яке із чисел є коренем рівняння х + 2 = 4 - л;?
А) -1 ; Б) 0; В )1;Г )2 .
3. Якщо а>Ь і &>0, то... А) а > 0 ; Б) а < 0 ; В) Ь>а; Г) 2а<2Ь.
х + 2у = 7,
4. Розв’яжіть систему рівнянь І 2 і
А) (2;3); Б) (4;1,5); В) (3;2); Г) (3;5).
5. Чому дорівнює добуток коренів рівняння х2+ Зх —4 = 0?
А) 4; Б) -4 ; В) З; Г) -З.
6. Розв’язком якої із наведених систем рівнянь є пара чисел (1;3)?
У ~ х - -2,
А)
х + у = 4, Іх + у = 4, у - х = 2,
’ Б) у ’ В) л Г)
х - у = 2; [ х - у = -2; [х + у = - 4; х + у = 4.

7. Коренем якого з рівнянь є число 0?
А) 0 •л:= 5; Б) 2 + х = х - 3 ; В ) 5л; = 0 ;Г ) х + 2 = х + 4.
8. Розв’яжіть нерівність х2- Зх - 4 < 0.
А) (-оо;-1]и[4;+оо); Б) (-оо;-1)и(4;+оо); В) (—1;4); Г) [-1;4].
9. Чому дорівнює дискримінант рівняння Зх2- 4х - 7 = 0?
А) 10; Б) - 68; В) 100; Г) 37.
10. Яке із чисел є розв’язком нерівності х2+ Зх - 4 > 0 ?
А) -4 ; Б) -2 ; В) 0; Г) 2.
11. Розв’яжіть рівняння 2х-7,5 = -4 ~ —х.
А) -0,5; Б) 1,5; В) 0,5; Г) 2,5.
12. Яке з наведених рівнянь не має коренів на множині дійсних чи
сел? А) л/х = 1; Б) 4х = -1; В) 4х =0; Г) 4х = 2 012.
УРОКИ № 83,84
СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ
Мета: повторити означення та властивості:
^ кореня п-го степеня;
^ степеня з раціональним показником;
степеневої функції.
Відтворити вміння:
^ обчислювати, оцінювати та порівнювати значення виразів, що
містять корені та степені з раціональним показником;
^ розв’язувати ірраціональні рівняння;
^ розпізнавати та зображувати графіки степеневих функцій.
Означення та властивості арифметичного кореня п-го степеня
Означення. [а (лєО , п> 1, а>0) — це таке число Ь, п-й степінь якого
дорівнює а : [а = Ь, якщо Ь< 0 і Ьп= а.
Основні тотожності:
1) '[а™=пу/атк ( п, ИеП, т е □, п > 2) ;2) [у[а^-а, 2[а?*=а (&єП , а>0).
Властивості:
І ПІ—
1) 4аЬ=їҐа-Ф) (а>0, Ь>0); 2) ?/- (а>0, Ь>0);
VЬ ЦЪ
3) Jyfa = "/а ( п, йєП, а > 0, іг>2, &>2);

Уроки № 83,84. Степенева функція 183
4) л/а* =(л/а) (п, кєП, а>О, п>2).
Внесення множника під знак кореня:
^ Ь24 а = 2ІЬ2па , якщо Ь>0: ^ 6 2^а = - 2лІЬ2па , якщо &<0.
Винесення множника з-під знака кореня: уІЬпа = byfa
Приклади
1. Обчисліть: 1) л/27; 2) ^ ; 3) Й/з)5; 4) їіа1 ; 5) ^/8-27; 6) в/— ;
V243
7) ^625; 8) л/Ї6^.
УІ27 = 3 (за означенням, оскільки З3=27);
^2^ = 23= 8 (за основною тотожністю 1);
(л/З| = З (за основною тотожністю 2);
[а* = |а| (за основною тотожністю 2);
л/8-27 = УІ8-І27 = 2-3 = 6 (завластивістю 1);
32~ >/32 25 = — (за властивістю 2);
243 ^/243 З
л/625 = х/л/б25 = л/25 = 5 (за властивістю 3);
л/іб3= ^л/їб| = 43= 64 (за властивістю 4).
Внесіть множник під знак кореня:
2-/з; 2) -3^2.
2>/з = лІ2^3 = л/32-3 = І96;
-3^2 = -^ 3 ^ 2 = -3/81-2 = -л/І62 .
Означення та властивості степеня з раціональним показником
— і—
Означення. ап=Щат (а>0, тєП, пєП, п>2).
Властивості:
1) ар а?=ар+?;2) ар:а*= ; 3) (аЬ)р=ар Ьр;
(Ь*°У’ 5)(ар)*=а*
V17/

Приклади
ї ї 3 2
Обчисліть: 1) 273; 2) (—32)в; 3) 160ДЗ-160Д2; 4) 325 :325;
2
і І 243 / ч-
5) (40,5)« -24; 6) — ; 7) ((0,Зб)3)6.
З5
і
1) 273 =л/27 = 3 (за означенням);
і
2) (-32)б не має змісту (за означенням);
3) 160ДЗ 160’12= 160ДЗ+0Д2= 160’25= 164 = ^16 = 2 (за властивістю 1);
З 2 3 2 1
4) 325 :325= 325 5= 325= >/32 = 2 (за властивістю 2);
І - і - І
5) (40,5)4•24= (40,5 •2)* = 814 = ^81 = 3 (за властивістю 3);
2 2
243 (24 V - і— ,—
6) ——= — = 83= л/82=>/64 = 4 (за властивістю 4);
— 1 1
7) ((0,Зб)3)6=(0,36)36=(0,36)2 = Л/о^36 = 0,6 (за властивістю 5).
Опорний конспект З
Способи розв’язання ірраціональних рівнянь:
1) перехід від ірраціональних рівнянь до раціональних шляхом підне
сення обох частин рівняння до одного й того ж самого степеня (викорис
тання рівнянь-наслідків із обов’язковою перевіркою шляхом підстанов
ки у початкове рівняння або використання рівносильних перетворень);
2) використання спеціальних замін;
3) використання властивостей відповідних функцій
Приклади
Розв’яжіть рівняння: 1) у іх - 2 = # - 8; 2) х2+ 9 - у/х2+9 - 20 = 0;
3) у і х 2 - 1 + х = 1+ у і 2 - 2 х 2 .
1) Скористаємося рівносильними перетвореннями:
х -2 = (х -8 )2, х2-17л; + 66 = 0, Їх1= 6, х2=11,
х -8 > 0 ° | х - 8 > 0 ^ [ х - 8 > 0 .
Л]х -2 -х -8 < ^
Отже, х = 11.

2) Скористаємося заміною.
Нехай уІх2+9=у, у > 0. Тоді у2- у -2 0 -0 , звідки уг= - 4, у2=б;
уг не задовольняє умови у > 0. уіх2+9 = 5, х2+ 9 = 25, х = ±4.
Відповідь. ±4.
3) Скористаємося властивостями функцій
/(лс) = л/де2-1 і g[x) = ^|2--2х^.
Область визначення цих функцій (а отже, і ОДЗ рівняння) ви
значається системою нерівностей:
л:2—1> 0, х2 >1,
або < о
2- 2л: > 0 [х < 1,
звідки я;2= 1, х1= - 1, х2= 1.
Шляхом перевірки встановлюємо, що хх= -1, не є коренем рів
няння, х2= 1 — корінь рівняння.
Означення, властивості та графіки степеневої функції
Означення. Функцію виду /(#) = х а, де а — будь-яке дійсне число,
називають степеневою функцією.
Властивості та графіки степеневої функції у = х а(ос* 0,ос* 1)
f(x) = xa
а — натуральне а — ціле від’ємне а — не ціле
парне непарне парне непарне ос>0 ос<0
Область
визна
чення
□ х^О х>0 д:>0
Множи
на зна
чень
[0;+°°) □ (0;+°°) (-°°;0)и
и(0;+°о)
о
+
(0;+°°)
Пар
ність, не-
парність
парна непарна парна непарна ні парна, ні не
парна
Періо
дичність
не періодична
Перетин
з осями
коорди
нат
х = 0,
у =о
немає х = 0,
у =о
немає

Зростан
ня і спа
дання
(-4 0 ) -
спадає;
(0 ;+ °о ) -
зростає
зростає (-~;0) -
зростає;
(0 ;+ °о ) -
спадає
(-~;0) -
спадає
(0 ;+ оо)
спадає
зростає спадає
Схема
тичне
зобра
ження
графіка
У
0
У
х
0
0<а<1
і/А
0 х
Особливі випадки:
1) ос= 1; у = х — пряма пропорційність;
2) ос= 0;. у = х° = 1 (х Ф0). Графік цієї функції — пряма у = 1 з вилуче
ною точкою (0;і)
Приклади
Знайдіть область визначення функції: 1) f{x) = {х - З)13;
2) f(x) = (лс—5) 10; 3) f(x) = (х + 2)з; 4) f(x) = {х -4 ) в.
1) f(x) = (я; - З)13. Оскільки показником степеня є натуральне чис
ло, то область визначення функції — усі дійсні числа.
Відповідь. □ .
2) /(# ) = (д;-5) 10. Оскільки показником степеня є ціле від’ємне
число, то область визначення функції — усі значення х, при
яких х - 5 ф 0, тобто хФЬ.
Відповідь. (-°о;5)и (5;+оо).
2
3) /(х ) = (х + 2)з. Оскільки показником степеня є не ціле додатне
яких х + 2>0, тобто х > - 2.
Відповідь. [-2; +°°).

4) /(# ) = (л: - 4) є. Оскільки показником степеня є не ціле від’ємне
яких х - 4 > 0 , тобто х>4.
Відповідь. (4;+°°).
1. Подайте у вигляді степеня з раціональним показником вираз:
1) у[а? ; 2 ) № ; 3 ) № .
/ і 4 ___ _______
2. Обчисліть: 1) 7^25 - ^/0,008; 2) -ЇІ2 ; 3) ^/З18; 4) ^/43•З6;
у
5) ^ -л /З -л /О Д ^ б ) ^25.
л/8 -л/2
3. Спростіть вираз: 1) ; 2) %[а4а ; 3) -/^/с ; 4) Ф /п^ ; 5) а ■
4. Чому дорівнює значення виразу >/>/52-5 •д/л/52 + 5 ?
і і
5. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) а-2,1:а-0,9; 2) Ь3 :Ь8;
і і
3) 2623; 4) п ЗЛп0Л; 5) а7:а14; 6)
( Л
х
V У
6
; 7) с°’6с4’4сЛ
6. Обчисліть значення виразу:
1 1 1 1 2 1 1
1) 273+252; 2) 83-3 6 2; 3) 83+164 -4 9 2; 4) (з-0,6) -З0’4.
7. Знайдіть значення виразу х2- 4х + 4 при х = 2 + ^
8. Знайдіть значення виразу 94”1•9 2т при т = —.
4
( і I V 1 іЛ
ТІ4 + 77127712 - ТІ4
V У
10. Скоротіть дріб:
1 ^ 2 5 ; 3 ) ^ ; 4 ) ^ 2 Т
1)
а3- а3
а3-1 а6+5 а3+3
11. Знайдіть корінь рівняння: 1) у/х+ 7 =4; 2) -Я х - 3 =3.
12. Яка область визначення функції:
________ і

1. Чому дорівнює значення виразу {уіЗ - у [ 2 + уі2)(л/3 + л/21?
2. Подайте у вигляді дробу вираз
у/а
4 а - 1 4 а + 1
л/а + 4 4>/а + 64
---------- 1---------- !---------------.
4 а - 4 л/а+4І 16->/а
. 0 „ . 4а+ь4аЬ а 81
4. Знайдіть значення виразу ^—f=— якщо —=
5л/&+ л/а
__5_ 5 1 2
1) 16-0,75-8 12-48; 2) 92+273-
(л/а - 9л/а - л/а)
л/а -3 4 а
при а = 8.
3 Ґ і 4 Л
^ 2 8 2 - 9 3
V*•
оо
і і
J
^27"9-44,
7. Знайдіть значення виразу
а6Ь2
V Jх 9 при а = 6, Ь= 9.
а2Ь*
х —5х5
8. Подайте вираз —^ у вигляді степеня з раціональним по-
д.5 _ g 5
казником.
/ ' З І 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
т -3т ь п3-т 3 т3-т 6п6 т3-2т 6п6+п3
+—— г; 3>-------- ї— :—і)
а 4а2 а(
У а12 а 6у
; 2) 5 1
т6-3 п6+т 6 ті
і і
т 6п 6
1) у іх -2 = * — ; 2) у /х + 1 -у іх - 4 = 1; 3) 4 х - у і х - 3 = —х;
уі1 5 - х ' ' • • - 2
4) Vx + 2 ^ x -8 = 0 ;5 ) V2 + V x ^ = 3;6) ^/n^Vx + l = 2 .
11. Знайдіть область визначення функції f(x) = — .
2 - 4 х
12. Побудуйте графік функції /(я ) = щ х2- 4 )4.

Варіант 7
1. Обчисліть: А) -| ; Б) В) Г)
2. Значення якого з наведених виразів не є цілим числом?
Б) ; В) Щ і Г) ^/=64.
512
А)
3. Спростіть вираз Jylm15 . А) л/тїг^; Б) л/ттг^; В) л/т^; Г) л/ттг9.
л/а —л/&
4. Скоротіть дріб
А) л/а + л/&; Б) ; В) л/а - >/ь; Г)
л/а + 3
5. Обчисліть: 52“^ :53“^ . А) 55“2л/з; Б) 5; В) Г) 1.
6. Спростіть вираз Р 7Р
и
,21
21 22 ^
— . А) 1; Б) р ;В ) р 21;Г) р 21
7. Розв’яжіть рівняння $Іх2+7 = 2.
А) Рівняння не має розв’язків; Б) 3; В) -3; 3; Г) -3.
8. Яке з чисел є коренем рівняння уіх2-1 = л/я-1 ?
А) 0; Б) 1; В) 2; Г) -1 .
9. Яка з наведених функцій є степеневою?
А) у = 5"; Б) у = 5*;В ) і/ = *5;Г)
я
10. Знайдіть область визначення функції у = 1л[х.
А) [І0;+°о); Б) ( —оо;+оо); В) [0;+°<>); Г) (—©о;0].
11. Яка з наведених точок належить графіку функції у = у[х ?
А) (—32;2); Б) (-32;-2); В) (16;2); Г) (-1;і).
12. На якому з рисунків схематично зображено графік функції
У = у[хгі

Варіант 2
1. Обчисліть: 4& *. А) 8; Б) 16; В) 32; Г) 64.
2. Значення якого з наведених виразів є натуральним числом?
(л у і--------- Ш ) 2
А) -ІІ2 ; Б) я(-10)4; В) V—32; Г)
2 у 4
3. Спростіть вираз 4 т ? . А) 4 т ; Б) 4 т ; В) 4 т ? ; Г) 4 т У
літ+у/п
ЗІ 2 з[~ 2 *
літ —уп
А) ;Б)
л/т + л/л
; В) 4 т -4 п ; Г) 4т + 4п.
5. Обчисліть: 72+^ .7-з-^ А) ?і+2^ ; Б) В) І . Г) 75.
пьп 15
я
2^
15
.А ) тг; Б) 1; В) 0; Г) пхь.
7. Розв’яжіть рівняння V* = уіх2-2 . А) 2; Б) -1; 2; В) 1; -2; Г) 1.
8. Знайдіть суму коренів рівняння у/х - 3 - у/х - 2 - уі4 - х = 0.
А) 9; Б) 7; В) -1 ; Г) 1.
9. Яка з наведених функцій є степеневою?
А) і/ = ж8;Б ) і/= 8*; В) у = - ; Т ) у = 8х.
X
10. Областю якої з наведених функцій є проміжок [-9;+°°)?
А) у = л/л:—9; Б) у = 4х + 9; В) у = $ І9 -х ; Г) у = 4 - х - 9.
11. Графіку якої з наведених функцій належить точка А (8;2)?
А) у = х 3;Б) у = Ч х ;В ) у = х3;Т) у = Зх.
12. На якому зрисунків схематично зображено графік функції
у = х 2?
Г) у
0 х

Уроки № 85,86. Тригонометричні функції 191
УРОКИ № 85,86
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
^ означення та властивості тригонометричних функцій;
^ тригонометричні формули додавання та наслідки з них.
^ виконувати перехід від градусної міри кута до радіанної, і на
впаки;
^ встановлювати відповідність між дійсними числами і точками
на тригонометричному колі;
^ обчислювати значення тригонометричних виразів за допомо
гою тотожних перетворень;
^ розпізнавати і будувати графіки тригонометричних функцій.
Тригонометричні функції Приклади
1. Основні тригонометричні то
тожності:
sin2а +cos2а = 1;
sinа , cosа
tga = -------; ctga = ------- ;
cosa sinа
tg2а +1 = ; ctg2а +1 = .
cos a sin а
COS ос
Спростимо вираз tg a ----------sin2a .
sina
Скориставшися основними три
гонометричними тотожностями,
дістанемо:
COS ос
tg a ----------sin2a = tg a ctg a - sin2a =
sin a
= 1- sin2a = cos2a
2. Зв’язок між градусною ірадіан-
ною мірами кутів:
Л о К о п п
1°= рад; п = рад;
180 180
180° 180° a
1 рад = ; а рад =
Я Я
1) Знайдемо радіанну міру кута 72°:
я 2я
72° = 72-
180 5
я
2) Знайдемо градусну міру кута —:
5
я
1 8 0 °-
5=36°
5 я
3. Означення тригонометричних фу
sin a = у — ордината точки Ра натрі
ному колі ( R = 1);
cosa = x — абсциса точки Ра натри]
ному колі ( R = 1).
у sina
tga = —= -------
х cosa
інкцій числа: , ч ,
Ра[Х’У І -
ігонометрич- /Ґ- -
( 1 V
I 1
k
---- '▼ч «+»
a
гонометрич- ®
х cosa
ctga = = -------
у sina
y }— 4/ «—»

Тригонометричні функції Приклади
4. Властивості тригонометрич
них функцій
1) Область визначення:
у = sin# у = COS# y = t g x у = ctgX
□ □ к
Х Ф — + ПП,
2
J I G Ü
Х Ф К П ,
л є О
2) Множина значень:
у = sin# у = COS# y = t g X y = ctg#
[-w ] [-W ] □ □
3) Парність і непарність:
у = sin# у = COS# y = t g X y = ctg#
непар
на
парна непар
на
непар
на
4) Періодичність. Функції пері
одичні з найменшим додатним
періодом:
i/=sin# у = cos# y = tg# y = ctg#
2ти 2л n Л
1) Знайдемо область визначення
функції y = tg2x.
Областю визначення функції
у = tg2x є всі значення х, при
к
яких 2х Ф—+пп, п є □ , тобто
2
71 К Л
# * — н---------- , n e u .
4 2
2) Знайдемо множину значень
функції і/= sin#-2 .
Оскільки -1 < sin# < 1, то множину
значень функції у =sinх - 2
визначаємо з умови:
—1—2<г/<1 —2, —3 < і/ < -1 .
Тобто множиною значень поданої
функції є проміжок [—3;—і].
3) Знайдемо значення виразу
sin х + sin ( - # ) + cos (-я ) + COSX ,
якщо cos# = 0,7.
Враховуючи непарність функції
у = sin# і парність функції
у = cos#, дістанемо:
sin# + sin(-# )+ cos(-#) +COS# =
= sin#-sin# +cos# + cos# =
= 2cos# = 2-0,7 = 1,4.
4) Знайдемо значення виразу
tg(# + 7l), якщо tg # = 2.
Враховуючи періодичність функції
у = tg #, дістанемо:
tg(#+rc) = tg# = 2
5. Знаки тригонометричних функцій
у = sin# у = cos# y = tgx у = ctg #

6. Графіки тригонометричних функцій
і/= sinя;
------- 7 ^ -------1-------^ --------!"
/-2% Зтг _л N. п
~~2
її y = ctgx
7. Значення тригонометричних функцій деяких кутів
а 0 (0°)
1 (30°) <45°) 1 (60°) (90°)
тс (180°)
у (270°)
sinа 0 1 Я л/3
1 0 -1
2 2 2

a 0 (0°)
f (30°) f (45°) 1 (60°) f (90°)
7c (180°)
у (270»)
cosa 1 73 72 1 0 -1 0
2 2 2
tga 0 & 1 Vs — 0 —
3
ctga — Vs 1 л/З 0 — 0
3
1. Спростіть вираз: 1) tgoccosa; 2)
1- cos2a
sin a
3) (l-c o s 2a)(l + cos2a); 4) -----ctg2a ;5 ) sin4a + sin2a cos2a.
sin a
2. Обчисліть значення виразу: 1) sin
Ґ TZ^
'!
; 2) ctg
V 4J
TZ
3) 2sin— 3cos
6
; 4) 4cos—+ 2sin— .
3 2
( 7іЛ
V
3. Якого найменшого значення може набувати функція
f{x) = 2 sm S x -2 ?
5тт 1Оте
4. Визначте знак виразу: 1) sin— c o s ^ - ; 2) cos210°sinll5°;
К*гг (W
3) tg— ctg— ; 4) sin2200cos340°tgll50ctg320°.
8 8
sin a 1+ cosoc cos(-a) . ч
* ----------- ; 2) . . . , 4+ tg(-a ).1. Спростіть вираз: 1) , . ч
1+ cosa sin a l + sin(-a)
2. Знайдіть множину значень функції у - 2cos(jc-1 )-7 .
3. Дослідіть на парність функцію: 1) / ( х) = х3sinде;
2) f(x) = s in # -# 3; 3) f(x) = xcosx + x 3;4) f(x) = x2+ sin:r.
4. Визначте найменший додатний період функції:
1) у = 6sin' ~
( tz'
; 2)
71^
3x — у - cos
V 4 J ,4 " 8,
+ - ; 3) y = 3-3tg(5x);
2пх4- Х , 1 СЧ А " 2 П Х
4) z/= ctg—+ 1; 5) z/= 4sin—— cos—
4 5 5
; 6) z/=4 sin
2nx
cos
271#

5. Побудуйте графік функції:
1) у - cos
( п
х + —
З
Л
; 2) y = sinx + 2; 3) у = 2cos#.
6. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями
графіка функції у = sin# та функціями, одержаними в резуль
таті цих перетворень.
1 Графік функції у - sin#
паралельно перенесли вздовж
осі Оу на дві одиниці вгору
А у - 2sin#
2 Графік функції у = sin#
паралельно перенесли вздовж
осі Ох на дві одиниці ліворуч
Б i/ = sin(#-2)
3 Графік функції у = sin#
розтягли від осі Оу у два рази
В i/ = sin(# + 2)
4 Графік функції у - sin#
розтягли від осі Ох у два рази
Г . #
y = sin—
У 2
Д y = sin#+ 2
Варіант 7
( лА 1 л/2
1. Для функції у = sin# знайдіть у — І. А) 0; Б) —; В)— ;Г) 1.
2 2
2. Знайдіть значення виразу V2sin450-V 2cos(-45°) + 3tg45°.
А) 5; Б) 3; В) -3 ; Г) 1.
3. Спростіть вираз 1 - cos2a. A) sinа; Б) sin2ос; В)-sin 2oc;r) -1.
4. Спростіть вираз sin2а + cos2а + tg2а .
А) —-— ; Б) sin2а; В) cos2ос; Г) — — .
cosа cos ос
5. Знайдіть множину значень функції у = cosx + 3.
А) [—1;1]; Б) [2;4]; В) [0;3]; Г) [0;2].
А) у = 5+ cos#; Б) у = 3 -sin # ; В) y = 2tgx;T ) у = -3ctgx.
71
7. Знайдіть сова,якщ о sina = 0,6 і — < а < п .
2
А) ->/0,4; Б) 0,8; В) -0,8; Г) інша відповідь.

Л Л Л
8. Яке число є періодом функції у =sin2л;? А) — ; Б) —; В) л ; Г) —
2 4 2
9. Укажіть хибну нерівність.
A) sin300°<0; Б) cos300°<0;B) tg300 °< 0;r) ctg300°<0.
Варіант 2
( Л^
1. Для функції у = совл; знайдіть у —
V З
А) ; Б) — ; В) Г)
2 2 2 2
2. Знайдіть значення виразу V3sin60o+ V3cos(-30°)-V3ctg30°.
1 /я
А) 1; Б) —; В) 0; Г)
3. Спростіть вираз sin2a - l . A) cos2а; Б) -cos2а; В) -1 ; Г) cos а.
4. Спростіть вираз 5cos2a + 5sin2a.
А) 5; Б) 6; В) 5sin2acos2a ; Г) 5+ sin2ос+ cos2a .
5. Знайдіть множину значень функції і/ = 1+ созл;.
А) [0;2]; Б) [-1;1]; В) [1;2]; Г) [-2 ;-і].
A) y = sinx + 2; Б) г/= 4tgл:;B) y = Scosx;T ) y = c t g x -l.
7. Знайдіть sin а, якщо cosa = -0,6 і 7t < a < ^ .
А) 0,8; Б) 0,5; В) -0,8; Г) -0,5.
8. Яке число є періодом функції y = cosSx?
А) ті; Б) 2л; В) — ; Г) 6л.
З
9. Укажіть хибну нерівність:
A) cosl00°<0;B ) sinl00°<0;B ) tgl00°<0; Г) ctgl00°<0.
Тригонометричні формули дода
вання та наслідки з них
Приклади
1. Тригонометричні формули до
давання
sin(a + Р)= sina cosP+cosa sinP;
sin(a - P)= sina cosP- cosa sinP;
cosa (a +P) = cosa cosP- sina sinP;
1) Зайдемо значення виразу
cos5a cos3a + sin5a sin3a,
n
якщо a = —.
8
cos5a cos3a + sin5a sin3a =

Приклади
cos(а - (З)= cosа cosР+ sinа sinР;
tg(a+P)= tgCl+tgP' ;
1-tgatgp
W (a -P )- tg“ " tgP0
1+tgatgP
= cos(5 a - 3a) =
= cos2a = cos2-—= cos—= — .
8 4 2
2) Обчислимо tgl05°.
tg 105° = tg (45° +60°) =
tg45° +tg60° _ l +л/з _ „ д
l-tg45°tg60° 1-л/з
2. Формули подвійних кутів
sin2a = 2sina cosa ;
cos2a = cos2a - sin2a ;
4. Otg2a= 2
1- tg a
„ sinlOa
Скоротимо дріб ---------- .
2cos5a
sinlOa 2sin5acos5a . _
---------- = ------------------- = sin5a
2cos5a 2cos5a
3. Формули зниження степеня
. o l-cos2 a
sin a = ------------ ;
2
o l+cos2a
cos a = ------------
2
2
Обчислимо 4cos a, якщо a = g*
2 Y l +cos2a>
4cos a = 4 ------------ =
I 2 J
( я ї /—
- 2 l +cos2 - =2 +V2
V
4. Формули перетворення суми три
гонометричних функцій у добуток
. . а+р а -р
sin а +sinр= 2sin---- -cos------;
2 2
sin а - sinР= 2sin——- cos а + ^ ;
2 2
q „ a+p a - p
cos a + cosp= 2cos---- - cos---- -;
2 2
n _ . a+p . a - p
cos a -co s p= -2 sin---- '-sin---- -
2 2
Знайдемо значення виразу
cos68°-cos22°
sin68°-s in 22° '
cos68°-cos22°
sin68°-sin22°
n . 68°+ 22° . 68° -22°
-2 sin------------sin------------
2 2
„ . 68°-22° 68°+ 22°
2sin------------cos------------
2 2
sin45°sin23° л/2 _л/2
sin23°cos45° 2 2
5. Формули перетворення добутку
тригонометричних функцій у суму
sinа •sinР- ~ (cos(а - Р)- cos(а + Р));
cosа •cosР= ~ (cos(а - Р)+ cos(а + Р));
Обчислимо cos75°cos15°.
cos75°cos15° =
= | (cos(75° -15°)+cos(75° +15°)) =

Приклади
sin a •cos Р=—(sin(a - Р)+sin(a +P))
2
1/ i f 1 ,Л 1=—(cos60 +cos90 ) =— —+0 =—
2 ’ 2^2 ) 4
6. Формули подання тригономе
тричних функцій через тангенс
половинного аргумента
а . ^ 2а
2 t g - 1 -tg -
sina = ------- — ; cosa =-------- —;
2a . , 2a
1+tg - 1+tg -
04. a2ts -
tga =-------—
i-t g -
Обчислимо sin2a, якщо tga =3.
. 2tga 2-3 3
sin2a =-------5—=----- 5-=-
1+tg a 1+32 5
7. Формули зведення
Функ
ція
Аргумент t
я
— а
2
я
—+а
2
я - a я + а Зя
----- a
2
Зя
— +a
2
2 я -а 2я + а
sin# cosa cosa sina -sin a -cosa -cosa -sin a sina
cos# sin а -sin а -cosa -cosa -sin a sina cosa cosa
tgt ctga -ctg a -tg a tga ctga -ctg a -tg a tga
ctgt tga -tg a -ctg a ctga tga -tg a -ctg a ctga
я
Якщо зміна кута відбувається відносно вертикального діаметра ( —± а,
— ± а т о назва поданої функції змінюється на кофункцію. '
2
Якщо зміна кута відбувається відносно горизонтального діаметра ( Та,
я ± а , 2я ± а ,...), то назва поданої функції не змінюється.
Перед здобутою функцією ставиться той знак, який має функція, що
перетворюється, якщо вважати кут а гострим
1. Обчисліть значення виразу: 1) cos390cos21°-sin390sin21°;
2) sin560cos34° + cos560sin34°; 3)cosl26°cos360+ sinl260sin36°.
1) cos(a + P)+ sinasinP; 2) sin4acosa-sinacos4a.
_ _ . sin2a sin7a + sina
3. Скоротіть дріб: 1) -------- ; 2 ) -------------------.
cosa cos3a

4. Спростіть вираз: 1) cosа + cosß, якщо а - ß = 180°; 2) sin а + sinß ,
якщо a + ß = 180°.
(п } (п Л
1) cos —+ а +sin(7i-a); 2) tg —+ а ctg(7i + a).
v2 ) 2 J
1 1 7Г 1 1 TL
1) sin210°; 2) cos240°; 3) tg-----; 4) sin------; 5) ctg— .
6 6 3
^ sin (a-ß) + 2cosocsinß 2^ f cosa sina ^ cos6a -c o s l0a
2cosacosß -cos(a-ß ) ’ l^cos4a sin4a J sin3a
2. Знайдіть sin2a, якщо cosa = - і 7i< a < ^ .
3. Спростіть вираз cos(7i + a)cos(a-27i) + sin2
4. Доведіть тотожність:
„ v l-c o s2 a + sin2a , l + sin2a 2
1) = tga ; 2) ----------------------------- = 1.
l + cos2a + sin2a l + cos2a (l + tga)
„ _ „ . 2sin2a-3cos2a
5. Знайдіть значення виразу------------------------, якщо tga = 3.
4sin2a + 5cos2a
Варіант 7
1. Чому дорівнює значення виразу cos215° - sin215° ?
дч л/3 л/3 1 ^ 1
А ) ------; Б) — ; В) — ; Г)
2 2 2 2
2. Спростіть вираз cos3acosa + sin3asina.
A) cos4a; Б) cos2a; В) sin4а; Г) sin2a.
( 371ї
а -----
З
3. Чому дорівнює значення cos2а, якщо cos2а = —?
8
а > - ї ; Б ) ї ; В ) І ; Г ) - І
А ~ . tg4a + tg3a
4. Спростіть вираз------------------- .
l-tg 4 a tg 3 a
A) ctga; Б) ctg7a; В) tga; Г) tg7a.

ч п Sin4a
2sin2a
A) ^sin2a; Б) ^cos2a; В) sina; Г) cos2a.
л _ . sin 5a-sin a
6. Спростіть вираз------------------ .
cosЗа
A) 2sin3a; Б) 2sin2a; В) 2cos3a; Г) cos2a.
7. Яка з наведених рівностей є тотожністю? A) cos(я - a) = cosа;
Б) tg - - a = tga ; В) cos(7i - a ) = cosa; Г) ctgf— - a l = -tg a .
v2 у
8. Зведіть cos
2
до тригонометричної функції кута а.
V “ У
A) cosa; Б) -cosa ; В) sina; Г) -sin a .
о п& • . л/3 л/з 1 . 1
9. Обчисліть значення виразу cos— . А ) ------ ; Б) — ; В) — ; Г) —.
6 2 2 2 2
Варіант 2
1. Обчисліть значення виразу 2sin22,5°cos22,5°.
A , V 3 „ л /2 m 1 _ л / з
А) — ; Б)— ;В) - ; Г) — .
2 2 2 3
2. Спростіть вираз cos8acos2a-sin8asin2a.
A) cos6a; Б) coslOa; В) sin6a; Г) sinlOa.
3. Чому дорівнює значення cos2а, якщо sin2а = —?
6
ЛЧ 2 2 _. 1 1
А) — ; Б) - ; В) — ; Г) - .
3 3 3 3
4. Спростіть вираз 2cos2За-1 .
A) sin2За; Б) -sin 2За; В) -co s6a; Г) cos6a.
к . cos8a
5. Скоротіть д р іб-------------------- .
cos4a + sin4a
A) cos4a-sin 4a; Б) cos4a + sin4a; В) cos4а; Г) ctg4a.
_ . cos4a + cos2a
6. Спростіть вираз-------------------- .
cosa
A) cos4a; Б) cos3a; В) 2cos4a; Г) 2cos3a.
7. Яка з наведених рівностей є правильною? A) sin —+a = -co s a ;
(371 ^
Б) c o s ------a = -sin a ;B ) tg(27i-a) = tga; Г) ctg(7i + a) = -ctg a .

Уроки № 87,88. Тригонометричні рівняння і нерівності 201
8. Зведіть cos(7i + a) до тригонометричної функції кута а.
А) cos а ; Б) -cosa ; В) sina; Г) -sin a .
Q Q ** • л/з 1 19. Знайдіть значення виразу cos—^—. А) — — ; Б) — ; В) - —; Г) —.
УРОКИ № 87,88
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
S означення обернених тригонометричних функцій;
S означення найпростіших тригонометричних рівнянь;
S формули для знаходження коренів найпростіших тригономе
тричних рівнянь;
S основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь, що
відрізняються від найпростіших;
S способи розв’язання тригонометричних нерівностей.
Опорний конспект 1. Обернені тригонометричні функції
Означення обернених тригономе
тричних функцій
Приклади
1. Арксинусом числа а називають
Г І JC
таке число з відрізка »
синус якого дорівнює а .
Для функції у = arcsinх :
область визначення: [—1;і];
я я
множина значень: — .
L 2 2
Функція у = arcsinх непарна:
arcsin(-я) = - arcsin х
. >І2 я
1) arcsin— = —, оскільки
2 4
. Я УІ2 . я Г я я
sin—= — і —є — ;— .
4 2 4 L 2 2.
( з ї
2) Вираз arcsin — не має змісту,
V 2)
оскільки -^ й [-1 ;і].
3) arcsin^ не може дорівнювати
5я . 5я Г я я
— , оскільки— g — ;— .
6 6 [ 2 2.
Ґ 1Л <тг
Л І4) arcsin — = — , оскільки
І 2) 6
функція у = arcsin х непарна
2. Арккосинусом числа а назива
ють таке число з відрізка [0;я],
косинус якого дорівнює а .
-V л/з я
1) arccos— = — , оскільки
2 6
я л/з . я г
cos—= — і —є[0;я].
6 2 6

Приклади
Для функції у = arccos х :
S область визначення: [—1;і];
S множина значень: [0;я].
Функція у = arccosх не є ні пар
ною, ні непарною:
arccos(-#) = я - arccos х
2) Вираз arccos2 не має змісту,
оскільки число 2 не належить
проміжку [—1;1].
3) arccos^ не може дорівнювати
5я . 5я г -і
— , оскільки — g 0;я .
3 3 L J
( Я ] л/2
4) arccos------= я - arccos— =
2 2V J
я Зя
3. Арктангенсом числа а назива
ють таке число з проміжка
f TZ п']
— , тангенс якого дорівнює а.
1 2 2 )
Для функції у = arctgx:
'Sобласть визначення: □ ;
✓ f я яЛ
V множина значень: — .
1 2 2 )
Функція y = arctgx непарна:
arctg(-я) - - arctg х
1) arctg 1= —, оскільки
4
Я ^ . Я ( П п
tg—= 1 і —є — .
4 4 ^ 2 2)
2) arctg л/з не може дорівнювати
4я . 4я f я я^
— , оскільки— £ — .
3 3 { 2 2 )
3) arctg^-л/Зj = , оскільки
функція у = arctg х непарна
4. Арккотангенсом числа а
називають таке число з проміжка
(0;я), котангенс якого дорівнює а.
Для функції у - arcctg х :
S область визначення: □ ;
■Sмножина значень: (0;я).
Функція у = arcctg# не є ні
парною, ні непарною:
arcctg (-#)= я - arcctg x
іч л/з я
1) arcctg— = —, оскільки
3 3
я л/з . я /
c tg - = — 1 —є(0;я).
0ч , л/з
2) arcctg— не може дорівнювати
4я . 4я /_ ч
— , оскільки — £(0;я).
3 3 v '
3) arcctg(->/з) = я - arcctgл/з =
я 5я
-7 1 -б - Т

Приклади
5. Деякі співвідношення для обернеї
sin(arcsina) = a, ає[-1;і];
tg(arctga) = a, аєО ; і
• / • Я Я
arcsin(sina =а» а є —
L 2 2
arctg(tga) = a , а є
шх тригонометричних функцій
cos(arccosа) = а, ає[-1;і];
3tg(arcctga) = a, аєП .
; arccos(cosа) = а, ає[0;я];
; arcctg(ctgoc) = a, ає(0;я)
Опорний конспект 2. Розв’язування
найпростіших тригонометричних рівнянь
Формули для знаходження коренів
найпростіших тригонометричних
рівнянь
Приклади
1. зіпл: = а, |а|< 1
л;= (-і)*агс8Іпа +яА, АєП.
Окремі випадки:
віпл; = 0, х = кк, кеП;
я
віпл: = 1, х = —+2пк, АєП;
2
я
8ІПЯ= -1, х = -----ь2яА, АєП
2
1) Розв’яжемо рівняння sin# = ^ .
х = (-l)Äarcsin—+яА, АєП,
2
x = (-l)k^ + nk, АєП.
kК
Відповідь. (-1) —+ яА, АєП.
2) Рівняння sin# = у/2 розв’язків не
має, оскільки у/2 > 1
2. совл: = а, |а|< 1
лг= ±агссова + 2яА, АєП .
Окремі випадки:
я
совл; = 0, х = —+яА, АєП ;
2
С08Я= 1, х = 2ик, АєП ;
совх = -1 , л;= я + 2яА, АєП
Розв’яжемо рівняння cos2х =
Ґ л/ІГ
2* = ±arccos------+2яА, АєП,
2V J
( л/зЛ
2х = ± я -arccos— +2яА, АєП,
1 2J
Ґ я
2х = ± я — +2яА, АєП,
1 6)
2х = ± — +2яА, АєП,
6
х = ± -----1-яА, АєП
12

Формули для знаходження коренів
найпростіших тригонометричних
рівнянь
Приклади
3. tgx = а
# = arctga + яй, йєП .
Окремий випадок:
1§# = 0, х - п к , ИеП
Розв’яжемо рівняння
( х я^ 7з
tg - + - = — .
{3 3) 3
—+—= arctg— + nk, ЛєП ,
3 3 3
# я я
- +- = - +я/г, /гєП ,
3 3 6
х я я
- = — +- +nk, кеП ,
3 3 6
# я . . _
—= ------nk, кеП ,
3 6
я
# = — +3я&, АєП
2
4. гі## = а
x = arcctga + nk, кеП .
Окремий випадок:
я
ctg# = 0, # = —-няй, йєП
Опорний конспект 3.Деякі способи розв'язання тригонометричних
рівнянь, що відрізняються від найпростіших
1. Зведення до алгебраїчних рівнянь
Шляхом тотожних перетворень звести до рівняння з однією тригономе
тричною функцією і, зробивши відповідну заміну, звести до алгебраїч
ного рівняння.
Приклад. Розв’яжемо рівняння 6sin2х + 5cosх - 2= 0 .
Урахувавши, що sin2х = 1- cos2х , дістанемо відносно cos# квадратне
рівняння 6(і - cos2#) + 5cos# -2 = 0, звідки
-6cos2# + 5cos# +4 = 0 або 6cos2# -5 c o s # -4 = 0.
Виконаємо заміну: cos х - у . Тоді 6у2- 5у- 4 = 0, звідки
у = ~— або и= 1—.
* 2 З
1 2я
Розв’язавши рівняння cos# = - —, дістанемо: # = ± — +2%k, keU .
Рівняння cos# = l — розв’язків не має, оскільки 1—>1.
З З
2я
Відповідь. ± — +2nk, кеП
З

2. Перетворення лівої частини рівняння на добуток
Якщо права частина рівняння дорівнює нулю, то, використовуючи три
гонометричні або (та) алгебраїчні формули, перетворити ліву частину на
добуток.
Приклад. Розв’яжемо рівняння sin5х - sin х = 0.
Скориставшися формулою перетворення суми тригонометричних
5ос зс 5ос“і- ос
функцій у добуток»дістанемо: 2sin------- cos---------- = 0 ,2 sin2# cos3# = 0 ,
2 2
%k я uk
звідки sin2# = 0 або cos3# = 0. Тоді х = — , keU або х = —+ — , keU .
2 6 3
nk я nk , п
Відповідь. — , —+— , keU .
2 6 З
3. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь
Однорідне тригонометричне рівняння — це рівняння, всі члени якого
мають один і той самий степінь п відносно синуса і косинуса.
Звести до рівняння відносно tg х шляхом ділення всіх членів поданого
рівняння на cos" х . (Таке ділення не спричиняє втрати коренів.)
Приклад. Розв’яжемо рівняння sin2х - 3sinх cosх + 2cos2х = 0.
Поділивши обидві частини рівняння на cos2# * 0 , дістанемо:
sin2# -sinarcos* „cos2# . х 2 .
---- 5 з------- 5----- + 2------5— = 0, tg # -3 tg # + 2 = 0.
COS X COS X COS X
Нехай tg# = i/,TOfli у2- Зу +2 = 0, звідки у = 1 або у = 2. Отже,
я
tg# = l, x = —+nk, keU або tg# = 2, # = аг^^2 +я£, їгєП .
4
я
Відповідь. —+ nk, а п ^ 2 +я & , keU
4
Способи розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей:
^ за допомогою одиничного кола;
^ за допомогою графіків відповідних функцій;
^ шляхом використання формул.
Нерівність Розв’язання
s in # > a а < - 1 -1<а<1 a> 1
хеП агс8Іпа + 2яА<#<я-агс8Іпа +2яА, keU 0
s in # < a a < -1 -1<а<1 a> 1
0 - я - arcsina + 2 n k < x <arcsina + 2 n k , k є □ хеП

Нерівність Розв’язання
cos#>a a < - l -1<а<1 a> 1
хеП - arccosа +2nk<x< arccosа +2я&, keU 0
cosjc<a a < - 1 -1<а<1 a> 1
0 arccosа+ 2nk< x < 2 n- arccosa+ 2nk, keU леей
tgx>a aeO
7U
arctga +^Ä<#< —+7UÄ, ägD
tgx<a аєО
я
+ nk<x<arctga + nk, k &□
ctgx>a aeO
nk<x<arcctga + Kk, keU
ctgx<a aeU
arcctga + nk<x<n + nk, keU
1. Обчисліть значення виразу:
< & . ( , ( ш
1) tg arccos- ; 2) sin arctg
1) tgx = 0, sin* = 0, cos* = - , ctg* = 0;
V2x x r~ yl2 л/3 x 1
2) sin—= 0, tg—= v 3, cos4x =
-
, tg3x = — , tg—= 1, sin3x = —,
3 3 2 3 4 2
x x v2
sin—= -1, sin—= ------, cos9x = - l ;
2 4 2
3) 3tgx + 12 = 0, 5sinjt: = cosx, sinx
Ґ n
= 0, cos Sx + — I= 1;
4) 1 - 2 з і п 2 2 л : = л/ 2 , 2 с о з 2 — - 1 = 2 .
4
3. Скільки коренів має рівняння :
1 ) в і п х = л/ і , 0 0 1 ; 2 ) соє* = ^/-0,999?
4. Скільки коренів рівняння віпх = 0,5 належить проміжку [0;тг] ?

!) /(* ) = — г ; 2) / ( #) = — 7~— v 3) /( # ) = — 9
# 1 ( Т І Ї S 1
CO S— + — cos # -
2 2
sinX + COS#
( 71'І і 2 7t^
# + — = l + cos # + —
1 3J
Г
GO
;б)
tg
(
2х +
п
8
А
= 7.
2) a) 2sin2# + 5cos# + l = 0; б) cos2# + 1 0 c o s # -ll = 0.
3) a) sin2#-sin# = 0; б) cos6# = cos2# -s in 2#.
4) a) sin# + cos# = 0; б) V3sin# + cos# = 2.
х х уі2
2. Знайдіть корінь рівняння s in ---- cos —= — , який належить
2 2 2
проміжку (0;7с).
3. Знайдіть додатні корені рівняння: 1) sin2# + 1= 2;
2) 3cos
(
# +
к Л
= 3; 3) tg3# + V3 = 0; 4) 2ctg x + —^+ УІ2 —0.
4. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння
бсов# + 2віп2# = 0.
5. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння
Зсоз#-8Іп2# = 0.
л/б^sin2X
6. Розв’яжіть рівняння --------- 5— = 1.
1+ sin X
1) s in x > i;2 ) 2cos#-V 3 >0; 3) tg # > l;4 ) sin#>arccos(-l).
2
8. Розв’яжіть нерівність sin# < C O S # .
Варіант 7
(
1. Обчисліть значення виразу cos
(
arcsin
л/3

ї ї
arcsm—+ arccos—
V 2 2
2. Чому дорівнює значення виразу sin
1 /я
А) 0; Б ) - ;В ) 1 ;Г ) ^ - .
3. Яке з наведених рівнянь має безліч коренів?
271 271
A) arccosx = l;B ) cos# = l;B ) arccos# = — ; Г) cosx = — .
З З
4. Розв’яжіть рівняння sin2# = ^. А) (-1 )* -^ + ^ , йєП ;
Б) ± — + яЛ, Лє□ ; В) (-1)*- — + тг/г, ЛєП ; Г) ± — + — , /гєП .
12 v ' 12 12 2
5. Знайдіть корені рівняння cos—= 1.
2
A) 37t&, ЛєП ; Б) 47сА, ЛєП ; В) nk, keU ; Г) n + 2nk, кєП .
X 71
6. Знайдіть нулі функції у = cos—. А) —+ nk, k є □ ;
З 2
7Г irjb Qjr Q^r
Б) - + — , keU ;В ) — + 3nk, кєП ; Г) — + 6тиЛ, кеП .
6 3 2 2
7CJC л/2
7. Розв’яжіть рівняння cos— = -^-. А) 8&±1, йєП ;
, 1 ь (—і ) * ь
Б) (-1) +4А, АєО ;В ) ± — + - , кєП ; Г) ^ - + - , ЛєО .
v } 16 2 16 4
8. Серед наведених пар рівнянь укажіть пару рівносильних рів
нянь. А) sin#ctgjc = 0 і c o s jc = 0;B ) sin#ctg:x; = 0 і sin# = 0;
s i n 2 ос
B) ---------- = 0 і sin2# = 0; Г) sinx = -1 і cos# = 0.
sin#
9. Розв’яжіть рівняння tg
ґ К
х — І=
л / з 71
. А) — + пк, кєП ;
12
7 Г яТ Т, 7 7Г
Б ) ---+ nk, &є □ ; В) — + nk, keU ; Г) — + nk, keU .
12 12 12
10. Знайдіть корені рівняння cos
f 71
— + X
2
л/3
2

11. Розв’яжіть рівняння sin# = sin—. А) —; Б) arcsin—+ nk, keü ;
В) (-1)" •—+ пк, к є □ ; Г) коренів немає.
я
12. Скільки коренів має рівняння сов# = —?
А) Жодного; Б) один; В) два; Г) безліч.
13. Яке з рівнянь не має розв’язків?
71 71
А) arcsinх = -1; Б) sin# = - l;B ) arccos# = — ; Г) cos# = — .
14. Розв’яжіть рівняння sin4#cos3# + cos4#sin3# =
A) (-1 )* -- + teä, keU ;Б ) (-1)*- — + — , ksU ;
' v ' 6 v ' 42 7
B) ± —+ 2nk, k e ü ;T ) ± — + — , keU .
3 21 7
15. Розв’яжіть рівняння 2sin#cos# = V2.
A) (—1)* -і arcsinV2 + ^ , ÄeD ; Б) (-1 + Ä<
B) (-1) •—+ nk, кєП ; Г) коренів немає.
f к^ 1
16. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності sin 3# — > —?
71 Л 71
А) 0; Б) —; В) - ; Г) - .
6 3 2
17. Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є множина
дійсних чисел? А) sin#>-2; Б) sin#<l;B ) віп#>1;Г) s in # > -l.
18. Яка з наведених нерівностей не має розв’язків?
71 7С
А) arcsin# > 0; Б) arcsin# < 0; В) sin# < —; Г) sin# > —.
Варіант 2
1. Обчисліть значення виразу sin arccos-
2
S '
V
дч л/3л/3 „ ч 1 ^ 1
А ) ------; Б) — ; В) — ; Г) - .
2 2 2 2
2. Чому дорівнює значення виразу cos
( . л/з
arcsin
л
farccos-
2 2

1 /я
А) 0; Б) 2 ; В) 1; Г)
3. Яке з наведених рівнянь не має коренів?
ТІ 71
А) arcsinх = -1; Б) sinx = -1 ; В) arccos* = — ; Г) cosx = — .
6 6
1 71
4. Розв’яжіть рівняння cos3x = —. А) —+ 2nk, k є □ ;
те те 2 те/е те
Б) ± — + 2nk, keU ; В) ± - + ----- , keU ; Г) ± - + 2nk, keü .
3 9 3 9
К
5. Знайдіть корені рівняння sin4x = -1. А) + 2%k, k є □ ;
ТЕ ТЕ TEfe ТЕ
Б) — + 7TÜ, &є □ ; В) — + — , /гєй ;Г ) — + nk, /гє□ .
4 8 2 8
6. Знайдіть нулі функції у = tg2x.
ТЕ TEfe ТЕ izk
А) 7CÄ, /гєй ;Б ) - + 2tuä, кєП ; В) — , кєП ; Г) - + — , кєП .
' 2 2 4 2
пх лІ2
7. Розв’яжіть рівнянняsin— = -^—. А) 8Ä±1, к є □ ;
ь 1 k (—l)* k
Б) (-1) +4Ä, ÄeD ;В )± — + - , keU ; Г) ^ - + - , /гєй .
V 7 16 2 16 4
8. Серед наведених пар рівнянь укажіть пару рівносильних рів-
sin2ос
нянь. А ) -------- = 0 і sin2x = 0; Б) cosx = 0 і sinx = 0; В) sinx = 0
sinx
і cosx = - l ; T ) cosxtgx = 0 і sinx = 0.
( яЛ Г~ Я
9. Розв’яжіть рівняння tgх + —J = v 3 .A ) — + лк, keU;
ТЕ 7 ТЕ ^)ТЕ
Б ) ---+ тїк, &є □ ; В) — + пк, &є □ ; Г)— + n k,Äє □ .
12 12 12
(
10. Знайдіть корені рівняння sin 4х + — =1.
V % )
jrb JT ТГ irk
А) — , кєП ; Б) - + 2nk, keU ; В) 2nk,кєП ; Г) - + — ,кєП .
2 2 8 2
11. Розв’яжіть рівняння tgx = tg3.
А) 3; Б) 3+ 71k, keü ; В) arctg3 + 7t£, keü ; Г) коренів немає.
7С
12. Скільки коренів має рівняння sinx = —?
А) Один; Б) два; В) безліч; Г) жодного.

Уроки № 89, 90. Похідна та їїзастосування 211
13. Яке з рівнянь не має коренів?
71 5 л/з
А) cos# = -7і; Б) cos# = — ; В) cos# = — ; Г) cos# = ------.
’ 6 6 2
14. Розв’яжіть рівняння cos4# cos2# + sin4# sin 2# = ^.
A) ± - + nk, keU ;Б ) (-1)*— + — , keü ;
6 36 6
ТГ -TT ТГл?
B) ± - + 2tcä, ÄeD ;Г) ± — + — , keü .
3 18 3
I
15. Розв’яжіть рівняння cos2x - sin2# = v2. A) ± —+ 2nk, ke □ ;
4
7Г 1 і—
Б) ± —+ nk, keü ;B ) ± —arccosV2 + nk, k є □ ; Г) коренів немає .
( лЛ16. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності tg 2х + — >1?
V 6 ^
71 71 71
А) 0; Б) —; В) Г)
4 8 2
17. Яка з наведених нерівностей не має розв’язків?
А) cosx< і; Б) cosjc> 1; В) cosx < l;T ) cosjc<1.
18. Яка з наведених нерівностей має розв’язки?
А) sin# > & ; Б ) cos#< ІД; В) arccos#<0; Г) arcsin#
2
УРОКИ № 89,90
ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
означення похідної функції в точці;
S механічний і геометричний зміст похідної;
'S таблицю похідних елементарних функцій;
'S правила обчислення похідних;
S достатню умову зростання і спадання функції, екстремумів
функції.
S знаходити похідні елементарних функцій;
S знаходити похідні суми, добутку, частки двох функцій;
S знаходити похідну складеної функції;
'S знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку;
-S застосовувати похідну до дослідження функцій та побудови їх
графіків.

Опорний конспект 1. Похідна
1. Означення похідної функції в точці
Нехай функція y = f{x) визначена в точках л;0 і х = х0+ Ах.
Різницю Ах = х - х 0 називають приростом аргумента, а різницю
f{xQ+ Ах)- f ( x 0) — приростом функції.
Похідна функції /(л;) в точці х0 — це границя відношення приросту
функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргумента набли
жається до нуля:
/(*0+Дх)-/(*0)
Г(х)= Ііт' ' ЛV_Дж->0 Ал:
Af f(x0+ Ax)-f(x0)
Вираз — = —--------- ---- —- називають середньою швидкістю
Ал; Ал;
змінювання функції на проміжку з кінцями л;0 і х0+ Ах
2. Похідні елементарних функцій
/(*) X X 1
X
[х 81ПХ совл; ctgx а Іпл; оёах
Ґ(х) пхп - 1 совл; -этл; ах1па
х 2 у[х сов2л; віп х
1
X л;1па
3. Основні правила диференціювання
^ (м+ у) =и' + и
^ (ми) =и'и +ии';
^ (Си) = Си' (С — сталий множник);
'» у и и-ии
V
4. Похідна складеної функції
Нехай Іі(х) — складена функція: Л(л;) = /(іг(л;)). Тоді
Л'(*) = (/(*(*))) =Г(й{х))-д'{х).
5. Геометричний зміст похідної
Похідна функції y = f{x) у точці х = х0 дорівнює кутовому коефіцієнту
дотичної до графіка функції г/= /(л:) у цій точці: f'[x0)= k = tga.
Рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці х0:
y = f(x0)+f'(x0)(x -x 0).

6. Механічний зміст похідної
Якщо точка рухається вздовж осі Ох і її координата змінюється за
законом х = х(і;), то похідна цієї функції — це миттєва швидкість точки:
ж'(*)=и(*).
Похідна функції v = v{t) — це прискорення руху: v'{t) = а(і)
Приклади
1. Знайдемо похідні функцій: /(х) = х3; |?(л:) = ^ -; Н(х) = 4х.
х
Скористаємося формулою = пхп~г. Тоді:
/'(# ) = (я3) = 3 х 2;
2. Знайдемо похідні функцій:
х 7
f(x) = tgx + x 2; g(x) = 5*cosji£:; h(x = —---- .
sin#
За правилом диференціювання суми функцій:
f'(x) = (tgx + x 2} =(tgx) + (*2) = — —+ 2х.
За правилом диференціювання добутку функцій:
g'(je) = (5*) cosjc + 5a:(cosjK:) = 5*ln5cosa: + 5*(-sinji£;) =
= 5х(іпбсовл: - sin#).
За правилом диференціювання частки функцій:
h'(x)
3. Знайдемо похідну функції h(x) = (х2+ 5#) .
Функція h{x) складена: &(#) = /(#(#)), де g(x) = x 2+ 5x.3апра
вилом диференціювання складеної функції
h'(x) = f'(g(x)) = 4:(g(x)f g'(x),g'(x) = (x2+ 5я) = 2#+ 5.
ґ х7 V (*7) s in # -# 7(sin#)' 7#6s in # -# 7cosл:
sin л: і sin2л:sin2#

Отже, h'[x) = 4{х2+ 5х) (2х + 5).
4. Знайдемо кут ос, під яким дотична до графіка функції
f{x) = х2+ Зх перетинає вісь абсцис у точці х0 = -1.
Скористаємося формулою tgoc = f'(x0).
f'(x) = 2х + 3, f'(x0) = /'(-1 ) = 2•(-1) + 3 = 1.
Отже, tga = l, a = 45°.
5. Запишемо рівняння дотичної до графіка функції
f(x) = x 3- 2х2+3
у точці х0 = 2.
Скористаємося формулою
y = f(x0)+ f'(x0) ( x - x 0).
f(x0)= 23-2 -2 2+3 = 3, f'(x) = Зх 2- 4 х ,
Г ( х 0) = ґ (2) = 3-22-4 -2 = 4.
Отже, рівняння дотичної має вигляд:
у = 3 + 4 [ х - 2 ) або у = 4л:-5 .
Вправи дляусного виконання
1. Знайдіть похідну функції:
1) f(x) = e2x; 2) f(x) = хіпх; 3) /(x ) = 51og3x; 4) f(x) = 6х;
5) f(x) = 3ex -8 х ; 6) /(x ) = ln(2x + l).
2. Знайдіть /'(і),я к щ о f(x) = (2 x -lf .
3. Чому дорівнює / ' (те), якщо /(x ) = cosx-sin:i£:?
4. Розв’яжіть нерівність f'(x) > 0, де f[x) = х2- 2 х .
5. Відомо, що /'(З) = 1. Знайдіть кут, що утворює дотична, прове
дена до графіка функції у = f[x) у точці з абсцисою 3, з додат
ним напрямом осі абсцис.
6. Дотична до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х0 утво
рює з додатним напрямом осі абсцис кут 60°. Знайдіть f ’M -
7. Знайдітькут, що утворює дотичнадо графікафункції f(x)=x2- Ьх
у точці з абсцисою 3 з додатним напрямом осі Ох.

Математичний диктант
Знайдіть похідну функції
1) f(x) = х6-Q; 2) f{x) = —x2+ 7л:-4;
3) f(x) = y[x+3xi ; 4) f(x) = у/бх+1;
5) f{x) = ex- З х 2; 6) f{x) = excos#
1) f(x) = x5+5; 2) f{x) = ^ x 2- 6 x +5;
3) f(x) = 5x6-'Jx;4) f(x) = y l4 x -l;
5) f(x) = 6 x-2 ex; 6) /(л:) = е*зіпл:
Завдання на встановлення відповідності
1. Установіть відповідність між заданими функціями та їх похід
ними.
1
/(я ) = ^ sin2#
A
/'(я ) = ^ cos2#
2
/(jc) = ^ cos2#
Б
f'(x) = - —sin2х
2
3 /(x ) = sin2j£:-3 В
f'(x) = —sin 2л:
к 1 2
4 /(# ) = cos2ji£:-3 Г /'(я ) = sin2л:
д / '( л:) = -8 Іп 2л:
2. Установіть відповідність між заданими кутами та їх градусни
ми мірами.
1 Кут між дотичною до графіка функції
f(x )= 2л:2- 1 у точ ц і х0= - — і додатним
4
напрямом осі Ох
А
03
оо
/(л:) = 2л;-л;2 у точці х0= — і додатним
2
Б 45°
f{x) = 2у[х + 1 у точці х0= 3 і додатним
В 60°
f(x) = Qy[x+l у точці л:0=3 і додатним
Г 120°
д 135°

Вправи для письмового виконання
1. Знайдіть похідну функції: 1) f(x) = — — 2) f(x) = (Sx + 2Y.
4 7 х + 3
2. Обчисліть значення похідної функції / ( х)=ех+5 у точці х0=1п5.
3. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції
f{x) = уіх2- 4х -1 у точці з абсцисою х0 = 5.
f{x) = е~1х у точці з абсцисою х0 = 0.
5. Розв’яжіть рівняння /'(х ) = 0, якщо /(х ) = зіп4х.
6. Складіть рівняння дотичної до графіка функції /(х ) = л;2+2х + 3
у точці з абсцисою х0 = 1.
Варіант 7
3 2 2
1. Знайдіть похідну функції f(x) ——— — . А) f'(x) ——— —;
3 2 3 2
Б) і х ) = х2-х ; В) Ґ'(х) = х3- х 2; Г) f'(x) = Зх2-2 х.
2. Знайдіть похідну функції /(х) = ctgЗx. А) / '( х ) = - t g З x ;
Б) Г(х) = -З іц З х ;В ) Г) /'(* ) = - _ 3
віп Зх віп Зх
3. Знайдіть похідну функції f{x) =
х
А ) г
4. Знайдіть похідну функції f{x) = віп2 + е2.
А) /'(х ) = соз2 + 2е; Б) f f(x) = е2; В) /'(я ) = 1; Г) /'(я ) = 0.
5. Знайдіть похідну функції /(х ) = (3л: + і)5. А )/'(л :) = 3(3л: + і)5;
Б) /'(* ) = 5(3* + 1)4; В) / '( х) = 15(Зл;+ і )4;Г) / '( х) = 8(Зл;+ і )4.
cosО1-*) лч 16. Знайдіть похідну функції f(x) = ------^-*А) f'(x)= „ ,
sin(27i-x) sin JC
Б) r W = - ^ V ; B > / ' ( * ) = ^ - ; г ) r ( x ) = — 1— .
Sin X COS X COS X
7. Знайдіть значення похідної функції /(x ) = х2- 5х у точці х0 =2.
А) -1 ; Б) 1; В) -3 ;Г )3 .

8. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функ
ції /(# ) = х2- Зх у точці з абсцисою #0= -1?
А) 4; Б) -2 ; В) -1 ; Г) -5 .
9. Матеріальна точка рухається за законом s(t) = 3t2- 12t +18 (час
t вимірюється в секундах, переміщення s — у метрах). У який
момент часу після початку руху точка зупиниться?
А) 2 с; Б) 3 с; В) 4 с; Г) 6 с.
Варіант 2
х 4 х3
1. Знайдіть похідну функції /(# ) = — -----—. A) /'(# ) = х3- х2;
Б) /''(#) = ; В) f'(x) = х4—х3; Г) /'(# ) - 4х3- Зх2.
2. Знайдіть похідну функції /(# ) = tg 5 x . A) /'(# ) = — — ;
cos 5#
Б) f'{x) = — — 5Б) /'(# ) = ctg5#; Г) /'(# ) = 5ctg5#.
cos 5#
3. Знайдіть похідну функції /(# ) =
х
А) / '( « ) = - £ ; В) /'( * ) = ^ ; В) /'(* ) = - £ ; г) Г ( * ) = ^ г .
4. Знайдіть похідну функції /(# ) = sin6 + e4. A) /'(# ) = cos6 + e4;
Б) f'(x) = - cos6 + 4e3;B ) f'(x) = 0;Г ) f'(x) = 4e3.
5. Знайдіть похідну функції /(# ) = (2# - 1)3. A) /'(# ) = 3(2# - 1)2;
(2 # -l)4
Б) /'(# ) = 6 (2 # -l) ;B ) f'(x) = 2(2# - 1) ; Г) /'(# ) = ■
4
, 4 sin(7l-#) , v 1
6. Знайдіть похідну функції /(# ) = --------------Ч-. A) f (#) = ---- t,—
. ( Зп і sin x
s i n -----h#
V 2 )
Б) f '( * ) = — ^ г- ; B) f ’(x ) = n f'(x) = 1
COS“ x sin“ # cos2#
7. Обчисліть значення похідної функції /(# ) = #2- # у точці
#0= 1,5. А) 2; Б) 1,5; В) 3; Г) 0,75.
8. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції
/(# ) = #2+ 2# у точці з абсцисою #0= -2 ? А) 2; Б) 6; В) -2 ; Г) -6.

9. Під час руху тіла по прямій відстань в (у метрах) змінюється за
законом в(^) = 3^2-2£ + 4 (£ — час руху в секундах). Знайдіть
швидкість тіла через 2 с після початку руху.
А) 14 м/с; Б) 12 м/с; В) 10 м/с; Г) 8 м/с.
Опорний конспект 2. Застосування похідної
1. Ознаки зростання і спадання функції
Достатня умова зростання функції
Функція /(#) зростає на інтервалі (а;Ь), якщо в кожній точці цього
інтервалу ґ(х )> 0.
Достатня умова спадання функції
Функція /(#) спадає на інтервалі (а;Ь), якщо в кожній точці цього
інтервалу Г(х)< 0.
Зауваження. Якщо функція /(#) монотонна на інтервалі (а;Ь) і неперерв
на в точках а і Ь, то вона монотонна і на проміжку [а;6].
2. Означення критичних точок функції
Критичними точками функції називають внутрішні точки області ви
значення функції, в яких похідна дорівнює нулю або не існує.
3. Точки екстремуму та екстремуми функції
Точками екстремуму функції називають точки максимуму і мінімуму
функції.
Необхідна умова екстремуму
Якщо х0 — точка екстремуму функції /(я ), то /'(л:0) = 0 або не існує.
Увага! Критична точка функції не обов’язково є точкою екстремуму.
Достатні умови екстремуму
Якщо функція /(#) неперервна в точці л;0 і похідна ґ(х ) у цій точці
змінює знак:
^ з « + » н а « - » , т о х0 — точка максимуму;
^ з « - » на «+», то лс0 — точка мінімуму.
Екстремум функції — це значення функції в точках максимуму і міні
муму
Приклади
1. Знайдемо проміжки зростання функції /(я ) = Зле- х3.
!>(/) = □ . /'(* ) = З -З *2, /'(* )> 0,
якщо 3-3л;2>0, я;є(-1;і).

Функція /(х ) неперервна в точках -1 і 1, отже, вона зростає на
проміжку [—1;1].
2
2. Знайдемо проміжки спадання функції f(x) = 5- 2х + 2х2— х3.
З
£)(/) = □ . f'(x) = -2 + 4х - 2х2- -2(1 - x f < 0
при всіх дійсних х , отже, функція спадає при х є □ .
1 5
3. Знайдемо екстремуми функції fix )= - х 4- 2х3+ —х2-1 .
4 2
Z>(/) = □ . Згідно з необхідною умовою екстремуму точками екс
тремуму можуть бути тільки критичні точки функції.
/'(х ) = х3-6 х 2+5х. D (f') = R. f'(x) = 0,
якщо х3- 6 х 2+Ьх = 0, х(х2- 6 х + б) = 0, х1= 0, х2=1, х3=5 — кри
тичні точки функції. Скориставшися достатньою умовою екстре
муму, з’ясуємо, які з них є точками максимуму, а які точками мі
німуму функції.
f'(x) - + - +
— ^—L------•-------•---------------•--------
0 1 5 х
Отже, х = 0 і х = 5 — точки мінімуму, х = 1 — точка максиму
му. Знайдемо значення функції в цих точках:
4ш(0) = -1. U ( 5 ) = -3 2 ± , U { 1 ) = ~ .
Таким чином, мінімуми функції дорівнюють -1 і -3 2 —, максимум
4
функції дорівнює - —.
4
4. Знайдемо найбільше і найменше значення функції
f{x) = х3- 1,5х2- 6х +1
на відрізку [-2; 0].
Найбільшого і найменшого значення на відрізку функція може
досягати в критичних точках, що належать відрізку, або на кінцях
відрізка. Знайдемо критичні точки функції.
f'(x) = Зх2-З х -6 , /'(х ) = 0,

якщо Зх2-З х —6 = 0, хг =-1, х 2= 2 — критичні точки функції,
причому -1 є[-2 ;0 ], 2g[-2;0]. Знайдемо значення функції в точці
х = —1 і на кінцях відрізка: /( - і ) = 4,5, / ( —2) = —1, /(0) = 1.
Отже, fHM(x) = f ( - 1) = 4,5, f ^ ( x ) = f(-2) = -1.
[-2,0] [-2,0]
З+ х2
1. Знайдіть точки мінімуму функції f(x) = -------- .
1 - х
2. Знайдіть точки екстремуму функції:
1) f(x) = 2х3- 2х2- 2) f(x) = х2Inх .
3. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
к -—X
1) f(x) = —x 3+10x2+y/5;2)f(x) = x e * .
З
4. Знайдіть найбільше та найменше значення функції /(х ) = хе х
на проміжку [0;2].
5. Одне з двох чисел на 36 більше за друге. Знайдіть ці числа,
якщо відомо, що їх добуток набуває найменшого значення.
6. Ділянку прямокутної форми потрібно з усіх сторін обгородити
парканом завдовжки 200 м. Якими мають бути розміри цієї ді
лянки (довжина та ширина), щоб її площа була найбільшою?
7. Потрібно виготовити відкритий металевий бак із квадратною
основою, який уміщатиме 32 л води. За яких розмірів бака
(довжина основи, висота) на його виготовлення піде найменша
кількість матеріалу?
8. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2уіЗ cm.
За якої висоти її об’єм буде найбільшим?
9. Об’єм циліндра дорівнює 16п см3. Яким має бути радіус основи
циліндра, щоб площа його повної поверхні була найменшою?
Варіант 7
1. Скільки критичних точок має функція f(x) = —x 3+ 1,5х2- 4х +1
на проміжку [—5;0]? А) Жодної; Б) одну; В) дві; Г) три.
2. Скільки критичних точок має функція f(x) = - х 3- х ?
З
А) Три; Б) дві; В) одну; Г) жодної.
3. Яка з наведених функцій не має критичних точок?
A) f(x) = х3; Б) f(x) = х3+1; В) f(x) = х3+х; Г) f[x) = x 3+ х 2.

4. Знайдіть критичні точки функції /(# ) = х3- З х .
А) 0; Б) 1; В) -1 і 1; Г) таких точок не існує.
5. Знайдіть проміжки зростання функції f{x) = Зх - х3.
А) (— [1;+°°); Б) [-1;-к»); В) [-1;1]; (-оо;і].
6. На рисунку зображено графік похідної
функції y=f(x). Користуючись зобра
женням, укажіть проміжки спадання
функції y=f(x).
A) (-<*>;-1), (2;+~); Б) (-1;3);
B) (—3;3); Г) (-=»;-3), (1;3).
Варіант 2
1. Скільки критичних точок має функція
f{x) = д х3~ х2- Зх + 4
на проміжку [0;4] ? А) Одну; Б) дві; В) три; Г) жодної.
2. Скільки критичних точок має функція f{x) = - х 3- 2х2
З
А) Безліч; Б) дві; В) одну; Г) жодної.
3. Яка з наведених функцій не має критичних точок?
A) /(# ) = #5;Б ) f{x) = х5+5х;
B) /(# ) = #5-4 х ; Г) / ( х) = 2 0 -2 х 5.
4. Знайдіть критичні точки функції /(# ) = —х3+ 4х.
З
А) -4 ; Б) -2 і 2; В) 2; Г) таких точок не існує.
5. Знайдіть проміжки спадання функції /(# ) = Зх3- 81#.
А) (—3;3); Б) (— ;3), (3;+-); В) (-~;3); Г) (0;9).
6. Нарисунку зображено графік похідної
функції y = f{x). Користуючись зобра
женням, укажіть проміжки зростання
функції y = f(x).
A) (-4 ;-і) , (2;+~); Б) (-~ ;-3 ), (0;4~);
B) (-3;0); Г) (-4;2).
іі11
1111
TT^SnjІ
у і
: з
Н - 2
k 1
1
1
1
1
1
" Г
1 1
1
О / ! Х
г і і ^
/ і - К
0 /
1 4
і
і
1
1
1
1
1 1
1 1

УРОКИ № 91-93
ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ
^ означення та властивості логарифмів;
означення та властивості логарифмічної функції;
означення та властивості показникової функції;
^ основні методи розв’язування показникових і логарифмічних
рівнянь і нерівностей.
^ виконувати перетворення виразів, що містять логарифми;
^ розв’язувати показникові та логарифмічні рівняння і нерівності.
Опорний конспект 1. Показникова функція
1. Показникова функція — це функція, яку задано формулою
f{x) = ax (а>0, аФ 1).
2. Властивості показникової функції:
^ область визначення — множина □ ;
^ множина значень — проміжок (0;+°°);
^ не є ні парною, ні непарною;
^ при а >1 зростає на □ , при 0<а <1 спадає на □ .
Графік показникової функції
Опорний конспект 2. Показниковірівняння і нерівності
1. Показникові рівняння — це рівняння, в яких змінна міститься в по
казнику степеня: ах = Ь, Ь> 0 (при Ь<0 рівняння розв’язків не має).
2. Основні способи розв’язання показникових рівнянь і нерівностей:
1) Якщо основи степенів рівні, прирівняти показники і розв’язати одер
жане рівняння.
Приклад. Розв’яжемо рівняння 3х =3Х+2.
Оскільки основи степенів рівні, прирівняємо показники: х2= х + 2.
Розв’язавши рівняння х2—х —2 = 0, дістанемо: х1= —1, х2—2.
Відповідь. -1;2.

Уроки №91-93. Показникова ілогарифмічна функції 223
2) Якщо основи степенів різні, то, використовуючи властивості степенів,
звести їх до однієї основи або, якщо це неможливо, скористатися озна
ченням логарифма числа.
( і у
Приклад.Розв’яжемо рівняння
Скориставшися тим, що
= 4х-3
- = 2 4 = 22,
перепишемо рівняння у вигляді: 2~х = 22^х 3^. Тоді —X = 2(де—3), звідки
х - 2 . Відповідь. 2.
3) Якщо можливо, винести спільний множник за дужки.
Приклад.Розв’яжемо рівняння 7Х+2+ 4 •7Х+1 = 539.
Оскільки 7Х+2 = 7 •7Х+1, то задане рівняння можна переписати у вигляді:
7 •7Х+1+ 4 •7Х+1 = 539. Винесемо за дужки спільний множник 7Х+1:
7Х+1•(7 + 4) = 539, звідки
7Х+1 = 5 3 9 :1 1 , 7Х+1 =49, 7*+1 = 72, х + 1 = 2, х = 1.
4) Шляхом відповідної заміни звести рівняння до квадратного.
Приклад.Розв’яжемо рівняння 4х - 5 •2х + 4 = 0.
Нехай 2х = у , у > 0 . Тоді 4х = (2х) = у 2 і задане рівняння набуває
вигляду: у 2—5 у + 4 = 0, звідки у1=1, у2 = 4. Отже, 2* = 1, х = 0
і 2х = 4, х = 2. Відповідь. 0; 2.
5) Якщо рівняння має вигляд А а 2х + В а хЬх + СЬХ= 0, то, поділивши
обидві його частини на Ь2х, одержати рівняння
+ С = 0,
яке зводиться до квадратного.
Приклад.Розв’яжемо рівняння 2 •25* - 7 •10х + 5 •4х = 0.
За властивостями степенів: 25х = 52х, 4х = 22х, 10* = 5х ■2х. Перепише
мо задане рівняння у вигляді: 2 •52х —7 •5х •2х + 5 •22х = 0 . Поділивши
обидві його частини на 22*, дістанемо:
(аЛ
2х
- + в
2х
7 . ( 5 )
, 2 ,
і •
К2,
+5= 0.

Нехай
( 5V
— І = у. Тоді рівняння набуває вигляду: 2у2—7у + 5 = 0, звідки
Ух 1 > У 2 2 *
(ьЛ
= 1, х = 0 і
ґб У 5
= —, х = 1. Відповідь. 0; 1.
2
3. Розв’язування показникових нерівностей ґрунтується на властивості
монотонності показникової функції у = ах.
Приклад.Розв’яжемо нерівності: 1) 0,57-3* < 4; 2) 6* > б3-2*.
1) Скориставшися тим, що 4 = 0,5-2 перепишемо задану нерівність
у вигляді 0,57-3* <0,5-2. Показникова функція у = 0,5х спадає
(0,5 < і), тому задана нерівність рівносильна нерівності 7 —Зх > —2,
розв’язками якої є х є (-<*>;3). Відповідь. (—°о;3).
2) Показникова функція у = 6х зростає (б > і ) , тому задана нерівність
рівносильна нерівності х 2 > 3 —2 х , розв’язками якої є
х є (—оо;—3)и(і;+°°)* Відповідь. (—°°;—3)и(і;+°°)
1. З-поміж функцій у = — , у - х А, у = 4х, у = 4х у - —^
х 1^4
показникові.
( і У
2. З-поміж функцій у = — , у = 4х, у = (0,07)*, у =
чЗу
ріть ту, яка зростає на множині дійсних чисел.
3. Порівняйте числа а, Ь і с,якщ о:
виберіть
Ґ11
,12
вибе-
. 7іУ ( . 71У ( . ЯУ (
віп-
8
віп-
8
віп-
8
віп-
п
8
V
V
х-2 лЗх
4. Розв’яжіть рівняння: 1) 9" =27; 2) 4Х~* = 4 ах; 3) 2*"1=32;
і Л2*“1 і
^ ; б ) ( 2 - Г = і4) 2* 2+2* =10; 5) 4 ^ = 1 -
х-2
5. Знайдіть точку перетину графіків функцій у =
6. Розв’яжіть нерівність: 1) 0,5* <0,25; 2)
4)
і у = 5.
г г * 1 04 Ґ4'
> - ; 3)
,3 , 9 ,7 ,
/ о Л * о
> —; 5) 0,4* >1; 6) 32*+4>9; 7) 0,2*+3 > 5.
8

1. Розв’яжіть рівняння: 1)
Ґ п
cos—
З
7х-2
= л/8;2) 4х2~3х = 5 3х-*2
3) 5Х~2-2Х+3 = 320; 4) 4х + 2Х+1 = 80; 5) 0,55“2* + 3 0,253“* = 20;
6) 4 •З2* + 3* •4* - 3 •42* = 0.
2. Знайдіть корені рівняння 53х+2 ■З2*-1 = —•З3* •Ь2х.
5
3. Знайдіть координати точки перетину графіків функцій
/(х ) = 6*+9* та /(х ) = 22*+1.
^ ^ х2-2х
4. Розв’яжіть нерівність: 1)
і
< - ; 2) 9°>5*2-3>27;
8
3) 2*+2 +2Х+1 <24; 4) 4 * - 6 - 2 * + 8 < 0 ; 5) [ - * _ 1 ( 1 }-
+ -
U J U J
>30.
5. Знайдіть усі значення х , при яких значення виразу 9 •2^х~2 на
8 більше від значення виразу 4у і х - 2
6. Знайдіть область визначення функції у = , - .
уі4х - 2 Х~3
Варіант 1
1. Яка множина значень функції у = 3х + 4 ?
А) (4;+°о); Б) (0;+°о); В) (—оо;+оо); Г) (7;+оо).
2. Яке з наведених чисел належить множині значень функції
f(x) = 9х + 2? А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.
3. Відомо, що 0,7™ >0,7". Порівняйте т і п.
А ) яг < т г ; Б ) 771>71; В ) 771 = 71; Г ) 771 > 71.
4. Яка з наведених функцій не є зростаючою?
А) у = ех; Б) у = пх;В) у =
5. Відомо, що 3х : 3у = 81. Чому дорівнює значення виразу х - у і
А) 0; Б) 2; В) 3; Г) 4.
6. Розв’яжіть рівняння 3* = ^. А) -3 ; Б) 3; В) -2 ; Г) 2.
7. Розв’яжіть рівняння
X
f е 1;П у =
^4, ^2,
f2>
X
{91х з
,16, ~ 8
= - . А ) 0 ; Б) 1; В) 2; Г) 3.

8. Розв’яжіть рівняння З2* *2= 112хх2.
А) 0; Б) -2 ; 0; В) 0; 2; Г) коренів немає.
9. Розв’яжіть нерівність 0,2Х~2> 0,008.
А) [5;+°°); Б) (-~ ;5 ]; В) (-~ ;б]; Г) [б;4~).
10. Розв’яжіть нерівність
27
А) (— ;2]; Б) [2;+~); В) [1,5;+-); Г) (-»;1,5].
11. Яка з нерівностей не має розв’язків?
А) 2* < -1 ; Б) 2х > -1 ; В) 2*>1;Г) 2*<1.
ю г> » • • ( п )* (п12. Розв яжіть нерівність 1— 1 < І—
А) (3;+«); Б) (0;3); В) (— ;3); Г) (— ;+<»).
Варіант 2
1. Яка множина значень функції у = 2х - 3?
А) (-3;4~); Б) [-3;4~); В) (0;+-); Г) [-1;4~).
2. Яке з наведених чисел не належить множині значень функції
/(* ) = (£ ) - 2 ? А ) - 2 ;Б ) - 1 ;В ) 0 ;Г ) 1 .
3. Відомо, що 0,3а<0,36. Порівняйте а і Ь.
А) а<Ь; Б) а<Ь; В) а>Ь; Г) а = Ь.
4. Яка з наведених функцій не є показниковою?
V
А) г/= (віп^ ;Б) ї/ = [соз^1 ;В ) У = [ ^ ;Т) у = [ ^ ^
V
5. Відомо, що 5х :5у = 125. Чому дорівнює значення виразу х - у ?
А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.
6. Розв’яжіть рівняння 2х = —. А) -3 ; Б) 3; В) -4 ; Г) 4.
8
7. Чому дорівнює корінь рівняння
А) -3 ; Б) -1 ; В) 1; Г) 3.
8. Розв’яжіть рівняння 5Х+Х = 7Х+Х .
А) 0; Б) -1 ; 0; В) 0; 1; Г) коренів немає.
9. Розв’яжіть нерівність 0,2*+1< 0,04.
А) [1;+°°); Б) (—оо;і]; В) [-1;+°о); Г) (-°о;-і].
'Г
X
"16"
X
,2, ,27, ,2,

10. Розв’яжіть нерівність — <
( 9 у 27
{2 5) 125 ’
А) (-оо;2]; Б) [2;+оо); В) [1,5;+-); Г) (-оо;1,5].
11. Множиною розв’язків якої з нерівностей є множина дійсних
1. Логарифмом додатного числа Ь ( Ь> 0) за основою а (а> 0, а Ф І ) на
зивають показник степеня, до якого треба піднести а, щоб одержати Ь.
2. Спеціальні позначення:
•S log10b= lg& (десятковий логарифм);
S logeö = lnb (натуральний логарифм).
3. Основна логарифмічна тотожність: аІ08аЬ= Ь (а> 0, аФ 1, &>0).
4. Основні властивості логарифмів
При будь-якому додатному а , а Ф1, і будь-яких додатних х і у :
1) loga1= 0; 2) logaа = 1; 3) logaxy = logax + logay;
4) loga—= logax - logaу ; 5) ogax c= cogax.
У
5. Формула переходу від однієї основи логарифма до іншої:
k>gab= — ( а>0, аФІ, Ь>0).
logca
6. Означення логарифмічної функції
Логарифмічна функція — це функція, яку задано формулою
чисел? А) 2 *< -1 ;Б ) 2*> -1 ; В) 2*>1;Г) 2*<1.
4
12. Розв’яжіть нерівність
А) (0;4); Б) (4;4~); В) (-оо;4); Г)
Опорний конспект 3. Логарифм числа.
Логарифмічна функція
f(x) = ogax ((а>0, а Ф 1).
7. Основні властивості логарифмічної функції:
1) область визначення — проміжок (0;+°°);
2) множина значень — множина □ ;

3) не є ні парною, ні непарною;
4) при а > 1 зростає на всій області визначення;
при 0 < а < 1 спадає на всій області визначення.
Графік логарифмічної функції
Приклади
Обчислимо значення виразів:
1) Ig8 + lgl25; 2) log2l l - l o g 244; 3) 21og48.
Скористаємося властивостями логарифмів:
1) за властивістю 3: Ig8 + lgl25 = lg(8125) = lgl000 = 3;
2) за властивістю 4: log211 - log„ 44 = log2— = log2- = -2;
44 4
3) за властивістю 5: 21og48 = log482=log464 = 3.
Опорний конспект 4. Логарифмічнірівняння та нерівності
1. Логарифмічні рівняння
Логарифмічні рівняння — це рівняння, які містять змінну під знаком
логарифма.
Основні способи розв’язання логарифмічних рівнянь
1) Розв’язування найпростіших логарифмічних рівнянь:
^ розв’язками рівняння 1оgaf(x) = Ь ( а > 0, аФІ) є розв’язки рівняння
/(х) = аь;
^ розв’язками рівняння 1о§а/(л:) = 1о§а|г(л;) (а>0, аФ1) є всі значення
х, які задовольняють умови:
|7(х)>0, |іг(я;)> 0,
!/(* )= * (* )а ° !/(*)=*(*).
2) Розв’язування логарифмічних рівнянь, які відрізняються від найпро
стіших.
Застосовуючи властивості логарифмів, звести рівняння до найпростішо
го за допомогою:
^ використання рівносильних перетворень;

^ використання рівнянь-наслідків з обов’язковою перевіркою розв’язків
шляхом підстановки в початкове рівняння;
^ використання спеціальних замін;
^використання властивостей відповідних функцій
2. Логарифмічні нерівності
Розв’язування логарифмічних нерівностей ґрунтується на властивостях
логарифмічної функції у = х :
^ функція визначена при х > 0;
^ функція зростає на всій області визначення при а> 1;
функція спадає на всій області визначення при 0 < а < 1
Приклади
1) Розв’яжемо рівняння:
а) log3(5 + 2х) = 2.
Це найпростіше логарифмічне рівняння. Його розв’язками
є розв’язки рівняння 5+ 2х = З2, звідки х = 2.
б) log7(jc2- 6х + 7) = log7(# - 3).
Розв’язки рівняння задовольняють умови:
Г # - з > о , х -3 > 0 , лет> 3,
х 2- 6 х + 7 = х -З ,
<
х2- 7х + 1 0 = 0 , хх=2, х2= 5,
звідки х = 5.
в) log5(ж-1 ) + logg (х -2 ) = logg (х + 2).
Скориставшися властивостями логарифмів, перепишемо рів
няння у вигляді log g ((x -l)(# -2 )) = logg(# + 2). Це рівняння рівно
сильне системі:
logg ((х - І)(х - 2)) = logg (х + 2),
х -1 > 0,
х - 2 > 0,
х2- 3# + 2 = х + 2,
х -1 > 0,
х - 2 > 0,
звідки х = 4.
(х - і)(х - 2) = х + 2,
х -1 > 0 ,
х - 2 > 0,
х2- 4х = 0,
х>2,
х1= 0 ,х 2= 4,
х>2,

г) loggx +31og5:x;-4 =0.
Нехай loggх = у . Тоді задане рівняння має вигляд у2+Зу - 4=0,
звідки уг= - 4, у2= І.Отже, loggх = -4, х = —— і log5x = l, х = 5.
625
Відповідь. ; 5.
625
д) log5x = l - x .
Скористаємося властивостями функцій
/(x ) = log5x і g(x) = l - x .
Функція f{x) = logg х зростає на області визначення (х > 0), а функ
ція g(x) = l - x спадає при всіх дійсних х. Тому задане рівняння
має єдиний корінь, очевидно, це х = 1.
Відповідь. 1 .
2) Розв’яжемо нерівність:
а) log4(я - 2) < 1.
Ураховуючи, що l = log44, запишемо задану нерівність у ви
гляді log4(х - 2) < log44.
Функція у = log4(х —2) визначена, якщо х - 2 > 0 , і зростає
(4 > і), тому розв’язками заданої нерівності є всі значення х, які
задовольняють умову 0< х - 2 < 4 або 2 < х <6.
Відповідь. (2;б).
б) log^x > lo g 13.
4 4
Функція y = log1x визначена, якщо х > 0 , і спадає 0< — < 1 ,
4 ^ 4 J
тому розв’язками заданої нерівності є всі значення х , які задоволь
няють умову 0<Д£Г<3.
Відповідь. (0;3].
1 . Обчисліть значення виразу: 1 ) Ig25 + lg4; 2) log22 4 -lo g 23;
3) 25І08‘ 3; 4 ) | ^ f ; 5) і .2 1^ 10; 6) log736+21og7^.
logg 2 2 6
2. Чому дорівнює значення виразу:
( 71^ ( 1 ^ logefl+—+—+...
!) log0,26 1 -c o s - ;2 )t g Tclogg- ; 3) 36 1 39
v 3 2

3. Яка область визначення функції: 1) у = log_x2; 2) у = log^2З?
4. З-поміж функцій у = log09x, y = ognx, y = ogex, у = ^ гх
2 3 е
виберіть ту, яка не є спадною.
5. Порівняйте основу логарифма з одиницею, якщо
і 5 і 3log„ — > log,, —.
12 “ 8
6. Розв’яжіть рівняння: 1) log6x = -2 ; 2) log05(Зх - 2) = -2 .
7. Знайдіть корені рівняння 2•7log7* = де2- 3.
8. Знайдіть координати точки перетину графіків функцій у = gx
і у = 2.
9. Знайдіть координати точки перетину графіка функції
у = lg(x2- Зл;+ 10) з віссю ординат.
1) log2х > logg 6; 2) log8х < 2 ;3 ) log08(x + 6 )< log08 9 .
9 9
1. Обчисліть: 1) 21l0g3fi4+1l0g31Q; 5 ; 2) log6(31og^5) + 42l°g49;
logg 6 -logg 12 V V5 '
3) 2log481_logs27; 4) 1000lg3_lg6 -lo g 16cos60°.
2. Знайдіть x , якщо log2x = log432 + 21og43 - log42.
3. Відомо, що log27 = a, log23 = b . Виразіть log242 через a ib .
1) з1""’ 7- 71ог‘ 8; 2) log2(log3c o s J -lo g 3sinJ]; 3) -lg 5 .
V 6 6) 21gV10-lg5
5. Порівняйте числа log3108 і log5375.
6. Розв’яжіть рівняння: 1) 21og3(лет—і) = log3(4л: + 1);
2) log4(х + 2) + log4( х + 3) = log43 + 0,5;
3) log2(2 * -l) = 21og23 -lo g 2(х -4 ); 4) + ------?— = 1;
log2х log2х - 2
5) log2(ö •2X+1- Зб) = x.
7. Знайдіть корені рівняння: 1) log2(9-2*) = 3-:x:;
9 Jö ~ lg2x l + J21ogax + l
2) lg 100л: - 71gjc = 8; 3) —-------— = 1; 4 ) — ^-----— -------= 1.
1+ lgx log2x

8. Розв’яжіть нерівність: 1) log4(х2- Зх) < 1;
2) log3(x-2)+log3x> l; 3) log25x -lo g 05x< 0 ; 4) log3log1logj x> 0 .
2 3
9. Знайдіть область визначення функції fix ) = ,
/logJ(ж-2 )
10. Побудуйте графік функції f(x) = log2log2_x(2 - x)x.
Варіант 1
1. Яка з наведених рівностей неправильна?
A) log3^ = i ;B ) log216 = 4; В) log ,б5 = 2; Г) log l 4 = -2 .
à 2
2. При яких значеннях а і Ь виконується рівність
lg(-ab) = lg а + lg(-fe)?
А) а >0, Ь>0;Б) а <0, Ь>0;В) а <0, Ь<0;Г) а >0, Ь<0.
3. Чому дорівнює значення виразу log3(9а), якщо log3а = 3 ?
А) 6; Б) 5; В) 27; Г) 12.
4. Чому дорівнює значення виразу lg tg х + lg ctg х ?
А) 100; Б) 10; В)1;Г)0.
5. Обчисліть значення виразу log„ .
loge2
А) -1 ; Б) 1; В) log34; Г) log36.
6. Укажіть область визначення функції /(jc) = log9(7 -x ).
А) (7;+оо); Б) (-оо;7); В) [7;+°о); Г) (-~;7].
7. ВІДОМО, ЩО log0g 771> log0g 71. ПорІВНЯЙТЄ 771 І 71.
А) 771> п; Б) т = п;В) т < п ;Т ) порівняти неможливо.
8. Коренем якого рівняння є число 16?
А) logg* = 2; Б) log2л:= 8; В) log4x = 2; Г) log4je= 4.
9. Розв’яжіть рівняння lg(x2+ 9х) = 1.
А) -10; 1; Б) 1; В) -1 ; 10; Г) 10.
10. Укажіть точку перетину графіка функції /(x ) = lg(jc-2) з віссю
абсцис. А) А(2;0); Б) Б(0;2); В) С(3;0); Г) D (0;3).
11. Розв’яжіть нерівність log^g X < 2.
А) (-<*>;3]; Б) (0;3]; В) [0;3]; Г) (— ;9].

12. Знайдіть область визначення функції f(x) = y]log2х - 4 .
А) [І6;+оо); Б) (0;1б]; В) (І6;-Нх>); Г) [2;+оо).
Варіант 2
1. Яка з наведених рівностей неправильна?
A) log2J - = i ; B ) log327 = 3; В) 1оЄ д 9 = 4;Г) log l25 = -2 .
аг ь 5
2. При яких значеннях а і Ь виконується рівність
1g(ab) = lg(-a) + lg(-b)?
А) а> 0, Ь> 0; Б) а < 0, Ь> 0; В) а < 0, Ь< 0; Г) а> 0, Ь< 0.
3. Чому дорівнює значення виразу log5(25b), якщо log5b = 5?
А) 125; Б) 3; В) 7; Г) ЗО.
4. Чому дорівнює значення виразу lg (sin2х + cos2я;)?
А) 10; Б) 1; В) 0; Г) 100.
log* 9
5. Обчисліть значення виразу log2---- — .
log5З
А) -1 ; Б) 1; В) l o g i ; r ) l o g і .
О О
6. Укажіть область визначення функції /(x ) = log7(ö -x ).
А) [5;+оо); Б) (-оо;5]; В) (5;+оо); Г) (-°о;5).
7. Відомо, що logg т > log9п. Порівняйте т і п.
8 8
А) т > п; Б) т = п; В) т < п; Г) порівняти неможливо.
8. Розв’язком якого рівняння є число 36?
A) log4x = 9; Б) log2x = 18; В) log6Jc= 6; Г) log6x = 2.
9. Розв’яжіть рівняння log2(я2+ Зх) = 2.
А) -1 ; 4; Б) -4 ; 1; В) 4; Г) 1.
10. Укажіть точку перетину графіка функції f(x) = log4(я - 3) з ві
ссю абсцис.
А) А(0;4); Б) В(4;0); В) С(0;3); Г) D {3;0).
11. Розв’яжіть нерівність log^2X < 4.
А) (-оо;4]; Б) (-о°;2]; В) (0;4]; Г) [0;4].
12. Знайдіть область визначення функції f{x) = Jlog02х - 1 .
А) (-~;0,2]; В) (0;0,2); В) [0;0,2]; Г) (0;0,2].

УРОКИ № 94,95
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ
ТА МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
означення перестановки, розміщення, комбінації;
^ формули для обчислення числа перестановок, розміщень, ком
бінацій;
означення випробування та випадкової події;
^ означення вірогідної і неможливої події;
^ класичне означення ймовірності;
^ теорему додавання ймовірностей несумісних подій;
^ теорему множення ймовірностей незалежних подій;
^ означення статистичних таблиць, рядів розподілу, моди, меді
ани, середнього значення.
^ обчислювати за класичним означенням ймовірності подій;
^ використовувати теореми додавання і множення для обчислен
ня ймовірності подій;
^ обчислювати частоти для вибірок;
^ подавати статичні дані у вигляді таблиць, відповідних точко
вих та інтервальних розподілів частот.
Опорний конспект 1.
Елементи комбінаторики
1. Перестановки
Перестановкою із п елементів називають будь-яку впорядковану
множину, яка складається з п елементів.
Формула для обчислення числа перестановок:
Рп= 1*2*3*_*/г= /г!
2. Розміщення
Розміщенням із п елементів по т елементів називають будь-яку
впорядковану підмножину з т елементів поданої множини, яка
містить п елементів.
Формула для обчислення числа розміщень з п елементів по т :
А™ = -—П' або А™= /г-(п-і)-(/г-2)-...-(тг-т-і-і).
[п-т)
3. Комбінації
Комбінацією з п елементів по т елементів називають будь-яку підмно
жину з т елементів поданої множини, яка містить п елементів.

Уроки № 94, 95. Елементи теорії ймовірності.. 235
Формула для обчислення числа комбінацій з п елементів по т :
П
іп
= 1.
Властивості числа комбінацій
С° +С+ СІ +.. .■+Сп~х+С* =2пп п п п п
Приклади
1. Обчислимо, скількома способами в турнірній таблиці можуть
посісти місця сім команд з футболу, якщо відомо, що жодні дві
команди не наберуть однакової кількості очок.
Складання можливих варіантів списку команд за їх результа
тами на турнірі — це формування перестановок із семи елементів
без повторень. Оскільки за умовою дві команди не можуть посісти
одне й те саме місце, турнірна таблиця є впорядкованою множи
ною. Кількість упорядкувань турнірної таблиці дорівнює числу пе
рестановок із семи елементів:
Відповідь. 5 040.
2. Обчислимо, скількома способами можна вибрати голову проф
спілки, старосту та його заступника в групі студентів кількіс
тю 25 осіб.
Складання можливих варіантів вибору голови профспілки,
старости та його заступника можна вважати формуванням розмі
щень без повторень із 25 елементів по три елементи. Число таких
розміщень знайдемо за формулою:
3. Обчислимо, скількома способами з партії виготовлених дета
лей можна вибрати будь-які чотири деталі для контролю якос
ті, якщо всього виготовлено 15 таких деталей.
Оскільки порядок розташування елементів у виборці не є сут
тєвим, ці вибірки є комбінаціями по чотири елементи з 15 елемен
тів. Кількість таких комбінацій обчислимо за формулою:
і> =7! = 5040.

Початки теорїі ймовірностей
Основні поняття Приклади
Випадковою подією називають
подію, яка може відбутися або не
відбутися під час певного випро
бування
Витягання чорної кульки зі
скриньки, в якій лежать чорні
й білі кульки
Вірогідною подією називають по
дію, яка внаслідок певного випро
бування обов’язково відбудеться
Витягання чорної або білої кульки
зі скриньки, в якій лежать чорні
Неможливою подією називають по
дію, яка внаслідок певного випро
бування не може відбутися
Витягання червоної кульки зі
скриньки, в якій лежать чорні
Класичне означення ймовірності
Відношення числа т елементар
них подій, які сприяють події А,
до загальної кількості п подій
простору називають імовірністю
випадкової події А і позначають
Р(А). Тобто
Р(А) = — ( 0 < т < п )
п
Імовірність того, що під час
підкидання двох монет випаде два
герби, дорівнює —, бо простір
4
елементарних подій такий:
А1 — випали два герби;
А% — випали герб і число;
А% — випали число і герб;
А4 — випали два числа,
а шуканій події сприяє тільки одна
подія — А1
Сумою двох подій А і В назива
ють подію, що полягає в здійсненні
під час одиничного випробування
або події А, або події В , або обох
подій А і В одночасно.
Імовірність суми двох несумісних
подій дорівнює сумі ймовірностей
цих подій
Якщо стрілець цілиться по мішені,
яка розділена на дві частини, і ймо
вірність улучення в першу частину
дорівнює 0,35, а в другу — 0,45,
то ймовірність улучення в мішень
дорівнює:
0,35 +0,45 = 0,8
Добутком двох подій А і В
називають подію, яка полягає
в одночасному здійсненні обох
подій А і В під час одиничного
випробування.
Імовірність добутку двох незалеж
них подій дорівнює добутку ймовір
ностей цих подій
Якщо два мисливці одночасно і не
залежно один від одного стріляють
по мішені, а ймовірності улучен
ня в мішень відповідно дорівнює
0,7 і 0,8, то ймовірність того, що
обидва мисливці влучать у ціль,
дорівнює:
0,70,8 = 0,56

Елементи статистики
Статистичні спостереження — це спланований, науково організований
збір масових даних про соціальні економічні явища та процеси.
У процесі вибіркового спостереження вивчають лише частину сукупнос
ті, відібрану спеціальним методом, яку називають вибіркою.
Центральні тенденції вибірки:
^ середнє значення вибірки ( х ) — це середнє арифметичне всіх її
значень;
^ мода вибірки ( М о) — те її значення, яке трапляється найчастіше;
^ медіана вибірки ( М е) — це число, яке ділить навпіл упорядковану
сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної
ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростан
ня або спадання ознаки
Приклад. Знайдемо центральні тенденції вибірки 2, 3, 4, 4, 6, 6,
6, 7, 7,8.
Мода вибірки М о = 6, бо число 6 зустрічається найчастіше.
Медіана вибірки М е = 6, бо вибірка має парне число значень і її
0+0
медіана дорівнює півсумі її середніх значень: ------ = 6.
2
1. Скількома способами можна розставити на полиці п’ять різних
книжок?
2. З десяти учнів потрібно вибрати двох для прибирання класної
кімнати. Скількома способами це можна зробити?
3. У магазині є сім видів новорічних подарунків. Скількома спо
собами можна вибрати з них три різні подарунки?
4. Скількома способами можна вибрати дві кульки і два кубики
із шести різних кульок і п’яти різних кубиків?
5. Із 10 учнів, що брали участь у районній олімпіаді, троє посіли
призові місця. З цих 10 учнів навмання вибирають одного. Яка
ймовірність того, що він став призером олімпіади?
6. Із 10 виготовлених деталей три деталі виявилися з дефектами.
Яка ймовірність того, що вибрані навмання дві деталі будуть
без дефектів?
7. У коробці 15 цукерок із чорного шоколаду і кілька з білого.
Скільки в коробці цукерок із білого шоколаду, якщо ймовірність
Середнє значення вибірки:
_ 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 53
х =
10

витягнути навмання з коробки цукерку з білого шоколаду мен
ша за —?
5
8. Завод виготовляє 95 % стандартних виробів, до того ж 80 % із
них — першого сорту. Яка ймовірність того, що взятий навман
ня виріб, виготовлений на цьому заводі, виявиться стандарт
ним виробом першого сорту?
9. Імовірність того, що виріб не є бракованим, дорівнює 0,7. Яка
ймовірність того, що навмання взяті три вироби будуть брако
ваними?
10. Телефонна лінія, що з’єднує два пункти А і Б, які розташова
ні один від одного на відстані 5 км, обірвалася в невідомому
місці. Яка ймовірність того, що обрив стався на віддалі не мен
ше ніж 2 км від пункту А ?
11. У лотереї 1 000 білетів, із них на один білет припадає виграш
1 000 грн, на 15 білетів — виграш по 100 грн, на 35 білетів — по
50 грн, на 40 білетів — по 20 грн, на 80 білетів — по 5 грн. Знай
діть імовірність виграшу на один білет не менше ніж 10 грн.
12. Дитина грається п’ятьма буквами: И, К, Л, М і Н. Яка ймовір
ність того, що під час випадкового розміщення чотирьох букв
у ряд, утворяться слова або КМИН, або КЛИН, або КЛИМ?
1. Розв’яжіть рівняння: 1) Рх+2 = 56Рх; 2) С =66.
2. Скількома способами можна вибрати набір із трьох блокнотів
і двох ручок із шести різних блокнотів і семи ручок?
3. Скільки різних правильних нескоротних дробів можна скласти
із чисел 1; 2; 3; 7; 11; 18 так, щоб чисельником і знаменником
дробу були числа з поданого набору?
4. Скількома способами групу із восьми учнів можна розподілити
для участі у двох олімпіадах, якщо в олімпіаді з математики
бере участь п’ять учнів, а в олімпіаді з фізики — три?
5. Одночасно підкинули два гральних кубики. Знайдіть імовір
ність того, що сума очок на кубиках менша за 5.
6. Навмання вибираємо три з п’яти карток, на яких написано
числа 2, 4, 6, 8, 10. Яка ймовірність, що з них можна утворити
арифметичну прогресію?
7. Знайдіть медіану вибірки 1; 3; 2; 7; 3; 2; 1.
8. Знайдіть моду вибірки 7; 1; 2; 3; 1; 2; 2.
9. Розподіл робітників цеху за тарифними розрядами характери
зується такими даними:

Тарифний розряд 1 2 3 4 5 6 7
Кількість робітників 3 5 14 25 ЗО 13 10
Побудуйте полігон цього розподілу.
Варіант 7
1. Скількома способами можна сформувати комісію із трьох осіб,
яких треба вибрати з чотирьох претендентів?
А) 3; Б) 4; В) 6; Г) 12.
2. Скільки трицифрових чисел із різними цифрами можна запи
сати, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6?
А) 120; Б) 720; В) 20; Г) 216.
3. На тарілці лежать п’ять яблук і чотири груші. Скількома спо
собами з тарілки можна взяти одне яблуко і одну грушу?
А) 9; Б) 12; В) 16; Г) 20.
4. Скільки існує на координатній площині точок, абсциса й орди
ната яких — різні складені числа, не більші за 18?
А) 90; Б) 72; В) 54; Г) 36.
5. Скільки шестицифрових чисел, які кратні 10 і всі цифри яких
різні, можна записати, використовуючи цифри 0, 1, 2, 3, 4 і 5?
А) 36; Б) 60; В) 24; Г) 120.
6. Яка з наведених подій вірогідна? А) Виграти у лотерею;
Б) сонце зійшло на заході; В) після 1 березня настане 2 березня;
Г) під час підкидання монети випав герб.
7. Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число
1 1 8 5
ділиться націло на 16? А) — ; Б)— ; В) — ; Г) — .
15 18 45 99
8. На 15 картках записано натуральні числа від 1 до 15. Яка ймо
вірність того, що число, записане на навмання вибраній карт
ці,не ділиться ні на2, ні на З? А) — ; Б) — ; В) —; Г) —.
15 15 3 5
9. Чому дорівнює ймовірність того, що під час кидання грального
кубика випаде число, яке більше за 2?
лч 1 1 1 2
А) - ; Б)- ; В)- ; Г) - .
6 3 2 З
10.У лотереї розігрувалося 16 грошових призів і 20 речових. Яка
ймовірність того, що за умови придбання одного білета не ви-
1 3 47 49
грати жодного призу? А) — ; Б) — ; В) — ; Г) — .

11. П’ять карток пронумеровано числами 1, 2, 3, 4 і 5. Яка ймовір
ність того, що сума номерів вибраних навмання двох карток до-
2 1 3 1
рівнюватиме 7? А) —; Б) —; В) —; Г) —.
12. У родині три сини і сім дочок. Яка ймовірність того, що най-
1 1 3 3
меншою дитиною є син? А) —; Б) —; В) —; Г) — .
2 3 7 10
13. У партії зі 100 деталей є 28 деталей виду А , 36 деталей виду Б,
а решта деталей — виду С . Яка ймовірність того, що навмання
взята деталь буде або виду А, або виду Б?
А) 0,64; Б) 0,08; В) 0,1008; Г) 0,32.
14. У ящику лежать дев’ять кульок, чотири з яких є зеленими.
Яка ймовірність того, що вибрані навмання одна за одною чо-
4 1 8 4
тири кульки будуть зеленими? А) —; Б )-----; В) — ; Г) — .
9 126 63 21
15. У ящику лежать дев’ять кульок, чотири з яких є зеленими.
Яка ймовірність того, що вибрані одна за одною чотири кульки
4 1 8 4
будуть зеленими? А) - ; Б) —— ; В) — ; Г) — .
9 1^0 Оо Лі.
16. У коробці лежать 20 червоних кульок, 10 зелених, а решта —
сині кульки. Скільки синіх кульок лежить у коробці, якщо
ймовірність вийняти навмання з коробки синю кульку стано
вить ^ ? А) 45 кульок; Б) ЗОкульок; В) 20 кульок; Г) 15 кульок.
Варіант 2
1. Із чотирьох студентів потрібно вибрати двох для поїздки за
кордон. Скільки існує варіантів вибору цих двох студентів?
А) 6; Б) 12; В) 15; Г) 18.
2. Скільки двоцифрових чисел із різними цифрами можна запи
сати, використовуючи цифри 1, 2, З? А) 4; Б) 5; В) 6; Г) 8.
3. Маємо вісім різних конвертів і чотири різні марки. Скількома
способами можна вибрати конверт і марку?
А) 12; Б) 16; В) 32; Г) 64.
4. Скільки існує звичайних дробів, чисельник і знаменник
яких — різні прості числа не більші за 20?
А) 14; Б) 28; В) 56; Г) 70.
5. Скільки чотирицифрових чисел кратних 5, усі цифри яких різ
ні, можна записати, використовуючи лише цифри 1, 2, 3, 4 і 5?
А) 120; Б) 20; В) 60; Г) 96.

6. Яка з наведених подій є випадковою? А) При температурі 0° С
вода замерзає; Б) після понеділка наступає вівторок; В) у берез
ні 31 день; Г) під час підкидання кубика випало шість очок.
7. Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число
буде кратне числу 11? А) ^ ; Б) ^ ; В) ^ ; Г) і .
8. З натуральних чисел від 1 до 18 включно учень навмання на
зиває одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником чис
ла 18? А) — ; Б) — ;В) —; Г)
2 18 9 З
9. Гральний кубик підкинули один раз. Яка ймовірність того, що
випаде число, яке кратне З? А) ^ ; Б) ^ ; В) ^ ; Г) 1.
10. У лотереї розігрувалось 10 телевізорів, 15 магнітофонів, 20 фо
тоапаратів. Усього було випущено 2 000 лотерейних білетів.
Яка ймовірність того, що за умови придбання одного білета не
1 391 9 9
виграти жодного призу? А) —; Б )----- ; В )------; Г)
2 400 400 1000
двох навмання вийнятих картках, є непарним числом?
.. З ^ 2 1 1
А) - ; Б) - ; В) - ; Г) - .
4 4 4 2
12. У коробці лежать 18 зелених і 12 блакитних кульок. Яка ймо
вірність того, що вибрана навмання кулька виявиться блакит
ною? А) —; Б) —; В) —; Г) —.
З 5 4 5
13. У шухляді лежить 27 кульок, з яких 13 кульок — сині і 7 ку
льок — червоні. Із шухляди навмання вибирають одну кульку.
Яка ймовірність того, що ця кулька буде або синього, або чер-
1 2 20 14
воного кольору? А) —; Б) —; В) — ; Г) — .
9 7 27 27
14. У класній кімнаті перебувало 20 дівчат і 5 хлопців. Двоє учнів
вийшли один за одним із кімнати. Яка ймовірність того, що
1 1 2 1
обидва учні були хлопцями? А) —; Б) — ; В) — ; Г) — .
5 10 25 ЗО
15. Із шухляди, у якій лежать вісім чорних, чотири червоних
і п’ять синіх олівців, виймають навмання по одному олівцю.

Яка ймовірність того, що перший вийнятий олівець буде чор
ним, другий — синім, а третій — червоним?
А ) ^ г ; В ) Л ; В ) А ; г ) 1 7
51 14 17 160
16. У коробці лежать дві сині кульки і кілька червоних. Скільки
червоних кульок у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана
навмання кулька виявиться синьою, дорівнює —? А) Дві куль-
3
ки; Б) три кульки; В) чотири кульки; Г) шість кульок.
УРОКИ № 96,97
ІНТЕГРАЛ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
^ означення первісної для функції;
^ таблицю первісних для елементарних функцій;
^ правила знаходження первісних;
^ формулу Ньютона — Лейбніца;
^ означення криволінійної трапеції.
^ знаходити первісні з використанням таблиці первісних та пра
вил знаходження первісних;
^ застосовувати формулу Ньютона—Лейбніца до обчислення ви
значених інтегралів;
^ обчислювати площу криволінійної трапеції за допомогою інте
грала.
Первісна
1. Означення первісної для функції
Функцію називають первісною для функції f(x) на заданому
проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку Р'{х) = / (я).
Наприклад, функція Р(х) = х2 є первісною для функції /(я) = 2я;на
проміжку (—оо;+°о), оскільки -Р'(л;) = (л!;2) =2x = f{x) для всіх л;є (-<*>;+оо).
2. Основна властивість первісної
Якщо функція Р(х) — первісна для функції /(я) на заданому проміж
ку, то функція /(#) має безліч первісних, і всі ці первісні можна
записати у вигляді Р(х) + С, де С — довільна стала.

Уроки № 96, 97. Інтеграл і його застосування 243
Наприклад, функція F(x ) - x 2+ 7 є первісною для функції f(x) = 2х на
проміжку (—°°;+оо), оскільки F'(x) = (x2+7) =2x = f[x) для всіх
х є .
3. Правила обчислення первісних
1) Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій, тобто якщо
F(x) — первісна для /(x), a G(x) — первісна для #(л:),то
.F(;x;)+G(a;) — первісна для функції /(л:)+я(л:) .
2) Сталий множник можна виносити за знак первісної, тобто якщо
F(x) — первісна для f(x) і С — стала, то CF{x) первісна для Cf{x).
3)Якщо F(x) — первісна для f(x) і k^O, Ь — сталі, то —F(kx + b) —
k
первісна для функції f(kx + Ь).
4. Таблиця первісних
Функ
ція
/(*)
о X" 1
X
sin# cos#
cos2* sin2#
Первіс
ні
F(x) + C
х + С хл + 1
П+1
-+ С
In1*1+С -cos х + С sinя;+С tgx + C -ctgx + C
Приклади
1. Знайдемо загальний вигляд первісних для функції f(x) = - х 3
на □ .
Скориставшись таблицею первісних, знаходимо, що однією
ОС
з первісних для функції /(лс) є функція ——. Згідно з основною
властивістю первісних загальний вигляд первісних для функції
/(* ) такии: F(x) =
X
+ С.
(/ її
2. Знайдемо первісну для функції /(л:) = віп х + — , графік якої
V 3 )
( 2п Л
проходить через точку М — ;-1 .
V 3 )
Скориставшись правилами для обчислення первісних, табли
цею первісних і основною властивістю первісних, знаходимо, що
загальний вигляд первісних для функції f{x) такий:

-Р(я;) = -соє^я;
+|)+С-
Оскільки за умовою графік функції Р(х) проходить через точ-
ку М — ; - і ! , тобто Р —
ІЗ ) І З у
2л лЛ
-1 = -сов
V З 3^
звідки С = -2. Отже, первісна для функції
= -1 , то дістаємо рівняння відносно С :
+ С, —1——соэл + С, —1—1+ С,
f(x) = sm
(
х +
п
( 2к
графік якої проходить через точку М — ;-1
^ З
, має вигляд:
¥ { х ) = - сов х + - 1-2.
Опорний конспект 2. Визначений інтеграл
1. Означення визначеного інтеграла
Нехай задано неперервну функцію у = f(x), визначену на проміжку
[а;&], тоді визначеним інтегралом від а до Ь функції /(#) називають
приріст первісної і5’(х) цієї функції:
ь
^{х)й х = Р{Ь)-Р{а) (формулаНьютона—Лейбніца).
2. Основні правила обчислення визначеного інтеграла
6 ь
1) ^Сі(х)(Іх = С^(х)<Іх
а а
Ь Ь Ь
2) ^ {х )+ д (х ^ й х = ^(х)йх+^д{х)йх
а а а
Ь а
3) ^{х)йх = -^{х)йх',
а Ь
а
4) |/(д:)йл: =0;
а
Ь с Ь
5) ^ (х )й х = ^ {х )й х +^{х)йх,
а а с
де с — число, що належить проміжку [а;Ь].

3. Геометричний зміст визначеного інтеграла
Площа S криволінійної трапеції (фігури, обмеженої графіком непе
рервної додатної на проміжку [a;b] функції f(x), віссю Ох та прямими
ь
х = а і х = Ь) обчислюється за формулою S = J/(#)d#.
а
4. Фізичний зміст визначеного інтеграла
Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює
h
Jv(t)dt, де vit) — швидкість руху.
h
5. Обчислення площ фігур
Якщо на заданому проміжку a;b неперервні функції y -f (x ) і y -g (x )
ь
мають властивість /(#)>!?(я;) для всіх хє[а;Ь],то S =
Приклади
2
1. Обчислимо: j x 2dx.
-і
X
Враховуючи, що однією з первісних для х є — , і скористав-
3
пійсь формулою Ньютона — Лейбніца, дістанемо:
2
[ x 2dx = —
J а
(-і)а = 3 .
2. Обчислимо площу 5 криволінійної тра
пеції, обмеженої графіком функції
Ґ(х) = х2, прямими у = 0, х = 1 і х - 2 .
Виконаємо зображення поданої криволі
нійної трапеції.
Для функції f{x) = x2 однією з первісних
.зОС
є функція F{x) = — . Тому
З
га
S = [x 2dx = —
J я
2 ^ _ Ґ _ 7
з
Відповідь. — ,
З

3. Обчислимо площу фігури, обмеженої
лініями
у = х2 і у = - х + 2.
Виконаємо зображення фігури, площу
якої треба знайти.
Для знаходження меж інтегрування
розв’яжемо рівняння:
х2- - х + 2, х2+ х - 2 - 0 , х1= -2 , х2-1.
Оскільки для всіх х є [-2;і] - х + 2 > х2, то
1 1 ( х 3 х 2 ^
((-х + 2 ) - х 2^йх = |(-х 2- х + 2)сІх = І— ------- + 2х = 4,5.
Відповідь. 4,5.
4. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, що змінюється за
законом v(t) = 2t + l (м/с). Знайдемо відстань, яку подолає тіло
протягом інтервалу часу від tx= 1 с до t2= 3 с.
Згідно з фізичним змістом визначеного інтеграла:
з з
s = j(2t + i)dt = (t2+t) =(9 + 3 - ( l + l)) = 10 (м).
і
Відповідь. 10 м.
1. З-поміж функцій
F(x) = x 2, F (x )= х2-3 ; F(x) = x 2+1, F(x) = x 2+ x
виберіть ту, яка не є первісною для функції /( х) = 2 х .
2. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції:
1) f(x) = cos5x; 2) f(x) = 10х4- 6 x ; 3) f(x) = 3x5- 4лс.
3. Знайдіть первісну для функції f(x) = 6 х , графік якої проходить
через точку М (-1;5).
4. Знайдіть первісну для функції /(x ) = cosx, графік якої прохо-
( л ^
дить через точку А І—;6 І.
5. Для функції f(x) = — — знайдіть первісну F(x) таку, щ о
sin х

2 1 3
1) Jx2dx; 2) Jx3dx; 3) Jx3dx; 4) J^y; 5) |4xdx; 6)
0 0 1 1 ^ 1 4
71 TZ n
2 3 з
7) f sinxdx; 8) f------—; 9) [-------------—; 10) f ( x - 2 )dx.
І cos x і cos x J
2 6
7. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
71
1) у = х, у = 0, х = 2, х = 4; 2) t/ = cosx, г/= 0, х = 0, х = —.
6
( яЛ
1. Для функції /(x) = sin 2х —
V
знайдіть первісну, графік якої
( 71 ^
проходить через точку А — ;2,5
ч12 у
2
2. Для функції f[x) = - j = - 5 знайдіть таку первісну F(x), що
л/х
F(4) = -10.
3. Знайдіть первісну для функції /(х ) = ^+cos—, графік
V Зх + 1 2
якої проходить через початок координат.
27 „ 2 п
4.
dx
9
sin
Л
І. Обчисліть: 1)-^ = d x ; 2) [ ----------------V | (2 х -і)4<іх;
1л/х2 я яіп2( — 1 0
ґ^" ї х
4) П4сов4х + —віп—
ІІ 3 3
у - єіп2х, у = 0, х — х = —.
6 З
1) у - 2 - х 2 і у - - х ; 2 ) у - Зх2 і у - 1 -2 х ; 3) у - х 2 і г/= 4 х -3 .
7. Матеріальна точка рухається прямолінійно зі швидкістю
и(£) = 6 -0,2# (м/с), де і — час руху. Знайдіть шлях, який про
йде точка за перші 10 с руху.
8. Швидкість руху точки задано рівнянням и(£) = 5+ 2£ (м/с).
Знайдіть рівняння руху в= якщо в(3) = ЗО.

9. При яких значеннях а виконується рівність:
1) } ^ = 4 ; 2 ) ( Г Л - з )
_sin X і х )
dx = 4?
Варіант 7
1. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = х4?
A) F(x) = 4х3;Б ) F(jc) = ^ -;B ) F(jc) = y ; T ) F(x) = x
2. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції f(x) = Зх2.
А) Зх3+ С; Б) х3+С; В) х2+С; Г) 6х + С.
3. Укажіть загальний вигляд первісних для функції f(x)=2х3+ 6 х .
A) бх + б + С; Б) ^ х 4+ 3х2+С; В) х4+ 2х3+ С ; Г) 4х4+ 3х2+ С.
4. Знайдіть первісну для функції /(х ) = cosx, графік якої прохо
дить через початок координат. A) .F(a;) = sinji£;; Б) -F(x) = -sin я;
B) F(x) = sinx + 1; Г) F(x) = l-s in x .
5. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції f(x) = sin5x.
А) cos5x + C; Б) —c o s 5 jc + C; В) - 5cos5x + C; Г) - cos5x + C.
5 5
і 1 1 1 X
6. Обчисліть інтеграл j*x 2d x . A) ; Б) —; В) ; Г) —.
» л/v
7. Обчисліть інтеграл J— . A) 0,2; Б) 0,8; В) -0,2; Г) -0,8.
8. Обчисліть інтеграл Jsinxcto. А) 1,5; Б) 0,5; В) -1,5; Г) -0,5.
&
9. Обчисліть інтеграл |(х - ) й х .
о
А) 0; Б) 2; В) 4; Г) 5.
10.Обчисліть площу заштрихованої фігу
А ) | ; Б ) 1 ; В ) | ; Г ) 2 .

11. Укажіть формулу, за якою можна об
числити площу 5 заштрихованої фі
гури, зображеної нарисунку.
і і
A) 5 = |(лг-лг2)йл:; Б) 5 = |(д;2-х)йх
0 о
1 і
B) £>= |(х2-1 ; Г) 5 = |х2(1х.
12. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v[t) = t + 2 (м/с), де
t — час руху. Який шлях пройде тіло за 6 с від початку руху?
А) 15 м; Б) 48 м; В) 24 м; Г) ЗОм.
Варіант 2
1. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = х6?
7 7
А) *■(*) = у ; Б) F(x) = y ; B ) F(x) = Qx&; Г) F(x) = x7.
2. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції f(x) = х + 7 .
X X X
А) — + 7х + С ;В ) х 2+ 7 х + С ; В ) — + 7 + С;Г) — + С.
' 2 2 2
3. Знайдіть загальний вигляд первісної для функції
f(x) = Зх2+4х.
А) х3+ 2х2+ С ; Б) х3+ 2х2; В) 6х + 4 + С ; Г) З#3+ 4л:2+ С .
4. Знайдіть первісну для функції /(л:) = sinлс, графік якої прохо
дить через початок координат. А) і5,(ж) = 1- cos#;
Б) F(x) = l + cosx; В) ії’(л:)= cosjc-I; Г) = -cosjc-1.
5. Яка з наведених функцій є первісною для функції
І л
/(*)=■
sin
X
A) F(x) = -ctg^-, В) F ( x ) = ^ ctg^;
B) F(x) = - ± ctg| ; Г) *■(*) = -2 ctg| .
6. Обчисліть інтеграл j2xdx. A) 15; Б) ЗО; В) -15; Г) -ЗО.

7. Обчисліть інтеграл у . А) — ; Б) —; В) ; Г)
1х 24 2 2 24
2 л / о / о
8. Обчисліть інтеграл [ . А)— ; Б) л/З; В ) ------- ; Г) —л/З .
аіп г Я Явіп X
9. Обчисліть інтеграл |(2х -1 )йх .
-і
А) -2 ; Б) 0; В)2;Г)4.
10. Обчисліть площу заштрихованої фігу
дч 4 20 2 14 *
А) Б) — ; В) Г) — .
З З З З
11. Укажіть формулу, за якою можна обчислити площу 5 заштри
хованої фігури, зображеної нарисунку.
Г) 5 = | ---- 5 + х
12. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = St2+ l (м/с),
де £ — час руху. Який шлях пройде тіло за 3 с від початку
руху? А) 25 м; Б) 26 м; В) 28 м; Г) ЗОм.
УРОК № 98
ПІДСУМКОВИЙ УРОК
Мета: узагальнити знання учнів матеріалу курсу алгебри та по
чатків аналізу.
Питання для обговорення
1. Поняття множини. Операції над множинами.
2. Числові множини. Множина дійсних чисел.

Урок № 98. Підсумковий урок 251
3. Числові функції. Властивості функцій. Графіки основних ви
дів функцій.
4. Означення, властивості та графіки:
1) степеневої функції;
2) тригонометричних функцій;
3) показникової функції;
4) логарифмічної функції.
5. Розв’язування рівнянь та нерівностей:
1) ірраціональних;
2) тригонометричних;
3) показникових;
4) логарифмічних.
6. Похідна функції та її застосування. Дослідження функцій за
допомогою похідної.
7. Елементи теорії ймовірностей.
8. Елементи комбінаторики.
9. Елементи математичної статистики.
10.Первісна для функції. Інтеграл та його застосування.
у точці х0 = 2.
8. У скриньці лежать кульки трьох кольорів: вісім білих, сім си
ніх і п’ять червоних. Яка ймовірність того, що взята навмання
кулька буде синього або червоного кольору?
Умова домашньоїконтрольноїроботи № 7 (підсумкової)
1 2
1. Обчисліть: (0,001) 3- 2 2-643.
2. Розв’яжіть рівняння Іх2- 7 = 42.
3. Спростіть вираз 4sin a cosa cos2а.
4. Знайдіть усі додатні корені рівняння л/Зctg х + — = 1.
V Ь)
5. Знайдіть значення виразу log 24b , якщо log„ b = 16.d **
6. Розв’яжіть нерівність 8112 >
f(x) = 3 - 4 х - х 2

"25"
і
~2
f 2 l-1 "7 V 2
,49, ,7, <10J
УРОК № 99
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 7 (ПІДСУМКОВА)
Умова підсумковоїконтрольноїроботи
Варіант 1
2. Розв’яжіть рівняння уіх2+3 = л/7.
_ . 2sina-sin2a
3. Спростіть вираз ----------- г-------.
( 1 - cos aj cosa
4. Знайдіть усі невід’ємні корені рівняння
л/2cosfjc - - 1 = Зл/З - V27.
^ 4 у
5. Знайдіть 1gx, якщо log001#5=8.
2 1
6. Розв’яжіть нерівність 5х +5х <
625
fix) - tg2х - 5 у точці х0 = — .
4
8. У ящику лежать котушки ниток трьох кольорів: шість білих,
чотири синіх і десять червоних. Яка ймовірність того, що взята
навмання котушка буде синього або червоного кольору?
л
dx. ( 19. Обчисліть інтеграл І — - 2
АКОС0,5
Варіант 2
2
1. Обчисліть: (0,75) 1-^ 2 ^ j -(2,5) 2.
2. Розв’яжіть рівняння УІХ2+1 = V17.
_ _ . cos2a - sin2a + cos2a
3. Спростіть вираз-------------------------------.
sin a cosa
4. Знайдіть усі від’ємні корені рівняння

Уроки 100-105. Резервний час 253
5. Знайдіть , якщо 1с^1000 = 4.
6. Розв’яжіть нерівність (0,125)* * >64.
/(х) = 10-с,^2х
Зя
у точці х0= — .
4
8. У коробці лежать олівці трьох кольорів: дев’ять зелених, шість
синіх і п’ять червоних. Яка ймовірність того, що взятий на
вмання олівець буде синього або червоного кольору?
г( 1 ї9. Обчисліть інтеграл—г-- 2х (їх.
ли )
УРОКИ 100-105
РЕЗЕРВНИЙ ЧАС
Спосіб використання резервного часу вчитель може обирати са
мостійно:
^ для повторення на початку навчального року матеріалу, який
вивчався у попередніх класах;
^ як додаткові години на вивчення окремих тем, якщо вони важ
ко засвоюються учнями;
^ для проведення інтегрованих з профільними предметами уро
ків тощо.

ЛІТЕРАТУРА
1. Нелін Є. П.,Долгова О. Є. Алгебра і початки аналізу : дворівневий під
ручник для 11 класу загальноосвітніх закладів. — X. : Світ дитин
ства, 2006.
2. Нелін Є. П.,Долгова О. Є. Алгебра і початки аналізу : дворівневий під
ручник для 10 класу загальноосвітніх закладів. — X. : Світ дитин
ства, 2006.
3. Старова О. О, Маркова І. С. Готуємось до державної підсумкової атес
тації, зовнішнього незалежного оцінювання з математики : посібник
для вчителя. — X. : Видавнича група «Основа», 2008.
4. Сухарева Л. С. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та
тести. Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи. — X. : Видавнича гру
па «Основа», 2008.
5. Роганін О. М. Тест-контроль. Алгебра та початки аналізу + геометрія.
Поточне, тематичне та річне оцінювання / за загальною редакцією
Є. П. Неліна. — X. : Весна, 2009.
6. Лукин Р.Д., Лукина Т. К., Якунина М. С. Устные упражнения по ал
гебре и началам анализа. — М. : Просвещение, 1989.
7. Нелін Є. П. Алгебра в таблицях : навчальний посібник для учнів
7-11 класів. — X. : Світ дитинства, 1998.
8. Корнес А. І., Бабенко С. П. Алгебра. Геометрія. 10 клас : зошит для
контрольних і самостійних робіт. — X. : Ранок, 2009.
9. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики.
11 клас : у 2 книгах. Книга 1 / М. І. Бурда, О. Я. Біляніна, О. П. Ва-
шуленко, Н. С. Прокопенко. — X. : Гімназія, 2009.
10. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики.
11 клас : у 2 книгах. Книга 2 / М. І. Бурда, О. Я. Біляніна, О. П. Ва-
шуленко, Н. С. Прокопенко. — X. : Гімназія, 2009.
11. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики :
11 клас / О. С. Істер, О. І. Глобин, І. С. Панкратова. — К. : Центр
навчально-методичної літератури, 2011.
254

Н а в ч а л ь н е вида ння
БАБЕНКО Світлана Павлівна
УСІ УРОКИ АЛГЕБРИ ІПОЧАТКІВ АНАЛІЗУ.
11 КЛАС. II СЕМЕСТР.
АКАДЕМІЧНИЙ РІВЕНЬ
Навчально-методичний посібник
Головний редактор І.С.Маркова
Редактор Г.О.Новак
Коректор О.М.Журенко
Комп’ютерне верстання О.В.Лєбєдєва
Підп. до друку 01.07.2011. Формат 60x90/16. Папір газет.
Гарнітура Шкільна. Друк офсет. Ум. друк. арк. 16,0. Зам. № 11-09/02-05.
ТОВ «Видавнича група “Основа” » .
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 від 25.07.2007.
Україна, 61001 Харків, вул. Плеханівська, 66.
Тел. (057) 731-96-32. E-mail: math@osnova.com.ua
Віддруковано з готових плівок ПП «Тріада+»
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 1870 від 16.07.2007.
Харків, вул. Киргизька, 19. Тел.: (057) 757-98-16, 757-98-15.
<252^

11 алг бабенко_2_пособ_2011_укр

More Related Content

What's hot

Similar to 11 алг бабенко_2_пособ_2011_укр

Recently uploaded

11 алг бабенко_2_пособ_2011_укр