Презентації з математики, дидактичний матервал з математики.

1. Кут між двома
прямими
10 – 11 класи
30.05.2014 1
Жданюк Валентина Миколаївна
вчитель математики
Великочечеліївська загальноосвітня
школа І-ІІІ ступенів

2. 30.05.2014
𝐴1
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими AC і
BD.
Кут між двома прямими. Куб
Відповідь: 𝟗𝟎°.
ABCD – квадрат ⇒
AC ⊥ BD
Розв’язок:
2

3. 30.05.2014
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑪𝑪 𝟏 і
𝑨𝑫.
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
𝐴1
Відповідь: 𝟗𝟎°
.
Розв’язок:
𝐶𝐶1 ⊥ (ABCD) ⇒ 𝐶𝐶1 ⊥ AD
3
Кут між двома прямими. Куб

4. 30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨𝑨 𝟏 і
𝑩 𝟏 𝑪.
𝐴1
Відповідь: 𝟒𝟓°.
Розв’язок:
𝐴𝐴1∥ 𝐵𝐵1 ⇒
∠( 𝐴𝐴1; 𝐵1 𝐶) = ∠( 𝐵𝐵1; 𝐵1 𝐶)
= 45°
4
Кут між двома прямими. Куб

5. 30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑩𝑩 𝟏 і
𝑨 𝟏 𝑪.
𝐴1
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟑
𝟑
.
Розв’язок:
𝐵𝐵1 ∥ 𝐴𝐴1 ⇒
∠( 𝐵𝐵1, 𝐴1 𝐶) = ∠( 𝐴𝐴1; 𝐴1 𝐶);
𝜶
5
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝐴𝐴1
𝐴1 𝐶
=
1
3
.
Кут між двома прямими. Куб

6. 30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 знайдіть
кут між двома прямими
𝑨 𝟏 𝑪 і 𝑫𝑪 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝟗𝟎°.
Розв’язок:
6
O
𝑁1
N
Проведемо через середину
AD (NMM1N1) ∥(DCC1D1),
M
𝑀1
NM1 ∥ DC1⇒ кут, що потрібно
знайти- ∠𝐴1 𝑂𝑁
𝐴1 𝑂 =
3
2
; NO=
2
2
; 𝐴1 𝑁 =
5
2
; по Т., оберненої до
теореми Піфагора 𝐴1 𝑁2 = 𝐴1 𝑂2 + 𝑁𝑂2,
тому ∠𝐴1 𝑂𝑁 =90°.
Кут між двома прямими. Куб

7. A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨𝑫 𝟏 і
𝑨 𝟏 𝑩.
𝐴1
Відповідь: 𝟔𝟎°.
Розв’язок:
𝐴𝐷1∥ 𝐵𝐶1 ⇒
∠ 𝐴𝐷1, 𝐴1 𝐵 =
∠ 𝐵𝐶1, 𝐴1 𝐵 = 60°
7
Кут між двома прямими. Куб

8. A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑫𝑪 𝟏 і
𝑫 𝟏 𝑩 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝟔𝟎°.
Розв’язок:
𝐷1 𝐵1∥DB ⇒ ∠( 𝐷𝐶1, 𝐷1 𝐵1) =
=∠( 𝐷𝐶1, 𝐷𝐵)
Искомый угол находим в
равностороннем ∆𝐷𝐵𝐶1
8
Кут між двома прямими. Куб

9. A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨𝑫 𝟏 и
BD.
𝐴1
Відповідь: 𝟔𝟎°.
Розв’язок:
BD ∥ 𝐵1 𝐷1 ⇒ ∠( 𝐴𝐷1, BD) =
=∠( 𝐴𝐷1, 𝐷1 𝐵1)
∠A 𝐷1 𝐵1 = 60° (як кут
правильного трикутника)
9
Кут між двома прямими. Куб

10. A
C
B
D
𝐶1
𝐷1
𝐵1 В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨 𝟏 𝑪 𝟏 і
𝑩 𝟏C.
𝐴1
Відповідь: 𝟔𝟎°
.
Розв’язок:
Розв’язок аналогічний до
розв’язку задач № 7 – 8
10
Кут між двома прямими. Куб

11. 𝜶
30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 знайдіть
кут між двома
прямими 𝑨 𝟏 𝑪 і 𝑨𝑫.
𝐴1
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟑
𝟑
.
Розв’язок:
11
AD∥BC ⇒ ∠(𝐴1 𝐶; 𝐴𝐷) =
∠(𝐴1 𝐶; 𝐵𝐶) = 𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝐵𝐶
𝐴1 𝐶
=
1
3
=
3
3
;
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
3
3
.
Кут між двома прямими. Куб

12. 30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 знайдіть
кут між двома
прямими 𝑨 𝟏 𝑩 і 𝑨𝑪.
𝐴1
Відповідь: 𝟔𝟎°.
Розв’язок:
12
𝐴1 𝐶1∥AC, ⇒
∠(𝐴1 𝐵; 𝐴𝐶)=∠(𝐴1 𝐵;𝐴1 𝐶1)
∆𝐴1 𝐶1 𝐵- рівносторонній ⇒
∠(𝐴1 𝐵;𝐴1 𝐶1)=60°.
Кут між двома прямими. Куб

13. 30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨𝑪 і
𝑩 𝟏 𝑫 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝟗𝟎°.
Розв’язок:
13
∠(𝐷1 𝐵1; 𝐴𝐶)=∠D𝐵;𝐴𝐶)=90°.
𝐷1 𝐵1∥ DB ⇒
Кут між двома прямими. Куб

14. A
C
B
D
𝐶1
𝐷1
𝐵1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨 𝟏 𝑩 і
𝑪𝑩 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝟔𝟎°.
Розв’язок:
14
𝐴1 𝐵∥ 𝐷1 𝐶 ⇒
∠(𝐴1 𝐵; 𝐶𝐵1)=∠D𝐵;𝐶𝐷1)=60°,
∆𝐶𝐵1 𝐷1- рівносторонній
Кут між двома прямими. Куб

15. 30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑩 𝟏 𝑪 і
𝑩𝑫 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝟗𝟎°.
Розв’язок:
15
Розв’язок аналогічний до
розв’язку задачі №5
презентації
Кут між двома прямими. Куб

16. A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨𝑩 і
𝑪𝑨 𝟏.
𝐴1
Відповідь:𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟑
𝟑
.
Розв’язок:
16
AB∥DC ⇒
∠(𝐴𝐵; 𝐶𝐴1)=∠D𝐶;𝐶𝐴1)
∠𝐶𝐷𝐴1)=90°(по Т. Про три
перпендикуляри)
cos ∠𝐷𝐶𝐴1 =
𝐶𝐷
𝐶𝐴1
=
3
3
.
Кут між двома прямими. Куб

17. 30.05.2014
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑩𝑨 𝟏 і
𝑩 𝟏 𝑫 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝟔𝟎°
.
Розв’язок:
17
B1D1 ∥ BD, искомый угол найдём
из равностороннего ∆BD𝐴1.
Кут між двома прямими. Куб

18. A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨𝑩 𝟏 і
𝑩𝑫 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝟗𝟎°.
Розв’язок:
18
Розв’язок аналогічний до
розв’язку задачі №5
презентації
Кут між двома прямими. Куб

19. Антонова Г.В.
A
C
B
D
𝐵1
𝐶1
𝐷1
В одиничному кубі
𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
знайдіть кут між
двома прямими 𝑨𝑩 і
𝑫𝑩 𝟏.
𝐴1
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟐.
Розв’язок:
19
𝐷𝐶∥AB ⇒ ∠(AB; D𝐵1)=
∠(DC; D𝐵1)
𝑡𝑔𝐵1 𝐷𝐶 =
𝐵1 𝐶
𝐷𝐶
= 2
Кут між двома прямими. Куб