Учебники

1. Серія «Усі уроки»
Заснована 2006 року
С. П. Бабенко
• УРОКИ
АЛГЕБРИ
клас
Академічний рівень
І семестр
Книга скачана с сайта ЬіЦр://е kniaa.in.ua
Издательская группа «Основа» —
«Электронные книги»
Харків
Видавнича група «Основа»
2011

2. УДК 512
ББК 22.14
Б12
Бабенко С. П.
Б12 Усі уроки алгебри і початків аналізу. 11 клас. І се­
местр. Академічний рівень. — X.: Вид. група «Основа»,
2011. — 252, [4] с. — (Серія «Усі уроки»).
ІБВК 978-617-00-1089-6.
Докладні розробки уроків до вивчення алгебри і початків аналізу
в 11 класі (академічний рівень).
Цікаві методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи із за­
вданнями, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевір­
ки знань, використання ігрових моментів на уроці, грамотне урахуван­
ня вікових особливостей — усе це вигідно відрізняє посібник від тради­
ційних планів-конспектів уроків.
Посібник для вчителя нового покоління.
УДК 512
ББК 22.14
© Бабенко С. П., 2011
ISBN 978-617-00-1089-6 © TOB «Видавнича група “Основа” », 2011

3. ЗМІСТ
Вступ .................................................................................................. 6
Орієнтовне календарне планування
(І семестр — 48 годин (3 години на тиждень)
II семестр — 57 годин (3 години на тиждень),
усього — 105 годин ......................................................................... 7
Тема 1. Похідна та її застосування (26 год) ................................ 11
Урок № 1. Повторення. Дійсні числа та їх властивості __ 11
Урок № 2. Повторення. Модуль дійсного числа та його
властивості ................................................................................ 17
Урок № 3. [Поняття границі функції в точці] .................... 23
Урок № 4. Поняття приросту аргумента та приросту
функції. Означення похідної функції в точці .................... 29
Урок № 5. Похідні деяких елементарних функцій ........... 36
Урок № 6. Геометричний зміст похідної [Рівняння
дотичної до функції в точці] .................................................. 39
Урок № 7. Механічний (фізичний) зміст похідної ............ 46
Урок № 8. Правила обчислення похідних .......................... 50
Урок № 9. [Похідна складеної функції] .............................. 56
Урок № 10. Похідні тригонометричних функцій ............. 62
Урок № 11. Розв’язування задач на обчислення похідних
функцій ....................................................................................... 67
Урок № 12. Підсумковий урок .............................................. 71
Урок № 13. Тематична контрольна робота № 1 ................. 76
Урок № 14. Монотонність і сталість функції. Критичні
точки функції ........................................................................... 79
Урок № 15. Знаходження проміжків монотонності
функції. Розв’язування задач ................................................ 86
Урок № 16. Екстремуми функції. Необхідна й достатня
умови екстремуму ..................................................................... 89
Урок № 17. Розв’язування вправ ........................................... 96
Урок № 18. Загальна схема дослідження функції
[для побудови її графіка] .......................................................... 100

4. 4 Алгебра та початки аналізу. 11 клас. І семестр. Академічний рівень
Урок № 19. Розв’язування вправ на дослідження
функції ......................................................................................
Урок № 20. Розв’язування вправ на дослідження функції
[для побудови її графіка] ........................................................
Урок № 21. Найбільше і найменше значення функції .....
Урок № 22. Розв’язування задач на знаходження
найбільшого та найменшого значень функції ....................
Урок № 23. Розв’язування задач на знаходження
найбільшого чи найменшого значення функції ................
Урок № 24. Розв’язування найпростіших прикладних
задач ............................................................................................
Урок № 25. Підсумковий урок ..............................................
Урок № 26. Тематична контрольна робота № 2 .................
Тема 2. Показникова та логарифмічна функції ......................
Урок № 27. Степінь із довільним дійсним показником
та його властивості ...................................................................
Урок № 28. Показникова функція, її властивості
та графік ....................................................................................
Урок № 29. Застосування властивостей показникової
функції до розв’язування вправ ...........................................
Урок № ЗО. Найпростіші показникові рівняння ...............
Урок № 31. Зведення деяких показникових рівнянь
до найпростіших .......................................................................
Урок № 32. Розв’язування більш складних показникових
рівнянь ......................................................................................
Урок № 33. Розв’язування систем рівнянь, що містять
показникові функції ...............................................................
Урок № 34. Розв’язування найпростіших показникових
нерівностей ................................................................................
Урок № 35. Розв’язування більш складних показникових
нерівностей ................................................................................
Урок № 36. Підсумковий урок ..............................................
Урок № 37. Тематична контрольна робота № 3 .................
Урок № 38. Логарифм числа. Основна логарифмічна
тотожність .................................................................................
Урок № 39. Основні властивості логарифмів. Формула
переходу від однієї основи логарифма до іншої .................
106
110
117
122
125
131
135
139
143
143
150
157
161
167
171
177
182
189
195
197
199
205

5. Зміст 5
Урок № 40. Логарифмування та потенціювання ...............210
Урок № 41. Логарифмічна функція, її властивості
і графік. Застосування властивостей логарифмічної
функції до розв’язування вправ ........................................... 214
Урок № 42. Розв’язування найпростіших логарифмічних
рівнянь ...................................................................................... 220
Урок № 43. Розв’язування більш складних логарифмічних
рівнянь ...................................................................................... 225
Урок № 44. Розв’язування систем рівнянь, що містять
логарифмічні функції ..............................................................234
Урок № 45. Розв’язування найпростіших логарифмічних
нерівностей ................................................................................237
Урок № 46. Розв’язування більш складних логарифмічних
нерівностей ................................................................................243
Урок № 47. Підсумковий урок ..............................................248
Урок № 48. Тематична контрольна робота № 4 ................. 250
Література ......................................................................................... 253

6. ВСТУП
Матеріали посібника призначені для вчителів загальноосвіт­
ніх навчальних закладів, які викладають алгебру і початки аналізу
в 11 класі (академічний рівень).
Посібник містить детальні розробки уроків. У наведених кон­
спектах подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис об­
ладнання, яке необхідне для проведення уроку.
Розробляючи плани уроків, автор дбав про те, щоб систематич­
но закріплювався матеріал, вивчений на попередніх уроках. У роз­
робках передбачено різноматнітні форми організації роботи учнів
під час уроку, зокрема самостійні роботи навчаючого і контролю­
ючого характеру, математичні диктанти, фронтальне опитування,
розв’язання задач за готовими кресленнями.
Змістова частина конспектів уроків має заголовок «Хід уро­
ку». Тут відображено: етапи уроку; зміст навчального матеріалу,
що виноситься на урок; система завдань, необхідна для досягнення
дидактичної мети; методи, форми і засоби, які доцільно використа­
ти на уроці; домашнє завдання.
До окремих фрагментів уроку подаються докладні методичні
рекомендації. Більша частина завдань також супроводжується ме­
тодичними коментарями (у тексті вони позначаються " ) , які допо-
можутьучителю врахувати особливості розв’язування цих вправ.
Детальні методичні рекомендації, різноманітні прийоми робо­
ти, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки
знань, урахування вікових особливостей учнів — усе це відрізняє
пропонований посібник від традиційних планівконспектів та дає
можливість його використання також учителями, які працюютьза
різними підручниками.
Автор сподівається, що вчителі не формально використову­
ватимуть рекомендації цього посібника, а візьмуть їх за основу
й складатимуть свої поурочні плани, враховуючи особливості кож­
ного класу.

7. АЛГЕБРА ТА ПОНАТКИ АНАЛІЗУ. 11 КЛАС.
АКАДЕМІЧНИЙ РІВЕНЬ
ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
(І семестр — 48 годин (3 години на тиждень)
II семестр — 57 годин (3 години на тиждень),
усього — 105 годин
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
Тема 1. Похідна та її застосування 26
1 Повторення. Дійсні числа та їх властивості 1
2 Повторення. Модуль дійсного числа та його
властивості
1
3 [Поняття границі функції в точці] 1
4 Поняття приросту аргумента та приросту
функції. Означення похідної
1
5 Похідні деяких елементарних функцій 1
6 Геометричний зміст похідної. [Рівняння до­
тичної до функції в точці]
1
7 Механічний зміст похідної 1
8 Правила обчислення похідних 1
9 [Похідна складеної функції] 1
10 Похідні елементарних функцій 1
11 Розв’язування задач на обчислення похідних
поданих функцій
1
12 Підсумковий урок 1
13 Контрольна робота № 1 1
14 Монотонність і сталість функції. Критичні
точки функції
1
15 Розв’язування вправ 1
16 Екстремуми функції. Необхідна і достатня
умови екстремуму
1
17 Розв’язування вправ 1

8. 8 Алгебра та початки аналізу. 11 клас. І семестр. Академічний рівень
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
18 Загальна схема дослідження функції [для по­
будови її графіка]
1
19, 20 Розв’язування вправ на дослідження функції
[для побудови її графіка]
21 Найбільше і найменше значення функції 1
22, 23 Розв’язування задач на знаходження найбіль­
шого та найменшого значень функції
24 Розв’язування найпростіших прикладних за­
дач
1
25 Підсумковий урок 1
26 Контрольна робота № 2 1
Тема 2. Показникова та логарифмічна функції 22
27 Степінь із довільним дійсним показником та
його властивості
1
28 Показникова функція, її властивості та графік 1
29 Застосування властивостей показникової
функції до розв’язування вправ
1
ЗО Найпростіші показникові рівняння 1
31 Зведення деяких показникових рівнянь до
найпростіших
1
32 Розв’язування більш складних показникових
рівнянь
1
33 Розв’язування систем рівнянь, що містять по­
казникові функції
1
34 Розв’язування найпростіших показникових
нерівностей
1
35 Розв’язування більш складних показникових
нерівностей
1
36 Розв’язування показникових рівнянь, нерівно­
стей та систем. Підсумковий урок
1
37 Контрольна робота № 3 1
38 Логарифм числа. Основна логарифмічна то­
тожність.
1
39 Основні властивості логарифмів. Формула пе­
реходу від однієї основи логарифмів до іншої
1

9. Орієнтовне календарне планування 9
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
40 Логарифмування та потенціювання 1
41 Логарифмічна функція , її властивості та гра­
фік. Застосування властивостей логарифмічної
функції до розв’язування вправ
1
42 Розв’язування найпростіших логарифмічних
рівнянь
1
43 Розв’язування більш складних логарифмічних
рівнянь
1
44 Розв’язування систем рівнянь, що містять
логарифмічні функції
1
45 Розв’язування найпростіших логарифмічних
нерівностей
1
46 Розв’язування більш складних логарифмічних
нерівностей
1
47 Підсумковий урок 1
48 Контрольна робота № 4 1
Тема 3. Елементи теорії ймовірностей
і математичної статистики
12
49 Поняття сполуки. Правило суми і добутку.
Впорядковані множини. Розміщення
1
50 Перестановки (без повторень) 1
51 Комбінації (без повторень) 1
52 Розв’язування комбінаторних задач 1
53 Поняття випадкової події і випадкового експе­
рименту. Статистичне означення ймовірності
1
54 Класичне означення ймовірності 1
55 Розв’язування задач на обчислення ймовірнос­
ті із застосуванням комбінаторних схем
1
56 Поняття про статистику. Генеральна сукуп­
ність та вибірка
1
57 Вибіркові характеристики 1
58 Графічне подання інформації про вибірку 1
59 Підсумковий урок 1
60 Контрольна робота № 5 1

10. 10 Алгебра та початки аналізу. 11 клас. І семестр. Академічний рівень
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
Тема 4. Інтеграл і його застосування 20
61,62 Поняття первісної. Основна властивість пер­
вісних. Невизначений інтеграл
2
63-65 Правила знаходження первісних. Таблиця
первісних.
3
66-68 Геометричний зміст і означення визначеного
інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца
3
69-70 Властивості визначеного інтеграла. Означення
визначеного інтеграла через інтегральні суми
2
71, 72 Розв’язування вправ на знаходження визначе­
них інтегралів
2
73-75 Обчислення площ плоских фігур 3
76, 77 Обчислення об’ємів тіл 2
78 Розв’язування прикладних задач 1
79 Підсумковий урок 1
80 Контрольна робота № 6 1
Тема 5. Повторення курсу алгебри і початків
аналізу
19
81,82 Функції, рівняння, нерівності 2
83,84 Степенева функція 2
85,86 Тригонометричні функції 2
87, 88 Тригонометричні рівняння і нерівності 2
89,90 Похідна та її застосування 2
91-93 Показникова і логарифмічна функції 3
94,95 Елементи теорії ймовірності і математичної
статистики
2
96,97 Інтеграл і його застосування 2
98 Підсумковий урок 1
99 Контрольна робота № 7 (підсумкова) 1
100-
105
Резерв навчального часу 6

11. ТЕМА 1. ПОХІДНА ТА ї ї ЗАСТОСУВАННЯ
(26 ГОД)
УРОК № 1
ПОВТОРЕННЯ. ДІЙСНІ ЧИСЛА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Мета: повторити, систематизувати зміст понять «числові мно­
жини», «дійсні числа й операції з ними», а також супутніх понять;
повторити та систематизувати вміння учнів виконувати завдання
на визначення виду числа (доведення того, що задане число є раціо­
нальними або не є таким).
Тип уроку: повторення, узагальнення й систематизація знань
і вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Числові множини».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Вступне слово вчителя:
9 про особливості вивчення алгебри та початків аналізу в і ї класі;
9 про організацію навчального процесу в і ї класі (робимо акцент
на необхідності підготовки до державної підсумкової атестації
та ЗНО з математики);
9 про будову підручника.
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Учитель перевіряє літнє домашнє завдання (якщо таке було за-
Ураховуючи сказане у вступному слові, вчитель звертає ува­
гу учнів на необхідність якісної підготовки до ДПА та ЗНО
з математики в 11 класі, а тому зрозумілими стають завдан­
ня як на найближчий термін (тема 1), так і на весь навчаль­
ний рік: повторити, узагальнити та систематизувати набуті
у попередніх класах знання та вміння, а також засвоїти та
закріпити знання та вміння, передбачені програмою з ма­
тематики за 11 клас. Отже, завдання на урок — повторити
на обчислення значень виразів, що містять дійсні числа, а також
дано).
III. Формулювання мети й завдань уроку
.И ..

12. 12 Тема 1. Похідна та їїзастосування
й систематизувати знання основного з фундаментальних по­
нять математики — поняття числа та видів числових мно­
жин (поняття дійсного числа).
Як варіант роботи на цьому етапі уроку можна запропонувати
учням приклади тестових завдань із теми «Дійсні числа та їх
властивості» (у форматі ЗНО або ДПА з математики), що були
дібрані до розв’язування на ЗНО або ДПА з математики у по­
передні роки. Таким чином створюємо мотивацію для роботи
учнів на уроці та окреслюємо коло основних завдань на урок.
Приклади завдань, які пропонувалися на ЗНО
1 (ЗНО, 2007). Обчисліть: (%І27+Щ{^27 -
2 (ЗНО, 2008). Укажіть правильну нерівність, якщо:
а = 5л/2, 6 = 7, с = л/51.
А Б В Г Д
Ь<с<а а<с<Ь с<а<Ь а<Ь<с Ь<а<с
3 (ЗНО, 2009). Обчисліть: [і,2 + * и
9 ) 16
А Б В Г Д
1 5 4 5 5
3 28 9 9 8
4 (ЗНО, 2009). Розташуйте в порядку зростання числа:
230 уіо
А Б в г Д
уіо 230 з20 уіо 2 30 230 г^ю 230 уІО ^20 д20 с^ЗО грЮ
5 (ЗНО, 2010). Обчисліть: — 0,3.
9
А Б В Г Д
8 1 5 1 1
19 6 3 ЗО 8
6 (ЗНО, 2010). Якому з наведених проміжків належить число
^30?
А Б в Г д
(і;2) (з;4) (5;б) (2;з) (4;5)

13. Урок № 7. Повторення. Дійсні числа та їх властивості 13
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконанняуснихвправ
1. Скільки натуральних чисел знаходиться на проміжку:
а) [-6;2), б) (—4;4] ?
2. Яке з чисел розташовано на координатній прямій ближче до
початку відліку:
Г7
а) -1,4 чи -л/2; б) 1—1,ЗІ чи —;
5
в) п чи 3,14; г) 3 чи л/з + 1?
3. Чи правильно, що:
а) якщо число ділиться на 9, то воно також ділиться й на 3;
б) якщо число ділиться на 100, то воно також ділиться на 20
і на ЗО;
в) якщо число не ділиться на 2, то воно ділиться на 3;
г) якщо число ділиться і на 2, і на 5, то воно ділиться на 10?
4. Виконайте дії:
1
6
а) 0,125- ; б) 6,4 =1-1^|; в) -3 ,2 -0 ,2 :| ;г ) ^ =з| ;
д) 3,8— ; е) - ^ ; ж ) (1-1,2)*; и) (-8 + 1,75)° + 3 :| .
_ _ 1 1 3 4 7 3 . . .
5. Серед наведених чисел —, —, —, — , — , ----- виберіть такі,
2 3 8 29 28 125
які можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу.
1 1 2 3 11 З
6. Подайте звичайні дроби —, —, —, —, — , — у вигляді десятко-
2 4 5 4 25 50
вого дробу.
V. Повторення й узагальнення знань
Робота з опорним конспектом «Числові множини» (підручник
(1), таблиця 1).
Роботу з повторення та узагальнення знань учнів можна
провести у формі бесіди за опорним конспектом, при цьо­
му опрацювання конспекту ведеться «знизу-вгору», тобто
відтворюється історичний шлях у вивченні поняття числа.
При цьому слід нагадати учням, що розвиток поняття числа
був зумовлений об’єктивною необхідністю, тобто неможли­
вістю виконання певних арифметичних дій на певних чис­
лових множинах, інакше кажучи, кожне розширення чис­
лової множини приводило до розкриття нових можливостей
виконання арифметичних дій. Слід також наголосити, що

14. 14 Тема 1. Похідна та їїзастосування
множина дійсних чисел має певне «обмеження» — не­
можливість добувати корінь парного степеня з від’ємного
числа.
Таблиця 1
Конспект 1
Числові множини

15. Урок № 7. Повторення. Дійсні числа та їх властивості 15
Щодо практики важливим є вміння визначати раціональ­
ність числа (більшість задач цього розділу передбачає до­
ведення або спростування того, що подане число є раціо­
нальним). Отже, на цьому питанні слід зупинитися більш
детально, розглянувши серію завдань відповідного змісту,
склавши схему міркувань, яку бажано зафіксувати у зоши­
тах учнів.
Узагальнюючи набуті знання учнів із теми «Дійсні числа»,
ще раз звертаємо увагу учнів на важливі моменти:
/ »о • •
9 множина діисних чисел містить кожну з решти відомих
учням числових множин (окрім множини комплексних чи­
сел, якщо така відома учням);
9 множина дійсних чисел є об’єднанням множин раціональ­
них та ірраціональних чисел. Це означає, що якщо дійсне
число є раціональним, то воно не може бути ірраціональним,
і навпаки. Цей факт використовують під час розв’язування
задач на доведення того, що подане число є раціональним
або ірраціональним;
9 геометричною інтерпретацією множини дійсних чисел (на
відміну від її підмножин) є вся числова пряма, тому досить
часто ці поняття вважають тотожними;
/ • и • о •
9 множина діисних чисел є такою, на якій виконуються всі
відомі учням дії, окрім добування кореня парного степеня
з від’ємного числа.
VI. Повторення й узагальнення вмінь
Роботаза підручником
Учні аналізують розв’язання прикладів (підручник, с. 14-16)
на доведення того, що задане число є ірраціональним.
Прикладі.Доведіть, що сума, різниця, добуток, натуральний сте­
пінь і частка (якщо дільник не дорівнює нулю) двох раціональних
чисел завжди є раціональним числом.
Розв'язання.Нехай задано два раціональних числа
т, . т9
гі = — 1 г2= — >
пг п2
де т1 і т2 — цілі, а щ і п2 — натуральні числа.
Оскільки сума, різниця, добуток, натуральний степінь і частка
двох звичайних дробів завжди є звичайним дробом, то одержаний
результат завжди буде раціональним числом.
Наприклад,

16. 16 Тема 1. Похідна та їїзастосування
_т1 т2 _ тхп2+ щт2
Г1+Г2= 1 =
пх п2 пхп2
де тхп2 і пхт2 — ціле число, а п^ — натуральне.
Приклад 2. Доведіть, що л/З+ л/б — число ірраціональне.
Розв'язання. Припустимо, що число л/З+ л/б = г — раціональне.
Тоді >/б = г - л/з. Піднісши обидві частини останньої рівності до
кубу, маємо
5 = г3- ЗуіЗг2+ 9г - Зл/З.
Звідси
Отже,
л/З(Зг2+ з) = г3+ 9г - 5.
7 _ = гз+ 9г_ 5
Зг2+3
Але права частина цієї рівності раціональне число (оскільки за при­
пущенням г — раціональне число), а ліва — ірраціональне. Одер­
жана суперечність означає, що наше припущення неправильне
і число л/З+ л/б — ірраціональне.
Виконання письмовихвправ
1. Поясніть, чому дійсне число 1+ л/З не може бути раціональ­
ним.
2. Доведіть, що дійсне число уі2 н-л/з є ірраціональним.
Додатковізавдання
1. Різниця ^|40л/2 -5 7 | -л/40л/2 + 57 є цілим числом. Знайдіть це
число.
2. Обчисліть значення виразу:
( _______ . >
(лА/3 + л/2 - Д /3 - ^ ) л/л/3 + л/2 +
1 ^ л/л/3 -7 2
5п
-со в — ,
4
V л/''0 ^ У
Вправи, що мають бути розв’язані на уроці, передбачають
відпрацювання навичок послідовного доведення того, що по­
дане число є раціональним (ірраціональним), за складеною
схемою, а також повторення схем дій під час розв’язування
задач наперетворення ірраціональних виразів (див. додатко­
ві завдання). Зважаючи на час і рівень знань та вмінь учнів,
можна доповнити зміст завдань уроку іншими завданнями
на удосконалення обчислювальних навичок учнів.

17. Урок №2. Повторення. Модуль дійсного числа та його властивості 17
VII. Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Поясніть, які числа входять до множини цілих, раціональних
та дійсних чисел. Наведіть приклади. Виконайте зображення
відповідних точок на координатній прямій.
2. Поясніть, чим відрізняються записи у вигляді нескінченного
десяткового дробу раціонального та ірраціонального чисел. На­
ведіть приклади.
З (ЗНО, 2010). Установіть відповідність між числом (1-4) та мно­
жиною, до якої воно належить (А-Д).
Число Множина
1 23 А множина ірраціональних чисел
2 1,7 Б множина цілих чисел, що не є натураль­
ними числами
3 VÏ6 В множина простих чисел
4 -8 Г множина парних натуральних чисел
Д множина раціональних чисел, що не є ці­
лими числами
VIII.Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект «Числові
множини»).
Виконати вправи.
1. Доведіть, що дійсне число УІ5+ УІ2 є ірраціональним.
2. Різниця ^12л/б-2 9 -^12>/5 + 29 є цілим числом. Знайдіть це
число.
3. Обчисліть значення виразу х 2-ІО х + 7 при
я; = V27 + 10V2 +>/27-10л/2 .
УРОК № 2
ПОВТОРЕННЯ. МОДУЛЬ ДІЙСНОГО ЧИСЛА
ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Мета: повторити означення модуля, його геометричний зміст;
повторити й узагальнити властивості модуля; продовжити форму­
вання вмінь використовувати набуті знання для перетворення ви­
разів, що містять знак модуля, розв’язування найпростіших рів­
нянь та нерівностей з модулем.

18. 18 Тема 1. Похідна та їїзастосування
Типуроку: повторення й узагальнення знань та вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Модуль числа та його влас­
тивості».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Виконання письмових вправ перевіряємо за зразком, заздале­
гідь записаним на дошці (або виготовленим у вигляді роздавально­
го матеріалу).
Також учням із високим рівнем навчальних досягнень можна
запропонувати розв’язати завдання, аналогічні тим, що розгляда­
лися на попередньому уроці.
Варіант 7. Доведіть, що число -s/2+ 1 є ірраціональним.
Варіант2. Доведіть, що число л/2-1 є ірраціональним.
III. Формулювання мети й завдань уроку
Цей етап уроку доцільно провести залежно від індивідуаль­
них особливостей класу.
Якщо більшість класу — учні з низьким і середнім рівнями на­
вчальних досягнень, то можна запропонувати виконати завдання
на зразок:
Обчисліть: І—ЗІ; І7,5І; х +1
Потім бажано провести коротку бесіду з метою домогтися усві­
домлення учнями нерозривного зв’язку між дійсним числом і мо­
дулем як певної характеристики цього числа.
Питання для бесіди
1. Поясніть, які числа входять до множини дійсних чисел. Наведіть
приклади. Як зображують ці числа на координатній прямій?
2. Чим характеризується положення точки на прямій? на коор­
динатній прямій?
Інший варіант організації розумової діяльності учнів (якщо
більшість учнів класу мають достатній і високий рівні навчальних
досягнень) передбачає створення певної проблемної ситуації. Мож­
назапропонувати учням розглянути йобговорити ідеїрозв’язування
завдань на використання поняття модуля та його властивостей за
матеріалами ЗНО та ДПА з математики за попередні роки.
З метою усвідомлення необхідності вивчення модуля числа
ці ж завдання бажано продемонструвати (без розв’язання) учням
«слабких» і «середніх» класів.

19. Урок №2. Повторення. Модуль дійсного числа та його властивості 19
1 (ЗНО, 2004). Укажіть кількість коренів рівняння
Зх+ 2= 2 -З х .
А Б В Г Д
Один Два Три Немає коренів Безліч
2 (ЗНО, 2007). Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння
х 3-41*1 = 0.
А Б В Г Д
Жодного Три Один Два Більше ніж три
З (ЗНО, 2008). Укажіть корінь рівняння
жить проміжку (-2;і].
х -6 х = 9, який нале-
А Б В Г Д
4-2V2 2 1 З-л/2 3-3V2
4 (ЗНО, 2008). Знайдіть значення виразу ^ + а _ ПрИ а - -2,5.
а -З
А Б В Г Д
-1 1 0 0,5 -0,5
5 (ЗНО, 2009). Обчисліть: ^/(-3)2+^/(-5)3.
А Б В Г Д
15 8 2 -8 -2
6 (ЗНО, 2009). Розв’яжіть рівняння х2+ х - 3 = 2х- 1|.
7 (ЗНО, 2010). Розв’яжіть рівняння |2лс-3|+ 1 =5.
COSос
8 (ДПА, 2010). Побудуйте графік функції у =
совх
Після проведеної бесіди можна разом з учнями сформулювати
завдання на урок.
IV. Повторення й систематизація знань
Планповторення
1. Означення модуля дійсного числа.
2. Геометричний зміст модуля дійсного числа.
3. Деякі властивості модуля дійсного числа.
4. Застосування означення, геометричного змісту та властивос­
тей модуля для розв’язування задач. Приклади.

20. 20 Тема 1. Похідна та їїзастосування
Конспект 2
Модуль дійсного числа та його властивості
Означення Геометричний зміст модуля
Модулем дод
зивають сам«
від’ємного 4]
число, йому
дуль нуля до
|а|= •
атного числа на-
зце число, модулем
ісла називають
протилежне, мо-
рівнює нулю:
а при а > 0,
0 при а = 0,
-а при а < 0
Ь 0 а
----------1--------- 1--------- 1-------- ►
В О А х
|а|= ОА, Ь= ОВ, а-Ь= АВ
На координатній прямій модуль — це
відстань від початку координат до точ­
ки, що зображує подане число.
Модуль різниці двох чисел а і Ь — це
відстань між точками а і &на коорди­
натній прямій
Властивості
1. а|>0 Модуль будь-якого числа — невід’ємне
число
2. -а'1= 1а1
Модулі протилежних чисел рівні
3. а<|а|,тобто -|а|<а<|а| Кожне число не більше за його модуль
4. При Ь> 0
а<Ь<=>-Ь<а<Ь.
5. При 6>0
|а|> Ь<=>а < -Ьабоа > Ь
а
|а|>&
' о
= Ь |а
а<Ь
/ 1 '
= Ь
|а|>&
1у*------
-Ь 0 Ь а
6. а- &|= |а|-|й Модуль добутку дорівнює добутку
модулів множників
7.
а
Ь (Ь* 0)о
Модуль дробу дорівнює модулю чи­
сельника, поділеному на модуль зна­
менника (якщо знаменник не дорівнює
нулю)
8. ап
1 п
= |а|
о 1 |2А 9ь
|о|2= ог М = »
9.
к
а +Ь<а+ Ь
|~ |®11 |^21 |
Модуль суми не перевищує суми моду­
лів доданків
10. ||а|-|Ь||<|а±Ь|<|а|+ |Ь|
Роботу з повторення та систематизації знань учнів можна,
так само як і на попередньому уроці, проводити за опорним

21. Урок №2. Повторення. Модуль дійсного числа та його властивості 21
конспектом. При цьому слід ще раз звернути увагу учнів на
відмінність між означенням модуля та його геометричним
змістом (типова помилка учнів: на запитання «Що таке мо­
дуль числа?» відповідають: «Модуль — це відстань»). Тож
зауважуємо, що модуль числа є числом (це означення); це
число показує відстань (це вже геометричний зміст).
Під час повторення та систематизації знань учнів власти­
востей модуля слід зробити акцент на тих із них, які є най­
більш корисними щодо застосування під час розв’язування
програмових задач. Застосування цих властивостей бажано
закріпити відповідними прикладами рівнянь та нерівностей
і записати їх у конспект.
Також слід нагадати учням, що для перетворення виразів
вигляду 2Іх2п ( п е □ ) необхідно вміти розкривати модуль.
V. Повторення й систематизація вмінь
Виконанняуснихвправ
1. Знайдіть значення змінної а , при яких справджується рівність
або нерівність:
я1= 1; б) а - 1 <=0; в) а+ 2= - а - 2 ;
а>а; д) а2+ 4 = а2+4; е) а -3 < -3
2. Розкрийте модуль: а) л/б-2 ; б) ІЗ-яІ; в) 1+ х 4 ; г) - х 6-2
д) у[х + Х ;е) у/х+ 2-у/х
3. Спростіть вираз:
а) ^ 4 -л /б ) ; б) у(л/5 -3 ) ; в) ^ 4 -л /б ) -^ (Т б -з ) .
4. Розв’яжіть рівняння: а) І2л:-3| = 7; б) І2л;-3| = -6; в) І2*-ЗІ = 7;
г) 2х- 3|= 7; д) х 2+ х= 0.
5. Розв’яжіть нерівність:
* + 3
а) х-2 < 1; б)
х
> -1 ; в) х - 2х + З <0; г)
* + 3
х
> 0.
Виконання письмовихвправ
(№ 4, с. 18). Користуючись геометричним змістом модуля, зо­
бразіть на координатній прямій множину чисел, які задоволь­
няють нерівність: 1°) |*|<2;3) |*-3|<0,5.
(№ 5, с. 18). Розв’яжіть рівняння:
1) ІЗя+ ІІ = 4; З*) |*-1І-2 =1.

22. 22 Тема 1. Похідна та їїзастосування
З (№ 6, с. 18). Розв’яжіть нерівність:
1) |2*-і|<1;3*) ||2*-і| + 3|>5.
Додатковізадачі
1. Побудуйте графік функції:
1) f(x) = tg*|cos*|; 2) /(* ) = sin*-V sin2* .
2. Розв’яжіть рівняння ^3* + 9-4л/3* + 5~+^3* + 14-6л/3* + 5 = 1.
Вправи, що запропоновані для розв’язування на уроці, пе­
редбачають відпрацювання учнями способів дій під час
розв’язування стандартних програмових завдань. З метою
формування усвідомленого розуміння поняття модуля чис­
ла та стійких умінь і навичок розкривати модуль учителеві
бажано вимагати від учнів повного обґрунтування кожно­
го кроку під час виконання вправ. Якщо дозволяють час та
рівень математичної підготовки учнів, можна розширити
коло запропонованих задач за рахунок додаткових.
VI. Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Сформулюйте означення модуля числа.
2. Який геометричний зміст має модуль?
3. Оцініть вираз х- 1|+1. Відповідь обґрунтуйте.
4. Розкрийте модуль Іх + 2|, якщо х > -1 . Відповідь обґрунтуйте.
5. Де на координатній прямій розташовані розв’язки нерівності
|*|<4?
VII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект 2).
Виконати вправи.
1 (№ 4, с. 18). Користуючись геометричним змістом модуля, зо­
бразіть на координатній прямій множину чисел, які задоволь­
няють нерівність: 2°) |*|>5; 4) |*+ 1|<0,3.
2 (№ 5, с.18). Розв’яжіть рівняння:
2) |4*-2| = 6; 4*) ||2*+ 3|-5| = 3.
3 (№ 6, с. 18). Розв’яжіть нерівність:
2) І3* + 5І>7; 4*) І4* + 7І-11< 4.
Додаткові вправи
Виконати завдання, що пропонувалися на ЗНО в попередні
роки (див. етап формулювання мети...).

23. Урок №3. [Поняття границі функціїв точці] 23
Повторити основні поняття теми «Функція» (див. 10 клас).
УРОК № З
[ПОНЯТТЯ ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ]
Мета: формувати в учнів уявлення про границю функції в точ­
ці та її основні властивості; працювати над засвоєнням відповід­
ної математичної символіки; розпочати роботу над формуванням
умінь знаходити границі елементарних неперервних функцій із за­
стосуванням означення границі функції в точці з метою підготовки
учнів до сприйняття означення поняття похідної функції в точці.
Типуроку: засвоєння знань, умінь і навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Поняття границі функції
в точці та неперервність функції».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Вибірково перевіряємо виконання домашнього завдання в уч­
нів, які потребують додаткової педагогічної уваги.
За матеріалами попередніх двох уроків проводимо математичний
диктант з подальшою перевіркою та оперативним оцінюванням.
Математичний диктант
Варіант 1 Варіант 2
1. Серед поданих чисел виберіть
ірраціональні:
-1,2; л/б ; -V I6; я; л/б4;
у/0,25 ; ^6,4
1. Серед поданих чисел виберіть
ірраціональні:
-1,5; л/8; -^0,25; ^/16; >/490
4
2. Знайдіть х із пропорції:
х 5,6-6,8
2. Знайдіть х із пропорції:
0,36:0,1 4,3-6,1
0,45:0,1 -0,6-6 х -0,9-6
3. Розкрийте модуль |а+ 4| при
а < - 5
3. Розкрийте модуль |3-я:| при
х>4
4. Розв’яжіть рівняння |3л;+4|= 5
4. Розв’яжітьрівняння ^ л:-1 = 2

24. 24 Тема 1. Похідна та їїзастосування
III. Формулювання мети й завдань уроку
З метою створення мотивації навчальної діяльності учнів про­
понуємо виконати завдання (можна в малих групах із подальшою
презентацією), які передбачають дослідження поведінки значень
елементарних функцій у певних околах деяких точок (наприклад,
різним групам пропонуємо знайти і порівняти значення функцій:
у = 3х + 2, у = 2 * -4 , у = - х + 1 тощо для значень аргумента, близь­
ких до числа 2: 1,9; 1,99; 1,999; 2; 2,001; 2,01; 2,1). Після презента­
ції своїх міркувань учні усвідомлюють існування нових для них
властивостей розглянутих елементарних функцій, тому мету уроку
можна сформулювати на адаптованому рівні як вивчення питання
про нові властивості функцій та введення відповідної термінології.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Фронтальне опитування
1. Дайте означення числової функції, заданої на множині D (x).
2. Що називають аргументом функції? значенням функції, що
відповідає заданому значенню аргумента? областю визначення
функції? областю значень функції?
3. Як позначають функцію?
4. Що означає знайти область визначення функції, заданої фор­
мулою?
5. Знайдіть: /(3), /(-3 ), /( - і ) , /(«)» /( * - 3 ) та 2)(дс) для функції,
X
заданої формулою у = . .
V4 - х
V. Засвоєння знань
Планвивченнянового матеріалу
1. Уявлення про зміст поняття «границя функції в точці». Супут­
ні поняття ( х прямує до поданого числа; f(x) прямує до пода­
ного числа).
2. Символічний запис та його зміст.
3. Деякі властивості границі функції в точці.
4. Неперервність функції в точці. Доведення факту, що задана
функція є неперервною в точці.
Таблицю 2 (див. (1),с. 18-20, п. 1, 4, 5) можна запропону-
_ U _ f—V •
вати учням як опорнии конспект. Викладення змісту нових
понять подаємо без математично строгого обґрунтування.
Такий підхід до вивчення питання про границю функції
в точці та її властивості зумовлений вимогами чинної про­
грами з математики, а саме тим, що питання про границю

25. Урок №3. [Поняття границі функції в точці] 25
вже не є обов’язковим і може бути вивченим лише для того,
щоб допомогти ввести поняття похідної функції в точці (яке
формулюється як границя відношення приросту функції до
приросту аргумента). Проте деякі знання учні мають добре
засвоїти. Такими знаннями є:
9 перехід від словесного опису до символічного запису того,
що границею функції /(* ) у точці а є число В;
9 уявлення про основні властивості границі (границя суми,
різниці та добутку двох функцій, границя добутку сталого
множника на функцію), оскільки ці властивості є основою
для доведення правил диференціювання;
9 уявлення про зміст поняття «функція, неперервна в точці»,
оскільки саме через це поняття вводиться означення похід­
ної функції в точці.
Конспект З
Поняття границі функції в точці
Нехай задано деяку функцію, наприклад /(я) = 2х- 1.
Розглянемо графік цієї функції та таблицю її значень у точках, які на
числовій прямій розташовані достатньо близько до числа 2.
у = 2х-1
X 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1
f(x) 2,8 2,98 2,998 3,002 3,02 3,2
З таблиці та графіка видно, що чим ближче аргумент х до числа 2 (це
позначають л;—>2 і кажуть, що х прямує до 2), тим ближче значення
функції f(x) = 2х-1 до числа 3 (позначають f(x )—>3 і кажуть, що f(x )
прямує до 3). Це записують також так: 1іт(2я;-і) = 3 (читають: «Ліміт
х—*2 ' '
2х- при х, що прямує до 2, дорівнює 3») і кажуть, що границя
функції 2х -1 при х, що прямує до 2 (або границя функції в точці 2),
дорівнює З
У загальному випадку запис 1іш/(л:) = 5 означає, що при я —»а
f{x) —>В, тобто В — число, до якого прямує значення функції /( х ) ,
коли х прямує до а

26. 26 Тема 1. Похідна та їїзастосування
Властивості границі функції
Зміст правил граничного
переходу
Запис і формулювання правил гранично­
го переходу
Якщо /(л:) = с, то при х —>а
?{х ) с
lime = с
х—>а
Границя сталої функції дорівнює цій
самій сталій
Якщо при я —>а f(x )—>A
і § { х ) - В , то:
f(x)±g(x)—>A±B
1іт(/(л:)±й,(л:)) = 1іт/(л:)±1іт^(л:).
х->а' 4 7 4 '' х->а 4 7 х->а 4 7
Границя суми (різниці) двох функцій
дорівнює сумі (різниці) їх границь, якщо
границі доданків існують
/(х)-й(х)^А-В lim(/ (яW (л;))= limfix)- lim #(*).
x->a' 4 7 v 77 х-ьа x 7 x^>a 4 7
Границя добутку двох функцій дорівнює
добутку їх границь, якщо границі множ­
ників існують
c^f(x)^>c•A lim fc/f^ W clim /f:*:).
х^>а' 4 7' х->а 4 7
Сталий множник можна виносити за
знак границі
4 4 - > 4 (де в * 0)#(л;) В
f(x ) Ш п/Ы
lim } [ = ,Va / ч (де lim £(*)*0).
х^а gix ) пт^Іл:) *-**
4 ' х-*а ' '
Границя частки двох функцій дорівнює
частці їх границь, якщо границі чисель­
ника і знаменника існують і границя
знаменника не дорівнює нулю
Неперервність функції в точці
Означення. Функцію f[x) називають неперервною в точці а, якщо при
/(# )—»/(а), тобто 1іт/(л:) = /(а)
Якщо функція /(#) неперервна в кожній точці деякого проміжку І , то
її називають неперервною на проміжку І
Якщо функції f[x) і іг(л:) неперервні в точці а , то сума, добуток
і частка неперервних у точці а функцій неперервні в точці а (частка
у випадку, коли дільник #(а) ^ 0)
Графік функції, неперервної на проміжку, —
проміжку
- нерозривна лінія на цьому
Усі елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визна­
чення, тому на кожному проміжку з області визначення їх графіки —
нерозривні лінії
Якщо на інтервалі (а,б) функція f(x) неперервна і не перетворюється
на нуль, то вона на цьому інтервалі зберігає сталий знак

27. Урок №3. [Поняття границі функції в точці] 27
На цьому етапі уроку доречною буде історична довідка, в якій
коротко повідомляємо основні відомості щодо виникнення поняття
«границя функції в точці» та винаходу сучасної символіки.
Історична довідка
Знак lim походить від латинського слова limes — межа. Саме
цей знак запровадив 1786 року швейцарський математик С. Люї-
льє (1750-1840) для позначення границі. У курсі математики се­
редньої школи цим символом позначають: а) границю послідовнос­
ті; б) границю функції в точці.
VI. Формування первинних умінь
Виконанняуснихвправ
1. Відомо, що /( * ) —>2, g(x)—>-2 при x o l . Знайдіть границі
функцій: f(x) + g(x); f(x)-g(x); 2f( x )- g ( x ); 3f(x)-2f(x);
2g[x)-3f(x) у точці 1.
2. Відомо, що lim/(jc) = 2, 1іт^(л:) = -3 . Знайдіть границю при
х —>3 х —>3
х —»3 таких функцій:
1) /(*)•#(*); 2) 3) / 3(*); 4) (2f(x) + 3g(x)f; 5) ^ .
О tX)
3. Чи є неперервною в кожній із точок х = —1, х = 1, х = 3 функ­
ція, графік якої зображено нарисунку?
У*
1 1 1 X
1W1 1
-1 0
1
1
1^
3
б
в г

28. 28 Тема 1. Похідна та їїзастосування
Виконання письмовихвправ
1. За підручником розглянути розв’язання прикладу 3.
Приклад 3 (с. 25). Знайдіть:
х2- 9 _ х2—1
1) lim(jc3+ 2х - 1) ; 2) lim--------; 3) lim-
х->3' ’ * - > 1 x —5 x~>1 x —1
2 (№ 3 (1, 3), c. 28). З’ясуйте, до якого числа прямує функція / ,
якщо:
X2"hX
1) f(x) = х 2- 5х + 1 при х —»1; 3) f(x) - — g— при х —»- 1 .
X
3 (№ 4 (1, 3), с. 28). Знайдіть: 1) lim(jc2+ jc+ ö); 3) lim Х ^ .
х->2' ' ж-»3х —9
Додаткові вправи на повторення
1. Доведіть, що значення виразу + ^ 2 - уі7) є раціо­
нальним числом.
2. Спростіть вираз + 2) - 8 л/а + ^ л /а -2 ) +8л/а.
Розв’язування як усних, так і письмових вправ (окрім за­
вдань на повторення) передбачає закріплення основних пи­
тань параграфа 2 (див. вище) та формування первинних опе­
ративних умінь знаходити границю функції, неперервної
в точці за означенням, а також застосування основних влас­
тивостей границі функції в точці. Серед запропонованих
вправ у завданнях № 4 (3, 4) теорема про неперервну в точці
функцію «не працює». Подоланню цієї ситуації сприяє по­
передня робота з розв’язаними у підручнику аналогічними
ситуаціями (див. приклад З ( 3 ),с. 25). Наголошуємо, що роз­
гляд цього питання з усіма учнями не є обов’язковим, тому
розглядати цей матеріал чи ні вирішує вчитель, зважаючи
на рівень математичної підготовки учнів. У будь-якому разі
всі ці питання вивчають у повному обсязі у ВНЗ у курсі ви­
щої математики.
Розв’язування вправ на повторення має на меті закріпити
знання й уміння, набуті учнями на попередніх уроках (по­
няття дійсного числа, означення та властивості модуля дій­
сного числа).
VII.Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Поясніть, що означають записи х —>5 і f(x) —>В .

29. Урок №4. Поняття приросту аргумента та приросту функції.., 29
2. Поясніть, що означає запис lim /(*) = Б.
х —>а 4
3. Якщо при * —»а /( * ) —»А і то до яких чисел при
* — будуть прямувати функції: f(x)±g(x); f(x)-gix); Д —l
g ( * )
(якщо В ї 0)?
4. Коли функцію f( x ) називають неперервною в точці а? Наве­
діть приклади.
5. Яку функцію називають неперервною на проміжку? Що можна
сказати про графік неперервної функції на цьому проміжку?
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект «Поняття
границі функції в точці та неперервність функції»).
Виконати вправи.
1 (№ 2, с. 28). Чи є функція неперервною в кожній точці заданого
х 2—1
проміжку: 1) / ( х) = х 2-З * , (-°°;+о°); 2) f{x) = --------, (0;+°°);
х 2
3) = [2-,-к»)?
х - 1
2 (№ 3 (2, 4), с. 28). З’ясуйте, до якого числа прямує функція / ,
якщо: 2) fix) = ^ + ^ ПрИ х —>2; 4) fix)= f X при * —>3.
х - 1 х - х
Y®J. 9у _lß
3 (№ 4 (2, 4), с. 28). Знайдіть: 2) lim------------ ; 4) lim------------ .
4я + 1 х->~4 х + 4
Виконати вправу на повторення.
, ч Іsin* І
Побудуйте графік функції /(* ) = J-------L.
sin*
УРОК № 4
ПОНЯТТЯ ПРИРОСТУ АРГУМЕНТА ТА ПРИРОСТУ ФУНКЦІЇ.
ОЗНАЧЕННЯ ПОХІДНОЇ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ
Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту понять:
9 приріст аргумента, приріст функції;
9 необхідна й достатня умова неперервності функції в точці (че­
рез приріст функції та приріст аргумента);
9 похідна функції в точці, операція диференціювання;
9 загальна схема знаходження значення похідної функції в за­
даній точці.

30. зо Тема 1. Похідна та їїзастосування
Формувати вміння знаходити приріст аргумента та приріст по­
даної функції, а також значення похідної функції в заданій точці
через границю різницевого відношення приросту функції до при­
росту аргумента.
Відпрацьовувати вміння виконувати тотожні перетворення ра­
ціональних виразів.
Типуроку: засвоєння знань, умінь і навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Поняття похідної».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Вибірково перевіряємо зошити в тих учнів, які потребують до­
даткової педагогічної уваги.
Ретельно перевіряємо виконання завдання на повторення
(побудова графіка функції з обґрунтуванням) та завдання № 4 (4)
(якщо його було задано).
Фронтальне опитування
1. За графіком функції дайте відповіді на
питання.
1) Чому дорівнює значення функції в точці
х = -1 ?
2) Чи існує границя функції в точці х = -2 ?
3) Чи існує границя функції в точці х = -1
і якщо так, то чому вона дорівнює?
2. Відомо, що 1іт/(л;) = 3, 1іт^(дс) = -1 . Знайдіть:
х—>2 х—>2
і ) 1йї(3/ ( * ) - * ( * ) ) ; 2)
Можна також провести експрес-тест.
Експрес-тест
Варіант 7
1. Користуючись графіком функції
г/= /(* ), знайдіть 1іт/(л;).
4 х -> 2 4 '
А Б В Г д
0 1 2 3 Інша від­
повідь

31. Урок №4. Поняття приросту аргумента та приросту функції.., 31
2. Знайдіть lim
х
*->о х - х
А Б В Г д
-1 0 1 Не існує Інша відповідь
3. Яка з наведених функцій неперервна на проміжку (0;+<*>)?
А Б в Г д
у = 1п(-х) у = 4х у = Іпх У= 4~Х і
у= іх - 1
Варіант 2
1. Користуючись графіком функції
y = f(x), знайдіть lim/(я ).
А Б В Г д 1 -
І
1 X
1 1 1 W0 1 2 3 Інша від­
повідь 1 0
1 1 1 ^
2
2. Знайдіть lim * + Х .
х - > о х
А Б В г д
-1 0 1 Не існує Інша відповідь
3. Яка з наведених функцій неперервна на проміжку [0;+°°)?
А Б в Г д
У= 1п(—#) У= 4х у = 1пх У= 4^Х і
у= іх -1
III. Формулювання мети й завдань уроку
Завдання дляучнів
Уважно розгляньте та порівняйте графіки функцій. Чим вони
подібні? чим відрізняються? Які математичні поняття можна ви­
користати для порівняння цих графіків?
в)
А
УА
1
0
В
-т—
і X
Ч—►

32. 32 Тема 1. Похідна та їїзастосування
Виконання цього завдання передбачає «відкриття» учнями
того факту, що функції можна розрізняти за тим, як «швидко»
вони змінюють своє значення за визначеної зміни аргумента.
Формулюємо завдання: ввести поняття, за допомогою яких
можна описувати зміни функцій, а також вивчити поняття, яке ха­
рактеризується ними.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконанняуснихвправ
1. Дано функцію f{x) = х 2- Зх + 2 . Знайдіть значення виразів:
/(2); /(-1 ); f(a); /(2а); /(* + 1); f(a)-f(b).
2. Відомо, що f ( x ) - > - l , g (x )—>3 при де—>2. Знайдіть границі
функцій: /(*) + £(*); f(x)-g(x); 2f(x); 2f(x)-g(x); 3f(x)-2g(x);
2g(x)-3f(x) у точці 2.
3. Відомо, що lim f(x) = - 2, lim^(jc) = 3. Знайдіть границю функ-
ж -> -3 ' д г-»-3 '
цій при х —>3:
1) /(*)•£(*); 2) !# (* ); 3) / 3(х); 4) (2/(*) + 3£(x))2; 5)
~~25
4. Знайдіть границю функції: 1) lim----------; 2) lim---------.
*->-5 х + 5 *->° х
V. Засвоєння знань
Планвивченнянового матеріалу
1. Поняття приросту аргумента та приросту функції в точці х0.
2. Запис неперервності функції через приріст аргумента й функції.
3. Означення похідної функції в точці х0.
4. Як знайти похідну функції у = f(x) у точці х0(схема).
5. Історична довідка.
Слід зауважити, що вивчення означення похідної в і ї класі
на відміну від підходів, що практикують у вищих навчаль­
них закладах, є такою: спочатку вводять поняття прирос­
ту аргумента, приросту функції, потім поняття дотичної до
графіка функції в точці, через яке формулюють означення
похідної, а вже потім розглядають механічний зміст похід­
ної. Проте автор «ризикне» (спираючись на власний досвід
роботи в 11 класах) дещо змінити послідовність вивчення
матеріалу. Окрім власного досвіду, на користь такого розпо­
ділу матеріалу є аргументи:

33. Урок №4. Поняття приросту аргумента та приросту функції.., 33
Конспект 4
Поняття приросту аргумента і приросту функції в точці х0
Нехай х — довільна точка, що лежить у деякому околі фіксованої
точки х0 з області визначення функції f[x)
Приріст аргумента Приріст функції
Ах =х - х 0
Ах>0
Af = f{
У*
f{x0+ Ах)
f ( xo)
'* 0 + Д * ) - / ( * 0)
к У = Ґ(х )
х0 %
ДлгсО
— ^ ^ ------------------------- ►
X х0
-Л- -
1 — 1 X
0 л:0 х0+Ах
Запис неперервності функції через прирости аргумента і функції
Функція f(x) буде неперервною в точці х0 тоді й тільки тоді, коли
малій зміні аргумента в точці х0 відповідають малі зміни значень
функції, тобто:
функція / ( х) неперервна в точці х0<=> при Л я —>0 А / —>0
Означення похідної
У = Ґ(х )
/ і. Лі/у = 1 і т —1-
Ах
у' 1
Ах
Похідною функції у - f{x) у точці
я:0 називають границю відношення
приросту функції в точці х0 до
приросту аргумента, коли приріст
аргумента прямує до нуля.
Операцію знаходження похідної
називають диференціюванням
9 дозованість нового матеріалу (одночасне введення поняття
приросту, дотичної зі всіма його нюансами та поняття похід­
ної — досить нелегке випробування для інтелекту більшості
одинадцятикласників);
9 можливість відпрацювати вміння свідомо (!) застосовувати
нові поняття, що розглядаються на уроці, до розв’язування
задач. Особливу увагу приділяємо відпрацюванню вмінь
знаходити похідну функції в точці за означенням відповідно
до схеми. Такий підхід, на погляд автора, допоможе учням
під час вивчення правил та формул диференціювання.
Вивчення нового матеріалу доцільно вести за конспектом
близько до тексту підручника. До матеріалу, поданого у під­

34. 34 Тема 1. Похідна та їїзастосування
ручнику, можна додатково подати учням історичну довідку
(про позначення приросту аргумента і функції, про виник­
нення поняття похідної).
Для знаходження похідної функції y = f(x) за означенням
можна користуватися такою схемою:
1. Знайти приріст функції Дг/ = /(х 0+ Д х )-/(х 0), який відповідає
приросту аргумента Ах.
Ау
2. Знайти відношення
Ах
3. З’ясувати, до якої границі прямує відношення при Ах —>0.
Ах
Це й буде похідна заданої функції.
Історична довідка
Знак Ах запровадив 1755 року JI. Ейлер. Цей знак утворено
з грецької букви «дельта», оскільки латиною слово differentia —
різниця, відмінність, починається з букви d.
Термін «похідна» (французьке derive'е) увів 1797 року фран­
цузький математик Ж. Лагранж (1736-1813). Він запровадив
і символ /'(х ). Інше позначення для похідної dx запропонував
1675 року Г. Лейбніц, якого справедливо вважають творцем сучас­
ної символіки математичного аналізу. Проте надалі позначення
dx набуло іншого змісту.
VI. Формування первинних умінь
Виконанняусних вправ
1. Побудуйте графік функції /(х ) = 3 - 2 х . Виразіть приріст функ­
ції в точці х0 через х0 і Ах. Знайдіть А/(х0), якщо х0=1
і Ах = 0,2. Проілюструйте результати на графіку.
0 тт -р{ о ^ о ~ • f(x + A x ) - f ( x )
2. Для функції д х ) = Зх + 2 знайдіть: —---------------— .
Ах
3. Для функції /(х ) = х 2 виразіть приріст у точці х0= 3 через х0
і Ах = —^ та знайдіть Д/.
Виконання письмових вправ
1 (№ 1, с. 42). Для функції у = 2х знайдіть приріст Ау, який від­
повідає приросту аргумента Ах у точці х0, якщо:
1) х0= 2 і Дл; = 3; 2) х0=1,5 і Ах = 3,5; 3) х0=0,5 і Ах = 2,5.

35. Урок №4. Поняття приросту аргумента та приросту функції.., 35
2 (№ 2 (1 ,3),с.42 ). Знайдіть приріст Ау , який відповідає прирос­
ту аргумента Ах у точці х0 для функції:
1) у = 3х;3) у = х 2- х .
3 (№ 4 (1, 3), с. 42). Користуючись схемою обчислення похідної,
знайдіть похідну функції: 1) у = 3х;3*) у = х 3.
Додаткові вправи на повторення
1. Чому дорівнює значення виразу ^/б—2л/б -^49 + 20л/б?
2. Побудуйте графік функції f{x) = ^§л;|8Іп:х:|.
Виконання основної частини як усних, так і письмових
вправ передбачає передусім свідоме відтворення означень
понять, вивчених на уроці, а також закріплення схеми дій
під час розв’язування задач на знаходження значення по­
хідної функції в точці х0. Щоб уникнути типових труднощів
учнів під час розв’язування задач, подібних до № 4, слід од­
разу зауважити, що у випадку, коли точку, у якій потрібно
за умовою задачі знайти похідну, не вказано, її домовились
позначати х0, а відповідний приріст аргумента — Ах. Також
слід звернути увагу учнів на те, що обчислення похідної
функції у цьому випадку потребує обчислення границі
функції, яку перед цим слід спростити (щоб уникнути ви­
. ( о
падку невизначеності виду — ).
VII. Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Поясніть на прикладах і дайте означення приросту аргумента
і приросту функції в точці х0.
2. Охарактеризуйте поняття неперервності функції в точці, ко­
ристуючись поняттям приросту аргумента і приросту функції.
3. Дайте означення похідної функції. Як позначають похідну
функції f у точці х0?
4. Опишіть схему знаходження похідної функції y = f(x).
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект).
Виконати вправи.
1 (№ 2 (2, 4), с. 42.). Знайдіть приріст Ау, який відповідає прирос­
ту аргумента Ах у точці х0 для функції: 2) у = х 3;4) у = х + —.
X

36. 36 Тема 1. Похідна та їїзастосування
2 (№ 4 (2, 4), с. 42). Користуючись схемою обчислення похідної,
знайдіть похідну функції: 2) у = -5 х ; 4*) у = х 2- 2 х .
Виконати вправу на повторення.
Обчисліть значення виразу ^5 —2у/б + ^5 +
УРОК № 5
ПОХІДНІ ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ
Мета: працювати над закріпленням знань про зміст означення
похідної функції в точці та схемою його застосування для обчис­
лення похідних; вивести формули для обчислення похідних дея­
ких елементарних функцій, використовуючи вивчене означення.
Розпочати роботу з формування вмінь застосовувати виведені фор­
мули для обчислення значень похідних.
Типуроку: засвоєння знань, формування вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Похідні деяких елементар­
них функцій».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Вибірково перевіряємо зошити в учнів, що потребують додат­
кової уваги.
Завдання № 4 перевіряємо за зразком із коментуванням.
III. Формулювання мети й завдань уроку
З метою сформувати свідоме ставлення до вивчення теми уро­
ку пропонуємо учням завдання (можна його потім оцінити як са­
мостійну роботу за матеріалом попереднього уроку) за варіантами
(або як різнорівневе завдання).
Завдання. Знайдіть (за означенням, використовуючи відповідну
схему) похідну функції f у точці х0, якщо: 1) f(x) = Зх + 2, х0=1;
2) f(x) = Зх + 2, х0= -2; 3) f(x) = Зх + 2, х0= а; 4) f(x) = Зх + 2.
Під час перевірки завдання учні мають помітити, що незалеж­
но від значення х0, значення f'{xQ) не змінюється. Таким чином
формулюємо питання про формули похідних елементарних функцій,
мета (завдання уроку) — знаходження відповіді на це запитання.

37. Урок №5. Похідні деяких елементарних функцій 37
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконанняуснихвправ
А /(х0) f ( x ) - f ( x Q) . ,„
1. Знайдіть — -— - = —
-
— - для функції f(x) = x - х . Обчис-
Ах Ах
А /(х0) А /(х0)
літь — -— - при х0=0 і Ах = 0,1; 0,001. Знайдіть Иш— -— -,
Ах Д*-»0 Ах
якщо х0= 0.
2. Знайдіть похідну функції /(х ) = 5-2л: у точці х , користуючись
означенням похідної.
3. Установіть відповідність між границею функції (1-4) та її зна­
ченням (А-Д).
1 1іт(х2-2х)
х-»2 ' >
А 3
2 ,. х2- 4
І іт -------
*->2 х - 2
Б 0
3 1іт2~* В 4
4 Г і 'ї
Ііт —+ 2
Г 2
д 1
V. Засвоєння знань
Планвивченнянового матеріалу
1. Похідні деяких елементарних функцій.
2. Застосування формул похідних.
Конспект 5
Похідні деяких елементарних функцій
с' = 0
( с — стала)
( 4 = і х2) =2х Гі V _ і
^Х; X
(х їО )
№ " 2Гх
( я;>0)
3 урахуванням запропонованого на попередньому уроці
• /Ч • •• ч •••
плану викладення розділу «Означення похідної функції»
цілком логічно на цьому уроці закріпити означення похід­
ної функції та схеми його застосування для знаходження
похідних функцій. Тому цю частину уроку можна провести
як практичну роботу. Учні самостійно або в групах викону­
ють завдання на знаходження формул похідних функцій,

38. 38 Тема 1. Похідна та їїзастосування
поданих у конспекті № 5, із подальшим обговоренням та
корекцією і фіксацією висновків.
Під час підбиття підсумків ще раз звертаємо увагу учнів на
такі моменти:
9 хоча похідна функції в точці — це число (за означенням),
яке залежить від точки х0, проте значення цього числа для
заданої функції можна знайти за певною формулою, для
кожної функції — своя формула;
9 похідну будь-якої функції можна знайти за означенням,
проте набагато зручніше похідну функції знаходити за гото­
вими формулами (які виведені на основі використання озна­
чення похідної).
VI. Формування первинних умінь
Виконанняусних вправ (на прямезастосування формул похідних)
Знайдіть значення похідних функцій:
у = 3; у = х ; у = х 2; у = у/х; у
х
у точках: -1 ; 2; 0; 5; 0,1; 0,09; — (якщо це можливо).
4
Виконання письмовихвправ
Використовуючи означення похідної функції f у точці х0, ви­
ведіть формулу похідної функції: 1) f(x) = kx + Ь; 2) f(x) = x 3. За
знайденими формулами обчисліть значення похідних цих функцій
4
у точках: 0; -1 ; 3; 0,25; —.
9
Виконання вправи на повторення
Знайдіть область визначення функції:
л/5-4ж-ж2 Ю 6 1
^ У =
-
о— ; 2>У = „ 4І ; 3>У = К +г~і—7'х + 2 2-Цх у/Зх+ 2 x-l
Мета виконання пропонованих вправ — свідоме засвоєн-
• • •• і ••• •
ня змісту означення похідної функції в точці та схеми зна­
ходження похідної за означенням, а також усвідомлення
учнями того факту, що обчислення похідних елементар­
них функцій у кожній точці їх області визначення можна
суттєво спростити, якщо спочатку за означенням вивести
загальну формулу, а вже потім її використовувати для об­
числень похідних у вибраних точках. Також на уроці слід
провести роботу з повторення способів знаходження області
= 4х у = -

39. Урок №6. Геометричний зміст похідної.. 39
визначення функції (ця робота є підготовчою для вивчення
подальших розділів теми «Похідна та її застосування»).
VII. Підсумки уроки
Контрольнізапитання
Відтворіть, чому дорівнює похідна кожної з поданих функцій:
1) f(x) = C, де С — стала; 2) f(x) = x ; 3) f(x) = x2;
4) f(x ) = 4х ; 5) f(x) = х 3; 6) f(x) = kx + b.
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект № 5).
Виконати вправи.
Виведіть формулу для обчислення похідної функції У= —,
X
k Ф0. За виведеною формулою знайдіть значення похідної функції
Виконати вправу на повторення.
5 2 г-
= — уточках: -3 ; 1; 0,5; —; >/2.
х З
4 8
Знайдіть область визначення функції у = , + —z-------.
л/3х-15 х -3 6
УРОК № 6
ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ
[РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ДО ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ]
Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту понять: січна
графіка в точці, дотична до графіка в точці, кутовий коефіцієнт до­
тичної та геометричний зміст похідної [сформувати уявлення про
вид рівняння дотичної до графіка функції в поданій точці та схе­
му складання рівняння дотичної]. Розпочати роботу з формування
вмінь знаходити похідну поданої функції в заданій точці із вико­
ристанням її геометричного змісту, і навпаки [складати рівняння
дотичної до графіка функції в заданій точці].
Типуроку: засвоєння знань, формування вмінь.
Наочністьтаобладнання: конспект «Дотична до графіка функції».
Хід уроку
І. Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.

40. 40 Тема 1. Похідна та їїзастосування
II. Перевірка домашнього завдання
Збираємо зошити на перевірку; за необхідності надаємо пра­
вильне розв’язання для самостійного опрацювання.
Експрес-тест
Варіант 7
1. Обчисліть /'(2 ), якщо f(x) = x 3.
А Б В Г Д
2 6 4 12 8
2. Обчисліть /'(і), якщо f[x) = 4x.
А Б В Г Д
1 2 0,5 0,25 0
3. Обчисліть /'( - і ) , якщо /(я ) = —-.
А Б В Г Д
-2 2 1 -1 0
4. Знайдіть область визначення функції f(x) = ^ ^ .
V 3 - х
А Б В Г Д
(3;+°°) [3;+°°) (-оо;3) (—°°;—з) (-оо;3]
Варіант2
1. Обчисліть /'( - і ) , якщо f(x) = xs.
А Б В Г Д
-1 3 -3 1 4
2. Обчисліть /'(4 ), якщо f(x) = ^[x.
А Б В Г Д
1 2 0,5 0,25 0
3. Обчисліть /'(-2 ), якщо f(x) = —
х
А Б В Г Д
-0,5 0,5 1 -1 0
2х _4
4. Знайдіть область визначення функції 1*(х)= .
УІЗ+ х

41. Урок №6. Геометричний зміст похідної.. 41
А Б В Г д
(3;+оо)
соsi•
+
і
8SI•
vCO
з) (-°о;3]
III. Формулювання мети й завдань уроку
Запропонувавши учням відтворити означення похідної функ­
ції в точці, пропонуємо назвати ключове слово в цьому означенні
(«границя», тобто число). Зацим словом пропонуємо визначити, що
показує це число, наприклад, з точки зору графіка функції (можна
навести низку прикладів чисел з інших сфер науки та показати їх
зміст). Після короткої бесіди формулюємо завдання на урок: визна­
чити зміст похідної для графіка та навчитися застосовувати його
практично.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Виконанняуснихвправ
1. Знайдіть значення похідних функцій:
1) f(x) = C, де С — стала; 2) f(x) = x ; 3) f(x) = x 2; 4) f(x) = 4x
4
5) f(x ) = x 3; 6) f(x) = kx + b у точках: -2 ; 0; 2; 0,9; — .
2. Знайдіть область визначення функції f(x ): 1) f(x) = *j2x- 3;
2) з) 4) /(-)= V
3. Якими рівняннями можна задати кожну з прямих нарисунку?
Що можна сказати про кути, які задані прямі утворюють з до­
датним напрямом осі абсцис?
) У '
і А
т
і X
W
0 1,5 *