1. เอกสารประกอบการบรรยาย
คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP
◙ โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด
◙ ภาควิชาคณิตศาสตร์
มหาวิทยาลัยขอนแก่น
อ.วัฒนา เถาว์ทิพย์
8
/
ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
ประกอบสาระการเรียนรู้ เพิ่มเติม
(Trigonometry Functions)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

2. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 1
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น1
2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Functions)
สรุปเนื้อหา
วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit Circle)
มีสมการเป็น 2 2
1x y 
1. ฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ (Sine and Cosine)
2. ค่าของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ (Sine and Cosine)
Who is the
founder of
Trigonometry?
Hipparchus !
(125 BC.)
Ptolemy (C.100-
178) credits him
with a number of
ideas in
Trigonometry
and Astronomy.
การวัดความยาวของส่วนโค้ง
ให้  แทนความยาวส่วนโค้งที่วัดจากจาก
(1,0) โดยที่
0  เมื่อวัดทวนเข็มนาฬิกา
0  เมื่อวัดทวนเข็มนาฬิกา
0  เมื่อความยาวส่วนโค้ง 0 หน่วย
นิยาม ให้( , )x y เป็นจุดปลายของความยาวส่วน
โค้งที่ยาว  หน่วย กาหนดฟังก์ชัน sine และ
cosine ดังนี้
sin y 
cos x 
จาก 2 2
1x y  จะได้ 2 2
cos sin 1  
(1,0)

( , )x y
(1,0)


sin0 .......
cos0 .......
sin .......
2


cos .......
2


sin ....... 
cos ....... 
sin2 ....... 
cos2 ....... 
sin2 .......n 
cos2 .......n 
sin .......
6


cos .......
6


sin .......
4


cos .......
4


sin .......
3


cos .......
3


sin ....... 
cos ....... 

3. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 2
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น2
◙ Names of set of
number:
I
: Positive Integer
I
: Negative Integer
I : Integer
N : Natural Number
P : Prime Number
Q : Rational Number
R : Real Number
◙ Some of the most
beautiful mathematical
formulas:
9 The roots of a quadratic
equation :
2
0ax bx c  
10 The golden ratio:
1 5
2

11 Imaginary numbers:
1i  
☼ How to prove that
ค่าของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ ของจานวนจริงใดๆ สามารถแทนด้วยจานวนจริงที่อยู่
ในช่วง 0 ถึง
2

ได้โดยใช้สมบัติที่สาคัญดังต่อไปนี้
1. sin( ) sin   
cos( ) sin  
2. sin sin(2 ) sinn     
cos cos(2 ) cosn     
3. sin sin( ) sin      เมื่อ 0
2

 
cos cos( ) cos       เมื่อ 0
2

 
4. sin sin( ) sin       เมื่อ 0
2

 
cos cos( ) cos       เมื่อ 0
2

 
5. sin sin(2 ) sin       เมื่อ 0
2

 
cos cos(2 ) cos      เมื่อ 0
2

 
3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ
บทนิยาม สาหรับจานวนจริง  ใดๆ กาหนดฟังก์ชัน tangent , secant , cosecant ,
cotangent ตามลาดับดังนี้
sin
tan
cos



 เมื่อ cos 0 
1
sec
cos


 เมื่อ cos 0 
1
csc
sin


 เมื่อ sin 0 
cos
cot
sin



 เมื่อ sin 0 
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ
1.
1
cot
tan


 เมื่อ tan 0  หรือsin 0 
2. 2 2
1 tan sec   เมื่อ cos 0 
3. 2 2
1 cot csc   เมื่อ sin 0 

4. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 3
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น3
True or False?
1. sin( ) sin   
2. cos( ) cos   
.
 sin cos tan csc sec cot
0 ……. ……. ……. ……. ……. …….
6

……. ……. ……. ……. ……. …….
4

……. ……. ……. ……. ……. …….
3

……. ……. ……. ……. ……. …….
2

……. ……. ……. ……. ……. …….
Ex. จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ต่อไปนี้
25
sin .......
4


35
sin .......
4


25
cos .......
6


25
cos .......
6


125
tan .......
3


2008
sec .......
3


4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
การวัดมุมที่นิยมใช้กันมี 2 แบบ
1. องศา (Degree) กาหนดโดย มุม 1 องศา หมายถึงมุมที่เกิดจากการแบ่ง
มุมรอบจุดออกเป็น 360 ส่วนเท่าๆกัน
2. เรเดียน (Radian) มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี r ที่รองรับโค้งที่ยาว
a หน่วย กาหนดให้มีขนาด
a
r
เรเดียน
ความสัมพันธ์ระหว่างการวัดมุมทั้งสองแบบคือ
2 เรเดียน = 360 องศา
ข้อสังเกต ในวงกลมหนึ่งหน่วย มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยเส้นโค้งที่ยาว 
หน่วย ย่อมมีขนาด  เรเดียน พอดี ดังนั้น ในวกลมหนึ่งหน่วย  อาจหมายถึง
ความยาวของส่วนโค้ง หรือ ขนาดของมุมที่วัดแบบเรเดียน ก็ได้
Ex. จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ต่อไปนี้
225
sin .......
4

 sin390 .......
53
cos .......
6

 cos765 .......
217
tan .......
3

 sec840 .......

5. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 4
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น4
True or False?
1. sin( ) sin  
2. cos( ) cos  
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
โดยมี ˆ 90ACB  ดังรูป
โดยอาศัยสมบัติของสามเหลี่ยมคล้าย จะได้ว่า
sin
a opposite
A
c hypotenuse
  csc
c hypotenuse
A
a opposite
 
cos
b adjecent
A
c hypotenuse
  sec
c hypotenuse
A
b adjecent
 
sin
a opposite
A
b adjacent
  cot
b adjacent
A
a opposite
 
Ex1. จงพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีธาโกรัส โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
Ex2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมี ˆ 90ACB  ถ้า 4AC  และ
ˆ 30A  จงหาความยาวของ AB และ BC
Ex3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี ˆA เป็นมุมแหลม และ
7
sin
12
A  จงหาค่าของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ
5. การใช้ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะมีเฉพาะมุมที่อยู่ในช่วง 0 ถึง 90 หรือ 0
เรเดียน ถึง
2

เรเดียน เท่านั้น เพราะ มุมที่มีขนาดโตกว่านี้ เราสามารถใช้สมบัติของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กล่าวมา หาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่อยู่ในช่วงดังกล่าวแทน
ได้เสมอ
CA
B
c a
b
CA
B
c a
b

6. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 5
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น5
6. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคาบ
(Period Function) เรียกช่วงย่อยที่สั้นที่สุดที่กราฟเหมือนกันว่า คาบ (Period)
สาหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าต่าสุด และ สูงสุด จะเรียกค่าที่เป็นเครึ่งหนึ่ง
ของค่าสูงสุด ลบด้วยค่าต่าสุดของฟังก์ชันว่า แอมปลิจูด(Amplitude)
Ex1. เขียนกราฟของ siny x พร้อมทั้งระบุ โดเมน เรนจ์ คาบ และ แอมปลิจูด
Ex1. เขียนกราฟของ sin 2y x พร้อมทั้งระบุ โดเมน เรนจ์ คาบ และ แอมปลิจูด
Ex1. เขียนกราฟของ 2siny x พร้อมทั้งระบุ โดเมน เรนจ์ คาบ และ แอมปลิจูด
Ex1. เขียนกราฟของ 2sin3y x พร้อมทั้งระบุ โดเมน เรนจ์ คาบ และ แอม
ปลิจูด
Ex1. เขียนกราฟของ cosy x พร้อมทั้งระบุ โดเมน เรนจ์ คาบ และ แอมปลิจูด
Ex1. เขียนกราฟของ 2sin3y x พร้อมทั้งระบุ โดเมน เรนจ์ คาบ และ แอม
ปลิจูด

7. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 6
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น6
True or False?
1. sin2 2sin cos  
2. cos2 2cos sin  
7. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และ ผลต่างของจานวนจริง หรือ มุม มีสูตรที่สาคัญ
ดังต่อไปนี้
1. cos( ) cos cos sin sin       
2. cos( ) cos cos sin sin       
3. cos( ) sin
2

  
4. sin( ) cos
2

  
5. sin( ) sin cos cos sin       
6. sin( ) sin cos cos sin       
7.
tan tan
tan( )
1 tan tan
 
 
 

 

8.
tan tan
tan( )
1 tan tan
 
 
 

 

9. 2sin cos sin( ) sin( )        
2cos sin sin( ) sin( )        
2cos cos cos( ) cos( )        
2sin sin cos( ) cos( )        
10. sin sin 2sin cos
2 2
   
 
 
 
sin sin 2cos sin
2 2
   
 
 
 
cos cos 2cos cos
2 2
   
 
 
 
cos cos 2sin sin
2 2
   
 
 
  
11. sin2 2sin cos  
2 2
cos2 cos sin   
2
cos2 2cos 1  
2
cos2 1 2sin  
2
2tan
tan 2
1 tan





ควรอย่างยิ่งที่นักเรียน ....จะต้องทาความเข้าใจที่มาของสูตรเหล่านี้ให้ได้ทั้งหมด แล้วฝึก
นาไปใช้ในการแก้ปัญหาจากโจทย์ต่างๆ เพื่อที่จาสูตรเหล่านี้ได้อย่างแม่นยา

8. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 7
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น7
True or False?
1. 2 2
sin cos 1  
2. 2 2
sec tan 1  
3. 2 2
csc cot 1  
9. ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ตัวผกผัน (Inverse) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก็อาศัยหลักการของการหาตัวผกผันของฟังก์ชัน
โดยทั่วไป ซึ่งตัวผกผันของฟังก์ชันใดๆจะมีสมบัติเป็น ฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชันนั้น
จะต้องเป็นฟังก์ชันแบบ 1-1 และ โดเมน และเรนจ์ของ ฟังก์ชันใดๆ กับตัวผกผันของมัน
จะสลับกัน ซึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สาคัญ มีข้อสรุปดังนี้
ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์ ตัวผกผันของฟังก์ชัน
siny x
2 2
x x
  
   
 
 1 1y y   arcsiny x
cosy x  0x x    1 1y y   arccosy x
tany x
2 2
x x
  
   
 
R arctany x
Ex. จงหาค่าต่อไปนี้
1.
1
sin(arcsin( ))
2

2.
1
tan(arcsin( ))
3
3. tan(arcsin(cos ))
6

4. เอกลักษณ์ และ สมการตรีโกณมิติ
สมการตรีโกณมิติ โดยทั่วไปการแทนค่าของตัวแปรอาจเป็นจริง หรือไม่ก็ได้ ถ้าสมการ
ตรีโกณมิติใดที่เป็นจริงสาหรับทุกจานวนจริงในเอกภพสัมพัทธ์ เราจะเรียกว่า เอกลักษณ์
ตรีโกณมิติ และในการศึกษาในหัวข้อนี้จะฝึกทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติ และ
พิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เช่น
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน
1. 2 2
sin cos 1  
2. 2 2
1 tan sec  
3. 2 2
1 cot csc  
4. sin( ) sin   
5. cos( ) cos  
6. cos( ) cos cos sin sin       
7. sin( ) sin cos cos sin       

9. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 8
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น8
11. กฎของไซน์ และ โคไซน์ สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตามสูตร หรือ กฎ
ต่อไปนี้จะเป็นเครื่องมือที่จะนาไปช่วยหาขนาดของมุม และ ด้านของรูป
สามเหลี่ยม ต่อไป
กฎของโคไซน์ (Law of Cosine) ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า , ,a b c เป็นความ
ยาวของด้านตรงข้ามมุม , ,A B C ตามลาดับ จะได้ว่า
2 2 2
2 cosa b c bc A  
2 2 2
2 cosb a c ac B  
2 2 2
2 cosc a b ab C  
กฎของไซน์ (Law of Sine) ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า , ,a b c เป็นความยาวของ
ด้านตรงข้ามมุม , ,A B C ตามลาดับ จะได้ว่า
sin sin sinA B C
a b c
 
Ex1. ในสามเหลี่ยม ABC ถ้า ˆ 30A  , 16a  และ 24b  จงหาขนาดของ ˆB
Ex2. ในสามเหลี่ยม ABC ถ้า ˆ 60A  , 40b  และ 60c  จงหา a
Ex3. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่ง มีขนาดของมุมมุมหนึ่งเท่ากับ 135 องศา ด้าน
ประกอบมุมนี้ยาว 5 และ 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมที่สั้น
12. การหาระยะทาง และ ความสูง
ในการวัดระยะทางและความสูง บางครั้งเราอาจจะวัดโดยตรงไม่ได้ แต่เราสามารถ
แก้ปัญหาได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น กฎของไซน์ และ กฎของโคไซน์
Ex1. ก. ยืนดูเสาธงเป็นมุมเงย 15 แต่เมื่อเดินตรงเข้าไปอีก 60 เมตร เขามองเห็นเสา
ธงเป็นมุมเงย 75 ถ้า ก. สูง 150 เมตร จงหาความสูงของเสาธง
Ex2. เรือสองลาแล่นออกจากจุด O พร้อมกัน โดยเรือลาหนึ่งแล่นไปยังจุด A เป็นระยะ
6 กิโลเมตร อีกลาหนึ่งแล่นไปยังจุด B เป็นระยะ 4 กิโลเมตร ถ้ามุมที่เรือสองลาแล่น
ออกจากกันเป็นมุม 30 จงหาระยะระหว่างจุด A กับจุด B

10. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 9
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น9
◙ ตัวอย่างข้อสอบที่ท้าทายเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. sin   cos  เมื่อ 2
3
   2
2. ถ้า 0   
2

และ cos  = 0.8 แล้ว sec  + cosec  =
12
35
3. ถ้า cos  = 0.56 แล้วจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จะอยู่ในควอดรันต์ที่ 1 และ
ควอดรันต์ที่ 2
4. cos
4

+ sin
4

= sin
2

2. ถ้า    
2
3
และ tan  =
5
12 แล้ว ข้อสรุปใดต่อไปนี้เป็นจริง
1. sin  – cos  =
13
7 2. cot  – csc  = –
3
2
3. sec  – csc  = –
60
91 4. sec  – cos  =
65
144
3. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 2 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด วัดระยะทางไปตามส่วนโค้ง
ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา จากจุด (2 , 0) ไปยาว  หน่วย จุดปลายของส่วนโค้งนี้อยู่บนเส้น
ตรง x = –1 ใน
ควอดรันต์ที่สอง ค่าของ sin  – sin 2 เท่ากับ
1. 3 2. – 3
3.
2
3 4.
2
3
4. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 4 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด ให้  เป็นระยะทางที่วัดไป
ตามส่วนโค้งของวงกลมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาจากจุด (0 , 4) ไปยังจุดปลายที่อยู่บนเส้น
ตรง y = x3
1
ในควอดรันต์ที่ 2 (นั่นคือ   0) และให้  เป็นระยะทางที่วัดไปตาม
ส่วนโค้งของวงกลม ในทิศทางตามเข็มนาฬิกาจากจุด (4 , 0) ไปยังจุดปลายที่อยู่บนเส้นตรง
y = x3
1
ในควอดรันต์ที่ 4 นั่นคือ (  0 ) ดังนั้น cos ( +  ) มีค่าเท่ากับเท่าใด
1. –
2
1 2. 0
3. 1 4.
2
3

11. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 10
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น10
5. จากรูปกาหนดให้รัศมีของวงกลมเท่ากับ 2 หน่วย และ OABC เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่
ของรูปส่วนที่แรเงาเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.  – 3 ตารางหน่วย
2.  –
2
3 ตารางหน่วย
3.  –
4
3 ตารางหน่วย
4.  –
2
33 ตารางหน่วย
6. ให้ a , b เป็นค่าคงที่ และ f(x) = a sin x + bx cos x + 2x สาหรับทุกค่า x  R
ถ้า f(2) = 3 แล้ว f(–2) เท่ากับค่าในข้อใดต่อไปนี้
ก. –3 ข. –1
ค. 1 ง. 5
7. สุดายืนอยู่ทางทิศตะวันออกของตึกหลังหนึ่ง มองเห็นยอดตึกเป็นมุมเงย 45 จากจุดนี้สุดาเดิน
ไปทางทิศใต้เป็นระยะ 100 เมตร จะมองเห็นยอดตึก (ที่ตาแหน่งเดิม) เป็นมุมเงย 30 ความ
สูงของตึกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 100 ข. 50 2
ค. 50 3 ง.
3
100
8. พื้นที่ภายในวงกลมรัศมียาว 1 เมตร ถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วนด้วยคอร์ดยาว 1 เมตร พื้น
ที่ส่วนน้อยของวงกลมเท่ากับข้อใดดังต่อไปนี้
ก.
2

–
8
3 ตร.เมตร ข.
2

–
4
3 ตร.เมตร
ค.
6

–
8
3 ตร.เมตร ง.
6

–
4
3 ตร.เมตร
9. ให้ A = {
1n 

| n เป็นจานวนนับ} และ f(x) = sin x เมื่อ x  A ข้อสรุปใดต่อไปนี้
เป็นเท็จ
1. มี a , b  A ซึ่ง f(a) = 2 f(b) 2. มี a  A ซึ่ง f(a) = 0
3. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง 4. f(x)  0 ทุก x  A
10. กาหนดให้ f(x) = xcos2 + cos x เมื่อ 0  x  2 ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ถ้า 0  x   แล้ว f(x) = 2 cos x
2. ถ้า   x  2 แล้ว f(x) = 2 cos x
3. ถ้า 2

 x 
2
3
แล้ว f(x) = 0
4. ถ้า 2
3
 x  2 แล้ว f(x) = 0
B
CO
A
60

12. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 11
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น11
11. { cos A | 0  A 
3
4
และ 5 – 3 sin 3A มีค่ามากที่สุด } เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อ
ไปนี้
1. { –
2
1 , 0 ,
2
3 } 2. {–
2
3 , –
2
1 , 0 }
3. { 0 ,
2
1 ,
2
3 } 4. {–
2
3 ,
2
1 ,
2
3 }
12. – 2sin 1 + 2sin 2 – 2sin 3 + . . . – 2sin 89 + 2sin 90 มีค่าเท่ากับเท่าใด
13. กาหนดให้ 0    2 เซตคาตอบของอสมการ
2
1sin
coscos2




 0 เป็นสับเซต
ของข้อใดต่อไปนี้
1. ( 0 ,
3
π ) 2. (
3
π ,
6
5π
)
3. ( 0 ,
4
π )  (
6
5π
,  ) 4. (
6
π ,
2
π )  (
4
3π
,
2
3π
)
14. ถ้า 1F และ 2F เป็นโฟกัสของวงรี 023x2y3x 22  และ )5,4(P เป็นจุดซึ่งอยู่บนวงรีนี้
แล้วค่าของ cos( 2
^
1 FPF ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. –9
1 2. –7
1
3.
4
3 4. 5
3

13. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 หน้า 12
เรี่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ [Trigonometric Function] ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น12
เฉลยข้อสอบ Entrance วิชาคณิตศาสตร์ 1 เรื่องตรีโกณมิติ

ปี 20 1. ค 2. จ ปี 21 1. ง
ปี 23 1. ง ปี 24 1. ก 2. ข 3. ค
ปี 25 1. ค ปี 27 1. 2
ปี 28 1. 3 ปี 29 1. 1
ปี 30 1. 1 ปี 31 1. 1
ปี 34 1. ง 2. ข ปี 35 1. ง
ปี 39 1. 2 2. 3 ปี 43 (ตุลาคม 2542) 1. 2
ปี 45 (มีนาคม 2545) 1. 0.5 2. 4 ปี 48 (ตุลาคม 2547) 1. 1