1. ЕлементиЕлементи
комбінаторикикомбінаторики

2. ЗмістЗміст
 Перестановки зПерестановки з пп елементів.елементів.
 Розміщення зРозміщення з пп елементів поелементів по kk..
 Кількість розміщень зКількість розміщень з пп елементів поелементів по kk..
Комбінації зКомбінації з пп елементів поелементів по kk..
 Кількість комбінацій зКількість комбінацій з пп елементів поелементів по
kk..

3. ОЗНАЧЕННЯ :ОЗНАЧЕННЯ :
КОМБіНАТОРИКАКОМБіНАТОРИКА - розділ- розділ
математики, у якомуматематики, у якому
досліджується, кількість різнихдосліджується, кількість різних
комбінацій (всеможливихкомбінацій (всеможливих
обоб’’єднань елементівєднань елементів),),
підпорядкованих тим чи іншимпідпорядкованих тим чи іншим
умовам, які можна скласти ізумовам, які можна скласти із
элементів, що належать данійэлементів, що належать даній
множині.множині.

4. Тема: Розміщення, перестановки і комбінаціїТема: Розміщення, перестановки і комбінації
(без повторень)(без повторень)
1.1. І правило комбінаторики.І правило комбінаторики.
2.2. Правила суми і добуткуПравила суми і добутку
3.3. Розміщення зРозміщення з nn елементів поелементів по kk. Кількість. Кількість
розміщень зрозміщень з nn елементів поелементів по kk..
Перестановки зПерестановки з nn елементів.елементів.
4.4. Комбінації зКомбінації з nn елементів поелементів по kk. Кількість. Кількість
комбінацій зкомбінацій з nn елементів поелементів по kk

5.  Основні правила комбінаторикиОсновні правила комбінаторики
 РозміщенняРозміщення
 ПерестановкиПерестановки
 КомбінаціїКомбінації
 ВисновкиВисновки

6. 1.1. І правило комбінаторики:І правило комбінаторики: Якщо потрібноЯкщо потрібно
порахувати кількість варіантів, уточніть якіпорахувати кількість варіантів, уточніть які
варіанти маються на увазі.варіанти маються на увазі.
2.2. Правила суми і добутку:Правила суми і добутку:
•• правило сумиправило суми
•• правило добуткуправило добутку
nmBA
BA
nB
mA
+=∪⇒





∅=∩
=
=
nmBA
nB
mA
×=×⇒



=
=

7. Доведення:Доведення:
Нехай різні можливі вибори об'єк­та а є aНехай різні можливі вибори об'єк­та а є a11...a...amm, а, а
різні можливі вибори об'єктарізні можливі вибори об'єкта bb при виборіпри виборі
aa11єєbbi1i1,...,,...,bbinin, тоді всі можливі вибори пари {а,, тоді всі можливі вибори пари {а, bb}}
утворюють прямокутну таблицю:утворюють прямокутну таблицю:
(a(a11,, bb1111), (a), (a11, b, b1212), .), . .. . . ,(a. . ,(a11,, bb1n1n),),
(a(a22,, bb2121), (a), (a22,, bb2222)),, . . . . .. . . . . ,,(a(a22, b, b2n2n),),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
(a(amm,, bbm1m1), (а), (аmm,, bbm2m2), . . .), . . . .. ,(a,(amm,, bbmnmn).).
Ця таблиця, очевидно, складається з mnЦя таблиця, очевидно, складається з mn
елементів.елементів.

8. РозміщенняРозміщення
РозміщеннямРозміщенням зз nn-елементів по-елементів по kk,,
називається упорядковананазивається упорядкована kk-елементна-елементна
підмножинапідмножина n-n-елементної множини в якійелементної множини в якій
елементи не повторюються.елементи не повторюються.
Визначається формулою:Визначається формулою:
( )!
!
kn
n
Ak
n
−
=

9. Приклад:
Скількома способами чотири хлопці можуть
запросити чотирьох із шести дівчат на танець?
Розв’язок: два хлопці не можуть одночасно запросити одну і ту ж
дівчину. І варіанти, при яких одні і ті ж дівчата танцують з різними
хлопцями рахуються, різними, тому:
360
2
720
)!46(
!64
6
==
−
=Α
Можливо 360 варіантів.

10. ПерестановкиПерестановки
Розміщення з n елементів по n називаютьсяРозміщення з n елементів по n називаються
перестановкамиперестановками зз nn елементів.елементів.
Визначається формулою:Визначається формулою: Рn =Рn = nn!!

11. Скільки різних шестизначних чисел можно скласти із цифр 0, 1,
2, 3, 4,5, якщо цифри в числі не повторюються?
Розв’язок:
1) Найдем кількість всіх перестановок із цих цифр:
P6=6!=720
2) 0 не може стояти спереду числа, тому від цього числа
необхідно відняти кількість перестановок, при яких 0 стоїть
спереду.
А це P5=5!=120.
P6-P5=720-120=600

12. РозміщенняРозміщення іі перестановкиперестановки
обовобов’’язково враховують порядокязково враховують порядок
елементівелементів
ЗапамЗапам’’ятайятай

13. КомбінаціїКомбінації
КомбінаціяКомбінація зз nn попо kk – це будь-яка– це будь-яка k-k-елементнаелементна
підмножинапідмножина nn-елементної множини в якій-елементної множини в якій
не враховується порядок.не враховується порядок.
Визначається формулою:Визначається формулою:
.
)!(!
!
knk
n
Ck
n
−
=

14. Доведення:Доведення:
)!(!
!
!
)!(
!
knk
n
n
kn
n
P
A
C
n
k
nk
n
−
=
−
==

15. 120
6
10*9*8
!3)!*310(
!103
10 ==
−
=C
Скільки трьохкнопочних комбінацій існує на кодовому замку
(всі три кнопки натискаються одночасно), якщо на ньому
всього 10 цифр.
Розв’язок:
Так як кнопки натискаються одночасно, то вибір цих трьох
кнопок – комбінація. Звідци можливо:
варіантів.

16. При грі в доміно 4 гравця ділять порівну 28 костєй. Скількома
способами вони можуть це зробити?
Розв’язок:
Перший гравець вибирає із 28 костєй. Другий із 28-7=21 костєй,
третій 14, а четвертий гравець забирає інші кости. Отже, можливо:
14
7
7
21
7
28 ** CCC

17. Зробимо певні висновки:Зробимо певні висновки:
 У випадку перестановок берутся всі элементиУ випадку перестановок берутся всі элементи
і змінююється тільки їх розташування.і змінююється тільки їх розташування.
 У випадку розміщення береться тількиУ випадку розміщення береться тільки
частина элементів і важливо розміщеннячастина элементів і важливо розміщення
элементів один відносно одного.элементів один відносно одного.
 У випадку комбінації береться тільки частинаУ випадку комбінації береться тільки частина
элементів і не має значеня розміщенняэлементів і не має значеня розміщення
элементів один відносно одного.элементів один відносно одного.

18. Тема: Перестановки, розміщення,Тема: Перестановки, розміщення,
комбінації (з повтореннями).комбінації (з повтореннями).
1. Розміщення з повторенням з1. Розміщення з повторенням з nn
елементів поелементів по kk. Кількість розміщень. Кількість розміщень
з повторенням зз повторенням з nn елементів поелементів по kk..
2. Перестановки з повтореннями. Їх2. Перестановки з повтореннями. Їх
кількість.кількість.
3. Комбінації з повторенням з3. Комбінації з повторенням з nn
елементів поелементів по kk. Кількість комбінацій. Кількість комбінацій
з повторенням зз повторенням з nn елементів поелементів по kk..

19. Розміщення(з повтореннями)Розміщення(з повтореннями)
Розміщення з повтореннямиРозміщення з повтореннями по m елементів n-по m елементів n-
елементної множини A – це послідовністьелементної множини A – це послідовність
елементів множини A, що має довжину m.елементів множини A, що має довжину m.
Визначається формулою:Визначається формулою: m
m
n n=Α
~

20. 12553
3
5
~
==Α
Скільки трьохзначних чисел можно скласти из цифр 1, 2, 3, 4,
5?
Розв’язок: Так як порядок цифр у числі має значення, цифри
можуть повторяться, то це буде розміщення з повтореннями із
пяти елементів по три, а їх число дорівнює:
ПрикладПриклад

21. Перестановки (з повтореннями)Перестановки (з повтореннями)
!!!
!
),,,(
21
21
r
rn
nnn
n
nnn

 =Ρ
r
nnnn +++= 21
,
, де n-кількість всіх элементів, n1
,n2
,…,nr
- кількість однакових
элементів.

22. 60
!1!*2!*3
!6
)1,2,3(6 ==Ρ
ПрикладПриклад

23. Комбінації(з повтореннями)Комбінації(з повтореннями)
Комбінації елементів якоїсь множини – це їїКомбінації елементів якоїсь множини – це її
підмножини. Але у множинах елементи непідмножини. Але у множинах елементи не
повторюються, тому термін "повторюються, тому термін "комбінаціїкомбінації зз
повтореннями", що склався в математиці, неповтореннями", що склався в математиці, не
можна вважати вдалим.Розглядається це поняттяможна вважати вдалим.Розглядається це поняття
за допомогою перестановок із повтореннями.за допомогою перестановок із повтореннями.
( ) n
nm
m
n C
nm
nm
nkPC 1
~
)!1(!
!1
)1,( −+
=
−
−+
=−=

24. 120
!3!*7
!10
)!14(!7
)!147(7
4
~
==
−
−+
=C
ПрикладПриклад
В кондитерському магазині продається 4 видів тістечок:
еклери, пісочні, наполеони і слойоні. Скількома
способами можна купити 7 тістечок.
Розв’язок: Покупка не залежить од того, в якому
порядку запаковують куплені тістечка в коробку. Покупки
будуть різними, якщо вони відрізняються кількістю
куплених тістечок хотя б одного вида. Отже, кількість
різних покупок дорівнює числу комбінацій четирьох видів
тістечок по сім:

25. Використані джерела:Використані джерела:
1.1. Є.П.Нелін.Є.П.Нелін.Алгебра 11клас: Підручник дляАлгебра 11клас: Підручник для загальноосвітніхзагальноосвітніх
навчальних закладівнавчальних закладів. –. – ХарківХарків <<Г<<Гіімназмназіія>>я>>,2011.-447 с.,2011.-447 с.
2.2. Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.:Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.:
СПбГУАП, 2001. — 37 c.СПбГУАП, 2001. — 37 c.
3.3. Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика =Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика =
Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С.Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С.
960. — ISBN 0-13-086998-8960. — ISBN 0-13-086998-8
4.4. Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = EnumerativeР. Стенли Перечислительная комбинаторика = Enumerative
Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
5.5. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.