Документ посвящен логарифмическим уравнениям, их определению и методам решения. Описываются равносильные уравнения, области допустимых значений и различные методы, такие как метод потенцирования и функционально-графический метод. Включены примеры уравнений и внимание к условиям допустимости корней.

1. «ЛОГАРИФМИЧЕС
КИЕ УРАВНЕНИЯ»
учитель :
МБОУСОШ №37
г. Новокузнецк
Кривошеева Любовь Валерьевна

2. Определение
Уравнение, содержащее
переменную под знаком
логарифма, называется
логарифмическим log
a
x b=
0a >Где 1a ≠, Оно имеет единственное решение
b
x a= при любом b.

3. Равносильные уравнения.
Определение 1. Два уравнения с
одной переменной и называют
равносильными, если множества их
корней совпадают.
Иными словами, два уравнения
называют равносильными, если они
имеют одинаковые корни
(например и ) или если
оба уравнения не имеют корней
(например , и )
2х =
2
2 4 0x x− + =
5 0
3x
=
−
2
5 10 0x x− + =

4. Определение 2. Если каждый
корень уравнения
является в то же время корнем
уравнения то второе
уравнения называют следствием
первого.
( ) ( )f x g x=
( ) ( )p x q x=
Например, уравнение
является следствием
уравнения
, в то же время
уравнение
не является следствием
( ) ( )2 4 0x x− + =
2
2 8
0
x x
x
+ −
=
( )2 0x − =
( ) ( ) ( )5 2 5x x x+ − = +

5. Определение 3. Два уравнения
равносильны тогда и только тогда,
когда каждое из них является
следствием другого.
Определение 4. Областью
допустимых значений (ОДЗ)
уравнения называют
множество тех значений
переменной, при которых
одновременно имеют смысл
выражения и .
( ) ( )f x g x=
( )f x ( )g x

6. Основные методы решения
логарифмических уравнений
1)по определению логарифма;
например, уравнение loga х = b (а > 0,
а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb
.
2) функционально-графический метод;

7. 3) метод потенцирования;
Под потенцированием понимается
переход от равенства,
содержащего логарифмы, к
равенству, не содержащему их:
если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) =
g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

8. 4. Метод введение новой переменной.
5. Метод логарифмирования обеих
частей уравнения.
6. Метод приведения логарифмов к
одному и тому же основанию.

9. Этапы решения уравнения
•Найти область допустимых
значений (ОДЗ) переменной
•Решить уравнение, выбрав метод
решения
•Проверить найденные корни
непосредственной
подстановкой в исходное уравнение
или выяснить, удовлетворяют
ли они условиям ОДЗ

10. Виды простейших логарифмических
уравнений и методы их решения
Уравнение Решение
1и0,logа) ≠>= aabxa
.1и0,)(logб) ≠>= aabxfa
.1и0
,)(log)(logв)
≠>
=
aa
xgxf aa
bxfxg =)(logг) )(
b
ax =
b
axf =)(





=
>
>
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf





=
≠
>
b
xgxf
xg
xg
)()(
,1)(
,0)(

11. Уравнения вида
loga
f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются
по определению логарифма с
учётом области определения
функции f(x). Уравнение
равносильно следующей системе



=
>
.)(
,0)(
b
axf
xf

12. Уравнения вида logf(x)
b = с, b > 0.
Данное уравнение равносильно
следующей системе
( )




=
≠>
>
.)(
,1)(,0)(
,0
bxf
xfxf
b
c

13. Решить уравнения:
1. log3
(5х – 1) = 2.
2. log2
(х – 5) + log2
(х + 2) = 3.
3. log3
(x2
– 3x – 5) = log3
(7 – 2x).
4. logx–1
9 = 2.








=
−=
≠>
⇔



=−
≠−>−
.4
,2
,2,1
;9)1(
,11,01
2
x
x
xx
x
xx
5. log6
(x – 1) = 2 – log6
(5x + 3).

14. Метод потенцирования
применяется в том случае, если все
логарифмы, входящие в уравнение,
имеют одинаковое основание. Для
приведения логарифмов к общему
основанию используются формулы:
a
x
x
a
log
1
log =

15. log2
х – 2 logх
2 = –1
Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1
Используя формулу перехода к
новому основанию, получим

16. Обозначим

17. Решить уравнения:
;7log61log7 xx =−
3log21log3 xx =+
.23log)1(log 13 =++ +xx

18. Введение новой переменной
,0)(log)(log2
=++ CxfBxfA aa
где a > 0, a ≠ 1, A, В, С – действительные
числа.
Пусть t = loga
f(x), t∈R. Уравнение
примет вид t2
+ Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga
f(x). Учитывая область определения, выберем
только те значения x, которые
удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

19. Пример 1.
Решить уравнение lg 2
x – lgx – 6 = 0.
Решение. Область определения
уравнения – интервал (0; ∞).
Введём новую переменную t = lg x, t∈R.
Уравнение примет вид t2
– t – 6 =
0.
Его корни t1
= –2, t2
= 3.

20. Вернёмся к первоначальной
переменной lg x = –2 или lg x = 3,
х = 10 –2 или х = 10 3.
Оба значения x удовлетворяют
области определения данного
уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.

21. Пример 2. Решить уравнение
4)(loglog2 2
3
2
3 =−− xx
Решение. Найдём область определения
уравнения
.0
;0
,0
;0
,0
2
<



≠
<



>
>−
x
x
x
x
x
Применив формулу логарифма степени,
получим уравнение
.4)(log||log4 2
33 =−− xx

22. Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно
.4)(log)(log4 2
33 =−−− xx