2. Зміст
Перестановки з п елементів.
Розміщення з п елементів по k.
Кількість розміщень з п елементів по k.
Комбінації з п елементів по k.
Кількість комбінацій з п елементів по
k.
3. ОЗНАЧЕННЯ :
КОМБіНАТОРИКА - розділ
математики, у якому
досліджується, кількість різних
комбінацій (всеможливих
об’єднань елементів),
підпорядкованих тим чи іншим
умовам, які можна скласти із
элементів, що належать даній
множині.
4. Тема: Розміщення, перестановки і комбінації
(без повторень)
1.
І правило комбінаторики.
2.
Правила суми і добутку
3.
Розміщення з n елементів по k. Кількість
розміщень з n елементів по k.
Перестановки з n елементів.
4.
Комбінації з n елементів по k. Кількість
комбінацій з n елементів по k
6. 1.
2.
І правило комбінаторики: Якщо потрібно
порахувати кількість варіантів, уточніть які
варіанти маються на увазі.
Правила суми і добутку:
• правило суми
• правило добутку
A =m
B =n
⇒ A∪B = m +n
A ∩ B = ∅
A = m
⇒ A× B = m × n
B =n
7. Доведення:
Нехай різні можливі вибори об'єкта а є a1...am, а
різні можливі вибори об'єкта b при виборі
a1єbi1,...,bin, тоді всі можливі вибори пари {а, b}
утворюють прямокутну таблицю:
(a1, b11), (a1, b12), . . . . ,(a1, b1n),
(a2, b21), (a2, b22), . . . . . ,(a2, b2n),
...........................
(am, bm1), (аm, bm2), . . . . ,(am, bmn).
Ця таблиця, очевидно, складається з mn
елементів.
8. Розміщення
Розміщенням з n-елементів по k,
називається упорядкована k-елементна
підмножина n-елементної множини в якій
елементи не повторюються.
Визначається формулою:
n!
A =
( n − k )!
k
n
9. Приклад:
Скількома способами чотири хлопці можуть
запросити чотирьох із шести дівчат на танець?
Розв’язок: два хлопці не можуть одночасно запросити одну і ту ж
дівчину. І варіанти, при яких одні і ті ж дівчата танцують з різними
хлопцями рахуються, різними, тому:
6!
720
Α =
=
= 360
(6 − 4)! 2
4
6
Можливо 360 варіантів.
10. Перестановки
Розміщення з n елементів по n називаються
перестановками з n елементів.
Визначається формулою: Рn = n!
11. Скільки різних шестизначних чисел можно скласти із цифр 0, 1,
2, 3, 4,5, якщо цифри в числі не повторюються?
Розв’язок:
1) Найдем кількість всіх перестановок із цих цифр:
P6=6!=720
2) 0 не може стояти спереду числа, тому від цього числа
необхідно відняти кількість перестановок, при яких 0 стоїть
спереду.
А це P5=5!=120.
P6-P5=720-120=600
13. Комбінації
Комбінація з n по k – це будь-яка k-елементна
підмножина n-елементної множини в якій
не враховується порядок.
Визначається формулою:
n!
C =
.
k!(n − k )!
k
n
15. Скільки трьохкнопочних комбінацій існує на кодовому замку
(всі три кнопки натискаються одночасно), якщо на ньому
всього 10 цифр.
Розв’язок:
Так як кнопки натискаються одночасно, то вибір цих трьох
кнопок – комбінація. Звідци можливо:
10!
8 * 9 * 10
C =
=
= 120
(10 − 3)!*3!
6
3
10
варіантів.
16. При грі в доміно 4 гравця ділять порівну 28 костєй. Скількома
способами вони можуть це зробити?
Розв’язок:
Перший гравець вибирає із 28 костєй. Другий із 28-7=21 костєй,
третій 14, а четвертий гравець забирає інші кости. Отже, можливо:
7
28
7
21
C *C *C
14
7
17. Зробимо певні висновки:
У випадку перестановок берутся всі элементи
і змінююється тільки їх розташування.
У випадку розміщення береться тільки
частина элементів і важливо розміщення
элементів один відносно одного.
У випадку комбінації береться тільки частина
элементів і не має значеня розміщення
элементів один відносно одного.
18. Тема: Перестановки, розміщення,
комбінації (з повтореннями).
1. Розміщення з повторенням з n
елементів по k . Кількість розміщень
з повторенням з n елементів по k .
2. Перестановки з повтореннями. Їх
кількість.
3. Комбінації з повторенням з n
елементів по k . Кількість комбінацій
з повторенням з n елементів по k .
19. Розміщення(з повтореннями)
Розміщення з повтореннями по m елементів nелементної множини A – це послідовність
елементів множини A, що має довжину m.
Визначається формулою:
~ m
Α =n
n
m
20. Приклад
Скільки трьохзначних чисел можно скласти из цифр 1, 2, 3, 4,
5?
Розв’язок: Так як порядок цифр у числі має значення, цифри
можуть повторяться, то це буде розміщення з повтореннями із
пяти елементів по три, а їх число дорівнює:
~ 3
Α5 = 5 = 125
3
21. Перестановки (з повтореннями)
n!
Ρ n (n1 , n2 ,, nr ) =
n1!n2 ! nr !
,n = n + n + + n
1
2
r
, де n-кількість всіх элементів, n1,n2,…,nr - кількість однакових
элементів.
23. Комбінації(з повтореннями)
Комбінації елементів якоїсь множини – це її
підмножини. Але у множинах елементи не
повторюються, тому термін "комбінації з
повтореннями", що склався в математиці, не
можна вважати вдалим.Розглядається це поняття
за допомогою перестановок із повтореннями.
~ m
C = P(k , n − 1) =
n
( m + n − 1)!
m!(n − 1)!
=C
n
m+ n−1
24. Приклад
В кондитерському магазині продається 4 видів тістечок:
еклери, пісочні, наполеони і слойоні. Скількома
способами можна купити 7 тістечок.
Розв’язок: Покупка не залежить од того, в якому
порядку запаковують куплені тістечка в коробку. Покупки
будуть різними, якщо вони відрізняються кількістю
куплених тістечок хотя б одного вида. Отже, кількість
різних покупок дорівнює числу комбінацій четирьох видів
тістечок по сім:
(7 + 4 − 1)! 10!
C4 =
=
= 120
7!(4 − 1)!
7!*3!
~ 7
25. Використані джерела:
1.
2.
3.
4.
5.
Є.П.Нелін.Алгебра 11клас: Підручник для загальноосвітніх
навчальних закладів. – Харків <<Гімназія>>,2011.-447 с.
Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.:
СПбГУАП, 2001. — 37 c.
Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика =
Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С.
960. — ISBN 0-13-086998-8
Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = Enumerative
Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
