1. http://lisari.blogspot.com
Θέματα των «μικρών»
1. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ < ΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (C). Ο κύκλος
C1(A, AB)τέμνει την BΓ στο Δ και τον κύκλο (C) στο Ε. Να αποδείξετε ότι η ΑΓ διχοτομεί τη
ˆ
γωνία  .
2. Για τις διάφορες τιμές του ρητού α να λυθεί η εξίσωση
x  4  2x  8  x  4 .
3. Οι θετικοί ακέραιοι μ, νμε μ > ν ικανοποιούν τη σχέση
..  ,    ..  ,       .
(α) Να δείξετε ότι ο ν διαιρεί το μ.
(β) Αν επιπλέον ισχύει     10 να βρείτε όλα τα ζεύγη  ,   .
4. Πάνω σε επίπεδο Π δίνεται ευθεία (ε) και πάνω στην (ε) δίνονται δύο σημεία Α1, Α2. Θεωρούμε
ακόμη και δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α3, Α4 του επιπέδου Π, που δεν ανήκουν στη ευθεία
(ε) .Να εξετάσετε, αν είναι δυνατόν να τοποθετηθούν τα σημεία Α3 και Α4 σε τέτοιες Θέσεις, ώστε να
σχηματίζεται ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ισοσκελών τριγώνων με κορυφές τρία από τα τέσσερα
σημεία Α1 ,Α2 ,Α3 ,Α4:
(α) όταν τα σημεία Α3 ,Α4 ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία (ε)
(β) όταν τα σημεία Α3 ,Α4 ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία (ε)

2. http://lisari.blogspot.com
Θέματα των «μεγάλων»
1. Δύο θετικοί ακέραιοι p, q που είναι πρώτοι μεταξύ τους, ικανοποιούν τη σχέση
p + q2 = (n2+1) p2 +q , όπου n θετικός ακέραιος , παράμετρος .
Να βρείτε τα δυνατά ζεύγη (p, q).
2. Να προσδιορίσετε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα P(x), Q(x) με πραγματικούς συντελεστές
του ελαχίστου δυνατού βαθμού τέτοια ώστε :
P(x2) + Q(x) = P(x) +x5Q(x), x∈R
3. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ < ΒΓ, εγγεγραμμένο στον κύκλο
C(O, R) και η διχοτόμος AΔ τέμνει τον κύκλο (C) στο σημείο K. O κύκλος (C1) έχει κέντρο O1
πάνω στην OA, διέρχεται από τα σημεία A, Δ και τέμνει την ΑΒ στο Ε και την ΑΓ στο Ζ.
Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΖΓ, ΒΕ αντίστοιχα , να δείξετε ότι :
(α) οι ευθείες ΖΕ, ΔΜ, ΚΓ συντρέχουν σε κάποιο σημείο Τ,
(β) οι ευθείες ΖΕ, ΔΝ, ΚΒ συντρέχουν σε κάποιο σημείο Σ,
(γ) η ΟΚ είναι μεσοκάθετος της ΤΣ.
4. Το ισοσκελές τραπέζιο του σχήματος αποτελείται από ίσα μεταξύ τους ισόπλευρα τρίγωνα που
οι πλευρές τους έχουν μήκος 1 . Η πλευρά A1E έχει μήκος 3 και η μεγάλη βάση του A1Av έχει
μήκος v – 1. Ξεκινάμε από το σημείο A1 και κινούμαστε κατά μήκος των ευθυγράμμων τμημάτων
που ορίζονται μόνο προς τα δεξιά και επάνω (λοξά αριστερά ή λοξά δεξιά) . Υπολογίστε
(συναρτήσει του v ή ανεξάρτητα από αυτό ) το πλήθος όλων των δυνατών διαδρομών που
μπορούμε να ακολουθήσουμε , με σκοπό να καταλήξουμε στα σημεία B,Γ, Δ, Ε, όπου ν ακέραιος
μεγαλύτερος του 3.