Successfully reported this slideshow.
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Προβολές και Ελάχιστα Τετράγωνα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

18 Δεκεμβρίου 2013
Προβολή σε ευθεία του R n
Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθεία
που ορίζει το a (το οποίο ας υποθέσουμε περνάει
απ...
Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον R n

cos θ =

aT b
||a||||b||
Προβολή σε ευθεία του R n

Η προβολή p ενός διανύματος
b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που
περνάει απο το 0
Προβολή σε ευθεία του R n

Η προβολή p ενός διανύματος
b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που
περνάει απο το 0
T
είναι το διάνυσμ...
Προβολή σε ευθεία του R n

Η προβολή p ενός διανύματος
b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που
περνάει απο το 0
T
είναι το διάνυσμ...
Προβολή σε ευθεία του R n

Η προβολή p ενός διανύματος
b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που
περνάει απο το 0
T
είναι το διάνυσμ...
Παράδειγμα

 
 
1
1
Προβολή του 2 στο 1
3
1
Παράδειγμα

 
 
1
1
Προβολή του 2 στο 1
3
1
 
1
Πίνακας προβολής στο 1
1
Παράδειγμα

 
 
1
1
Προβολή του 2 στο 1
3
1
 
1
Πίνακας προβολής στο 1
1
Πίνακας προβολής στο

cos θ
sin θ
Εφαρμογή
Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b ∈ R(A).
/
Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b ∈ R(A).
/
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε
/
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι
/
η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η ...
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι
/
η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η ...
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι
/
η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η ...
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι
/
η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η ...
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι
/
η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η ...
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι
/
η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η ...
Παράδειγμα

 
4
1 4
 1 5  x = 5
6
0 6



Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b ∈ Rn πάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι
p =...
Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b ∈ Rn πάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι
p =...
Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα
Αν A ∈ Rm×n και b ∈ Rn τότε
/
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b
ικανοπο...
Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα
Αν A ∈ Rm×n και b ∈ Rn τότε
/
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b
ικανοπο...
Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το
ίδιο το b
Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το
ίδιο το b
είναι κάθετο στον χ...
Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το
ίδιο το b
είναι κάθετο στον χ...
Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το
ίδιο το b
είναι κάθετο στον χ...
Ο πίνακας AT A

Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γ...
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν
είν...
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν
είν...
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν
είν...
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του.
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του. Q −1 = Q T
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του. Q −1 = Q T
Ο πολλαπλασια...
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του. Q −1 = Q T
Ο πολλαπλασια...
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του. Q −1 = Q T
Ο πολλαπλασια...
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του. Q −1 = Q T
Ο πολλαπλασια...
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του. Q −1 = Q T
Ο πολλαπλασια...
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον
ανάστροφό του. Q −1 = Q T
Ο πολλαπλασια...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

3,590 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Προβολές και Ελάχιστα Τετράγωνα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 18 Δεκεμβρίου 2013
  2. 2. Προβολή σε ευθεία του R n Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθεία που ορίζει το a (το οποίο ας υποθέσουμε περνάει απο την αρχή των αξόνων)
  3. 3. Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον R n cos θ = aT b ||a||||b||
  4. 4. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0
  5. 5. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 T είναι το διάνυσμα p = aT b a a a
  6. 6. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 T είναι το διάνυσμα p = aT b a a a με αντίστοιχο πίνακα προβολής aaT P = aT a
  7. 7. Προβολή σε ευθεία του R n Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 T είναι το διάνυσμα p = aT b a a a με αντίστοιχο πίνακα προβολής aaT P = aT a ο οποίος είναι συμμετρικός και τάξης 1
  8. 8. Παράδειγμα     1 1 Προβολή του 2 στο 1 3 1
  9. 9. Παράδειγμα     1 1 Προβολή του 2 στο 1 3 1   1 Πίνακας προβολής στο 1 1
  10. 10. Παράδειγμα     1 1 Προβολή του 2 στο 1 3 1   1 Πίνακας προβολής στο 1 1 Πίνακας προβολής στο cos θ sin θ
  11. 11. Εφαρμογή
  12. 12. Εφαρμογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
  13. 13. Εφαρμογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b ∈ R(A). /
  14. 14. Εφαρμογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b ∈ R(A). /
  15. 15. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε /
  16. 16. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A).
  17. 17. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b
  18. 18. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b
  19. 19. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A −1 AT b
  20. 20. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A Πράγματι AT (Ax − b) = 0 −1 AT b
  21. 21. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b ∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι / η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A −1 AT b Πράγματι AT (Ax − b) = 0 Υπόθεση: οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
  22. 22. Παράδειγμα   4 1 4  1 5  x = 5 6 0 6  
  23. 23. Προβολή στον χώρο στηλών Ορισμός Η προβολή p ενός διανύσματος b ∈ Rn πάνω στον χώρο στηλών ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι p = A AT A −1 AT b Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός πίνακα A είναι ο −1 P = A AT A AT
  24. 24. Προβολή στον χώρο στηλών Ορισμός Η προβολή p ενός διανύσματος b ∈ Rn πάνω στον χώρο στηλών ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι p = A AT A −1 AT b Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός πίνακα A είναι ο −1 P = A AT A AT για τον οποίο ισχύει ότι P k = P, k ∈ N, P T = P
  25. 25. Λύση ελαχίστων τετραγώνων Θεώρημα Αν A ∈ Rm×n και b ∈ Rn τότε / Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b ικανοποιεί την εξίσωση AT Ax = AT b
  26. 26. Λύση ελαχίστων τετραγώνων Θεώρημα Αν A ∈ Rm×n και b ∈ Rn τότε / Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b ικανοποιεί την εξίσωση AT Ax = AT b Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο −1 T AT A είναι αντιστρέψιμος και x = AT A A b.
  27. 27. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b
  28. 28. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι 0
  29. 29. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι 0 Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε διανύσματος είναι ο εαυτός του
  30. 30. Προβολές στον χώρο στηλών Αν το b ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι 0 Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε διανύσματος είναι ο εαυτός του έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω σε ευθεία
  31. 31. Ο πίνακας AT A Είναι τετραγωνικός Είναι συμμετρικός ΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες
  32. 32. Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες Ορισμός Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1.
  33. 33. Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες Ορισμός Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1. 0, i = j· δηλαδή όταν qiT qj = 1, i = j.
  34. 34. Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες Ορισμός Τα διανύσματα q1 , q2 , . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1. 0, i = j· δηλαδή όταν qiT qj = 1, i = j. Ορισμός ΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλες του είναι ορθοκανονικές.       1 0 0 0 1 0       Παράδειγμα: e1 =  . , e2 =  . , . . . , en =  . . . . .  . . 0 0 1
  35. 35. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του.
  36. 36. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T
  37. 37. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
  38. 38. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ||Qx|| = ||x||,
  39. 39. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x,
  40. 40. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ˆ ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x, (Qx, Qy ) = (x, y ) ˆ
  41. 41. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ˆ ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x, (Qx, Qy ) = (x, y ) ˆ Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Q
  42. 42. Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τον ανάστροφό του. Q −1 = Q T Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες ˆ ||Qx|| = ||x||, Qx)T (Qx) = x T x, (Qx, Qy ) = (x, y ) ˆ Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Q T T T b = (q1 b)q1 + (q2 b)q2 + . . . + (qn b)qn

×