Euclidian Geometry, Revision , chapters 10 & 11.

1. Σχολικό Έτος : 2018-2019
Ευκλείδεια Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 10 - 11
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΙΟΡΔΑΝΗ ΚΟΣΟΓΛΟΥ MSC ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΓΕ.Λ

2. ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 10.1 – 10.3
ΟΡΙΣΜΟΙ
 Πολυγωνικό χωρίο
 Πολυγωνική Επιφάνεια
 Ισοδύναμα σχήματα λέγονται.
Αξιώματα
 Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά.
 Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασμένου πλήθους
πολυγωνικά χωρία , που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία , τότε το εμβαδόν
του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους πολυγωνικών χωρίων
 Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 1 είναι ίσο με 1.
 Αν πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός πολυγώνου Π , τότε :
( Εμβαδόν Ρ ) ≤ ( Εμβαδόν Π )
Εμβαδά
1 ) Τετραγώνου : Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α είναι ίσο με :
Ε = α2
2 ) Ορθογωνίου : Το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές α, β είναι ίσο με :
Ε = α∙β

3. 3 ) Παραλληλογράμμου : Το ύψος που αντιστοιχεί στην ΔΓ ,
δηλαδή στην α , είναι το υα
Ομοίως το ύψος που αντιστοιχεί
στην ΒΓ είναι το υβ
(ΑΒΓΔ) =α υα = β υβ ☺ Προσοχή στο ύψος που θα πάρουμε !
4 ) Τριγώνου : Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΒΓ είναι ίσα γιατί
έχουν : 1 ) ΑΓ κοινή
2 ) ΑΔ=ΒΓ και 3 ) ΔΓ=ΑΒ άρα
από το κριτήριο ΠΠΠ τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα είναι και
ισεμβαδικά δηλαδή έχουν ίσα εμβαδά.
(ΑΒΓΔ) = (ΑΔΓ) + (ΑΒΓ) = 2· (ΑΔΓ) 
5 ) Τραπεζίου : Θα αποδείξουμε τον τύπο του εμβαδού σύμφωνα με
το παρακάτω σχήμα.
Σύμφωνα με το 2ο αξίωμα είναι :
(ΑΒΓΔ) = (ΑΔΕ) + (ΑΒΖΕ) +(ΒΖΓ)

4. 6 ) Ισόπλευρο Τρίγωνο :
7 ) Κυρτού Τετραπλεύρου με κάθετες Διαγώνιους - Ρόμβος :
8 ) Σημαντική Εφαρμογή

5. Ασκήσεις :
1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε Δ εσωτερικό σημείο της ΒΓ και έστω Μ στο
μέσον της ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:
α) (ΑΜΒ)=
2
1
(ΑΒΔ)
(Μονάδες 12)
β) (ΑΜΒ) + (ΜΔΓ) =
2
1
(ΑΒΓ)
(Μονάδες 13)
2. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωρούμε Μ το μέσο της ΑΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΓ προς
το Γ κατά ΓΕ=2ΔΓ. Να αποδείξετε ότι:
α) (ΑΜΒ)=
2
)(
(Μονάδες 12) β) (ΑΒΓΔ) = (ΒΓΕ) (Μονάδες 13)
3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Μ της πλευρά ΑΒ
α. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ΕΜΔΓ = ΕΑΜΔ + ΕΒΜΓ
β. Να βρεθεί το εμβαδό του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, όταν ΕΜΔΓ = 8 τ.μ
ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΕΣ ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ-ΘΕΜΑ 2015
Α Β
ΓΔ
Μ

6. Ασκήσεις σχολικού Βιβλίου :

7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου :
4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ = 2cm ΒΓ = 3 cm και γωνία ˆ = 30ο .
α) Να αποδείξετε ότι ΑΒ = 1cm. (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 8)
γ) Να υπολογίσετε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
ΑΒΓ. (Μονάδες 7)
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 10.5

8. 5. Με ένα σύρμα μήκους c κατασκευάζουμε ένα κανονικό εξάγωνο.
α) Να εκφράσετε την πλευρά του εξαγώνου ως
συνάρτηση του c. μονάδες 4
β ) Να υπολογιστεί το μήκος του ευθύγραμμου
τμήματος ΑΓ ως συνάρτηση του c.
μονάδες 9
γ) Αφού αιτιολογήσετε ότι η γωνία Α1 είναι ορθή ,
να αποδείξετε ότι, το εμβαδόν του εξαγώνου
ΑΒΓΔΕΖ ισούται με c2
24
3
μονάδες 12
Ενδεικτική Λύση
α) Το εξάγωνο είναι κανονικό άρα το μήκος της πλευράς του είναι :
6
c
μον.
β ) Η γωνία Β είναι 120ο και ΑΒ = ΒΓ =
6
c
. Εφαρμόζω Νόμο συνημιτόνων στο ΑΒΓ.

9. ΑΓ2 = ΑΒ2+ΒΓ2 – 2ΑΒ ΒΓ·συν120ο =
36
3 2
c
, Άρα ΑΓ =
6
3c
μον
γ) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και η γωνία Β είναι 120ο άρα Α1 = 90ο.
( ΑΒΓΔΕΖ) = (ΑΒΓ)+(ΑΓΔΖ)+(ΕΖΔ) (1)
Όμως (ΑΒΓ) = (ΕΖΔ) =
662
1 cc
 ·ημ1200 =
144
3 2
c
τ. μον
Και (ΑΓΔΖ) =
6
c
·
6
3c
=
36
32
c
τ.μον
Άρα από (1) έχω : (ΑΒΓΔΕΖ) =
2·
144
3 2
c
+
36
32
c
=
24
3
72
33
72
32
72
3 2222
cccc
 τ.μ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 11.1 – 11.2
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ : Έστω φν η πλευρά κανονικού πολυγώνου. Μπορείτε να βρείτε μια
σχέση που συνδέει το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου ν και την γωνία
φν;
Θυμηθείτε το άθροισμα γωνιών ενός πολυγώνου είναι (2ν-4)·90ο !
ν∙ φν = (2ν-4)∙90ο ή ν∙ φν = 180ν – 360 ή

10. Εφαρμογή 1 (Άσκηση Κατανόησης)
Ναι τα ισόπλευρα τρίγωνα.
Ομοιότητα Κανονικών Πολυγώνων
Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι πάντα
όμοια.
Η R του περιγεγραμμένου κύκλου καλείται ακτίνα του κανονικού πολυγώνου.
Η ρ του εγγεγραμμένου κύκλου καλείται απόστημα του πολυγώνου.
Η γωνία ΑΟΒ καλείται κεντρική του πολυγώνου και συμβολίζεται με ων. Είναι ων = …

11. ι ) Το τρίγωνο ΟΑΘ είναι ορθογώνιο και ισχύει το
Πυθαγόρειο Θεώρημα , άρα :
προκύπτει το i)
ιι ) Ρν η περίμετρος του κανονικού πολυγώνου. Το
πολύγωνο έχει ν πλευρές ίσες άρα : προκύπτει το ii)
ιιι ) το κάναμε πριν.
ιν ) Δοκιμάστε μόνοι σας.
Ασκήσεις Κατανόησης σχολικού βιβλίου
Ασκήσεις Εμπέδωσης σχολικού βιβλίου

12. ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 11.3 Εγγραφή Κανονικών Πολυγώνων σε Κύκλο
Α ) Τετράγωνο
Β ) Εξάγωνο
Γ ) Ισόπλευρο Τρίγωνο

13. Ασκήσεις σχολικού

14. ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 11.4 -11.5 Μήκος Κύκλου – Μήκος Τόξου

15. Ασκήσεις Σχολικού

16. ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 11.6 – 11.7
Εμβαδόν Κυκλικού Δίσκου
Κυκλικός Τομέας

17. Ασκήσεις Σχολικού
Η 1 αποδεικτικές λυμένη στο αρχείο paragraph11.6 exe1 page 250.ggb

18. Οι 3 και 5 αποδεικτικές λυμένες στα αρχεία paragraph11.6 exe3 page 251.ggb
Περισσότερες Ασκήσεις Λυμένες
1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε ένα τμήμα ΑΕ
=
5
3
AB και στην ΑΔ ένα τμήμα ΑΖ =
5
4
AB . Αν το
εμβαδόν του πενταγώνου ΕΒΓΔΖ είναι 76, να
υπολογίσετε:
α) Το μήκος α της πλευράς του τετραγώνου ΑΒΓΔ.
(Μονάδες 13)
β) Την περίμετρο του πενταγώνου ΕΒΓΔΖ.
(Μονάδες 12)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) (ΑΒΓΔ) = (ΑΖΕ)+(ΕΒΓΔΖ) 
α2 =
2
5
4
5
3
2
1
a +76  α2 =
2
50
12
a +76  2
50
38
a =76  α2 =
38
3800

α = 10.
β ) Περίμετρος = ΕΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΖ+ΖΕ = 4 + 10+10+2+10 = 36 μον.

19. 2. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μία διάμετρός του ΒΓ. Η κάθετος στο μέσο Ε της ακτίνας
ΟΒ τέμνει το ένα ημικύκλιο στο σημείο Α και η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο
Β τέμνει την προέκταση της χορδής ΑΓ στο σημείο Δ.
α) Να αποδείξετε ότι:
i. ΑΓ = λ3 = R 3 . (Μονάδες 8)
ii. ΑΔ =
3

. (Μονάδες 8)
β) Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών:
)(
)(


(Μονάδες 9)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α - ι) Το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισοσκελές , γιατί ΑΕ διάμεσος και ύψος, άρα
ΑΒ=ΑΟ = R , όμως ΑΟ= BO = R , άρα
ΑΒ = ΑΟ = ΟΒ = R , συνεπώς το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο.
Συνεπώς η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί σε τόξο 60ο. Τότε η χορδή ΑΓ αντιστοιχεί σε τόξο
180ο – 60ο = 120ο. Άρα ΑΓ = λ3 = R 3 .
ιι ) Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο γιατί ;
Η γωνία Β του τριγώνου αυτού είναι ίση με 30ο , μιας και στο Β έχουμε εφαπτομένη
του κύκλου και το ΑΒΟ απ το (α) είναι ισόπλευρο.
Συνεπώς η ΑΔ =
2
B
 2ΑΔ = ΒΔ (1)
Με Π.Θ στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε : ΒΔ2 = ΑΒ2 + ΑΔ2  4ΑΔ2 = R2 + ΑΔ2
 3ΑΔ2 = R2  ΑΔ =
33
3 

R
.
β ) Τρίγωνο ΑΒΔ , πλευρές ΑΒ = R , ΑΔ =
3

, ΒΔ.
Τρίγωνο ΔΒΓ , πλευρές ΒΓ = 2R , ΒΔ , ΔΓ
Τα τρίγωνα ΑΒΔ , ΔΒΓ είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία Δ.
Άρα R
A
B
AB
B
B
 




, συνεπώς,
)(
)(


= .
R22
11



20. 3. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 10, θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου
Ο και εντός του κύκλου το εγγεγραμμένο τετράγωνο ΚΛΜΝ.
α) Να αποδείξετε ότι (ΚΛΜΝ)=50.
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του
γραμμοσκιασμένου χωρίου του κύκλου που βρίσκεται
στο εξωτερικό του τετραγώνου ΚΛΜΝ και εσωτερικά
του κύκλου, είναι 25(π-2).
(Μονάδες 13)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓΔ είναι ίση με 5 εκ.
Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου ΚΛΜΝ είναι 5 2 εκ.
Άρα (ΚΛΜΝ) = (5 2 )2 = 50 εκ2.
β ) Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι : Ε = Εμβ εγγ.κύκλου – (ΚΛΜΝ) 
Ε = 25π – 50 = 25(π-2) εκ2.
4. Δίνεται κύκλος (O,R) και μία διάμετρός του ΑΒ. Με διάμετρο τα τμήματα ΟΑ και ΟΒ
γράφουμε τους κύκλους κέντρων Κ και Λ αντίστοιχα. Ένας τρίτος κύκλος κέντρου
Μ και ακτίνας ρ εφάπτεται εξωτερικά των κύκλων κέντρων Κ και Λ και εσωτερικά
του κύκλου κέντρου Ο.
α) Να εκφράσετε τις διακέντρους ΚΜ, ΛΜ και ΟΜ
των αντιστοίχων κύκλων ως συνάρτηση των
ακτίνων τους, δικαιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι ρ=
3
R
(Μονάδες 13)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) ΟΚ = ΟΛ =
2
R
, ΚΜ =
2
R
+ρ , ΛΜ =
2
R
+ρ , συνεπώς το τρίγωνο ΚΛΜ είναι
ισοσκελές. Η ΜΟ είναι διάμεσος , διχοτόμος και ύψος.
Από Π.Θ είναι : ΜΟ2 = ΜΛ2 – ΟΛ2  ΜΟ2 = (
2
R
+ρ)2 – (
2
R
)2 
ΜΟ2 = ρ2 + Rρ  ΜΟ = )R( 

21. β ) Είναι ρ + ΜΟ = R  ΜΟ = R-ρ  ΜΟ2 = R2 +ρ2 – 2ρ R
 ρ2 + Rρ = R2 +ρ2 – 2ρ R  3ρ R – R2 = 0  R(3ρ- R) = 0 
ρ=
3
R
.
5. Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά ΑΒ=5. Να
υπολογιστούν :
α) το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (O,R)
(Mονάδες 9)
β) το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου
ΑΒΓ (Mονάδες 9)
γ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
μεταξύ κύκλου και το ισόπλευρου τριγώνου.
(Μονάδες 7)τα
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) ΑΒ = 5 , επίσης ΑΒ = λ3 = R 3  5 = R 3  R =
3
35
μον.
Άρα Ε = πR2 =
3
25
τ.μον
β ) (ΑΒΓ) =
4
325
τ.μον
γ ) Το ζητούμενο ε είναι : ε =
3
25
-
4
325
=
12
33425 )( 
τ. μον
6. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α, γράφουμε τεταρτοκύκλιο εσωτερικά του
τετραγώνου με κέντρο Α και ακτίνα α.
α ) Αν Χ1 είναι το χωρίο του τετραγώνου που βρίσκεται
εξωτερικά του τεταρτοκυκλίου , να αποδείξετε ότι το
εμβαδόν (Χ1) = )( 

4
4
2
β ) Με διάμετρο ΑΒ κατασκευάζουμε ημικύκλιο
εσωτερικά του τετραγώνου. Αν Χ2 είναι το χωρίο του
ημικυκλίου και Χ3 το χωρίο του τεταρτοκυκλίου που
είναι εξωτερικά του Χ2, να υπολογιστούν τα (Χ2) , (Χ3).
γ ) Ποιο από τα δυο χωρία Χ1 και Χ2 έχει μεγαλύτερο εμβαδό ; Αιτιολογήστε.

22. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Το τεταρτοκύκλιο είναι ο κυκλικός τομέας (Α τόξοΑΒ) ή (Α τόξοΑΔ) και ισούται με
(Α τόξοΑΒ) =
4360
90 22
aa 
 τ.μ (1)
Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι α2.
Άρα (Χ1) = α2
4
2
a
 = )( 

4
4
2
τ.μον.
β ) (Χ2) =
8360
180
4
2
2
a
a

 τ.μον , η ακτίνα εδώ, προσοχή , είναι
2
a
.
Το (Χ3) = (Α τόξοΑΒ) – (Χ2) =
4
2
a
-
8
2
a
=
8
2
a
τ.μον.
γ ) (Χ1) – (Χ2) = )( 

4
4
2
-
8
2
a
= α2 -
4
2
a
-
8
2
a
= α2 - 3
8
2
a

(Χ1) – (Χ2) =
8
382
)(a 
< 0 , άρα (Χ1) < (Χ2).
ΠΗΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
[1] Τράπεζα Θεμάτων, Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων , http://exams-
repo.cti.gr/category/90-geometria?Itemid , Προσπελάστηκε 31.12.17 και ώρα
13:00.